Как транспонировать матрицу maple

Как транспонировать матрицу maple

Пакеты линейной алгебры и функциональных систем

• Основные определения линейной алгебры
• Пакет решения задач линейной алгебры linatg
• Состав пакета linalg
• Интерактивный ввод матриц
• Основные функции для задания векторов и матриц
• Функции для работы, с векторами и матрицами
• Решение систем линейных уравнений.
• Пакет линейной алгебры с алгоритмами NAG LinearAlgebra
• Назначение и загрузка пакета LinearAlgebra.
• Примеры матричных операций с применением пакета LinearAlgebra
• Интеграция Maple 7 с MATLAB
• Краткие сведения о MATLAB
• Загрузка пакета расширения Matlab
• Типовые матричные операции пакета расширения Matlab
• Выделение сигнала на фоне шумов
• Пакет анализа линейных функциональных систем LinearFunctionalSystems
• Назначение пакета LinearFunctionalSystems
• Тестовые функции пакета LinearFunctionalSystems
• Функции решения линейных функциональных систем
• Вспомогательные функции
• Примеры применения пакета LinearFunctiftnalSystems
• Что нового мы узнали?

Основные определения линейной алгебры Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple 7 по части решения задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней. Матрица (m х n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы). Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n . Пример квадратной матрицы размера 3×3: Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении. Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4×4: Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы А Т =А, где А т — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже);Транспонированная матрица — матрица, у которой .столбцы и строки меняются . местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию A T (i,j)=A(j,i). Приведем простой пример. Исходная матрица: Транспонированная матрица: Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е. Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули. Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы A i,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами: Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия под диагоналей (элементы d и k) и над диагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, под диагонали и над диагонали, равны нулю, называется ленточной. Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы. След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы. Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок: где M₁— определитель матрицы порядка n — 1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-гo столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена. Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М° = Е, М 1 = М, М 2 = ММ . М n =М n-1 М. Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р 2 = Р. Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = А. Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т = -A. Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А т =А -1 .Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы. Комплексно-сопряженная матрица — матрица А, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные. Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию А = А .Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х е V», х* О, удовлетворяющий уравнению Ах = gx, где g — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А. Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена, — |А — gE|. Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена. Норма — обобщенное понятие абсолютной (величины числа. Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина. Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||). Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение АХ = В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X = А -1 В, где А -1 — обратная матрица. Пакет решения задач линейной алгебры linalg Состав пакета linalg Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple 7, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4-5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и труднообозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения. Поэтому разработчики Maple 7 были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т. д. В ядро Maple 7, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры Unalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Он содержит свыше ста функций:

> with(linalg); Warning, the names fibonacci, inverse and multiply have been redefined Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected[BlockDiagonal, GramSchmidt, JordanBlock, LUdecomp, QRdecomp, Wronskian, addcol, addrow, adj, adjoint, angle, augment, backsub, band, basis, bezout, blockmatrix, charmat, charpoly, cholesky, col, coldim, colspace, colspan, companion, concat, cond, copyinto, crossprod, curl, definite, delcols, delrows, det, diag, diverge, dotprod, eigenvals, eigenvalues, eigenvectors, eigenvects, entermatrix, equal, exponential, extend, ffgausselimfifibonacci,forwardsub,frobenius, gausselim, gaussjord, geneqns, genmatrix, grad, hadamard, hermite, hessian, hilbert,htranspose, thermite, indexfunc, innerprod, intbasis, inverse, ismith, issimilar, iszerojacobian, Jordan, kernel, laplacian, leastsqrs, linsolve,matadd, matrix, minor, minpoly, mulcol, /им/row,multiply, norm, normalize, nullspace, orthog, permanent, pivot, potential, randmatrix, randvector, rank, ratform, row, rowdim, rowspace, rowspan, rref, scalarmul, singularvals, smith, stackmatrix, submatrix, subvector, sumbasis, swapcol, swaprow, Sylvester, toeplitz, trace, transpose, vandermonde, vecpotent, vectdim, vector, wronskian]

• addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;
• addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;
• angle — вычисляет угол между векторами;
• augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;
• backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub );
• band — создает ленточную матрицу;
• basis — находит базис векторного пространства;
• bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов; . г
• BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;
• blockmatrix — создает блок-матрицу;
• cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;
• charmat — создает характеристическую матрицу ( charmat (M,v) — матрица, вычисляемая как v E-M);
• charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;
• colspace — вычисляет базис пространства столбцов;
• colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;
• companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;
• cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M) norm (М -1 );
• curl — вычисляет ротор вектора;
• definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;
• diag — создает блок-диагональную матрицу;
• diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;
• eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;
• eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;
• equal — определяет, являются ли две матрицы равными;
• exponential — создает экспоненциальную матрицу;
• ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;
• fibonacci — матрица Фибоначчи;
• forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например, для матрицы L и вектора b
• forwardsub(L, b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L-x=b);
• frobenius — вычисляет форму Фробениуса ( Frobenius ) матрицы;
• gausselim — Гауссово исключение в матрице;
• gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса—Жордана);
• geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;
• genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;
• grad — градиент векторного выражения;
• GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;
• hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;
• hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;
• hilbert — создает матрицу Гильберта;
• htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;
• ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;
• indexfunc — определяет функцию индексации массива;
• Innerprod — вычисляет векторное произведение;
• Intbasis — определяет базис пересечения пространств;
• ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;
• iszero — проверяет, является ли матрица ноль-матрицей;
• jacobian —’ вычисляет якобиан векторной функции;
• JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;
• kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;
• laplacian — вычисляет лапласиан;
• leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;
• linsolve — решение линейных уравнений;
• LudeComp — осуществляет LU-разложение;
• minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;
• mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;
• mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;
• multiply — перемножение ‘матриц или матрицы и вектора;
• normalize — нормализация вектора;
• orthog — тест на ортогональность матрицы;
• permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;
• pivot — вращение относительно элементов матрицы;
• potential — вычисляет потенциал векторного поля;
• Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;
• randmatrix — генерирует случайные матрицы;
• randvector — генерирует случайные векторы;
• ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;
• references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;
• rowspace — вычисляет базис пространства строки;
• rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;
• rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;
• scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;
• singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;
• singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;
• smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;
• submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;
• subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;
• sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;
• swapcol — меняет местами два столбца в матрице;
• swaprow — меняет местами две строки в матрице;
• sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;
• toeplitz — создает матрицу Теплица;
• trace — возвращает след матрицы;
• vandermonde — создает вандермондову матрицу;
• vecpotent — вычисляет векторный потенциал;
• vectdim — определяет размерность вектора;
• wronskian — вронскиан векторных функций.

Ниже мы рассмотрим более подробно наиболее часто используемые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду

?name ; где name — имя функции (из приведенного списка).

Интерактивный ввод матриц

Для интерактивного ввода матриц можно, определив размерность некоторого массива, использовать функцию entermatrix :

После исполнения этого фрагмента документа диалог с пользователем имеет следующий вид:

Основные функции для задания векторов и матриц

В библиотечном файле Unalg имеются следующие функции для задания векторов и матриц:

• vector(n,list) — сoздание вектора с n элементами, заданными в списке list ;
• matrix(n,m,list) — создание матрицы с числом строк n и столбцов m с элементами, заданными списком list.