Как взять производную в maple

Иллюстрированный самоучитель по Maple 9

Очень часто приходится вычислять производные функций, которые заданы в неявном виде. Задаются такие функции, как правило, с помощью уравнений, в которые входит как переменная (или переменные – для функции нескольких переменных), так и сама функция. Принцип вычисления производной в этом случае достаточно прост – производная вычисляется от всего уравнения (его правой и левой части). При этом только следует иметь в виду, что одна из переменных в уравнении является функцией остальных.

Для вычисления производных от неявно заданных функций в Maple предлагается процедура implicitdiff(). Способы ее вызова рассмотрим на примерах, которые приведены ниже.

Задача 2.9

Найти производную функции у(х), заданной неявно: х2 +2ху -у=2х.

Сначала построим график функции, от которой следует искать производную. Процедура implicitplot() позволяет строить графики функций, заданных в неявном виде. Однако доступной процедура становится только после подключения пакета plots с помощью команды with().

Внимание!
В пакете plots имеется процедура changecoords (), название которой совпадает с названием стандартной процедуры changecoords (), доступной и без подключения пакета. Выше можно видеть сообщение о том, что в результате подключения пакета эта процедура была переопределена.

Первым аргументом процедуры является уравнение, задающее функцию, после чего следует диапазон изменения переменных х и у. Остальные опции уже использовались ранее и читателю знакомы, кроме опции thickness, которая определяет толщину линии (значение – целое число; в предыдущих версиях Maple – в диапазоне от 0 до 3, а в Maple 9 – от 0 до 15).

Для вычисления производной воспользуемся, как уже отмечалось, процедурой implicitdiff(), первым параметром которой является выражение, неявно задающее функцию, вторым – функция, от которой нужно искать производную, и, наконец, третьим параметром – переменная, по которой вычисляется производная.

Левая часть равенства нужна исключительно для «художественного» оформления результата.

Как найти производную?
Примеры решений

Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.

Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее.

Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций.

Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.

Собственно, сразу рассмотрим пример:

Найти производную функции

Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .

Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Обозначения: Производную обозначают или .

ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!

Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:

производную константы:
, где – постоянное число;

производную степенной функции:
, в частности: , , .

Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.

В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования:

1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной

, где – постоянное число (константа)

Найти производную функции

Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .

Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:

А теперь превращаем наш косинус по таблице:

Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:

2) Производная суммы равна сумме производных

Найти производную функции

Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:

Применяем второе правило:

Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.

Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:

Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:

Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.

Найти производную функции

Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.

3) Производная произведения функций

Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:

Это необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:

Найти производную функции

Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:

Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Найти производную функции

В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:

Теперь для скобки используем два первых правила:

В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:

При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что .

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)

4) Производная частного функций

В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:

Найти производную функции

Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:

Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:

Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.
Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение.

Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного:

Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных:

Штрихов больше нет, задание выполнено.

На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Время от времени встречаются хитрые задачки:

Найти производную функции

Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
Дело в том, что формула достаточно громоздка, и применять ее совсем не хочется.

В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:

Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:

Найти производную функции

Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:

Произведение все-таки дифференцировать проще:

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

5) Производная сложной функции

Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции.

Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это — константы. Поэтому выносится за знак производной, а .

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено

Why You Should Use Maple

Get an edge in your math, engineering & science classes!

Try for free
See how easy it is to get started with Maple!
Already have Maple? Visit the Student Help Center for lots of great resources
Maple 2023 Now Available!
Save an additional 20% on Maple 2023 Upgrades until March 31, 2023.
Upgrade now
Download a Free Trial of Maple
Try Maple free for 15 days with no obligation.
Start your free trial
Back to School Savings!
Save 25% off Maple Student Edition and get 50% off Maple Calculator Premium!
Offer ends October 31, 2023. Conditions apply.

Improve your grades

From double-checking assignments to deepening your conceptual understanding, here are some of the ways Maple helps you get better grades.

• Fix little mechanical issues before handing in your assignment.
• After you’ve solved a problem yourself, you can solve it again in Maple and compare answers.
• Visualize those hard-to-picture problems and solutions with 2-D and 3-D plots, animations, and interactive plots.
• Try extra practice problems so you are more prepared for your next test!

Try for free
Maple is part of the Maple Math Suite.

Increase your confidence

Aren’t always sure if you’re on the right track? With Maple, you can check your solutions as you work through practice problems and develop your intuition through visualizations and «what if» explorations, so you can be confident in your understanding.

• Determine what you know and what you don’t by using Maple to check the answers to your assignment and practice problems.
• Plot as many examples in Maple as you need to develop your intuition about how different types of functions behave, and how they are affected by their parameters.
• Explore interactive visualizations and examples including inverse functions, vector projections, Riemann Sums, complex arithmetic, and solids of revolution.
• Did you know Maple can be used in robotics, aerospace, medical research, green energy projects, consumer electronics, and a whole lot more!

Try for free

Save time

Here are some of the ways Maple can save you time, and make the time you invest in your courses more productive.

• Find the source of your mistakes quickly by using Maple to check your steps.
• Grasp concepts faster with Maple’s large number of interactive tools designed specially to help students visualize and explore mathematical concepts more effectively.
• Visualize problems, solutions, and concepts in seconds, without the tedious work of constructing these plots by hand.
• Maple gives you answers to even complex problems instantly.
• Enter homework problems into your math tool with the click of your camera. With the free Maple Calculator app, you can bring homework problems into Maple easily.

Try for free

Save money

Maple is cheaper than many graphing calculators, is easier to use, and does more. What’s not to like?

Try for free

And with Maple’s Clickable Math approach, it’s easy!

Watch this 4 minute video to see how quickly you can make Maple work for you.

Learn More

Top 10 Reasons Students Choose Maple

Why Maple is Better than a Graphing Calculator

How to do math on your phone and enhance your Maple experience

Like what you see?
Buy Maple now

Maplesoft™, a subsidiary of Cybernet Systems Co. Ltd. in Japan, is the leading provider of high-performance software tools for engineering, science, and mathematics. Its product suite reflects the philosophy that given great tools, people can do great things.

615 Kumpf Drive
Waterloo, ON Canada
N2V 1K8
1-800-267-6583

Quick Links
Maplesoft E-Mail Lists
Maplesoft Membership
Language: English | Français | Deutsch | 日本語 | 简体中文

© Maplesoft, a division of Waterloo Maple Inc. 2023. • Terms of Use | Privacy | Trademarks | Site Map

Как взять производную в maple

В результате ответом выдается n, а по идее должно быть 1.
Может быть здесь нельзя пользоваться sum или нужно как-то по-другому задавать индекс?

Сообщение muser » Чт ноя 17, 2005 3:57 pm

Уважаемый, вы слишком большого мнения об уровне интеллекта Maple. В вашем общем случае вы всегда будете получать такой результат, ибо при символьном суммировании с неопределенным колическом элементов пакет рассматривает вашу сумму как единый объект и для него все ваши x[i] идентичны, а их в сумме n. Вот и имеем то, что имеем. Конечно, можно кое-что и здесь сделать (некоторым образом через задний проход), но поэтому и не привожу. Для решения этой задачи предлагаю примитивную процедуру, позволяющую корректно дифференцировать по любому неопределенному слагаемому. Процедуру можно модифицировать во многих направлениях. Более того, ваш случай почти из той же оперы, когда пакет дает с точки зрения математики абсурдный результат (см. ниже).

Сообщение Andrew T. » Чт ноя 17, 2005 4:30 pm

Попробуйте вычислить следующее:

Результат вычисления проясняет, почему у
вас получалось n вместо 1.

Сообщение muser » Чт ноя 17, 2005 5:04 pm

Сообщение muser » Чт ноя 17, 2005 6:37 pm

Я хотел пояснить с общих позиций организации Maple объектов типа неопределенного суммирования, вероятно, оказалось несколько трудновато для восприятия. Потребовалось на пальцах. Так вот на пальцах можно проиллюстрировать следующим ну уж очень конкретным примером:

> factor(simplify(diff(sum(i*x[i], i=1 .. n), x[i])));
n(n + 1)/2

Это сумма первых n-членов N. Из этого результата ну уж совсем конкретно видно, что Maple рассматривает все x[i] идентичными относительно операции дифференцирования и в количестве n. Более вникать в тонкости представления такой структуры в Maple не стоит. Проблемы с такими структурами даны последним примером моего первого сообщения.

Тут уж была тема по интересным нетривиальным задачкам. Так вот и я предлагаю задачу: как выполнить правильно вышепредставленное дифференцирование и обойти Maple? У меня решение имеется. Кто следующий.

Методы решения математических задач в Maple

IV. Математический анализ: дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

§1. Вычисление пределов

В Maple для некоторых математических операций существует по две команды: одна прямого, а другая – отложенного исполнения. Имена команд состоят из одинаковых букв за исключением первой: команды прямого исполнения начинаются со строчной буквы, а команды отложенного исполнения – с заглавной. После обращения к команде отложенного действия математические операции (интеграл, предел, производная и т.д.) выводятся на экран в виде стандартной аналитической записи этой операции. Вычисление в этом случае сразу не производится. Команда прямого исполнения выдает результат сразу.

Для вычисления пределов имеются две команды:

прямого исполнения – limit(expr,x=a,par), где expr – выражение, предел которого следует найти, a – значение точки, для которой вычисляется предел, par – необязательный параметр для поиска односторонних пределов (left – слева, right – справа) или указание типа переменной (real – действительная, complex – комплексная).

отложенного исполнения – Limit(expr,x=a,par), где параметры команды такие же, как и в предыдущем случае. Пример действий этих команд:

С помощью этих двух команд принято записывать математические выкладки в стандартном аналитическом виде, например:

> Limit(x*(Pi/2+arctan(x)),x=-infinity)=

limit(x*(Pi/2+arctan(x)), x=-infinity);

Односторонние пределы вычисляются с указанием параметров: left – для нахождения предела слева и righ – справа. Например:

limit(1/(1+exp(1/x)), x=0,right);

Задание 1.

Вычислить предел . Наберите:

Найти односторонние пределы и. Наберите:

limit(arctan(1/(1-x)), x=1, left);

limit(arctan(1/(1-x)),x=1, right);

§2. Дифференцирование

Вычисление производных.

Для вычисления производных в Maple имеются две команды:

прямого исполнения – diff(f,x), где f – функция, которую следует продифференцировать, x – имя переменной, по которой производится дифференцирование.

отложенного исполнения – Diff(f,x), где параметры команды такие же, как и в предыдущей. Действие этой команды сводится к аналитической записи производной в виде . После выполнения дифференцирования, полученное выражение желательно упростить. Для этого следует использовать команды simplify factor или expand, в зависимости от того, в каком виде вам нужен результат.

Для вычисления производных старших порядков следует указать в параметрах x$n, где n – порядок производной; например:

Полученное выражение можно упростить двумя способами:

Дифференциальный оператор.

Для определения дифференциального оператора используется команда D(f) – f-функция. Например:

Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple (стр. 1 из 2)

· уметь применять указанные команды для решения математических задач.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Дифференцирование выражений

Команды diff ( ) и Diff ( ) предназначены для вычисления обыкновенных и частных производных аналитического выражения по одной или нескольким переменным. Вторая команда является отложенной командой, которая не вычисляет производную от выражения, а просто отображает математическую запись взятия производной. Результат действия отложенной команды можно присвоить переменной Maple, а в дальнейшем при помощи команды value ( ) вычислить результат этой отложенной команды. Отложенная форма команды удобна, когда необходимо видеть, какие операции были сделаны для получе­ния нужного выражения. Кроме этой команды еще целый ряд команд имеют отложенную форму, информацию о которых можно получить в Справке.

Синтаксис команды дифференцирования следующий:

diff (выражение, переменная_1, переменная_2, . переменная_n);

diff (выражение, [переменная_1, переменная_2, . переменная_n]);

В результате выполнения любой из приведенных команд будет вычислена частная производная n-гo порядка от заданного первым параметром выражения по заданным n переменным.

При вычислении производных высокого порядка можно использовать оператор последовательности $, который позволяет проще и нагляднее задать производную. Например, для вычисления третьей производной функции f (х) по переменной х можно использовать команду diff (f (х) , х, х, х), в которой три раза указано дифференцирование по переменной х, или применить в команде дифференцирования оператор последовательности х$3, что упрощает и делает более наглядным задание третьей производной: diff (f (х) , х$3).

Дифференцирование в Maple.

Численное дифференцирование и интегрирование были одними из первых приложений для вычислительных машин. Формальное дифференцирование было реализовано на ранних этапах развития вычислительной техники в 1953 году. Дифференцирование является алгоритмической процедурой, так как знание производных элементарных функций и следующих четырех правил:

1. (a+b)’=a’+b’ — дифференцирование суммы,
2. (a b)’=a’ b+a b’ — дифференцирование произведения,
3. (a / b)’=(a’ b-a b’) / b^2 — дифференцирование отношения,
4. f(g(x))’=f ‘ (g(x)) g'(x) — дифференцирование сложной функции,

позволяет нам продифференцировать произвольную функцию.

Фактически, настоящей проблемой при дифференцировании является упрощение результата, так как если его не упрощать, то производная от 2x+1 формально выдается в виде 0x+2*1+0. В силу этого, в современных универсальных программах алгоритм дифференцирования стал значительно сложнее, так как в данных пакетах используется достаточно широкий класс кусочно-непрерывных функций. Алгоритм дифференцирования достаточно прост и, поэтому, попробуем реализовать этот алгоритм для дифференцирования полиномов от одной переменной

P = anxn + an-1x(n-1) + . + a0 Замечание: Работа компьютера напоминает работу мельницы: засыпаешь зерно — получаешь муку, а засыпаешь камни — получаешь песок. Это особенно важно при работе с системами символьных вычислений. Перед началом работы с Maple необходимо понять цель работы, продумать различные подходы к решению проблемы и,как это не пародоксально, скорее всего уже знать или предполагать конечный ответ.

Итак, для того чтобы продифференцировать полином нам надо:

1. отличать в выражении P переменную x от коэффициентов ak и показателей степеней n;
2. различать математические операции — сумму, произведение и степень;
3. задать правила дифференцирования.

Начнем с выделения различных частей выражения. В Maple для этих целей служит команда op(i,e) которая выделяет имя (операнд) под номером i из выражения e. Общее число операндов в выражении определяется командой nop(e) .

Пример 1 ( команды op — nop).

v := f(x,y,z);

nops(v);

op(0,v);

op(2,v);

Более сложный пример

w := f(g(a,b),h(c,d));