Как дискретизировать сигнал в mathcad
Под сигналом в общем случае понимают физический процесс, который осуществляет перенос информации во времени и пространстве. Сигналы описываются математическими моделями, отражающими их общие свойства.
Примерами сигналов могут служить ток в цепи микрофона, воспринимающего речь, интенсивность излучения лазера и др. Математически сигналы описываются функциональными зависимостями u (t), f (s) и т. п., в которых аргументом чаще всего является время t или некоторая пространственная переменная s.
Сигнал, описываемый функцией одной переменной, называется одномерным, а сигнал, описываемый функцией от N (N равно или больше 2 ) независимых переменных, – многомерным.
Сигналы, значения которых можно предсказать в любой момент времени (в любой точке пространства), называются детерминированными. Сигналы, для которых невозможно точно предсказать значения, называют стохастическими или случайными.
Сигналы, значения которых изменяются непрерывно при изменении непрерывной временной t переменной, называются непрерывными сигналами. Непрерывные сигналы часто называют аналоговыми сигналами.
Наряду с непрерывным способом передачи и преобразования сигналов, широко применяют дискретные способы, в которых в том или ином виде используется дискретизация сигналов. Дискретизация сигналов состоит в замене «непрерывных» значений дискретными значениями и может производиться как по времени, так и по уровню (по значению величины сигнала), или по времени и уровню одновременно. В первом случае ее часто называют операцией получения выборки, во втором – квантованием. Уровни обычно отстоят друг от друга на постоянную величину, называемую шагом квантования по уровню.
В данной практической работы мы рассмотрим моделирование и исследование сигналов в популярной программе PTC MathCAD Prime. Mathcad Prime предназначен для автоматизации инженерного и математического моделирования. Простота использования, учет единиц измерения, интерактивные математические обозначения, мощные функциональные возможности и открытая архитектура этого программного продукта позволяют инженерам и организациям быстрее выполнять важные процессы проектирования.
Дискретизация периодического сигнала
В среде MathCAD заданная непрерывная функция имеет следующий вид:
Дискретную последовательность или дискретный сигнал v ( t ) выражают через исходный непрерывный (аналоговый) сигнал следующим образом:
,(2)
где δ( t ) – дискретная дельта-функция;
Δ t – шаг дискретизации;
– последовательность дельта-функций;
m – число дискретных точек.
Одиночную дельта-функцию запишем в виде
Дельта-функция в среде MathCAD имеет вид
Дискретный сигнал равен
Для записи функции арктангенса воспользуемся встроенной функцией MathCAD atan ( x ), а для записи синуса – sin ( x ). Зададим период функции T = 5 π и шаг дискретизации Δ t = 1.
Окончательно программу для расчёта дискретной функции v ( t ) запишем в следующем виде:
Для построения графика зависимости сигнала x = f ( t ) необходимо выбрать в главном меню программы MathCAD «Вид – Панели инструментов – График», далее на появившейся панели «Graph» выбрать элемент «Декартов график», после чего на рабочей области программы MathCAD появится область построения графика. По оси ординат области построения графика необходимо ввести « x ( t )», а по оси абсцисс – « t ». Далее двойным щелчком левой кнопки мыши по области построения графика необходимо вызвать панель форматирования графика. На закладке «Оси X – Y » панели форматирования для удобства отображения нужно установить размер сетки, кратный по оси ординат амплитуде сигнала, а по оси абсцисс – периоду сигнала. На закладке «Трассировки» нужно установить толщину линий графика, для этого необходимо выделить мышью строку «trace1» в списке линий и в поле «Вес» выбрать «3». Кроме того, для удобства можно установить диапазон значений по оси абсцисс путём ввода соответствующих значений в области на оси абсцисс графика. По оси абсцисс введём диапазон изменения непрерывного сигнала от 0 до T .
Рис. 1. График зависимости функции x = f ( t )
Аналогичным образом можно построить график зависимости одиночной дельта-функции от времени (рис. 2).
Рис. 2. График зависимости одиночной дельта-функции δ( t ) от времени t
Чтобы построить график зависимости последовательности дельта-функций от времени нужно в область для ввода переменных на оси ординат ввести выражение: . Этот график показан ниже.
Рис. 3. График зависимости последовательности дельта-функций от времени
На рис. 4. показан график зависимости дискретной функции v ( t ) для шага дискретизации Δ t = 1.
Рис. 4. График зависимости дискретной функции от времени v = f ( t )
для шага дискретизации Δ t = 1
Чтобы построить график зависимости дискретной функции от времени v = f ( t ) для шага дискретизации Δ t = 2 нужно в программе расчёта присвоить параметру Δ t значение 2, после чего программа автоматически произведет перерасчёт.
Рис. 5. График зависимости дискретной функции от времени v = f ( t )
для шага дискретизации Δ t = 2
С увеличением шага дискретизации Δ t уменьшается частота решётчатой функции и уменьшается информативная составляющая непрерывного сигнала, подвергнутого дискретизации.
Как дискретизировать сигнал с заданной частотой дискретизации, образовав массив дискретных отсчетов сигнала
mathcad Дискретизировать сигнал с заданной частотой дискретизации, образовав массив дискретных отсчетов сигнала.
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Получить синусоидальный сигнал с заданной частотой и длиной сигнала (Matlab -> JS)
Доброго времени суток, помогите, пожалуйста! Нужно переписать код из Matlab в javascript .
Спектрограмма сигнала с непрерывно меняющейся частотой дискретизации
Добрый день! Возникла необходимость получить спектр сигнала, не имеющего определенной частоты.
Как найти частоту отсчетов для дискретизации
В задании нужно сложить две дискретных по времени гармоники (синус и косинус). Амплитуда и частота.
БПФ для массива дискретных отсчетов, полученных с датчика тока
Задача проста. Построить спектр одномерного массива данных, содержащего в себе 256 дискретных.
14.1.5. Пример: спектр модели сигнал/шум MathCAD 12 руководство
Пока мы использовали в качестве примера детерминированный сигнал, представляющий собой сумму трех синусоид. Несмотря на единство термина «дискретное преобразование Фурье», прикладное применение спектрального анализа можно довольно четко разделить на две категории.
- Сигнал, подвергающийся спектральному анализу, получен в условиях пренебрежимо малой погрешности, т. е. его можно, фактически, считать детерминированным. Такая ситуация характерна для экспериментальной оптики и (разного рода) спектроскопии. В этом случае для большинства задач анализа сигналов бывает вполне достаточно использовать простые спектры Фурье, рассмотренные выше (см. разд. 14.1.1—14.1.3).
- Сигнал, полученный в присутствии значительной шумовой компоненты, которая существенно искажает его структуру. В этом случае следует говорить о смеси (к счастью, чаще всего аддитивной) «полезный сигнал + шум», причем в большинстве случаев заранее известна некоторая информация о статистике шумовой компоненты. Данная ситуация очень часто встречается в экспериментальной геофизике и радиофизике. В этом случае подходить к интерпретации спектров следует с вероятностной точки зрения. Как раз этому вопросу мы и посвятим данный пример.
Внесем минимальное добавление в расчеты листинга 14.1, а именно добавим к его четвертой строке (в которой определяется yi ) еще одно (четвертое) слагаемое: псевдослучайную величину σ rnd(1) , где значение 1/ σ характеризует отношение сигнал/шум. Явный вид изменений, которые следует внести в листинг 14.1, приведен на рис. 14.10, наряду с графиком сигнала у(х) . Расчет Фурье-спектра данного сигнала (в соответствии с алгоритмом, представленным выше, см. листинг 14.1) показан на рис. 14.11. Как видно, присутствие шумовой компоненты может значительно искажать спектр сигнала и затруднять его интерпретацию.
Максимальное значение спектра на левом крае частотного интервала является ни чем иным, как проявлением искажающего влияния конечности выборки и сдвига ноль-линии (см. разд. 14.1.3), произошедшим из-за внесения шума с математическим ожиданием, равным 0.5.
Рис. 14.10. Модель сигнал / шум
Рис. 14.11. График Фурье-спектра данных
В силу стохастичности исходных данных, представляющих сумму полезного сигнала и шума, сами вычисленные значения спектра Фурье носят также случайный характер. В этой связи необходимо знать, с какой погрешностью они рассчитываются. Однако из курса математической статистики известно, что для обычного Фурье-преобразования случайного сигнала (в частности, нормального) не найдено оценок для погрешности. Это слабое место Фурье-спектров делает их практически неприменимыми для анализа случайных сигналов, а вместо них надо применять так называемые спектры мощности (или, по-другому, энергетические спектры), для которых указанные оценки существуют.
Не углубляясь в теорию математической статистики, приведем пример вычисления спектра мощности сигнала (рис. 14.10), основанный его определении. Как известно, спектром мощности сигнала называют Фурье-преобразование его корреляционной функции. Таким образом, алгоритм расчета спектра мощности сводится к следующему: во-первых, вычислению автокорреляционной функции (рис. 14.12); во-вторых, ее прореживанию и (или) сглаживанию (в целях уменьшения влияния конечности выборки); и, наконец, в-третьих, расчету ее Фурье-преобразования. Результат вычисления спектра мощности (листинг 14.3) в соответствии с приведенным сценарием показан на рис. 14.13.
Аналогичным образом, через Фурье-преобразование взаимной корреляционной функции, определяются взаимные спектры мощности двух выборок.
Еще один способ вычисления спектров мощности, не требующий расчета функции корреляции, приведен ниже (см. разд. 14.3.6).
Методика расчета в Mathcad корреляционной функции случайного процесса обсуждалась в главе 12 (см. разд. 12.3.3).
Листинг 14.3. Расчет спектра мощности для модели сигнал / шум
Рис. 14.12. Автокорреляционная функция модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)
Рис. 14.13. График спектра мощности данных модельной зависимости сигнал / шум (продолжение листинга 14.3)