Как найти сумму всех элементов матрицы в mathcad

Сумма элементов строки матрицы

Как в MathCAD можно сделать так, чтобы находилась сумма элементов строки матрицы.
Возможен выбор максимальной суммы?
Спасибо.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Сумма элементов строки матрицы
Никак не могу понять, как просуммировать строку для каждого столбца. Вот как на примере.

Сумма элементов строки i и столбца j случайной матрицы n x m
Требуется найти сумму элементов строки i и столбца j случайной матрицы n x m Матрицу сделал, а.

Сумма элементов матрицы
Помогите решить задачу в матлабе. Дана целочисленная квадратичная матрица порядка 5.Найти сумму ее.

Сумма элементов матрицы.
Нужно сложить в матрице все неотрицательные элементы ниже главной диагонали и сколько элементов.

Регистрация: 09.01.2009
Сообщений: 5
Сумма элементов строки матрицы:
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Сообщение от JIECHuK Посмотреть сообщение

Сумма элементов строки матрицы:

Спасибо!
А возможно выбрать максимальную сумму, а потом в зависимости от величины суммы считать некое выражение?

Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54
Вы не могли бы приложить файл MathCAD с этим проектом?
Спасибо.
Регистрация: 09.01.2009
Сообщений: 5
извини, в маткад не работал. картинку нагуглил, надеюсь хоть немного помогло)
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54
Понятно. Просто нифига не получается сделать.
2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195
Попробуйте так.
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Попробуйте так.

Спасибо!
А так и должно быть сложно?
Возможно потом в зависимости от значения наибольшей суммы вычислить выражение?
Т.е. есть условие, например, если максимальная сумма больше единицы, то считаем выражение по такой-то формуле.

2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195

Уважаемый, Borserg, можно и проще. Все зависит от постановки задачи и целей использования ее решения.

Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Уважаемый, Borserg, можно и проще. Все зависит от постановки задачи и целей использования ее решения.

Эта задача будет использоваться для проверки решения. Решение выполнено на Pascal и Visual Basic.
Задача состоит в том, чтобы вычислить сумму элементов каждой строки квадратной матрицы, выбрать максимальную сумму и считать некое выражение в зависимости от величины максимальной суммы.
Спасибо.

2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195

Цитата Сообщение от Borserg Посмотреть сообщение

Эта задача будет использоваться для проверки решения. Решение выполнено на Pascal и Visual Basic.
Возможно и программку следует написать на Pascal или в VB. Зачем Вам Mathcad?
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Возможно и программку следует написать на Pascal или в VB. Зачем Вам Mathcad?

Как раз с программированием на этих языках всё нормально. Всё сделано. А в курсовой нужно в MathCAD представить проверку решения.

2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195
Так будет проще?
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Так будет проще?
Матрица B просто так там введена?
2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195

Цитата Сообщение от Borserg Посмотреть сообщение

Матрица B просто так там введена?

Это тестовый пример для проверки работы программы. В — произвольная матрица. Аргументом программы М(А) может быть матрица с любым именем.

Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Просто матрица квадратная, вот и спросил про матрицу B, которая квадратной не является.
А вот дальше проблемы. Получается, что условие нужно запрограммировать.

2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195

Цитата Сообщение от Borserg Посмотреть сообщение

А вот дальше проблемы. Получается, что условие нужно запрограммировать.
Какое условие? Ввод матрицы?
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Какое условие? Ввод матрицы?

Нет. Вычисление выражения.
Если максимальная сумма больше нуля, то идёт вычисление выражения Z по первой формуле, если больше единицы, то по второй формуле.

2832 / 2129 / 86
Регистрация: 02.05.2010
Сообщений: 3,195
Вот продолжение. А теперь самостоятельно.
Регистрация: 18.03.2010
Сообщений: 54

Цитата Сообщение от Галина Борисовн Посмотреть сообщение

Вот продолжение. А теперь самостоятельно.

Спасибо! Вот именно этот момент мне был не понятен.
Сейчас попробую набрать, а то не со всеми операторами знаком.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Сумма элементов главной диагонали матрицы D
Как сделать поэлементно, не применяя функцию? Размерность 3 А какую функцию Вы собирались тут.

Сумма соседних элементов матрицы вектора
Здравствуйте форумчане, прошу у вас помощи. Есть массив матрица-вектор (1 столбец и 8147 строк).

Сумма элементов главной диагонали матрицы
В общем задание состоит в нахождении суммы элементов главной диагонали матрицы. Объясните.

Сумма элементов второй строки массива
Дана матрица из трех строк. Первая строка состоит из элементов 2, 3, 1, 4, 6, 5. Вторая строка.

Сумма элементов строки в матрице и нахождение максимальной
Нужно найти максимальную сумму элементов в строке. И расположить строки в порядке возрастания.

Как найти сумму элементов матрицы в mathcad

Сообщение от JIECHuK
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Borserg
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Borserg
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Borserg
Сообщение от Галина Борисовн
Сообщение от Галина Борисовн

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Программирование Использование матриц специального вида для выполнения матричных операций в системе MathCad

Известно, что в результате умножении матрицы на вектор получается вектор. Причем, каждый i–ый элемент этого вектора-результата представляет собой сумму попарных произведений соответствующих элементов i–ой строки матрицы на элементы вектора-сомножителя. Очевидно, если в векторе, на который умножается матрица, все элементы равны нулю, а один элемент равен единице, то результатом такого произведения будет число, соответствующее тому элементу i–ой строки матрицы, где векторным сомножителем будет единица. Такой вывод можно использовать для выделения (формирования) из матрицы нужного столбца.

Пример 9. Даны матрица: А(4×4). Требуется получить из этой матрицу два вектора. Первый вектор должен совпадать с 0–ым столбцом матрицы А, а второй — с 3-им столбцом матрицы А.

Решение.Для получения новых векторов сформируем два вспомогательных вектора: вектор B1 – с единичным значением в строке с номером 0, а второй вектор В4 – с единичным значением в строке с номером 3. В этом случае для получения векторов в соответствии с условием задачи достаточно умножить матрицу А справа на векторы В1 и В2, как это показано на рис. 7.12.

Рис. 7.12. Выделение векторных значений из заданной матрицы

Аналогичным образом можно получить вектор-строку из матрицы. Для этого достаточно сформировать вспомогательный вектор — строку, у которой все компоненты равны нулю, а одна компонента͵ номер которой соответствует номеру выделяемой строки из матрицы, равна единице. В случае если данный вектор умножить слева на матрицу, то в результате будет получена нужная строка.

Пример 10. Дана матрица: А(4×4). Требуется выделить из матрицы первую строку по порядку (с номером 0).

Решение. Сначала требуется подготовить вспомогательный вектор-строку, а потом умножить эту строку слева на матрицу А. Вектор-строку можно получить из предыдущего примера транспонированием вектора-столбца В1.

Такой прием можно использовать для перестановки строк и столбцов матрицы, только для этого потребуется уже вспомогательная матрица, состоящая из векторов-столбцов (векторов-строк), место единичных элементы которых соответствуют тому порядку, который нужно иметь в результате преобразования матрицы.

Пример 11. Дана матрица: А(4×4). Требуется переставить в матрице строки с номерами 0 и 1.

Решение. Для преобразования исходной матрицы требуется подготовить вспомогательную матрицу. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в строках должно соответствовать нужному порядку для расположения строк в новой матрице. После этого решение можно получить простым перемножением матриц:

Пример 12. Дана матрица: А(4×4). Требуется переставить в матрице столбцы с номерами 0 и 1.

Решение. Для преобразования исходной матрицы требуется подготовить вспомогательную матрицу. Во вспомогательной матрице местоположение единиц в столбцах соответствуют нужному порядку для выбора их в новую матрицу. После этого решение можно получить простым перемножением матриц:

Рассуждая, таким образом, можно с помощью вспомогательного вектора с единичными компонентами получить вектор, компоненты которого будут равны сумме строк (столбцов) матрицы, а также суммы отдельно выделенного столбика (строчки).

Пример 13. Дана матрица: А(4×4). Требуется найти сумму элементов в столбце с номером 3.

Решение. Для решения задачи требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение:

Пример 14. Дана матрица: А(4×4). Требуется получить вектора, элементы которого будут представлять суммы элементов в столбцах матрицы.

Решение. Для решения требуется подготовить вспомогательный вектор-строку из единичных элементов и выполнить умножение:

Работа с матрицами в MathCAD

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами.

Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD.

Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (+). Затем откройте панель операций с матрицами и нажмите кнопку «Создать матрицу или вектор» или выберите в меню Вставка (Insert) команду Матрицу (Matix). В окне диалога введите число строк и столбцов и заполните значениями поле ввода матрицы.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнять тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

За кнопками на панели инструментов Матрицы закреплены следующие функции:

· определение размеров матрицы

· X_n – ввод нижнего индекса

· X -1 – вычисление обратной матрицы

· |X| — вычисление определителя матрицы: ; вычисление длины вектора

· поэлементные операции с матрицами: если , то

· M <> – определение столбца матрицы: M < j>— j-й столбец матрицы

· M T – транспонирование матрицы:

· — вычисление скалярного произведения векторов:

· — вычисление векторного произведения двух векторов:

· — вычисление суммы компонент вектора: ;

· — определение диапазона изменения переменной

· визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, собраны в разделе Векторы и матрицы (Vector and Matrix); их можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

· matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i-ой строке, j-ом столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y);

· diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали хранятся в векторе v;

· identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

· augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);

· stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов);

· submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc (ir

Номер первой строки (столбца) матрицы или первой компоненты вектора хранится в MathCAD в переменной ORIGIN. По умолчанию в MathCAD координаты векторов, столбцы и строки матрицы нумеруются, начиная с 0 (ORIGIN:=0). Поскольку в математической записи чаще всего используется нумерация с 1, перед началом работы с матрицами будем определять значение переменной ORIGIN равным 1, т.е. будем, прежде всего, выполнять команду ORIGIN:=1.

Функции вычисления различных числовых характеристик матриц:

· last(v) – вычисление номера последней компоненты вектора V;

· length(v) – вычисление количества компонент вектора V;

· rows(A) – вычисление числа строк в матрице A;

· cols(A) – вычисление числа столбцов в матрице A;

· max(A) – вычисление наибольшего элемента в матрице A;

· min(A) – вычисление наименьшего элемента в матрице A;

· tr(A) – вычисление следа квадратной матрицы A (след матрицы равен сумме ее диагональных элементов);

· rank(A) – вычисление ранга матрицы A;

· norm1(A), norm2(a), norme(A), normi(A) – вычисление норм квадратной матрицы A.

Функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры:

· rref(A) – приведение матрицы к ступенчатому виду с единичным базисным минором (выполняются элементарные операции со стоками матрицы);

· eigenvals(A) – вычисление собственных значений квадратной матрицы A;

· eigenvecs(A) – вычисление собственных векторов квадратной матрицы A; значением функции является матрица, столбцы которой есть собственные векторы матрицы A, причем порядок следования векторов отвечает порядку следования собственных значений, вычисленных функцией eigenvals(A);

· eigenvec(A, l) – вычисление собственного вектора матрицы A, отвечающего собственному значению l;

· lsolve(A, b) – решение системы линейных алгебраических уравнений Ax=b.

Вычисления с использованием описанных функций выполняются стандартным для MathCAD способом. Чтобы обратиться к функции, введите с клавиатуры имя функции, перечислите в скобках ее аргументы, введите знак равенства и щелкните по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки. Результат вычислений (число, вектор, матрица) будет отображен в рабочем документе справа от знака равенства.

Если предполагается использовать результаты в дальнейших вычислениях, им следует присвоить имя. Для этого введите с клавиатуры имя переменной и знак присваивания, а справа от него – имя функции со списком аргументов в круглых скобках. Если теперь ввести с клавиатуры имя переменной, знак равенства и щелкнуть по свободному месту в рабочем документе вне выделяющей рамки, то результат вычислений будет отображен справа от знака равенства.

Имя функции можно вставить из списка: щелкните по месту вставки, затем по строке Функция (Function)меню Вставка (Insert), выберите в окне списка стрелками прокрутки нужную функцию и подтвердите выбор щелчком по кнопке OK в окне диалога.

Вычисления могут производиться в двух режимах – автоматическом и последовательном. В первом случае операция выполняется сразу после ввода команды и щелчка по рабочему документу вне выделяющей рамки, во втором – после команды Вычислить (Calculate). Режим вычислений устанавливается в меню Математика (Math). По умолчанию включен режим автоматических вычислений.

MathCAD читает и выполняет введенные выражения слева направо и сверху вниз, поэтому следите, чтобы выражение для вычисления располагалось правее и ниже определенных для него значений переменных.

Задание

1. Создать матрицу А заданной размерности n*m (матрицу заполнить самостоятельно).

2. Транспонировать матрицу А.

3. Вычленить из матрицы А i-ый и j-ый столбцы и найти их сумму и скалярное произведение.

4. Применить к каждому элементу матрицы А функцию z(x).

Указания

1. В начале работы переменной ORIGIN присвоить значение 1. Для выполнения операций над матрицей пользоваться панелью инструментов Матрицы, для вставки функций пользоваться меню Вставка – Функция или соответствующей кнопкой панели инструментов Стандартная.

2. Для выполнения 4 задания необходимо:

· Записать функцию z(x) в общем виде.

· Переменным i и j присвоить диапазоны значений: .

· Вычислить элементы новой матрицы Z как значения функции z(x), где в качестве переменной x подставляется элемент матрицы A: .

· Просмотреть полученную матрицу Z (набрать с клавиатуры Z=).

3. Для записи функции, заданной с условиями необходимо:

· Записать диапазон изменения аргументов x и y: (значения n и m должны быть описаны выше).

· Записать «f(x,y):=», затем на панели инструментов «Программирование» нажать кнопку «Add line». В поле ввода функции появится вертикальная черта с метками для ввода.

· В верхней метке набрать первое значение функции, а затем нажать кнопку «if», появится служебное слово if и метка для ввода условия. Для применения логической операции «И» для нескольких логических выражений ставится знак «*», а для операции «ИЛИ» – знак «+».

· В нижней метке набрать второе значение функции и нажать кнопку «otherwise» (иначе). Щелкнуть за пределами поля ввода функции для завершения записи.

4. Для исследования однородной системы уравнений необходимо вычислить определитель матрицы коэффициентов. Если определитель не равен 0, то система нетривиально совместна и имеет более одного решения (в том числе нулевые). Справедливо также утверждение: для того, чтобы однородная система была нетривиально совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных n. Таким образом, если |C|≠0 и rank(C)≤n, то система тривиально совместна и имеет только одно нулевое решение.

5. Для вставки текстовых комментариев выберите в меню Вставка пункт Текстовая область или нажмите сочетание клавиш +.

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

С этими понятиями Вы могли сталкиваться, работая в Excel – столбец чисел называется вектор-столбцом, строка – вектор-строкой. Блок объектов является матрицей. Вычисления в Excel, по сути, являются операциями с векторами и матрицами. В этом уроке мы познакомимся с аналогичными вычислениями в Mathcad, и мы поймем, почему в Mathcad их проводить проще.

Введение

В предыдущих уроках наши векторы начинались с элемента с номером «0». В этом уроке для простоты сделаем номер первого элемента равным «1». Это можно сделать с помощью вкладки Расчет –> Параметры документа –> ORIGIN:

mathcad_21_01

Это значение можно вывести прямо в документ, чтобы не забыть его и не запутаться:

mathcad_21_02

Теперь рассмотрим несколько матриц:

mathcad_21_03

Как видно, они могут включать в себя числа, символы и даже функции. Они также могут содержать текстовые элементы (строки).

Элемент матрицы можно вывести, используя подстрочные индексы:

mathcad_21_04

Матрицы выше являются квадратными 2х2, но у них может быть любой размер по строкам и столбцам:

mathcad_21_05

Запомните: первое число – номер строки (или их количество), второе – столбца.

Элементы, выделенные с помощью подстрочных индексов:

mathcad_21_06

Для вектор-столбца второй индекс можно опустить, но не для вектор-строки:

mathcad_21_07

Во вкладке Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Векторы и матрицы Вы найдете команды для выделения столбцов и строк:

mathcad_21_08

mathcad_21_09

Многие операции для векторов и матриц аналогичны операциям для обычных чисел, переменных и функций: сложение, вычитание, некоторые виды умножения. Поиск обратной матрицы близко к операции деления. Вы можете записать эти операторы, используя имена векторов и матриц. В качестве примера рассмотрим векторное произведение матрицы и вектора:

mathcad_21_10

Мы рассмотрим эту операцию подробнее позже. Однако стоит заметить, что она требует девять операций умножения и девять – сложения. Расписывать их утомительно и чревато ошибками – для больших матриц сделать это очень трудно.

Применение векторов очень широко. Вспомните пиксели на экране монитора – их могут быть миллионы. Они обрабатываются с помощью операций с матрицами.

В Mathcad

Для создания вектора или матрицы откройте вкладку Матрицы/таблицы. Когда курсор находится в пустой области щелкните по самой левой кнопке «Вставить матрицу». Появится сетка с маленькими квадратами:

mathcad_21_11

Перемести указатель на сетку, выберите желаемый размер матрицы, затем щелкните левой кнопкой мыши. Появится пустая матрица:

Матрице можно присвоить имя, щелкнув на левую скобку, нажав [:] для оператора присваивания и введя имя:

Вставку и удаление строк и столбцов легко осуществлять с помощью команд из меню «Операторы с векторами/матрицами» на вкладке Матрицы и таблицы:

mathcad_21_14

Операции с матрицами

Эффект от различных операций с матрицами и векторами будет проще понять, используя символы. Будем использовать две матрицы и два вектора:

mathcad_21_15

Оператор транспонирования находится на вкладке Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

mathcad_21_16

Щелкните по правой границе матрицы и примените оператор. Он работает как для символьных, так и для числовых матриц:

mathcad_21_17

Часто операции в векторами приходится совершать поэлементно. Для этого служит оператор векторизации. Операции в Excel зачастую являются поэлементными, они также важны и в Mathcad. Чтобы перемножить два вектора поэлементно, сначала введите простое умножение:

Затем выберите все выражение и примените векторизацию:

Вычислите, чтобы посмотреть результат: первый элемент умножается на первый, второй – на второй, и т.д.:

mathcad_21_20

Другие поэлементные операции:

mathcad_21_21

Поэлементные операции применимы только к массивам одного размера.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание выполняется поэлементно:

mathcad_21_22

Эта операция также применима лишь к массивам одного размера.

С помощью оператора суммирования можно найти сумму всех элементов вектора (не матрицы):

mathcad_21_23

Умножение на константу работает так:

mathcad_21_24

При скалярном умножении матриц происходит умножение строк на столбцы. При этом используется тот же символ, что и при обычном умножении. Эта операция допустима только для тех матриц, в которых число строк в первой матрице равно числе столбцов во второй. Для наших матриц 2х2:

mathcad_21_25

Заметьте, что последовательность множителей играет роль:

mathcad_21_26

Скалярное произведение не коммутативно, за исключением особых случаев:

mathcad_21_27

Скалярное произведение двух векторов дает результат с комплексно-сопряженными числами (с чертой сверху). Для действительных чисел на это можно не обращать внимания:

mathcad_21_28

Этот оператор применим только для двух вектор-столбцов, состоящих из трех элементов:

mathcad_21_29

Векторное произведение имеет широкое применение в механике, гидродинамике, электромагнетизме и в других областях.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц:

mathcad_21_30

Произведение матрицы и ее обратной матрицы является единичной матрицей:

mathcad_21_31

Произведение матрицы и единичной матрицы дает изначальную матрицу:

mathcad_21_32

mathcad_21_33

Определитель можно найти только для квадратной матрицы. Его значение может быть равно нулю, даже если все элементы матрицы не равны нулю. Обратная матрица содержит дроби, в знаменателе которых находится определитель:

mathcad_21_34

Если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует, а матрица является сингулярной. Вспомните деление на ноль в обычной алгебре. Mathcad сообщит, если матрица является сингулярной:

Похожие публикации:

Где купить активацию wechat
Где продать мили s7 telegram
Как mathcad сохранить в pdf
Что является разделителем целой и дробной части в системе mathcad

Как найти сумму элементов матрицы в mathcad

В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы «+» или «– » соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых (листинг 7.2).

Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом (нижняя строка листинга 7.2).

Листинг 7.2. Сложение, вычитание и смена знака матриц:

Кроме сложения матриц Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром (листинг 7.3). Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.

Листинг 7.3. Сложение матрицы со скалярной величиной:

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора или матрицы. Для этого существует вспомогательный оператор (листинг 7.4, первая и вторая строки соответственно), задаваемый кнопкой Vector Sum (Суммирование элементов вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 4. Этот оператор чаще оказывается полезным не в матричной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.

В том же листинге 7.4 (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:

Листинг 7.4. Суммирование элементов и вычисление следа матрицы:

Как найти сумму элементов матрицы в mathcad

БлогNot. MathCAD: cделай это по-разному.

MathCAD: cделай это по-разному.

Просто пара-тройка «весёлых картинок» с занятий по MathCAD, чтоб не выкидывать, версия — Prime II или III, или 15-я, какая попалась:

4 способа извлечь строку из матрицы

2 способа найти скалярное произведение векторов

2 способа узнать длину вектора

Перестановка местами максимального и минимального элемента матрицы. На самом деле, условие не совсем корректно. Если максимальный и минимальный элементы единственны или нужны только первые их вхождения (или последние, если поменять знаки «» на «≤», «≥»), то достаточно следующего «школьного» и однопроходного кода:

Перестановка местами максимального и минимального элемента матрицы (только одна)

Если же нужно все вхождения минимального элемента заменить на максимальный и наоборот, придётся делать 2 прохода по матрице, примерно так:

Перестановка местами максимального и минимального элемента матрицы (все вхождения)

Конечно, значения максимума и минимума можно было найти стандартными функциями max , min , но они всё равно бы делали такой же проход.

Тем не менее, обмен местами минимальных и максимальных значений легко было бы сделать и без программирования (приведён пример для вектора):

обмен местами минимальных и максимальных значений в векторе без написания подпрограммы-функции

То же самое — с определением номера максимального элемента вектора. Корректно было бы вернуть вектор, состоящий из всех номеров максимальных элементов, на случай, если их несколько:

В матрице найти номера строк, суммы элементов которых максимальны, учесть, что строк может быть больше одной:

Mathcad, номера строк, суммы элементов которых максимальны

Решаем символьно квадратное уравнение и сразу же упрощаем вид полученных mathcad формул:

Решаем символьно квадратное уравнение

Сумма элементов вектора и след матрицы

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этого существует вспомогательный оператор (листинг 9.13, первая строка), задаваемый кнопкой Vector Sum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш +. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.

На том же листинге 9.13 (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:

tr (A) — след квадратной матрицы А.

Листинг 9.13. Суммирование элементов вектора и диагонали матрицы

Когда тот или иной физик использует понятие «физический вакуум», он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование «моря» двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме — положительной и отрицательной, а также «моря» компенсирующих друг друга частиц — виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом — присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Сумма элементов строки матрицы

Вычисление суммы ряда

2. Ознакомиться со способом решения вычисления суммы ряда.

1. Изучить оператор суммы.

2. Вычислить в MathCAD суммы ряда.

Возвращает сумму всех элементов вектора v.

Возвращает сумму по i выражения X.

Возвращает сумму выражения X для всех j от m до n.

i — имя переменной-диапазона.

j — имя локальной переменной-диапазона.

X — выражение, которое обычно содержит i или j и принимает действительное значение.

m, n — вещественные числа. n > m.

В зависимости от типа суммирования, которое требуется произвести, заполните или оставьте незаполненными нижний и верхний местозаполнители оператора суммы.

При определении переменной-диапазона внутри оператора суммы введите знак равенства после имени локальной переменной-диапазона или вставьте локальный оператор диапазона с помощью ленты.

Решение данного задания на вычисление суммы ряда проиллюстрировано на рис.3

Вычисление суммы ряда

Рис. 3. Вычисление суммы ряда.

Работа с матрицами

1. Научиться производить вычислительные действия с матрицами в MathCAD.

2. Ознакомиться со способом работы с матрицами.

1. Изучить матричный оператор.

2. Провести транспонирование и обращение произвольной матрицы, найти ее определитель в MathCAD.

Векторы и матрицы часто называют общим термином «массивы». Вектор представляет собой массив из одной строки и n столбцов (вектор-строка) или из одного столбца и n строк (вектор-столбец), а матрица — это массив из m строк и n столбцов.

В отличие от обычных переменных, содержащих одно значение, массивы содержат множество значений.

Создание вектора или матрицы с пустым местозаполнителем.

Матрица создается с помощью диалогового окна «Вставить матрицу», которое открывают командой Вставка > Матрица (Insert > Matrix) или первой кнопкой на панели «Матрица». Вектор задается как матрица, имеющая один столбец. В диалоговом окне задается число строк и столбцов, а после вставки на рабочий лист матрица содержит вместо элементов заполнители, вместо которых следует вставить число, переменную или выражение.

В пункте Матрица объединены символьные вычисления с матрицами:

1. Transpose (Транспонирование)

2. Invert (Обращение) — вычисление обратной матрицы

3. Determinant (Определитель) — вычисление определителя квадратной матрицы.

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности m*n в матрицу размерности n*m, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами.

Вычисление транспонированной матрицы осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Transpose. Обратная матрица. Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная. Поиск обратной матрицы осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Invert. Определитель квадратной матрицы — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы. Вычисление определителя осуществляется с помощью символьных вычислений Matrix>Determinant.

Решение данного задания — транспонирование, обращение матрицы и нахождение ее определителя проиллюстрировано на рис.4.

Работа с матрицами в MathCAD

Рассмотрим простейшие операции матричной алгебры, реализованные в MathCAD в виде операторов, причем следует отметить, что их запись максимально приближена к математической форме записи. Наиболее часто используемые операции расположены на панели инструментов Матрица (Matrix) (рис. 13), остальные можно найти используя меню Вставка → Функция… категории функций Vector and Matrix.

Рис. 6.13. Панели инструментов Матрица и Логика

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности M×N в матрицу размерности N×M, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Матрица(Matrix) или нажатием клавиш +. Не забывайте, что для вставки символа транспонирования матица должна находиться между линиями ввода.

Сложение и вычитание. В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы «+» или «-», соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того, чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом.

При умножении следует помнить, что матрицу размерности M×N допустимо умножать только на матрицу размерности N×P (P может быть любым). В результате получается матрица размерности M×P.

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой или воспользоваться панелью инструментов Матрица (Matrix), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции:

· rows (A) — число строк;

· cols (A) — число столбцов;

· length(v) — число элементов вектора;

· last (v) — индекс последнего элемента вектора,

где A — матрица или вектор; v — вектор.

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно , где — угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом , который можно ввести нажатием кнопки Cross Product(Векторное произведение) в панели Матрица(Matrix) или сочетанием клавиш +.

Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Матрица(Matrix) или набрать на клавиатуре |> (нажав клавиши +).

Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k, для которого существует не равный нулю определитель k-го порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для определения ранга матрицы в MathCAD используется функция rank(A), где А — матрица, ранг которой требуется найти.

Как известно, поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Инверсия (Inverse) на панели инструментов Матрица(Matrix).

В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. MathCAD имеет четыре встроенных функции для расчета разных норм квадратных матриц:

· norm1(A) — норма в пространстве L1;

· norm2 (А) — норма в пространстве L2;

· norme (A) — евклидова норма (euclidean norm);

· normi (A) — max-норма, или -норма (infinity norm):

где A — квадратная матрица.

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

· sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания;

· reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;

· csort(A, i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-столбца в порядке возрастания;

· rsort(A,i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементе i-й строки в порядке возрастания, где v — вектор; А — матрица; i — индекс строки или столбца.

Примеры работы рассмотренных выше операторов представлены на рис. 6.14.

Рис. 6.14. Работа с матрицами в MathCAD

Для задания логических функций в MathCAD имеется панель инструментов Логические (Boolean) рис. 6.13. На ней расположены кнопки, отражающие отношения (=, >, конъюнкция , дизъюнкция , отрицание и исключающее или (XOR) . Как известно, все логические функции можно выразить через три основные: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, что и отражено в листинге MathCAD-программы на рис. 6.15. Также в MathCAD можно производить интерпретацию и сложных логических функций (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Логические функции в MathCAD

Вопросы и задания для самопроверки

1. Для решения каких задач предназначена программа MathCAD?

2. Какие панели инструментов имеются в MathCAD? Поясните их назначение.

3. Перечислите символьные операции преобразования.

4. Каким образом можно вычислить предел, сумму, производную, интеграл в MathCAD?

5. Какие функции для решения одного уравнения в MathCAD Вы знаете? В чем их отличие?

6. Опишите порядок решения задачи Коши для ОДУ в среде MathCAD.

Читать:

Забыли начислить амортизацию как исправить 1с

7. Какие операции с матрицами Вам известны. Как их реализовать в MathCAD?

8. Какие логические операции предусмотрены в MathCAD?

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Похожие публикации:

Где находятся стили в фотошопе
Как в дискорде отключить отображение игр
Как в фотошопе осветлить фон
Что такое битовая глубина в фотошопе

Как суммировать элементы матрицы в mathcad

Суммировать элементы первого столбца или всей матрицы

Суммировать элементы массива, расположенные до первого четного числа. Суммировать все нечетные элементы и
1. Нужно вычислить сумму массива до первого четного с помощью формул Excel Не удается.

Суммировать элементы столбца матрицы
#include <iostream>; #include<locale> using namespace std; int mas1.

Вычесть из элементов первого столбца матрицы элементы последнего столбца, предварительно умноженных на 2
на C дана матрица размерности N на M. Вычесть из элементов первого столбца элементы последнего.

Суммировать элементы матрицы, возвеси в квадрат каждое число и снова суммировать
Всем привет! Предположим, есть некий массив 10 на 10, ну то есть 100 чисел. Эти числа такие.

Mathcad элемент матрицы

Массив — имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы), двумерные (матрицы).

Все встроенные средства пакета MathCAD, предназначенные для работы с матрицами собраны на Панели векторов и матриц (vector and matrix toolbar). Задавать матрицу можно либо вставив с панели матриц шаблон нужного размера и заполнив его числами, либо присваивая каждому элементу матрицы его значение (обычно это производится в цикле). Если элемент массива (матрицы) имеет несколько индексов (порядковый номер элемента), то они указываются через запятую. Для элементов матрицы первым идёт номер строки, вторым — номер столбца. Индексация массивов по умолчанию начинается с нуля, однако есть возможность управлять этим процессом. Номер первого элемента хранится в предопределённой переменной ORIGIN, значение которой можно менять. Встретив присвоение ORIGIN:=k, MathCAD будет все встречающиеся ниже массивы нумеровать, начиная с номера k. Любое обращение к элементу с меньшим номером будет вызывать сообщение об ошибке.

Для ввода матрицы (или вектора) требуется проделать следующую последовательность операций:

Задаём имя матрицы и вводим знак присваивания. Например, для задания матрицы А пишем А:. Получаем А:=;

С помощью команды Insert -> Matrix…, или комбинации клавиш Ctrl + M, или щелчком на кнопке панели Матрица, заполнив массив пустых полей для не слишком больших массивов.

Также векторы и матрицы можно задавать с использованием дискретного аргумента, когда имеется некоторая явная зависимость для вычисления элементов через их индексы.

Формирование вектора осуществляется аналогично.

Следует отметить второй вариант формирования матриц и векторов без обращения к окну работы с матрицами, а через переменные с индексами, например, Ai,j, Bi. Индекс к имени переменной припечатывается нажатием либо на кнопку Xn на панели математических инструментов, либо на клавишу [(открывающаяся квадратная скобка).

Операции с матрицами и векторами осуществляются по тем же правилам, что и для арифметических выражений.

ORIGIN:=1 определяем номер первого элемента

формируем матрицу А

формируем матрицу В

решаем матричное уравнение АХ=В

|A|=-2 находим определитель

ORIGIN:=0 определяем номер первого элемента

А0,0:=1 А0,1=1 формируем матрицу А

В0:=138 В1=540 формируем матрицу В

X:=lsole(A,B) решаем матричное уравнение АХ=В

Х0=63 Х1=75 вывод решения

Вычисления с векторами и матрицами.

Векторные матричные операторы.

Для работы с векторами и матрицами система MathCAD содержит ряд операторов и функций. Введём следующие обозначения: для векторов — V, для матриц — M, и для скалярных величин — Z.

Сложение двух векторов V1 и V2

Вычитание двух векторов V1и V2

Смена знака у элементов вектора V

Смена знака у элементов матрицы M

Вычитание из вектора V скаляра Z

Умножение вектора V на скаляр Z

Умножение двух векторов V1 и V2

Умножение матрицы M на вектор V

Умножение двух матриц M1 и M2

Деление вектора V на скаляр Z

Деление матрицы M на скаляр Z

Обращение матрицы M

Возведение матрицы M в степень n

Вычисление квадратного корня из мV

Вычисление определителя матрицы M

Транспонирование вектора V

Транспонирование матрицы M

Кросс — умножение двух векторов V1 и V2

Получение комплексно — сопряженного вектора

Получение комплексно — сопряженной матрицы

Вычисление суммы элементов вектора V

Векторизация вектора V

Векторизация матрицы M

Выделение n-го столбца матрицы M

Выделение n-го элемента вектора V

Выделение элемента (m, n) матрицы M

Под понятием “векторизация” подразумевается одновременное проведение математических операций в их скалярном значении над всеми элементами вектора или матрицы, помеченными векторизации. Это можно понимать и как возможность параллельных вычислений.

Если А и В — векторы, то А*В даёт скалярное произведение этих векторов. Но то же произведение под знаком векторизации создает новый вектор, каждый j-й элемент которого есть произведение j -х элементов векторов А и В. Векторизация позволяет использовать скалярные операторы и функции с массивами.

Векторные и матричные функции.

Существует также ряд встроенных векторных и матричных функций:

возвращает длину вектора

возвращает индекс последнего элемента

возвращает максимальный по значению элемент

возвращает минимальный по значению элемент

возвращает вектор действительных частей вектора с комплексными элементами

возвращает вектор мнимых частей вектора с комплексными элементами

полностью асимметричный тензор размерности три. i, j, k должны быть целыми числами от 0 до 2 (или между >ORIGIN и ORIGIN+2, если ORIGIN?0). Результат равен 0, если любые два аргумента равны, 1 — если три аргумента являются чётной перестановкой (0, 1, 2), и минус 1, если три аргумента являются перестановкой (0, 1, 2), кратной 2 и некратной 4

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций. Они перечислены ниже:

Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк (объединение идёт “бок о бок”)

Создаёт единичную квадратную матрицу размером n*n

Объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число столбцов, располагая М1 над М2

Возвращает субматрицу, состоящую из всех элементов, содержащихся в строках от ir по jr и столбцов с ic по jc (irJjr и icJjc)

Создаёт диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой — вектор V

Матрицу, в которой (i,j)-й элемент содержит f(i,j), где i= 0, 1, …m и j=0, 1, …n

Возвращает матрицу действительных частей матрицы М с комплексными элементами

Возвращает матрицу мнимых частей матрицы М с комплексными элементами

Функции, возвращающие специальные характеристики матриц.

Специальные характеристики матриц возвращаются следующими функциями:

возвращает число столбцов матрицы М

возвращает число строк матрицы М

возвращает ранг матрицы М

возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М

возвращает среднее значение элементов массива М

возвращает медиану элементов массива М

возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L1

возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме L2

Возвращает число обусловленности матрицы, вычисленное в норме евклидова пространства

Возвращает число обусловленности матрицы, основанное на равномерной норме

Возвращает L1, норму матрицы М

Возвращает L2, норму матрицы М

Возвращает евклидову норму матрицы М

Возвращает неопределённую норму матрицы М

Дополнительные матричные функции.

В профессиональные версии MathCAD включён ряд дополнительных матричных функций:

возвращает вектор, содержащий собственные значения матрицы М

для указанной матрицы М и заданного собственного значения Z возвращает принадлежащий этому собственному значению вектор

возвращает матрицу, столбцами которой являются собственные векторы матрицы М (порядок расположения собственных векторов соответствует порядку собственных значений, возвращаемых функцией eigenvals)

возвращает вектор обобщенных собственных значений v, соответствующий решению уравнения M ? x = vi — N — x (матрицы М и N должны быть вещественными)

возвращает матрицу, столбцы которой содержат нормированные обобщенные собственные векторы

выполняет треугольное разложение матрицы М: P ? M = L ? U, L и U — соответственно нижняя и верхняя треугольные матрицы. Все четыре матрицы квадратные, одного порядка

дает разложение матрицы A, A=Q ? R, где Q — ортогональная матрица и > — верхняя треугольная матрица

дает сингулярное разложение матрицы А размером n?m: A=U ? S ·VT где и — ортогональные матрицы размером m·m и n·n соответственно, S — диагональная матрица, на диагонали которой расположены сингулярные числа матрицы А

возвращает вектор, содержащий сингулярные числа матрицы А размером m·n, где mі n

возвращает матрицу левую обратную к матрице А. L·A=E, где E — единичная матрица размером n·n, L — прямоугольная матрица размером n·m, A — прямоугольная матрица размером m·n

Функции сортировки для векторов и матриц.

Начиная с третьей версии, в системе MathCAD появились некоторые дополнительные функции сортировки — перестановки элементов векторов и матриц.

Практическая работа № 3

В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами.

Предварительно матрицу нужно определить и ввести в рабочий документ MathCAD.

Для того чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания ( + ). Затем откройте панель операций с матрицами и нажмите кнопку «Создать матрицу или вектор» или выберите в меню Вставка (Insert) команду Матрицу (Matix) . В окне диалога введите число строк и столбцов и заполните значениями поле ввода матрицы.

Большинство вычислений с матрицами, как и другие вычисления в MathCAD, можно выполнять тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

За кнопками на панели инструментов Матрицы закреплены следующие функции:

· определение размеров матрицы

· X n – ввод нижнего индекса

· X -1 – вычисление обратной матрицы

· |X| — вычисление определителя матрицы: ; вычисление длины вектора

· поэлементные операции с матрицами: если , то

· M <> – определение столбца матрицы: M — j-й столбец матрицы

· M T – транспонирование матрицы:

· — вычисление скалярного произведения векторов:

· — вычисление векторного произведения двух векторов:

· — вычисление суммы компонент вектора: ;

· — определение диапазона изменения переменной

· визуализация цифровой информации, сохраненной в матрице.

Для того, чтобы выполнить какую-либо операцию с помощью панели инструментов, нужно выделить матрицу и щелкнуть в панели по кнопке операции либо щелкнуть по кнопке в панели и ввести в помеченной позиции имя матрицы.

Функции, предназначенные для решения задач линейной алгебры, собраны в разделе Векторы и матрицы (Vector and Matrix) ; их можно разделить на три группы: функции определения матриц и операции с блоками матриц, функции вычисления различных числовых характеристик матриц и функции, реализующие численные алгоритмы решения задач линейной алгебры.

Функции определения матриц и операции с блоками матриц:

· matrix(m, n, f) – создает и заполняет матрицу размерности m x n, элемент которой, расположенный в i-ой строке, j-ом столбце, равен значению f(i,j) функции f(x,y);

· diag(v) – создает диагональную матрицу, элементы главной диагонали хранятся в векторе v;

· identity(n) – создает единичную матрицу порядка n;

· augment(A, B) – формирует матрицу, в первых столбцах которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число строк);

· stack(A, B) – формирует матрицу, в первых строках которой содержится матрица A, а в последних – матрица B (матрицы A и B должны иметь одинаковое число столбцов);

· submatrix(A, ir, jr, ic, jc) – формирует матрицу, которая является блоком матрицы A, расположенным в строках с ir по jr и в столбцах с ic по jc (ir + .

Варианты заданий.

Размерность матрицы А 3*4.

Размерность матрицы А 5*3.

Размерность матрицы А 4*4.

Размерность матрицы А 7*4.

Размерность матрицы А 7*8.

Размерность матрицы А 7*7.

Размерность матрицы А 7*8.

Размерность матрицы А 7*5.

Размерность матрицы А 5*7.

Размерность матрицы А 5*4.

Рассмотрим простейшие операции матричной алгебры, реализованные в MathCAD в виде операторов, причем следует отметить, что их запись максимально приближена к математической форме записи. Наиболее часто используемые операции расположены на панели инструментов Матрица (Matrix) (рис. 14), остальные можно найти используя меню Вставка → Функция … категории функций Vector and Matrix .

Рис. 14. Панели инструментов Матрица и Логика

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размерности M ×N в матрицу размерности N ×M , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Матрица (Matrix) или нажатием клавиш + . Не забывайте, что для вставки символа транспонирования матица должна находиться между линиями ввода.

Сложение и вычитание . В MathCAD можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операторов применяются стандартные символы «+» или «-», соответственно. Матрицы должны иметь одинаковую размерность, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых. Результат унарной операции смены знака матрицы эквивалентен смене знака всех ее элементов. Для того, чтобы изменить знак матрицы, достаточно ввести перед ней знак минуса, как перед обычным числом.

При умножении следует помнить, что матрицу размерности M ×N допустимо умножать только на матрицу размерности N ×P (P может быть любым). В результате получается матрица размерности M ×P .

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу со звездочкой или воспользоваться панелью инструментов Матрица (Matrix), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.

Для получения сведений о характеристиках матриц или векторов предусмотрены следующие встроенные функции:

· rows (A) — число строк;

· cols (A) — число столбцов;

· length(v) — число элементов вектора;

· last (v) — индекс последнего элемента вектора,

где A — матрица или вектор; v — вектор.

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно , где — угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v . Обозначают векторное произведение символом , который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Матрица (Matrix) или сочетанием клавиш + .

Определитель матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Матрица (Matrix) или набрать на клавиатуре (нажав клавиши + ).

Рангом (rank) матрицы называют наибольшее натуральное число k , для которого существует не равный нулю определитель k -го порядка подматрицы, составленной из любого пересечения k столбцов и k строк матрицы. Для определения ранга матрицы в MathCAD используется функция rank(A) , где А — матрица, ранг которой требуется найти.

Как известно, поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю. Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Инверсия (Inverse) на панели инструментов Матрица (Matrix).

В линейной алгебре используются различные векторные и матричные нормы (norm), которые ставят в соответствие матрице некоторую скалярную числовую характеристику. Норма матрицы отражает порядок величины матричных элементов. В разных специфических задачах линейной алгебры применяются различные виды норм. MathCAD имеет четыре встроенных функции для расчета разных норм квадратных матриц:

· norm1(A) — норма в пространстве L1;

· norm2 (А) — норма в пространстве L2;

· norme (A) — евклидова норма (euclidean norm);

· normi (A) — max-норма, или -норма (infinity norm):

где A — квадратная матрица.

Часто бывает нужно переставить элементы матрицы или вектора, расположив их в определенной строке или столбце в порядке возрастания или убывания. Для этого имеются несколько встроенных функций, которые позволяют гибко управлять сортировкой матриц:

· sort(v) — сортировка элементов вектора в порядке возрастания;

· reverse (v) — перестановка элементов вектора в обратном порядке;

· csort(A, i) — сортировка строк матрицы выстраиванием элементов i-столбца в порядке возрастания;

· rsort(A,i) — сортировка столбцов матрицы выстраиванием элементе i-й строки в порядке возрастания, где v — вектор; А — матрица; i — индекс строки или столбца.

Примеры работы рассмотренных выше операторов представлены на рис. 15.

Для задания логических функций в MathCAD имеется панель инструментов Логические (Boolean) рис. 6.13. На ней расположены кнопки, отражающие отношения (=, >, MathCAD .

3.1. Ввести заданные в столбце 1 матрицы (п.4.3.2).

3.2. Транспонировать заданные матрицы (матрицы из столбцов 1 и 2) (п.9.1.1)

3.3. Найти линейную комбинацию матриц (столбец 1) (п.9.1.2, 9.1.3)

3.4. Найти произведение каждой матрицы на транспонированную и транспонированной матрицы на саму матрицу (матрицы из столбцов 1 и 2). (п.9.1.2)

3.6. Решить систему линейных уравнений по вашему варианту (см. лабораторную работу 7 (решение систем уравнений, первый столбец таблицы)) матричным способом, и проверить, используя матрицы, правильность решения (см. приложение к этой лабораторной работе). Рассчитать модуль вектора правых частей и скалярное произведение этого вектора на самого себя.

3)

3.1. Ввести заданные в столбце 1 матрицы.

Для вычисления этого примера нужно на панели инструментов вызвать калькулятор, а так же нужно вызвать Панель инструментов «Вектор и матрица» и выбрать нужные значения:

Для начала нужно присвоить значение А и В: «А:=», «В:=» , а для того, чтобы задать матрицу, нужно кликнуть мышкой по

И после этого появится окошко, в котором нужно ввести количество строк и столбцов

После нажимаем ОК и появится

в которую вбиваем значения и получим результат:

3.2. ТРАНСПОНИРОВАТЬ ЗАДАННЫЕ МАТРИЦЫ

Чтобы транспонировать матрицы, необходимо вызвать на панели инструментов «Матрица» и выбрать.

И результат получится:

3.3. НАЙТИ ЛИНЕЙНУЮ КОМБИНАЦИЮ МАТРИЦ

Чтобы найти линейную комбинацию, нужно аналогичным же образом вбивать значения, представленные выше в пунктах и в результате получим:

3.4. НАЙТИ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КАЖДОЙ МАТРИЦЫ НА ТРАНСПОНИРОВАННУЮ И ТРАНСПОНИРОВАННОЙ МАТРИЦЫ НА САМУ МАТРИЦУ.

Чтобы найти линейную комбинацию, нужно аналогичным образом вбивать значения, представленные выше в пунктах и в результате получится:

А для того, чтобы найти значение функции f (x )=2* -3* +5

нужно присвоить А «А:=» значения , затем присвоить х значение А «х:=А» .

А функцию f (x )=2* -3* +5

нужно записать в виде:

И в результате получится:

Чтобы найти значение определителя, нужно кликнуть мышкой по символу

и на экране выходит:

После этого нам нужно кликнуть мышкой по символу:

И в экране появится:

Также вбиваем значения и в результате получим:

3.6. РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО ВАШЕМУ ВАРИАНТУ (СМ. ЛАБОРАТОРНУЮ РАБОТУ 7 (РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ, ПЕРВЫЙ СТОЛБЕЦ ТАБЛИЦЫ)) МАТРИЧНЫМ СПОСОБОМ, И ПРОВЕРИТЬ, ИСПОЛЬЗУЯ МАТРИЦЫ, ПРАВИЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ (СМ. ПРИЛОЖЕНИЕ К ЭТОЙ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ). РАССЧИТАТЬ МОДУЛЬ ВЕКТОРА ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ И СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЭТОГО ВЕКТОРА НА САМОГО СЕБЯ.

Эту систему можно решить тремя способами:

Матричная форма записи.

Методом Крамера.

Методом Гаусса.

Матричная форма записи

В данной системе уравнений даны три неизвестные и стоящие перед ними коэффициенты. И эти коэффициенты нужно записать в виде:

А значения этих трех неизвестных:

Для того, чтобы найти значения трех неизвестных, нужно воспользоваться формулой: x :=

Чтобы достовериться правильно ли значения подсчитали, воспользуемся формулой:

Так же чтобы удостовериться, что нашли те же значения правильно, сделаем проверку, подставляя значения в формулу:

и программа должна вывести одно и тоже значение

Результат работы программы:

Чтобы решить систему уравнений методом Крамера, нужно вычислить их определители, заменяя столбцы:

После этого нужно найти отношение каждых этих определителей на определитель начальной матрицы. Этими действиями мы найдем значение неизвестных системы уравнений.

И в результате получим:

Для того, чтобы решить систему методом Гаусса, нужно сперва ввести матрицу системы и матрицу — столбец правых частей.

После этого нужно сформировать расширенную матрицу системы.

Для того, чтобы сформировать расширенную матрицу системы, нужно использовать функцию augment (A , b ), которая формирует матрицу, добавляя к столбцам матрицы системы A справа столбец правых частей b (в приведенном документе расширенной матрице системы присвоено имя Ar ). Функция rref (Ar ) выполняет элементарные операции со строками расширенной матрицы системы Ar -приводит ее к ступенчатому виду с единичной матрицей в первых столбцах, т.е. выполняет прямой и обратный ходы гауссова исключения, Ag имя результата (ступенчатой формы матрицы Ar ). Функция submatrix (Ag ,0,2,3,3), выделяя последний столбец матрицы Ag , формирует столбец решения системы. Проверка (вычисление A позволяет убедиться в правильности решения. Результат работы в программе:

Выполняя данную работу, мы научились вычислять матрицы, изучили панель операций с матрицами и векторами, научились вводить матрицы с разными размерами, вычисляли транспонированную матрицу. Так же научились вычислять определители матриц и проверили правильность решения матриц.

Кроме того, мы научились решать разными методами системы линейных алгебраических уравнений. Мы решили их с помощью матричной формы записи, методом Крамера и Гаусса, которые проверили на правильность решения.

Суммирование элементов MatLab

Определены следующие функции суммирования элементов массивов:

sum(A) — возвращает сумму элементов массива, если А — вектор, или вектор-строку, содержащую сумму элементов каждого столбца, если А — матрица;

sum(A.dim) — возвращает сумму элементов массива по столбцам (dim-1), строкам (dim=2) или иным размерностям в зависимости от значения скаляра dim.

cumsum(A) — выполняет суммирование с накоплением. Если А — вектор, cumsum(A) возвращает вектор, содержащий результаты суммирования с накоплением элементов вектора А. Если А — матрица, cumsum(A) возвращает матрицу того же размера, что и А, содержащую суммирование с накоплением для каждого столбца матрицы А;

Mathcad скалярное произведение – Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11 › Матричные вычисления › Векторное произведение. Сумма элементов вектора и след матрицы. [страница — 137] | Самоучители по математическим пакетам

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 12 › Линейная алгебра › Скалярное произведение. Векторное произведение. [страница — 131] | Самоучители по математическим пакетам

Скалярное произведение. Векторное произведение.

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно uv=|u||v|cos0, где 0 – угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение (листинг 7.9).

Внимание!
Для обозначения скалярного произведения пользователю позволяется выбирать представление оператора умножения при помощи контекстного меню (подобно умножению скалярных величин). Однако никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х, который является общеупотребительным символом векторного произведения (см. разд. 7.2.3).

Листинг 7.9. Скалярное произведение векторов:

С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения. Примеры такого умножения приведены в листинге 7.10.

Листинг 7.10. Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор:

Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом 9 между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 8. Пример приведен в листинге 7.11.

Листинг 7.11. Векторное произведение двух векторов:

Урок 21. Векторы и матрицы в Mathcad

С этими понятиями Вы могли сталкиваться, работая в Excel – столбец чисел называется вектор-столбцом, строка – вектор-строкой. Блок объектов является матрицей. Вычисления в Excel, по сути, являются операциями с векторами и матрицами. В этом уроке мы познакомимся с аналогичными вычислениями в Mathcad, и мы поймем, почему в Mathcad их проводить проще.

Введение

В предыдущих уроках наши векторы начинались с элемента с номером «0». В этом уроке для простоты сделаем номер первого элемента равным «1». Это можно сделать с помощью вкладки Расчет –> Параметры документа –> ORIGIN:

Это значение можно вывести прямо в документ, чтобы не забыть его и не запутаться:

Теперь рассмотрим несколько матриц:

Как видно, они могут включать в себя числа, символы и даже функции. Они также могут содержать текстовые элементы (строки).

Элемент матрицы можно вывести, используя подстрочные индексы:

Матрицы выше являются квадратными 2х2, но у них может быть любой размер по строкам и столбцам:

Запомните: первое число – номер строки (или их количество), второе – столбца.

Элементы, выделенные с помощью подстрочных индексов:

Для вектор-столбца второй индекс можно опустить, но не для вектор-строки:

Во вкладке Математика –> Операторы и символы –> Операторы –> Векторы и матрицы Вы найдете команды для выделения столбцов и строк:

Многие операции для векторов и матриц аналогичны операциям для обычных чисел, переменных и функций: сложение, вычитание, некоторые виды умножения. Поиск обратной матрицы близко к операции деления. Вы можете записать эти операторы, используя имена векторов и матриц. В качестве примера рассмотрим векторное произведение матрицы и вектора:

Мы рассмотрим эту операцию подробнее позже. Однако стоит заметить, что она требует девять операций умножения и девять – сложения. Расписывать их утомительно и чревато ошибками – для больших матриц сделать это очень трудно.

Применение векторов очень широко. Вспомните пиксели на экране монитора – их могут быть миллионы. Они обрабатываются с помощью операций с матрицами.

В Mathcad

Для создания вектора или матрицы откройте вкладку Матрицы/таблицы. Когда курсор находится в пустой области щелкните по самой левой кнопке «Вставить матрицу». Появится сетка с маленькими квадратами:

Перемести указатель на сетку, выберите желаемый размер матрицы, затем щелкните левой кнопкой мыши. Появится пустая матрица:

Матрице можно присвоить имя, щелкнув на левую скобку, нажав [:] для оператора присваивания и введя имя:

Вставку и удаление строк и столбцов легко осуществлять с помощью команд из меню «Операторы с векторами/матрицами» на вкладке Матрицы и таблицы:

Операции с матрицами

Эффект от различных операций с матрицами и векторами будет проще понять, используя символы. Будем использовать две матрицы и два вектора:

Оператор транспонирования находится на вкладке Математика –> Операторы –> Векторы и матрицы:

Щелкните по правой границе матрицы и примените оператор. Он работает как для символьных, так и для числовых матриц:

Часто операции в векторами приходится совершать поэлементно. Для этого служит оператор векторизации. Операции в Excel зачастую являются поэлементными, они также важны и в Mathcad. Чтобы перемножить два вектора поэлементно, сначала введите простое умножение:

Затем выберите все выражение и примените векторизацию:

Вычислите, чтобы посмотреть результат: первый элемент умножается на первый, второй – на второй, и т.д.:

Другие поэлементные операции:

Поэлементные операции применимы только к массивам одного размера.

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание выполняется поэлементно:

Эта операция также применима лишь к массивам одного размера.

С помощью оператора суммирования можно найти сумму всех элементов вектора (не матрицы):

Умножение на константу работает так:

При скалярном умножении матриц происходит умножение строк на столбцы. При этом используется тот же символ, что и при обычном умножении. Эта операция допустима только для тех матриц, в которых число строк в первой матрице равно числе столбцов во второй. Для наших матриц 2х2:

Заметьте, что последовательность множителей играет роль:

Скалярное произведение не коммутативно, за исключением особых случаев:

Скалярное произведение двух векторов дает результат с комплексно-сопряженными числами (с чертой сверху). Для действительных чисел на это можно не обращать внимания:

Этот оператор применим только для двух вектор-столбцов, состоящих из трех элементов:

Векторное произведение имеет широкое применение в механике, гидродинамике, электромагнетизме и в других областях.

Обратная матрица определяется только для квадратных матриц:

Произведение матрицы и ее обратной матрицы является единичной матрицей:

Произведение матрицы и единичной матрицы дает изначальную матрицу:

Определитель можно найти только для квадратной матрицы. Его значение может быть равно нулю, даже если все элементы матрицы не равны нулю. Обратная матрица содержит дроби, в знаменателе которых находится определитель:

Если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует, а матрица является сингулярной. Вспомните деление на ноль в обычной алгебре. Mathcad сообщит, если матрица является сингулярной:

Для скаляра определитель равен его модулю:

Для вектора команда Определитель вычисляет длину вектора:

Резюме

В этом уроке мы рассмотрели векторы и матрицы (массивы).

Элементы массива можно вывести с помощью подстрочного индекса – один индекс для вектор-столбца, два – для других массивов. Первое индекс – для строк, второй – для столбцов.

Есть специальные команды для извлечения отдельных строк и столбцов.

Векторы и матрицы создаются и редактируются с помощью команд со вкладки Матрицы/таблицы.

Операции над векторами и матрицами, которые мы рассмотрели:

Транспонирование.

Поэлементные операции.

Сложение и вычитание.

Скалярное произведение.

Векторное произведение.

Поиск обратной матрицы.

Поиск определителя.

Другие интересные материалы

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11 › Матричные вычисления › Векторное произведение. Сумма элементов вектора и след матрицы. [страница — 137] | Самоучители по математическим пакетам

Векторное произведение. Сумма элементов вектора и след матрицы.

Векторное произведение (cross product) двух векторов u и v с углом Q между ними равно вектору с модулем |u||v|sinQ, направленным перпендикулярно плоскости векторов и и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 8. Пример приведен в листинге 9.12.

Листинг 9.12. Векторное произведение:

Сумма элементов вектора и след матрицы

Иногда бывает нужно вычислить сумму всех элементов вектора. Для этого существует вспомогательный оператор (листинг 9.13, первая строка), задаваемый кнопкой Vector Sum (Сумма вектора) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш CTRL + 4. Этот оператор чаще оказывается полезным не в векторной алгебре, а при организации циклов с индексированными переменными.

На том же листинге 9.13 (снизу) показано применение операции суммирования диагональных элементов квадратной матрицы. Эту сумму называют следом (trace) матрицы. Данная операция организована в виде встроенной функции tr:

tr (A) – след квадратной матрицы А.

Листинг 9.13. Суммирование элементов вектора и диагонали матрицы:

Векторная алгебра

Векторы являются частным случаем матриц размерности Nх1, поэтому для них справедливы все те операции, что и для матриц, если ограничения особо не оговорены. Вместе с тем для векторов в линейной алгебре предусмотрен целый ряд специфических операций, и все они реализованы в системе Mathcad.

Непосредственное проведение многих векторных операций над матрицами-строками, т. е. матрицами 1xN, невозможно; для того, чтобы превратить строку в вектор, ее нужно предварительно транспонировать.

Модуль вектора (vector magnitude)по определению равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов.

Не путайте модуль вектора и определитель матрицы, который обозначается тем же символом. Это характерный пример оператора, действующего по-разному на векторы и квадратные матрицы.

Скалярное произведение векторов(vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковую размерность, скалярное произведение имеет ту же размерность. Скалярное произведение двух векторов u и v равно uv=|u||v|cos0, где 0— угол между векторами. Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю. Обозначается скалярное произведение тем же символом, что и умножение.

Для обозначения скалярного произведения пользователю позволяется выбирать представление оператора умножения при помощи контекстного меню (подобно умножению скалярных величин). Однако никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ х, который является общеупотребительным символом векторного произведения.

Скалярное произведение векторов

С осторожностью перемножайте несколько (более двух) векторов. По-разному расставленные скобки полностью изменяют результат умножения.

Скалярное произведение векторов, умноженное на третий вектор

Векторное произведение(cross product) двух векторов u и v с углом ф между ними равно вектору с модулем |u|-|v|sin0, направленным перпендикулярно плоскости векторов u и v. Обозначают векторное произведение символом х, который можно ввести нажатием кнопки Cross Product (Векторное произведение) в панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш +.

Векторное произведение двух векторов

Векторизация массива

Векторная алгебра Mathcad включает несколько необычный оператор, который называется оператором векторизации (vectorize operator). Этот оператор предназначен, как правило, для работы с массивами. Он позволяет провести однотипную операцию над всеми элементами массива (т. е. матрицы или вектора), упрощая тем самым программирование циклов. Например, иногда требуется умножить каждый элемент одного вектора на соответствующий элемент другого вектора, чтобы в результате также получился вектор. Непосредственно такой операции в Mathcad нет, но ее легко осуществить с помощью векторизации. Для этого:

1. Введите векторное выражение, как показано во второй строчке примера (обратите внимание, что в таком виде символ умножения обозначает оператор скалярного произведения векторов).

2. Переместите курсор таким образом, чтобы линии ввода выделяли все выражение, которое требуется подвергнуть векторизации.

3. Введите оператор векторизации, нажав кнопку Vectorize (Векторизация) на панели Matrix (Матрица)), или сочетанием клавиш +.

4. Введите , чтобы получить результат.

Использование оператора векторизации для перемножения элементов вектора

Большинство неспецифических функций Mathcad не требуют векторизации для проведения одной и той же операции над всеми элементами вектора. Например, аргументом тригонометрических функций по определению является скаляр. Если попытаться вычислить экспоненту от векторной величины, Mathcad осуществит векторизацию по умолчанию, возведя в степень е каждый элемент и выдав в качестве результата соответствующий вектор.

Векторизация аргумента необязательна для большинства встроенных функций Mathcad

Основы работы в MathCAD, страница 6

в панели инструментов Calculator (Калькулятор)

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.8 приведен пример умножения матриц.

Транспонирование матрицы

Транспонированием называется матричная операция, переводящая матрицу размером MxN в матрицу размером NxM, путем перестановки строк и столбцов с одинаковыми индексами.

Варианты ввода операции транспонирования.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.9 приведен пример транспонирования матрицы.

Определитель матрицы

Варианты ввода операции расчета определителя матрицы.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.9 приведен пример вычисления определителя матрицы.

Рис. 2.9. Операции умножения и сложения матриц

Модуль вектора

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его элементов

Варианты ввода операции модуля вектора.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.9 приведен пример вычисления модуля вектора.

Обратная матрица

Матрица M -1 называется обратной к матрице М, если
М*М -1 =Е, где Е- единичная матрица.

Матрица имеет обратную только в том случае если она квадратная и ее определитель не равен нулю.

Варианты ввода операции обратной матрицы.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

клавиши «Shift»+»^» и ввести в показатель степени число -1

geninv(M), М – квадратная матрица с не нулевым определителем

На Рис. 2.9 приведен пример вычисления обратной матрицы.

Рис. 2.10. Операции транспонирования, обратной матрицы и ее определителя и получения модуля вектора

Векторное произведение векторов

Векторным произведением называется вектор, длина которого равна произведению длин исходных векторов и синуса угла между ними, а направление его совпадает с направлением перпендикуляра к плоскости этих двух векторов (по правилу «буравчика»).

Варианты ввода операции векторного произведения векторов.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.10 приведен пример векторного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов называется число (или выражение), равное произведению длин перемножаемых векторов и косинуса угла между ними.

Варианты ввода операции скалярного произведения векторов.

в панели инструментов Calculator (Калькулятор)

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.10 приведен пример скалярного произведения векторов.

Суммирование элементов вектора

Варианты ввода операции суммирования элементов вектора.

в панели инструментов Matrix (Матрица)

На Рис. 2.10 приведен пример суммирования элементов вектора.

Рис. 2.11. Операции векторного и скалярного умножения векторов и суммирование элементов вектора

3 Исследование систем линейных алгебраических уравнений в пакете MathCAD

Задание. Показать, что столбцы и , составленные из коэффициентов уравнений

являются линейно независимыми.

1. Ввести сопроводительный текст «Пример №1» в правом верхнем углу листа.

Установить шрифт — MS Sans Serif сопроводительного текста, поддерживающий кириллицу. Для этого надо модифицировать текстовый стиль «Normal»:

в) скалярное произведение двух векторов.. ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем

Похожие главы из других работ:

Лисп-реализация математических операций над комплексными числами

2.2.3 Произведение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на -1…

ЛИСП-реализация основных операций над нечеткими множествами

2.2.6 Произведение

Произведением нечётких множеств A и B называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:…

6.5 Произведение матриц

Напишите функцию, которая находит произведение двух прямоугольных матриц с согласованными размерами. Организовать тестирование функции. Прототип функции void MMult (float A [], float B [], float AB [], int m, int n…

Одномерные и двумерные массивы

2.1 Скалярное произведение

Напишите функцию, которая находит скалярное произведение двух векторов…

Основы диалога пользователя в MathCAD

4.2. Алгебра векторов. Преобразования векторов

Система MathCAD имеет ряд функций и операторов преобразования векторов. Они позволяют преобразовывать вектор и выполнять действия над его элементами. Основные функции приведены в таблице: 4…

Построение аналитических моделей алгоритмов и оценка их сложности

3.2 Протоколы работы машины Тьюринга (на двух словах языка и двух словах, не принадлежащих языку)

Пример работы алгоритма на слове “01”, которое не является словом исходного языка приведен в таблице 3.1. Таблица 3…

Построение аналитических моделей алгоритмов и оценка их сложности

3.4 Протоколы работы машины Тьюринга, построенные программно (на двух словах языка и двух словах, не принадлежащих языку)

Протоколы работы машины Тьюринга, построенные программно, приведены в приложении В. Стрелкой в них выделено положение УУ. Символом “

” обозначен пустой символ…

Построение синтезированных 3D изображений местности по цифровой карте

5.1.2 Расчет векторов нормали

Поскольку нормали являются перпендикулярами к поверхности, можно начать поиск нормали в конкретной точке с нахождения плоскости, которая касается поверхности только в одной этой точке. Нормаль — это вектор перпендикулярный к этой плоскости…

Применение технологии «Nvidia CUDA» для неграфических вычислений

3.2 Сложение векторов

Для подтверждения преимущества проведения неграфических вычислений на GPUс применением технологии CUDA, выполним сложение векторов. Для проверки скорости вычислений на CPU и GPU, будут использованы программы, производящие идентичные вычисления…

Программирование на языке высокого уровня

2.2.3 Произведение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на -1…

Программная реализация метода шифрования цифровых изображений

2.1 Декартово произведение множеств, бинарные отношения

Декартовым произведением множеств U и V называется множество упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит U, а второй — V . (1) Бинарное отношение R (из множества U в множество V) называется подмножество декартова произведения множеств U и V…

Разработка программного обеспечения для реализации арифметических операций над комплексными числами

2.2.3 Произведение комплексных чисел

Произведение комплексных чисел z1=a+bi и z2=c+di называется комплексное число z =(ac-bd) + (ad + bc)i, z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i. Легко проверить, что умножение комплексных чисел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i2 на -1…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем

а) умножение матрицы на скалярное число

Произведение матрицы А на число (или числа на матрицу А) называется матрица С того же размера, что и А, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на число…

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем

б) умножение вектора на скалярное число

ЭВМ с использованием математического пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры в расчетах электротехнических систем

Похожие публикации:

Как получить user id telegram bot

Как пользоваться wechat для покупки реплик

Как посмотреть отложенные сообщения telegram

Как построить 3d график в mathcad