Как проверить равномерность распределения

Критерий согласия Пирсона

Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.

Критерий согласия Пирсона

Опр Критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения называется критерием согласия.

Имеется несколько критериев согласия: $\chi ^2$ < хи-квадрат >К. Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др.

Обычно теоретические и эмпирические частоты различаются. Случай расхождения может быть не случайным, значит и объясняется тем, что не верно выбрана гипотеза. Критерий Пирсона отвечает на поставленный вопрос, но как любой критерий он ничего не доказывает, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости её согласие или несогласие с данными наблюдений.

Опр Достаточно малую вероятность, при которой событие можно считать практически невозможным называют уровнем значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключённые между 0,01 и 0,05, $\alpha =0,05$ — это $5 < \% >$ уровень значимости.

В качестве критерия проверки гипотезы примем величину \begin \label < eq1 >\chi ^2=\sum < \frac < ( < n_i -n_i' >)^2 > < n_i' >> \qquad (1) \end

здесь $n_i -$ эмпирические частоты, полученные из выборки, $n_i’ -$ теоретические частоты, найденные теоретическим путём.

Доказано, что при $n\to \infty $ закон распределения случайной величины < 1 >независимо от того, по какому закону распределена генеральная совокупность, стремится к закону $\chi ^2$ < хи-квадрат >с $k$ степенями свободы.

Опр Число степеней свободы находят по равенству $k=S-1-r$ где $S-$ число групп интервалов, $r-$ число параметров.

1) равномерное распределение: $r=2, k=S-3 $

2) нормальное распределение: $r=2, k=S-3 $

3) показательное распределение: $r=1, k=S-2$.

Правило. Проверка гипотезы по критерию Пирсона.

1. Для проверки гипотезы вычисляют теоретические частоты и находят $\chi _ < набл >^2 =\sum < \frac < ( < n_i -n_i' >)^2 >< n_i' >> $
2. По таблице критических точек распределения $\chi ^2$ по заданному уровню значимости $\alpha $ и числу степеней свободы $k$ находят $\chi _ < кр >^2 ( < \alpha ,k >)$.
3. Если $\chi _ < набл >^2 ^2 $ то нет оснований отвергать гипотезу, если не выполняется данное условие — то отвергают.

Замечание Для контроля вычислений применяют формулу для $\chi ^2$ в виде $\chi _ < набл >^2 =\sum < \frac < n_i^2 > < n_i' >-n > $

Проверка гипотезы о равномерном распределении

Функция плотности равномерного распределения величины $X$ имеет вид $f( x )=\frac < 1 > < b-a >x\in \left[ < a,b >\right]$.

Для того, чтобы при уровне значимости $\alpha $ проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по равномерному закону, требуется:

1) Найти по заданному эмпирическому распределению выборочное среднее $\overline < x_b >$ и $\sigma _b =\sqrt < D_b >$. Принять в качестве оценки параметров $a$ и $b$ величины

$a = \overline x _b -\sqrt 3 \sigma _b $, $b = \overline x _b +\sqrt 3 \sigma _b $

2) Найти вероятность попадания случайной величины $X$ в частичные интервалы $( < x_i ,x_ < i+1 >> )$ по формуле $ P_i =P( < x_i > )=\int\limits_ < x_i >^ < x_ < i+1 >> < f( x )dx=\left. < \frac < 1 > < b-a >x >\right| < \begin < \c > < x_ < i+1 >> \\ < x_i >\\ \end > > =\frac < x_ < i+1 >> < b-a >-\frac < x_i > < b-a >. $

3) Найти теоретические < выравнивающие >частоты по формуле $n_i’ =np_i $.

4) Приняв число степеней свободы $k=S-3$ и уровень значимости $\alpha =0,05$ по таблицам $\chi ^2$ найдём $\chi _ < кр >^2 $ по заданным $\alpha $ и $k$, $\chi _ < кр >^2 ( < \alpha ,k >)$.

5) По формуле $\chi _ < набл >^2 =\sum < \frac < ( < n_i -n_i' >)^2 > < n_i' >> $ где $n_i -$ эмпирические частоты, находим наблюдаемое значение $\chi _ < набл >^2 $.

6) Если $\chi _ < набл >^2 ^2 -$ нет оснований, отвергать гипотезу.

Проверим гипотезу на нашем примере.

1) $\overline x _b =13,00\,,\,\sigma _b =\sqrt < D_b >= 6,51$

2) $a=13,00-\sqrt 3 \cdot 6,51=13,00-1,732\cdot 6,51=1,72468$

В равномерном распределении если одинакова длина интервала, то $P_i -$ одинаковы.

4) Найдём $n_i’ =np_i $.

Занесём все полученные значения в таблицу

\begin < |l|l|l|l|l|l|l| >\hline i& n_i & n_i’ =np_i & n_i -n_i’ & ( < n_i -n_i' >)^2& \frac < ( < n_i -n_i' >)^2 > < n_i' >& Контроль~ \frac < n_i^2 > < n_i' >\\ \hline 1& 1& 4,43438& -3.43438& 11,7950& 2,659898& 0,22551 \\ \hline 2& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 3& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 4& 3& 4,43438& -1,43438& 2,05744& 0,471463& 2,0296 \\ \hline 5& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline 6& 6& 4,43438& 1,56562& 2,45117& 0,552765& 8,11838 \\ \hline & & & & & \sum = \chi _ < набл >^2 =3,261119& \chi _ < набл >^2 =\sum < \frac < n_i^2 > < n_i' >-n > =3,63985 \\ \hline \end

Вывод отвергать гипотезу нет оснований.

Далее:

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы

Теорема об алгоритме распознавания полноты

Соленоидальное векторное поле

Упрощение логических функций

Логические операции над высказываниями

Криволинейный интеграл первого рода

Линейный интеграл и циркуляция векторного поля

Формула Гаусса — Остроградского

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных

Механические и физические приложения поверхностного интеграла первого рода

Механические приложения двойного интеграла

Нахождение потенциала

Механические приложения тройного интеграла

Огравление $\Rightarrow $

29 сентября 2016, 21:45 проектирование км, кмд, кж Теория вероятности [Калинин В.М., Тихомиров С.Р.] 0 28876 0

• Теоретические и эмпирические моменты
• Проверка гипотезы о показательном распределении

3.5. Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки

3.6. Проверка гипотезы о показательном распределении выборки

Для того, чтобы при уровне значимости , проверить гипотезу о показательном распределении выборочной совокупности 3, надо:

1. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: .
2. Найти вероятности попадания случайной величины X в частичные интервалы (,) по формуле (11).
3. Определить теоретические частоты по формуле (31).
4. Найти наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле (30).
5. Найти критическую точку (;r) по заданному уровню значимостии числу степеней свободы r. Критическую точку(;r) находят по таблице критических точек распределения (приложение 4)
6. Принять или не принять гипотезу о равномерном распределении выборочной совокупности 3.

Вычисления для выборки 3 представлены в таблице 16. Таблица 16

			λ	λ
0	5	42	0	0,55	1	0,5769	0,4231	42,31	0,002
5	10	23	0,55	1,1	0,5769	0,3329	0,2440	24,4	0,080
10	15	17	1,1	1,65	0,3329	0,1920	0,1409	14,09	0,601
15	20	8	1,65	2,2	0,1920	0,1108	0,0812	8,12	0,002
20	25	5	2,2	2,75	0,1108	0,0639	0,0469	4,69	0,020
25	30	1	2,75	3,3	0,0639	0,0369	0,0270	2,70	1,070
30	35	1	3,3	3,85	0,0369	0,0213	0,0156	1,56	0,201
35	40	3	3,85	4,4	0,0213	0,0123	0,0090	0,90	4,9
									6,88

Уровень значимости α для проверки гипотезы о показательном распределении выборочной совокупности 3 выбираем равным 0,05, а число степеней свободы r определяется по формуле r=k-2. Информационная справка о результатах проверки гипотезы о показательном распределении выборки 3 представлена в таблице 17. Таблица 17 Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 3

Нулевая гипотезаН0: выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром λ=0,11.

Число степеней свободы: k=r-2=8-2=6

Уровень значимости α=0,05

Критическая точка=12,6

Наблюдаемое значение критерия Пирсона =6,88

Критическая область (;+∞): (11,1; +∞)

Область принятия гипотезы (0; ):(0;12,6)

Условие принятия Н0(0; ): 6,88(0;12,6)

Условие непринятия Н0(;+∞): 6,88(12,6; +∞)

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром λ=0,11.

Проверка гипотезы о равномерном распределении

В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:

Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае — это площадь прямоугольника с основанием (b — α) и высотой c (рис. 1).

Рис. 1 Плотность равномерного распределения
Отсюда находим значение постоянной c :

Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна

Найдем теперь функцию распределения по формуле:
1) для
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким образом,

Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).

Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:

Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна

Пример №1 . Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02
Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы — 0, так и в сторону правой — 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:


P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.

Тогда вероятность появления такой ошибки:

• Решение
• Видео решение

Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотез. Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, xi	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x — xср|*f	(x — xср) 2 *f	Частота, fi/n
0 — 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 — 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 — 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 — 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 — 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 — 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 — 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 — 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
1	43	20.56	572	1

Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная


Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации — разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X_max — X_min
R = 70 — 0 = 70
Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).


Среднее квадратическое отклонение.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43 не более, чем на 23.92
Проверка гипотез о виде распределения.
4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b)
надо:
1. Оценить параметры a и b — концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b * — a * )
3. Найти теоретические частоты:
n₁ = nP₁ = n[f(x)*(x₁ — a * )] = n*1/(b * — a * )*(x₁ — a * )
n₂ = n₃ = . = n_s-1 = n*1/(b * — a * )*(x_i — x_i-1)
n_s = n*1/(b * — a * )*(b * — x_s-1)
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s — число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s — число интервалов, оставшихся после объединения.

Решение:
1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:


2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f(x) = 1/(b * — a * ) = 1/(84.42 — 1.58) = 0.0121
3. Найдем теоретические частоты:
n₁ = n*f(x)(x₁ — a * ) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n₈ = n*f(x)(b * — x₇) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Остальные n_s будут равны:
n_s = n*f(x)(x_i — x_i-1)

i	ni	n * i	ni — n * i	(ni — n*i) 2	(ni — n * i) 2 /n * i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Итого	1	0.0532

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).
Её границу K_kp = χ 2 (k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ 2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).
Kkp = 11.07050; Kнабл = 0.0532
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл Пример №3 . Для статистического анализа некоторой случайной величины был построен вариационный ряд:

xi	1	2	3	4	5	6	7
mi	26	21	18	32	26	26	31

Проверьте гипотезу о том, что данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение. Уровень значимости a= 0,1.
Решение. Выдвигаем основную и альтернативную гипотезы:
H₀: данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение;
H₁: данная случайная величина не имеет равномерное дискретное распределение.
Считаем, что данное распределение является равномерным дискретным. Тогда вероятности всех значений этой величины одинаковы и равны (k – количество значений случайной величины). Умножаем эту вероятности на объём выборки (n = 180) и получаем теоретические частоты m_i’ = 0,1429×180 = 25,714 (они также будут все одинаковыми).
Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам.

xi	mi	pi	mi’	mi– mi’
1	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
2	21	0,1429	25,714	-4,714	0,864191
3	18	0,1429	25,714	-7,714	2,31414
4	32	0,1429	25,714	6,286	1,536665
5	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
6	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
7	31	0,1429	25,714	5,286	1,086637
S	180	1	180	0	5,811

Последняя сумма соответствует искомому критерию Χ_набл 2 =5,811.
Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. Для дискретного равномерного распределения р = 0 (подбираемых параметра нет). Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l-p — 1 = 7 — 0 — 1 = 6. При уровне значимости a= 0,1 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения Χ 2 находим значение критерия Χ_кр 2 =10.64.
Т.к. Χ_набл 2 < Χ_кр 2 , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение данной случайной величины является равномерным дискретным.

Пример №4 . Игральную кость бросили 600 раз и результаты наблюдений записали в виде статистического ряда. Случайная величина X – число выпавших очков, n_i – частота выпадения i очков, где i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 . На уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о симметричности игральной кости.

Пример №5 . Заданная непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале (α, β).
Найти:
1) Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2) интегральную функцию распределения.
3) Сделать графики дифференциальной и интегральной функций распределения.
α=3, β=8

Решения задач на проверку статистических гипотез

Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах (примеры этих задач на странице Проверка гипотез о параметрах распределения).

Ниже в примерах мы разберем основные учебные задачи на проверку гипотез о виде распределения. Чаще всего для этого используется критерий согласия $\chi^2$ Пирсона, а также критерий Колмогорова-Смирнова.

Критерий согласия Пирсона (или критерий $\chi^2$ — «хи квадрат») — наиболее часто употребляемый для проверки гипотезы о принадлежности некоторой выборки теоретическому закону распределения (в учебных задачах чаще всего проверяют «нормальность» — распределение по нормальному закону).

В учебных задачах обычно используется следующий алгоритм:

1. Выбор теоретического закона распределения (обычно задан заранее, если не задан — анализируем выборку, например с помощью гистограммы относительных частот, которая имитирует плотность распределения).
2. Оцениваем параметры распределения по выборке (для этого вычисляется математическое ожидание и дисперсия): $a, \sigma$ для нормального, $a,b$ — для равномерного, $\lambda$ — для распределения Пуассона и т.д.
3. Вычисляются теоретические значения частот (через теоретические вероятности попадания в интервал) и сравниваются с исходными (выборочными).
4. Анализируется значение статистики $\chi^2$ и делается вывод о соответствии (или нет) теоретическому закону распределения.

Подробные примеры на разные распределения и критерии вы найдете ниже.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Примеры решений на проверку гипотез онлайн

Критерий Пирсона, нормальное распределение

Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки:
X 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5

Пример 2. Были исследованы 200 готовых деталей на отклонения истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные приведены в следующей таблице:
По данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о виде закона распределения (например, предположить, что исследуемая величина имеет нормальный закон распределения). Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). На том же графике построить функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить, согласуется ли гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Критерий Пирсона, распределение по закону Пуассона

Пример 3. Отдел технического контроля проверил n партий однотипных изделий и установил, что число нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости α0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

Пример 4. В результате обследования 150 человек были получены данные о количестве приобретаемых за месяц цветных иллюстрированных журналов. Соответствует ли данное распределение закону редких событий Пуассона?

Критерий Пирсона, распределение по показательному закону

Пример 5. В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы (час.) получено распределение, приведенное в таблице. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что данные в генеральной совокупности распределены по показательному закону.
Время безотказной работы 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Число отказавших элементов 365 245 150 100 70 45 25

Критерий Пирсона, распределение по равномерному закону

Пример 6. В некоторой местности в течение 300 суток регистрировалась среднесуточная температура воздуха. В итоге наблюдений было получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице 40 (в первом столбце указан интервал температуры в градусах, во втором столбце – частота $n_i$, т.е. количество дней, среднесуточная температура которых принадлежит этому интервалу).
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что среднесуточная температура воздуха распределена равномерно.

Критерий Колмогорова

Пример 7. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных фирмой с частными лицами в течение месяца:
— число заключенных сделок 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
— число частных лиц 23 24 11 9 3
Проверить при уровне значимости 0,05, используя критерий согласия Колмогорова, гипотезу о нормальном законе распределения.

Пример 8. В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице:Можно ли считать при уровне значимости 0,05, что недовесы овощей являются устойчивым и закономерным процессом при продаже овощей в данном городе (т.е. описываются одной и той же функцией распределения)?

Критерий Вилкоксона

Пример 9. Имеется выборка прибыли коммерческой фирмы за 14 недель до (хi) и после (yi) проведения новой экономической политики. На уровне значимости 0,05 по критерию Вилкоксона проверить гипотезу о том, что введение новой экономической политики в среднем привело к увеличению производительности.

Критерий $\chi^2$ для двух выборок

Пример 10. Используя критерий «хи-квадрат» при уровне значимости 0,05, проверить, существует ли зависимость уровня интеллектуального развития учеников от типа школы по результатам обследования 100 сельских и 100 городских школьников:
Тип школы Уровень интеллектуального развития
низкий нормальный высокий
Городская 25 50 25
Сельская 52 41 7

Нужно решить задачи на проверку статистических гипотез?

Полезные ссылки

• Критерий согласия Пирсона Хи-квадрат
• Критерий согласия для распределения Пуассона и нормального
• Решение задач на заказ
• Ссылки на учебники
• Решенные контрольные

Решебник по математической статистике

Ищете решенное задание на проверку статистических гипотез? Попробуйте тут: