Как определить координаты точки по чертежу

2. Связь координат вектора и координат начальной и конечной точек вектора

Если вектор AB → расположить на оси координат так, что его начало будет находиться в начале координат, то координаты этого вектора равны координатам его конечной точки AB → x ; y .

Координаты вектора, данного на рисунке, равны AB → 5 ; 3 . В данном случае координаты вектора совпадают с координатами его конца \(B\).

Координаты точки.

Положение любой точки в пространстве можно определить при наличии трех взаимнопер-пендикулярных плоскостей, называемых координатными плоскостями; линии их пересечения называются осями координат, точка О их пересечения — началом координат (фиг.198,а).

Расстояния точки от координатных плоскостей называют координатами точки.
Расстояние АА₁ точки от плоскости П₁ называют аппликатой точки и обозначают у_А , расстояние АА₂ точки от плоскости П₂ — ординатой точки и обозначают — у_А , расстояние АА₃ точки от плоскости П₃ — абсциссой точки и обозначают х_А .
Очевидно, координата точки аппликата z_A есть высота АА₁ , координата точки ордината у_A — глубина АА₂ , координата точки абсцисса х_А — широта АА₃ .
Плоскости проекций можно принять за плоскости координат.
Рассматривая комплексный чертеж точки А (фиг.198,б), заметим:
1 ) положение точки A₁ (горизонтальной проекции точки А ) на плоскости П₁ определяется абсциссой х_A и ординатой у_А ;
2 ) положение точки А₂ (фронтальной проекции точки A ) на плоскость П₂ — абсциссой х_А и аппликатой z_A ;
3 ) положение точки А3 (профильной проекции точки A ) на плоскость П₃ — ординатой у_А и аппликатой z_A .
Как видно, три координаты данной точки определяют положение точки по отношению к координатным плоскостям.
Итак, имея три проекции точки на комплексном чертеже, можно определить координаты данной точки и, наоборот, имея три координаты точки, можно построить комплексный чертеж точки.
Построение комплексного чертежа точки по данным ее координатам. Определение положения точки по отношению к координатным плоскостям сводится к последовательному откладыванию отрезков, равных координатам данной точки, одного — на оси координат, двух других — параллельно осям координат.
Пусть даны координаты точки А (в мм). Запишем их так: х = 55, у = 50, z = 40 или А (55, 50, 40).
От точки О — начала координат — на оси х (фиг.199,а) отложим координату х_А — отрезок ОА₁₂ = 55 мм, потом параллельно оси у — координату у_A — отрезок А₁₂ А₁ — 50 мм.’, затем параллельно оси z — координату z_A — отрезок А₁ А = 40 мм. Конец координаты z_A — точка А явится данной точкой.
Можно избрать любую последовательность откладывания отрезков (фиг.199,б и в).

При построении комплексного чертежа точки по данным координатам следует придерживаться такого порядка: на оси х₁₂ от точки О₁₂₃ откладываем координату х_А — отрезок O₁₂₃ A₁₂ = 55 мм (фиг.200,а), затем через точку А₁₂ проводим вертикальную линию связи и на ней вверх откладываем координату z_A — отрезок А₁₂ A₂ = 40 мм, а вниз — координату у_A — отрезок А₁₂А₁ = 50 мм (фиг.200,б). Получим две проекции ( А₁ и A₂ ) точки А .
Третью проекцию А₃ находим путем следующего построения (фиг.200,б):

а ) проведения вспомогательной прямой под углом 45° из точки О ;
б ) проведения из точки А₂ горизонтальной линии связи;
в ) проведения из точки А₁ горизонтально-вертикальной линии связи. Пересечение линий связи даст точку А₃ — профильную проекцию точки А .
Указанным путем можно найти третью проекцию точки при любых двух данных проекциях точки.
На (фиг.201,а и б) приведены эти примеры.

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

1. Записать их координаты.
2. Достроить проекции т. A и B на плоскость П₃.
3. Определить положение точек в пространстве (октант или плоскость проекций).
4. Построить наглядное изображение точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃.

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A_х, A_у. Координата х для т. A равна длине отрезка A_хO со знаком плюс, так как A_х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A_уO со знаком минус, так как т. A_у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем A_z. Координата z точки A равна длине отрезка A_zO со знаком минус, так как A_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то B_x = B’ и координата B_у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B_хO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем B_z. Аппликата z точки B равна длине отрезка B_zO со знаком минус, так как B_z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П₃ имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A_уO. После этого проведем перпендикуляр из A_у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.

Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П₂.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П₂. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П₁, П₂, П₃

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П₁, П₂, П₃, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A_х и A_у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A_х и A_у соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П₂ по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B_х и B_z, определит положение точки B.

Как найти координаты точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Координаты точки на плоскости — это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса , а на втором — ордината точки.

Рассмотрим как в системе координат (на координатной плоскости):

• находить координаты точки;
• найти положение точки.

Чтобы найти координаты точки на плоскости, нужно опустить из этой точки перпендикуляры на оси координат.

Точка пересечения с осью « x » называется абсциссой точки « А », а с осью y называется ординатой точки « А ».

Обозначают координаты точки, как указано выше (·) A (2; 3) .

Пример (·) A (2; 3) и (·) B (3; 2) .

Запомните!

На первом месте записывают абсциссу (координату по оси « x »), а на втором — ординату (координату по оси « y ») точки.

Особые случаи расположения точек

1. Если точка лежит на оси « Oy », то её абсцисса равна 0 . Например,
   точка С (0, 2) .
2. Если точка лежит на оси « Ox », то её ордината равна 0 . Например,
   точка F (3, 0) .
3. Начало координат — точка O имеет координаты, равные нулю O (0,0) .

Точки любой прямой перпендикулярной оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.

Точки любой прямой перпендикулярной оси ординат, имеют одинаковые ординаты.

Координаты любой точки, лежащей на оси абсцисс имеют вид (x, 0) .

Координаты любой точки, лежащей на оси ординат имеют вид (0, y) .

Как найти положение точки по её координатам

Найти точку в системе координат можно двумя способами.

Первый способ

Чтобы определить положение точки по её координатам,
например, точки D (−4 , 2) , надо:

1. Отметить на оси « Ox », точку с координатой « −4 », и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Ox ».
2. Отметить на оси « Oy », точку с координатой 2 , и провести через неё прямую перпендикулярную оси « Oy ».
3. Точка пересечения перпендикуляров (·) D — искомая точка. У неё абсцисса равна « −4 », а ордината равна 2 .

Второй способ

Чтобы найти точку D (−4 , 2) надо:

1. Сместиться по оси « x » влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит « − ».
2. Подняться из этой точки параллельно оси y вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит « + ».

Чтобы быстрее и удобнее было находить координаты точек или строить точки по координатам на листе формата A4 в клеточку, можно скачать и использовать готовую систему координат на нашем сайте.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».