Как построить кривую нормального распределения

1. Гауссова кривая

Вероятность и статистика объединены благодаря двум фактам. Первый факт: явление статистической устойчивости. Второй факт: во многих статистических наблюдениях статистическая устойчивость может быть описана с помощью только одной функции, которая была введена великим немецким математиком Карлом Гауссом (\(1777\)–\(1855\)). Эта функция имеет вид:

ϕ ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 .

График функции y = ϕ ( x ) имеет своё название — гауссова кривая . Эта кривая «колоколообразного» вида. График обладает следующими свойствами.

имеет один максимум;
симметричен относительно оси ординат;
площадь под гауссовой кривой равна единице;
график очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс.

Рис. \(1\). Гауссова кривая.

Проведём оценку площади под гауссовой кривой на отрезке − 3 ; 3 . Получим более \(0,99\), т. е. более 99 % всей площади.

Гистограммы распределения большого объёма информации для удобства подвергаются выравниванию и заменяются на функции, имеющие простую аналитическую запись. Они называются выравнивающими функциями.

График выравнивающей функции является гауссовой кривой. Её называют ещё кривой нормального распределения.

Рис. \(2\). Кривая нормального распределения.

Рассмотрим простой прибор (называется доска Гальтона ). От верхнего отверстия равномерно идут вниз разветвляющиеся ходы.Шарики, поступающие в прибор, случайным образом находят свою траекторию и попадают в определённую ячейку. Распределение шариков подтверждает закон Гаусса.

Рис. \(3\). Доска Гальтона.

Рис. 1. Гауссова кривая, © ЯКласс.

Рис. 2. Кривая нормального распределения, © ЯКласс.

Рис. 3. Доска Гальтона, © ЯКласс.

Как сделать кривую нормального распределения в Excel: пример + шаблон

«Колокольная кривая» — это прозвище, данное форме нормального распределения , которая имеет отчетливую форму «колокола»:

В этом руководстве объясняется, как построить кривую нормального распределения в Excel для заданного среднего значения и стандартного отклонения, и даже предоставляется бесплатный загружаемый шаблон, который можно использовать для создания собственной кривой нормального распределения в Excel.

Пример: кривая нормального распределения в Excel

Используйте следующие шаги, чтобы сделать кривую колокола в Excel.

Шаг 1: Создайте ячейки для среднего значения и стандартного отклонения.

Шаг 2: Создайте ячейки для процентилей от -4 до 4 с шагом 0,1.

Шаг 3: Создайте столбец значений данных, которые будут использоваться на графике.

Шаг 4: Найдите значения для нормального распределения PDF.

Шаг 5: Создайте метки графика по оси X только для целочисленных процентилей.

Шаг 6: Сделайте кривую колокола.

Сначала выделите все значения в столбце pdf :

Затем в группе « Диаграммы » на вкладке « Вставка » щелкните первый параметр графика в категории « Вставить линию или диаграмму с областями»:

Автоматически появится кривая нормального распределения:

Шаг 7: Измените метки оси X.

Щелкните правой кнопкой мыши в любом месте диаграммы и выберите Выбрать данные.Появится новое окно. Нажмите кнопку « Редактировать » в разделе «Метки горизонтальной оси»:

Выберите диапазон ячеек, в которых расположены метки оси X. В нашем случае это диапазон ячеек D5:D85.Затем нажмите ОК .

Метки оси X будут обновляться автоматически:

Вы заметите, что если вы измените среднее значение и стандартное отклонение, кривая нормального распределения обновится автоматически. Например, вот во что превращается кривая нормального распределения, если мы используем среднее значение = 10 и стандартное отклонение = 2:

Вы можете изменить заголовок диаграммы, добавить метки осей и изменить цвет, если хотите сделать диаграмму более эстетичной.

Бесплатный шаблон

Не стесняйтесь загружать этот бесплатный шаблон , который использовался для создания точной колоколообразной кривой в этом уроке.

покупка

Легко создать нормальную диаграмму распределения (кривую колокола) в Excel

В Excel диаграмма колоколообразной кривой, также известная как диаграмма нормального распределения, используется для анализа вероятности каждого события. Обычно вы можете рассчитать среднее значение, стандартное отклонение и нормальное распределение с помощью формул, а затем создать диаграмму колоколообразной кривой на основе вычисленных данных. Здесь с Kutools for Excel, вы можете щелкнуть, чтобы создать стандартную диаграмму нормального распределения в три этапа с применением Нормальное распределение / кривая колокола утилита.

Создайте диаграмму нормального распределения или колоколообразной кривой в несколько кликов

Чтобы быстро создать нормальное распределение или диаграмму колоколообразной кривой в Excel, примените эту функцию, выполнив следующие действия:

1. Нажмите Кутулс > Графики > Распределение данных > Нормальное распределение / кривая колокола. Смотрите скриншот:

2. В выскочившем Быстро создать диаграмму нормального распределения В диалоговом окне выберите тип диаграммы, которую вы хотите создать, а затем выберите диапазон данных, на основе которого вы хотите создать диаграмму, затем максимальное значение, минимальное значение, среднее значение и стандартное отклонение были вычислены и перечислены в диалоговом окне. Смотрите скриншот:

3, Затем нажмите OK кнопка, график нормального распределения или колоколообразной кривой был создан сразу, см. снимок экрана:

Советы:

Если вы отметите График гистограммы частот в Быстро создать диаграмму нормального распределения диалоговом окне, он создаст диаграмму гистограммы, как показано ниже.

В Быстро создать диаграмму нормального распределения диалог, если вы отметите оба График нормального распределения и График гистограммы частот флажки, будет создана комбинированная диаграмма, как показано ниже:

Ноты:

1. Если вы хотите вывести рассчитанные данные, вы можете проверить Выходные данные флажок, то все рассчитанные данные будут выведены в новую книгу.

2. Вы можете нажать на Пример в Быстро создать диаграмму нормального распределения диалоговое окно при первом использовании, и оно создаст новую книгу для отображения образца данных и диаграммы для вас.

Рекомендуемые инструменты для повышения производительности
Следующие ниже инструменты могут значительно сэкономить ваше время и деньги. Какой из них вам подходит?
Office Tab: Использование удобных вкладок в вашем офисе, как и в случае Chrome, Firefox и New Internet Explorer.
Kutools for Excel: Более 300 дополнительных функций для Excel 2021, 2019, 2016, 2013, 2010, 2007 и Office 365.

Kutools for Excel

Описанный выше функционал — лишь одна из 300 мощных функций Kutools for Excel.

Предназначен для Excel(Office) 2021, 2019, 2016, 2013, 2010, 2007 и Office 365. Бесплатно скачать и использовать в течение 30 дней.

Построение нормальной кривой по опытным данным

Нормальной кривой называется график плотности распределения вероятностей нормальной случайной величины. Теоретическая плотность распределения вероятностей (дифференциальная функция распределения) имеет вид: где m и  — параметры нормального распределения: m = М ( Х ) — математическое ожидание случайной величины Х ,  =  ( Х ) — среднее квадратическое отклонение. Эмпирическая плотность распределения вероятностей имеет вид: где и * – статистические оценки m и , определенные по выборке. Для построения теоретической нормальной кривой можно использовать несколько методов. Рассмотрим приблизительный способ построения с использованием результатов расчетов, сделанных в примере 1. Значения эмпирической плотности распределения вероятностей можно приблизительно определить по соотношению: где xi – ширина интервала, n – объем выборки. При построении теоретической нормальной кривой необходимо учитывать следующие свойства нормального распределения:

1. приблизительно все значения х лежат в «3»-интервале:

1. нормальная кривая симметрична относительно прямой
2. максимум нормальной кривой находится в точке

Гистограмму, полигон частот и нормальную кривую целесообразно совместить на одном графике. ПРИМЕР 2. Построить гистограмму, полигон эмпирических частот и нормальную кривую по данным примера 1. РЕШЕНИЕ. 1) Гистограмма – это фигура из столбцов, основание которых равно ширине интервала xi, а высота – частоте ni . Если соединить середины интервалов отрезками прямых, получим полигон эмпирических частот в координатах (xi, ni). Значения интервалов и эмпирических частот приведены в табл.4. 2) Определяем значения f*(x). В примере 1 ширина интервала xi=6%, а объем выборки n=100. Тогда получим: Значения f*(x) приведены в столбце 7 табл. 4. 3) Определяем «3»-интервал: 4) нормальная кривая симметрична относительно прямой 5) максимум нормальной кривой находится в точке На рис. 1 построены гистограмма, полигон эмпирических частот и нормальная кривая. Сравнение графиков наглядно показывает, что теоретическая кривая удовлетворительно отражает опытные данные. Близость нормальной кривой к эмпирическим частотам подтверждает правильность допущения о том, что исследуемая случайная величинаХ распределена нормально.

3. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию колмогорова

Пусть эмпирическое распределение задано в виде таблицы, в которой перечислены варианты x_i и значения эмпирической функции распределения F*(x) (табл.5). Таблица 5 Значения эмпирической функции распределения

xi	x1	x2	…	xn
F*(x)	F*(x1)	F*(x2)	F*(xn)

Для каждого значения x_i определим теоретические значения функции распределения F(x). При уровне значимости  необходимо проверить, насколько сильно эмпирическая функция распределения F*(x) отличается от теоретической F(x). В этом случае в качестве критерия для проверки статистической гипотезы о неизвестном законе распределения генеральной совокупности используется случайная величина D, которая называется критерием согласия Колмогорова: где D – максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической и теоретической функциями распределения. Порядок проверки нулевой гипотезы:

1. по выборке определяем D и вычисляем наблюдаемое значение величины .
2. по таблице распределения Колмогорова (см. Приложение 2) определяем критическое значения критерия в зависимости от уровня значимостиα.
3. Если , то нулевая гипотеза принимается.

Если , то нулевая гипотеза отвергается. ПРИМЕР 3. По данным примера 1 с помощью критерия Колмогорова при уровне значимости  =0,05 необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения. РЕШЕНИЕ. Выдвигаем нулевую гипотезу Н_о: случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35). Выдвигаем альтернативную гипотезу Н₁: случайная величина Х не имеет нормальный закон распределения с параметрами N(119,2; 9,35). Сначала определяем значения относительных частот W_i, накопленных частот n_нак, накопленных частостей W_нак (табл.5) и значения эмпирической функции распределения F*(x) (табл.6). Таблица 6 Группированный статистический ряд, статистическое распределение частот, относительных частот, накопленных частот и частостей

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7	8
xi, %	94-100	100-106	106-112	112-118	118-124	124-130	130-136	136-142
ni	3	7	11	20	28	19	10	2
nнак	3	10	21	41	69	88	98	100
Wi	0,03	0,07	0,11	0,20	0,28	0,19	0,10	0,02
Wнак	0,03	0,10	0,21	0,41	0,69	0,88	0,98	1,00

Для непрерывных случайных величин значения эмпирической функции распределения F*(x) можно найти только на концах интервала (табл. 6), так как неизвестно, сколько значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Для определения теоретической функции распределения используем функцию Лапласа (см. Приложение 3): Например: Результаты вычислений обобщим в табл.7 и на рис. 2, откуда следует, что: Таблица 7

24.03.2015 279.04 Кб 15 Гипотегы о дисперсиях..doc

24.03.2015 272.9 Кб 25 Гипотегы о средних. Сравнение двух средних.doc

24.03.2015 238.59 Кб 34 Гипотегы о средних. Сравнение средней с М(Х).doc

30.04.2015 28.41 Кб 30 Сочинение по погрешностям.docx

24.03.2015 302.08 Кб 43 Тест на нормальность.doc

Ограничение

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу: