Как построить спектр сигнала в mathcad

Как построить спектр сигнала в MathCAD 15

Использую встроенную функцию cfft, но чем больше точек я учитываю, тем больше максимальное значение спектральной составляющей. Как оставить её на одном уровне?

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Как получить верный спектр сигнала с помощью MathCad?
В общем задался я целью посмотреть как выглядят спектры для разных спектров. Делал так. Задал.

Построить спектр ФМ сигнала
Удалось построить ФМС, но маткад не хочет строить спектр. Пробовал через интегрально.

Как правильно построить спектр сигнала
Здравствуйте! Вопрос прост, но в тоже время плаваю в нём. Имеется сигнал с фазовой манипуляцией.

Построить спектр сигнала
Доброго времени суток товарищи форумчане.Сейчас крайняя сессия перед дипломом(заочная форма.

Как построить спектр сигнала в mathcad

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Формирование сигналов в среде MathCAD

1. Задание в Mathcad сигналов в виде функций и векторов

В Mathcad для задания различных функций y(x)=f(x) для описания f(x) используются как встроенные в пакет различные функции (тригонометрические, специальные и т.п.), так и введенные пользователем.

При этом для вычисления y(x) (и графического представления результатов) следует задать значения аргумента, при которых и рассчитывается функция.

Аргумент x задается как последовательность значений, при которых и выполняется расчет:

x₀ — начальное значение; x₁ — следующее значение; x_k — конечное значение;

Дx =(x₁ — x₀) — шаг изменения аргумента;

N = (x_k — x₀)/Дx +1 — число точек аргумента (рассчитываемой функции).

Количество расчетных точек N выбирается из соображений получения «гладких» зависимостей при построении графиков. При задании опции Traces — lines — solid рассчитанные точки на графике соединяются отрезками прямых линий и для «гладкости» графиков обычно достаточно 100…200 расчетных точек.

Иногда может быть удобнее задать N и по заданному диапазону [x_min, x_max]

вычислить Дx и значения расчетных точек задать в форме:

x:=x_min,x_min+ Дx.. Дx*N

Рис. 1. Графики некоторых функций Чебышева.

Например, для построения функций (полиномов) Чебышева, ортогональных на интервале с Дx=0.01 (число расчетных точек 200), следует задать:

Требуемые операторы можно ввести как с соответствующих панелей инструментов, так и с клавиатуры:

— оператор присвоения (:=) — двоеточие;

— задание диапазона значений аргумента (..) — точка с запятой;

— двухмерный график — Shift-2 (@).

Сигналы во временной области описываются функциями времени u(t), поэтому логично аргумент обозначить через t (выражаемый в единицах времени).

Однако, в ряде случаев, в частности, при использовании встроенных функций: преобразования Фурье (FFT(u)), статистических, и др., необходимо, чтобы участвующие в этих функциях величины u были бы представлены в виде векторов (индексированных переменных). Поэтому далее в приводимых примерах формирования сигналов будем представлять их в виде векторов u_t.

Для описания сигналов — векторов u_t следует в начале определить:

T:= — количество расчетных точек, т.е. число элементов вектора.

Если далее в расчетах будет использоваться спектральное преобразование FFT(u), то значение T должно быть равно 2 m (m>2).

Например: T:=256 или m=8 T:=2 m

При этом T можно рассматривать как интервал формирования (моделирования) сигнала, выраженного в относительном времени (например, считая, что T=1 мсек).

Далее следует задать изменение времени — расчетные точки, т.е. задать индексацию элементов вектора (текущее время):

t:=0..T-1 (если второй элемент при задании диапазона опущен, то шаг равен 1).

Примечание: индексы элементов вектора — порядковые числа 0,1,2..T-1. Начальный индекс по умолчанию равен 0. При необходимости начало индексации может быть изменено присвоением требуемого значения:

ORIGIN:= (присвоенное таким образом значение начального индекса действует на весь документ).

Далее определяется функция, описывающая формируемый сигнал.

Приведем примеры формирования некоторых типовых сигналов.

2. Формирование непрерывных сигналов

Гармонический сигнал на интервале T.

Для формирования простого гармонического колебания следует дополнительно задать несущую частоту

и описать сигнал простой тригонометрической функцией (например, с амплитудой =1):

(Ввод шаблона для индекса для векторов — скобка “[”)

Естественно, частота также должна быть представлена значением относительно T (например, в числе периодов колебания на интервале T).

Если будет анализироваться спектр такого гармонического сигнала, то необходимо, чтобы на интервале формирования T укладывалось целое число периодов.

Для этого достаточно описать сигнал следующим образом:

— число периодов гармонического колебания на интервале T

В зависимости от того, целое или не целое число периодов гармонического колебания на интервале T будет изменяться и рассчитываемый спектр:

Рис.2. Вид и спектры гармонического колебания при n1=4 и n2=4.5

Если на интервале T целое число периодов колебания, то такой сигнал можно рассматривать как стационарный непрерывный сигнал одной частоты, в противном случае его можно рассматривать как радиоимпульс длительностью T.

3. Формирование элементарных импульсных сигналов

3.1 Прямоугольный импульс

Пусть требуется сформировать прямоугольный импульс на интервале T длительностью ф_i с задержкой (сдвигом) относительно начала интервала моделирования ф_n и амплитудой Um.

Формируемый сигнал будем задавать в виде вектора.

Очевидно, перед описанием формы импульса следует определить параметры: mathcad сигнал вектор импульсный

T:= t:=0..T-1 ф_i:= ф_n:= Um:=

Задание импульса с помощью встроенной функции Хэвисайда (heaviside step) — единичный скачок:

Ц(x) = 0 при x < 0и = 1 при x >= 0

Тогда импульс можно описать выражением:

Рис.3. Пример формирования импульса с использованием функции heaviside step. (При построении графиков прямоугольных импульсов удобнее использовать опцию Traces — step).

Функцию Ц( ) можно ввести через меню, с панели символов греческого алфавита или с клавиатуры вводом латинского символа (F) с последующим вводом Ctrl—G для преобразования латинского символа в греческий.

Примечание: для быстрого ввода с клавиатуры часто используемых греческих символов с последующим преобразованием по Ctrl—G полезно запомнить некоторые сочетания:

p — р, w —щ, W — Щ, t — ф, D — Д, a — б, b — в и др.

Задание импульса с помощью оператора условия if( ):

if(условие, значение1, значение2)

В качестве условия следует задать логические выражения с использованием булевых операторов (Boolen)

Если логическое выражение истинно (условие выполняется), то оператор возвращает значение1, если же нет, то значение2.

Тогда формирование импульса может быть задано:

Аналогичный результат будет получен при использовании выражения:

Кроме того, при задании условия могут быть использованы более сложные выражения с использованием объединяющих операторов И ИЛИ:

Задание импульса путем переопределения значений вектора.

В начале формируется нулевой вектор из T элементов:

Далее введем новое обозначение индексации (например, k) в пределах длительности импульса:

k:=ф_n…(ф_n+ф_i)

и зададим новые значения вектора сигнала в пределах заданного диапазона:

(Значения элементов вектора по ходу документа могут быть неоднократно переопределяться).

Приведенное выше определение диапазона k возможно в том случае, если значения ф_i и ф_i+ ф_n являются целочисленными значениями, которые и могут быть индексами элементов вектора. Но если значения ф_i и/или ф_n заданы, например, в величинах относительно интервала T (ф_n:=T/3 при T:=1024), то значения индексов k окажутся дробными, что не допустимо. Поэтому в общем случае следует воспользоваться функциями округления:

floor(x) — округление x до ближайшего целого снизу

ceil(x) — округление x до ближайшего целого сверху;

и тогда диапазон индексов в пределах импульса в общем случае следует задать, например:

k:= floor(ф_n)… floor(ф_n+ф_i)

Задание импульса с помощью программы — функции.

Или при других t)

Шаблон для программы-функции Add Line, оператор if и otherwise вводятся не с клавиатуры, а кнопками на панели программирования .

При первом вводе Add Line формируется шаблон для программы-функции:

Для добавления строк программы следует установить курсор на пустое поле и повторно щелкнуть Add Line (или “]”).

Все варианты позволяют сформировать один и тот же прямоугольный импульс.

3.2 Импульс с экспоненциальными фронтами

При прохождении прямоугольного импульса через ФНЧ (RC—цепь) на выходе будет получен импульс с экспоненциальными фронтами.

Для формирования такого импульса можно также воспользоваться операторами программирования Add Line и if и описать фронты экспоненциальными функциями.

Для этого следует задать

— параметр экспоненты, описывающей фронты (соответствует постоянной времени интегрирующей RC-цепи), через которую проходит прямоугольный импульс. Данный параметр удобнее задавать в единицах длительности импульса.

— задержка относительно начала

— передний фронт (и вершина)

Рис.4. Импульс с экспоненциальными фронтами.

3.3 Трапецеидальный импульс

Для описания кусочно-ломаных функций, частным случаем которых и является трапецеидальный импульс, достаточно задать последовательность пар значений: аргумент и соответствующее ему значение функции. Для сигналов это будет время и уровень:

(t0,U0, t1, U1, t2,U2,….t_i,U_i,…t_k,U_k).

и затем, используя операторы программирования Add Line и if, для каждого промежутка времени задать выражение для расчета линейной функции, например:

Пусть трапецеидальный импульс задан следующими параметрами:

— задержка импульса относительно начала формирования

— длительность фронта (переднего и заднего)

— длительность импульса по вершине (длительность импульса по нулевому уровню равна ф_i + 2*ф_f)

Тогда импульс с заданными выше параметрами может быть сформирован следующим образом:

Рис.5. Трапецеидальный импульс.

3.4 Колоколообразный (гауссов) импульс

Колоколообразный импульс является классическим примером сигнала с наиболее компактным спектром. Описывается выражением:

t_0 — положение центра (вершины) импульса

ф_е — параметр импульса, определяющий его длительность.

Рис.6. Колоколообразный импульс.

Если задана длительность импульса ф_i на относительном уровне U_o, то параметр

ф_е может быть вычислен:

Рис.7. Амплитудный спектр колоколообразного импульса.

3.4 Радиоимпульс

Для получения сигнала в виде радиоимпульса достаточно перемножить видеоимпульс с заданными параметрами (см. выше) на непрерывный гармонический сигнал частоты f0.

Если необходимо, чтобы в пределах импульса укладывалось целое число периодов гармонического сигнала, то частоту следует определить

n — число периодов частоты в пределах ф_i.

Если необходимо также «привязать» начальную фазу колебания к началу импульса, то гармонический сигнал следует описать

ф_n — начало импульса

При моделировании высокочастотных сигналов и построении их спектров количество расчетных точек T следует выбирать так, чтобы на периоде частоты было бы 4…8 отсчетов.

4. Формирование сигналов, описываемых различными кодовыми последовательностями

В начале тем или иным способом создается кодовая последовательность в виде вектора, элементы которого принимают значения или .

Например, кодовая последовательность может быть задана непосредственно в виде вектора (ниже представлен 11-разрядный код Баркера):

(Представление кода сначала в виде матрицы-строки и последующее транспонирование матрицы, т.е. преобразование ее в вектор-столбец, использовано лишь для компактности представления данных на экране).

Если изначально элементы вектора заданы как значения , а для последующего моделирования, например, для моделирования сигналов с фазовой модуляцией, требуются значения , то достаточно выполнить преобразование:

— число элементов кода (разрядность);

— индексация элементов вектора;

— преобразование элементов вектора.

Представим кодовую комбинацию в виде функции времени. Для этого введем «временные» параметры:

— длительность элементарного символа кода;

Рис.9. Ансамбль единичных импульсов для формирования кода в виде функции времени.

Временную функцию, соответствующую кодовой комбинации, можно получить путем суммирования произведения значений элементов кода B_k (или Code_k) на единичные элементарные импульсы, существующие только в пределах элементов кода Imp:

— временная функция, соответствующая коду.

Для формирования сигнала, модулированного по фазе кодовой комбинацией достаточно перемножить гармоническое колебание на U_t.

Рис.10. ФМ — сигнал, модулированный 11-разрядным кодом Баркера.

Здесь для наглядности «временных диаграмм» частота заполнения элементарных импульсов кратна их длительности.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Структурная, функциональная и принципиальная схема преобразователя. Архитектура микроконтроллера ADuC816, функциональные особенности и практическое применение. Описание алгоритма обработки и регистров специальных функций. Моделирование в среде Mathcad.

курсовая работа [303,5 K], добавлен 10.05.2015

Среднеквадратические значения напряжения и тока как одни из параметров периодических сигналов. Специфические особенности использования аппроксимационного подхода для определения квазидетерминированных сигналов и метрологического анализа результатов.

диссертация [3,7 M], добавлен 04.06.2017

Процедура формирования массивов отсчетов входного и выходного сигналов и времени; вычисление величины заданной характеристики выходного сигнала: функция нахождения длительности импульса; организация текстовых файлов; построение графиков в системе MathCad.

курсовая работа [75,9 K], добавлен 28.09.2012

Особенности кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара, расчет спектров сложных сигналов. Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций, в базисе функций Хаара. Обобщенный ряд Фурье. Специфика функции Радемахера.

лабораторная работа [783,7 K], добавлен 29.06.2010

Моделирование процесса обработки 500 сигналов, поступающих с датчиков. Определение среднего времени задержки сигналов в канале и линии-ЭВМ и вероятности переполнения входных накопителей. Разработка и описание алгоритма функционирования программной модели.

курсовая работа [140,7 K], добавлен 09.04.2013

Принцип радиолокационной съемки с синтезированной апертурой. Полунатурное моделирование зондирующих и отраженных сигналов. Способы генерации высокочастотных сигналов, модулированных сигналами произвольной формы. Этапы испытания макета фрагмента РСА.

курсовая работа [3,9 M], добавлен 07.07.2012

Разработка компаратора аналоговых сигналов. Устройство реализовано на однокристальном микроконтроллере типа PIC16C71. Технические характеристики спроектированного устройства. Программа для управления МК на языке Assembler, отлажена в среде MPLAB.

Моделирование в системе MathCad типовых периодических сигналов (виртуальные генераторы);

Вычисление в системе MathCAD числовых характеристик периодических сигналов (среднее значение, среднее по модулю, действующее значение, средняя мощность, взаимная мощность; коэффициенты формы и амплитуды);

Интегральные характеристики периодических сигналов:

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания.

средняя мощность-есть дисперсия периодического сигнала, равная квадрату этого сигнала взятого за период

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие термины: станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

Правило трёх сигм – (запомните. )

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм ( ) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале . Более строго — не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина неизвестна, то следует пользоваться не , а s. Таким образом, правило трёх сигм преобразуется в правило трёх s.

Сре́днее значе́ние — числовая характеристика множества чисел или функций; — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим из их значений.

Среднее за период — для гармонического сигнала это нуль. А если среднее = 0, то процесс называется центрированным.

Для полигармонического периодического сигнала:

Среднее по модулю (средневыпрямленное) – характеризует площадь, занимаемую кривой.

Средняя мощность — для центрированных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов.

Действующее значение – равно среднеквадратичному значению:

Взаимная мощность двух сигналов:

Коэффициент формы кривой переменного напряжения — величина, равная отношению действующего значения периодического сигнала к его средневыпрямленному значению.

Коэффициент амплитуды кривой переменного напряжения — величина, равная отношению максимального по модулю за период значения напряжения к действующему значению периодического напряжения.

Моделирование разрешения сложных сигналов

С целью повышения помехозащищенности информационных и измерительных радиосистем применяют сложные сигналы, у которых база сигнала (произведение длительности на ширину спектра) значительно больше единицы [2]:

В качестве примеров сложных сигналов рассмотрим радиоимпульсы с дополнительной фазовой и частотной модуляцией. При этом наряду с временным и спектральным представлениями сигналов необходимо будет моделировать их автокорреляционную функцию, воспользовавшись полученным в [3] выражением для дискретизированных сигналов (представленных в ЭВМ дискретными отсчетами):

где ICFFT() — обратное альтернативное быстрое преобразование Фурье [4], W(f) — энергетический спектр сигнала, T_c — длительность импульса.

Модель радиоимпульса с линейной частотной модуляцией

Аналитическое представление ЛЧМ-радиоимпульса, с которого мы начнем разработку модели, имеет следующий вид [2]:

где S_m — амплитуда радиоимпульса, щ₀ — круговая несущая частота, в = 2рДf/T_c — скорость изменения частоты внутри импульса, Дf — девиация частоты.

Создав новый файл в программной среде MathCAD, введем дискретные отсчеты времени и частоты:

и зададим параметры модели — длительность импульса, девиацию частоты внутри импульса и несущую частоту:

Нам необходимо сформировать ЛЧМ-радиоимпульс заданной длительности, поэтому для формирования временной формы сигнала можно воспользоваться условной функцией вида:

где с1, с2 — значения переменной х, определяющие границы условия; d1 — значение, принимаемое функцией при выполнении условия; d2 — значение, принимаемое функцией при невыполнении условия. Обозначив идентификатором a_j массив отсчетов первичного импульса заданной длительности, можем записать выражение для его формирования в программной среде MathCAD с использованием функции (2.4):

Введя выражение для скорости изменения частоты внутри импульса, можем записать формулу для расчета массива отсчетов ЛЧМ-радиоимпульса:

Покажем теперь, каким образом можно получить энергетический спектр ЛЧМ-радиоимпульса и построить его автокорреляционную функцию. Для расчета энергетического спектра воспользуемся функцией быстрого преобразования Фурье, передав ей в качестве входного параметра массив отсчетов сигнала, и возведем в квадрат модуль возвращаемого этой функцией результата. Программный код этих операций на языке MathCAD можно записать в следующем виде (листинг 5).

Здесь же мы выполнили нормировку энергетического спектра ЛЧМ-радиоимпульса и ввели формулу для расчета базы сигнала.

Для расчета массива отсчетов автокорреляционной функции ЛЧМ-радиоимпульса воспользуемся выражением (2.2), выделим реальную часть полученного комплексного массива с помощью функции Re() [4] и выполним нормировку его значений. Программный код этих операций запишем следующим образом (листинг 6).

Для визуализации полученных массивов временного представления ЛЧМ-радиоимпульса, его энергетического спектра и автокорреляционной функции разместим в модели три графика. После установки пределов отображения на горизонтальных осях графиков должен получиться результат моделирования ЛЧМ-радиоимпульса, представленный на рис.

Результаты моделирования ЛЧМ-радиоимпульса с параметрами Тс = 0,5 мс, Дf = 20 кГц, f₀ = 50 кГц

Моделирование разрешения сигналов

Допустим, первый абонент посылает сигнал «0» в коде Баркера:

А второй «1» в виде:

На входе приемника получили суммарный сигнал двух описанных выше, причем второй сигнал наложился со сдвигом ф=2:

Для того чтобы различить два это сигнала или нет, применяется следующая методика.

Записываем первый сигнал в обратном порядке:

Затем производим преобразование (рисунок 2.12) над сигналами для получения результирующей последовательности вида (рисунок 2.13)

Как видим из рисунка 2.13 сигнал имеет два пика, значит, он имеет в своем составе два сложных сигнала.

Лабораторная работа №4. Исследование сигналов и фильтров в mathcad

,

Разбиваем исследуемый временной интервал (T) на промежутки:

Оцениваем (приблизительно) количество точек, приходящихся на определенные временные интервалы:

— кол-во точек на t=0..t0

На интервале t=0..t0 можно выделить 7 отрезков, не равных между собой.

Если предположить, что продолжительность по времени (длина) каждого такого отрезка равна, то получаем среднее количество точек, на каждый интервал:

Для простоты берем целое количество точек на каждом интервале, соблюдая неравность отрезков:

Также имеются еще 3 интервала, длительностью 2*t2; t3; t4, для которых:

Для более удобного представления, запишем длительности каждого из 10 интервалов в виде вектора-столбца (NN):

Зададим исследуемый сигнал в следующем виде:

N:= NN0-1 … NN0+ NN1-1, Fn:=C2

Где C1 … — некоторые константы

Воспользуемся следующим алгоритмом для формирования значений координат начала-конца рассматриваемых интервалов (n1 … n10):

J:=0 … 9 — количество элементов вектора NN

— координаты границ

Массив E будет как и массив NN иметь размерность 10 и содержать координаты границ исследуемых интервалов:

В итоге вид задания функции следующий:

Вид сигнала на показан на Рис 1. :

Быстрое преобразование Фурье для данного сигнала (Рис 2. – Рис 3.):

— вектор-столбец

, rows(W)-1 – кол-во эл-ов

Выполним обратное преобразование Фурье и построим получившийся сигнал F2 ( Рис 4.):

В полосе i1 осуществляется урезание частот (идеальный ФВЧ). Спектр сигнала, прошедшего через ФВЧ показан на Рис 5-6. :

Обратное преобразование Фурье для полученного спектра: .

Вид сигнала F3 представлен на Рис 7-8. :

В полосе i2 осуществляется обнуление частот (идеальный ФНЧ). Спектр сигнала, прошедшего через ФНЧ показан на Рис 9.

Обратное преобразование Фурье:

Вид полученного сигнала изображен на Рис 10-11.:

Полосовой фильтр:

В интервале i3 частоты вырезаются. Вид спектра на Рис 12.:

Обратное преобразование Фурье:

Вид сигнала представлен на Рис 13.:

Режекторный фильтр:

В интервалах i5, i6 частоты урезаются. Вид спектра изображен на Рис 14.:

Обратное преобразование Фурье и вид сигнала (Рис 15.):

Изучены методы спектрального анализа (БПФ, ОПФ). Ознакомились с характеристиками следующих идеальных фильтров:

НЧ; ВЧ; Полосовой; Режекторный.

При ОПФ спектра, обработанного фильтрами ВЧ и Режекторным заметны существенные отклонения вида сигнала от первоначального. Это можно объяснить следующим: основная часть энергии сигнала сосредоточена порядка на первых ста гармоник, поэтому фильтрация этих частот практически полностью видоизменяет сигнал.

Лабораторная работа №5. Спектральная последовательность меандра АМ, УМ сигналы

Исследование Меандра:

Меандр – последовательность прямоугольных импульсов со скважностью 2.

A=1 – амплитуда меандра

— длительность импульсов

K – количество гармоник, использующихся для получения меандра в ряде Фурье.

Рассчитываем коэффициенты ряда Фурье:

— интервал исследования меандра

— ряд Фурье, где

При :

На примыкающих к разрыву участках наблюдается эффект Гиббса:

— несущая

— модулирующий сигнал

— АМ сигнал

Возьмем

Изменим (частота модулирующего сигнала) в соответствии с:

А также глубину модуляции M ():

Делаем БПФ АМ-сигнала:

При незаданном значении FRAME:

— модулирующий сигнал гармонической УМ

— начальная фаза колебания

— полная фаза

— УМ-колебание

Возьмем , , , ,:

Частота девиации ():

При незаданном значении FRAME:

Рассмотрен меандр. Моделируя его с помощью разложения в ряд Фурье, обнаружена закономерность: при увеличении числа слагаемых ряда, всплески на вершинах импульсов уменьшаются.

Для АМ-колебания: амплитудный спектр промодулированного сигнала будет иметь 3 составляющих:

1) Амплитуда несущего колебания равна (на частоте ) и не зависит от уровня модулирующего сигнала;

2) Для верхней боковой частоты — (на частоте );

3) Для нижней боковой частоты — (на частоте ).

Для УМ-колебания: ширина спектра () промодулированного сигнала меняется в зависимости от значения индекса угловой модуляции :

· при ширина спектра равна удвоенной частоте модулирующего сигнала:

· при ширина спектра равна удвоенной девиации частоты:

Похожие публикации:

1. Где в archicad поменять язык
2. Где находится windows movie maker в windows 7
3. Для чего нужна программа icq new
4. Как в archicad добавить объект в библиотеку

Как построить амплитудный спектр сигнала в mathcad

При выполнении данного курсового проекта будет произведен спектральный анализ и восстановление периодического сигнала при помощи программных сред MathCAD и MS Excel, разработан комплексный документ средствами интегрированного пакета Microsoft Office.

Адаптивные системы

Системы, автоматически изменяющие значение своих параметров или структуру при непредвиденных изменениях внешних условий на основании анализа состояния или поведения системы так, чтобы сохранялось заданное качество ее работы, называют адаптивными системами. Адаптивные системы с изменением значений параметров иногда называют самонастраивающимися, а системы с изменением структуры – самоорганизующимися.

Обычно адаптивная система содержит в качестве «ядра» схему, реализующую один из фундаментальных принципов управления, а контур адаптации пристраивают к ней как вторичный, осуществляющий коррекцию параметров. Контур адаптации, обычно состоящий из устройства измерения (ИУ), вычисления (ВУ) и управления (УУ), может быть разомкнут (рисунок 1), если на его вход подается только входное воздействие, или замкнут (связь показана пунктиром), если он реагирует также и на выходную координату системы. Основной контур составляет объект О и регулятор Р.

Рисунок 1 – Адаптивная САУ

Контур самонастройки воздействует на блок настройки параметров БНП, который может быть включен не только последовательно, как показано на рисунке, но и любым другим способом, например, в цепь обратной связи. Вычисление воздействий для коррекции параметров осуществляет ВУ в соответствии с программой.

Классификация САУ по другим признакам имеет более общий характер и слабо связана с фундаментальными принципами управления.

В зависимости от принадлежности источника энергии, при помощи которого создается управляющее воздействие, САУ могут быть прямого и непрямого действия. В системах прямого действия используется энергия управляемого объекта. В системах непрямого действия управляющее воздействие создается за счет энергии дополнительного источника.

По виду сигналов, действующих в системах, последние разделяют на непрерывные и дискретные. Дискретные системы, в свою очередь, разделяются на импульсные, релейные и цифровые.

САУ, у которых управляемая величина в установившемся режиме зависит от величины возмущающего воздействия, называются статическими, а САУ, у которых управляемая величина не зависит от возмущения, называются астатическими.

Решение задачи в среде MathCAD

Временная диаграмма сигнала представлена на рисунке 2. Параметры импульсной последовательности: амплитуда импульса U_m = 10 В; длительность импульса τ_u = 0,1 мс; период повторения импульсов T_n = 1 мс.

Рисунок 2 – Временная диаграмма сигнала

Во временной области математическая модель сигнала имеет вид:

Чтобы графически представить амплитудно-частотный спектр (АЧС) сигнала, необходимо вычислить амплитуды гармоник (колебаний синусоидальной формы), определяющих форму сигнала u(t). Амплитуды гармоник U_k (где k – номера гармоник, k = 1,2, …, n), находят по формуле

где коэффициенты ряда Фурье a_k и b_k определяют из выражений

Постоянную составляющую (среднее значение напряжения за период) находят из выражения

Поскольку заданный сигнал u(t) существует только на временном интервале t ϵ [0, τ_u], то в приведенных формулах (3), (4) и (5) нижний и верхний пределы интегрирования принимаем равными значениями переменной t в начале и в конце указанного интервала. Частота первой гармоники ω₁ определяется из выражения

Для построения фазочастотного спектра начальные фазы k-x гармоник определяют по формуле

если коэффициенты b_k > 0, в противном случае используют формулу

Числовые значения коэффициентов a_k и b_k в формулы (7) и (8) подставляют с учетом их знаков.

Формулы (7) и (8) используют для расчета начальных фаз гармоник, если при восстановлении исходного сигнала по известному спектру применяют синусную форму записи ряда Фурье для бесконечной во времени периодической функции, то есть выражение

Если же ряд Фурье записывают в косинусной форме

то начальные фазы гармоник находят по формулам

Для построения временной диаграммы сигнала в системе MathCAD используют программу вычислений в цикле. Фрагменты программ построения диаграммы исходного сигнала, его амплитудно-частотного и фазочастотного спектров в системе MathCAD показаны на рисунках 3, 4 и 5 соответственно.

Рисунок 3 – Построение временной диаграммы сигнала

Рисунок 4 – Построение амплитудно-частотного спектра

Рисунок 5 – Построение фазочастотного спектра

Фрагмент программы восстановления исходного сигнала в системе MathCAD показан на рисунке 6.

Рисунок 6 – Восстановление сигнала во временной области по заданному спектру

Как видно из рисунка 6, при использовании числа членов ряда Фурье (числа гармоник) N = 100 временная диаграмма восстановленного сигнала отличается от временной диаграммы исходного сигнала незначительно. Для полного воспроизведения формы сигнала число гармоник должно стремиться к бесконечности, что возможно только теоретически.

На рисунке 7 в виде таблицы представлены результаты вычисления постоянной составляющей и амплитуд первых десяти гармоник U_k спектра исследуемого сигнала. Данные приведены для проведения сравнительного анализа результатов решения задачи в среде MathCAD и Excel.

Рисунок 7 – Результаты расчета в MathCAD

Дата добавления: 2016-09-06 ; просмотров: 2111 | Нарушение авторских прав

2.1 Спектральные характеристики периодических сигналов

Задача 2.1.1. Разложить функцию x(t):= t,в тригонометрический ряд Фурье на интервале (0,1).

Ряд Фурье (1.1) при числе гармоник k:= 0,1,2 имеет вид

Задача 2.1.2. Разложить функцию x(t):= t из примера 1.1 в экспоненциальный ряд Фурье на интервале (0,1).

Экспоненциальный ряд Фурье (1.4) при числе гармоник m:= 5 имеет вид

Задача 2.1.3. Построить амплитудный спектр периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсовZ(t), график которой приведен на рисунке 10, на базе тригонометрического ряда Фурье.

Рисунок 10 – График идеальных прямоугольных импульсов

Ответ. При единице времени одна миллисекунда m_s:= 10 -3 sec, номерах гармоник k:= 0 .. 5, амплитуде U_m:= 1.5volt, периоде T:= 2 m_s, частоте 1-й гармоникиf₁:= 1/Tи k-й гармоники f_k:= k∙f₁амплитудный спектр

График амплитудного спектра в виде столбчатой диаграммы приведен на рисунке 11.

Рисунок 11 – График амплитудного спектра

Задача 2.1.4. Найти амплитудный и фазовый спектры сигналаU(t) на выходе однополупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рисунке 12.

Рисунок 12 – График сигнала U(t)

Задача 2.1.5. Найти амплитудный и фазовый спектры сигналаS(t) на выходе двух полупериодного выпрямителя на основе комплексного ряда Фурье. График сигнала показан на рисунке 13.

Рисунок 13 – График сигнала S(t)

Задача 2.1.6. Найти амплитудный и фазовый спектры периодической последовательности идеальных прямоугольных импульсов P(t), график которой приведен на рисунке 14, на базе комплексного ряда Фурье.

Рисунок 14 – График импульсов P(t)

2.2. Спектральные характеристики непериодических сигналов

Задача 2.2.1. Построить спектры амплитуд и фаз сигнала U(t) на выходе генератора линейно изменяющегося напряжения (ГЛИН) при исходных данных: скорость изменения V_m:=4 volt∙Sec -1 и длительность τ:=2 Sec.

Аналитическое выражение сигнала

Рисунок 15 – Сигнал U(t)

Задача 2.2.2. Найти спектр косинусоидальной функции y(t), заданной на интервале -τ/2 ≤t≤ τ/2 показанной на рисунке 16, при исходных данных: амплитуда U_m:= 0.5, длительность τ:= 0.2, при N:= 8 частота f := N/τ или ω := 2 ∙ π ∙ f , возможная периодичность повторения T:= 2 ∙ τ.

Аналитическое выражение функции

Рисунок 16 – Сигнал y(t)

Ответ.Спектр функции y(t)

Задача 2.2.3. Найти амплитудный спектр одиночного видеоимпульса S(t) синусоидальной формы при исходных данных: амплитуда U_m:= 2 volt; длительность τ:= 10 -1 sec; при N:= 2 частота f := 1/ (N∙τ) (угловая частота ω := 2 ∙ π ∙ f ) и период T := N∙τ.

Аналитическое выражение сигнала:

Рисунок 17 – Видеоимпульс S(t)

Ответ. Амплитудный спектр

График амплитудного спектра видеоимпульса S(t) синусоидальной формы приведен на рисунке 18 при изменении угловой частоты ω в долях несущей частоты ω := 2π/Т в случае периодического продолжения импульсного сигнала с периодом T , а именно при

Рисунок 18 – График амплитудного спектра видеоимпульса S(t)

Задача 2.2.4. Решить задачу 2.2.3 с использованием теоремы о временном сдвиге.

Задача 2.2.5. Найти спектры амплитуд и фаз экспоненциального видеоимпульса E(t), t≥0 sec с амплитудой U_m:= 1volt и коэффициентом затухания α:=0.1 sec -1 .

Рисунок 19 – Видеоимпульс E(t)

Математическая модель сигнала

Задача 2.2.6. Найти амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса E1(t), t≥0 sec (рисунок 20) с параметрами: амплитуда U_m:= 5volt; коэффициент затухания α:= 400 sec -1 ; частота f := 1000 Hz (ω := 2πf ).

Рисунок 20 – Экспоненциальный радиоимпульс E1(t)

Математическая модель сигнала

Ответ.Амплитудный спектр экспоненциального радиоимпульса

График амплитудного спектра приведен на рисунке 21 при

и изменении угловой частоты

Рисунок 21 – График амплитудного спектра

Задача 2.2.7. Найти в рамках Mathcad спектры некоторых специальных функций:

дельта-функция δ (t) или функция Дирака

единичный скачок d(t) или функция Хевисайда

комплексная синусоида (пусть ω := 5)

постоянная функция p(t) := A

ПРИМЕЧАНИЕ. Все эти функции абсолютно не интегрируемы, но путем предельного перехода для них можно найти интегральное преобразование Фурье.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если интеграл непосредственно не берется, то следует использовать в Mathcad команды прямого преобразования Фурье «Fourier Transform» и обратного преобразования Фурье «Inverse Fourier Transform» меню Symbolic и Transforms.

Задача 2.2.8. Амплитудный спектр сигнала S(t) имеет параметры:

а) плотность амплитуд H:= 0.5 volt∙sec;

б) частоты среза спектра ω_c1:= 4 sec -1 и ω_c2:= 3 ω_c1.

Амплитудный спектр описывается выражением

Спектр фаз равен нулю. Требуется найти вид сигнала S(t). График частотной характеристики (амплитудного спектра) приведен на рисунке 22 при W:=18 sec -1 и ω:= -W, -W + W/200 .. W.

Рисунок 22 – График частотной характеристики

причем при t:=0 имеем

График сигнала при T:= 5sec и t:= 1.0 ∙ T, — 1.0 ∙ T + T/400 .. 1.0 ∙ T приведен на рисунке 23.

Автоматизация инженерной деятельности

Тема 1. Формирование элементарных сигналов и вычисление их спектров. 2

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр. 2

1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр. 2

1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр. 3

1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов. 3

1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов. 4

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов. 4

1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала. 5

По текстовым файлам «Формирование сигналов в среде MathCAD» и «Спектральный анализ сигналов» ознакомиться со способами формирования сигналов и особенностях вычисления их спектров встроенными функциями.

Ознакомиться также с файлом MathCAD «Формирование элементарных сигналов».

1.1. Прямоугольный импульс и его спектр.

Тем или иным способом сформировать прямоугольный видеоимпульс и, используя встроенную функцию БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Рис.1. Амплитудный спектр прямоугольного импульса.

Длительность сигнала выбрать из соображений наглядности представления спектра.

1.1.1. Определить уровни 2-ого, 3-его, 4-ого лепестков спектра по отношению к главному (отношение уровня лепестков спектра к постоянной составляющей).

1.1.2. Определить изменение амплитудного спектра при изменении длительности импульса.

1.1.3. Определить влияние смещения начала импульса на его спектр.

1.1.4. Определить спектр сигнала типа «меандр» (длительность импульса = T/2).

Здесь и далее в качестве отчета по выполняемым заданиям представить файлы MathCAD, содержащие необходимые пояснения по результатам выполняемых заданий.

Рекомендуется каждое задание оформлять отдельным файлом.

Для иллюстрации различных операций, требующих сравнения результатов (например, как по данному заданию для определения влияния на вид спектра длительности импульса) следует в файле одновременно представить несколько вариантов.

1.2. Прямоугольный радиоимпульс и его спектр.

Сформировать прямоугольный радиоимпульс и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Рис.2. Амплитудный спектр радиоимпульса.

1.3. Прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами и его спектр.

Сформировать прямоугольный видеоимпульс с экспоненциальными фронтами (см. «Формирование сигналов в среде MathCAD») и, используя БПФ (FFT), построить его амплитудный спектр.

Определить влияние на вид амплитудного спектра «завала» фронтов прямоугольного импульса (постоянной времени формирования фронтов). Для этого сформировать 2-3 сигнала с различной постоянной времени фронта и построить их спектры, позволяющие качественно сравнить изменение уровней лепестков спектра.

1.4. Сравнение спектров прямоугольного и колоколообразного (гауссового) импульсов.

Колоколообразный (гауссов) видеоимпульс описывается выражением:

— описание формы гауссового видеоимпульса,

середины интервала формирования T.

— параметр гауссового импульса, определяющий его

длительность на относительном уровне U_o

Сформировать прямоугольный импульс длительностью τ_i (в пределах T/10…T/15) и гауссов импульс такой же длительности по уровню 0.1.

Рис.3. Прямоугольный и гауссов импульсы.

Вычислить по FFT спектры импульсов.

Рис.4. Амплитудные спектры прямоугольного и гаусового импульсов.

Определить соотношение ширины спектров импульсов, в пределах которой сосредоточено 99% мощности сигналов. Для этого вычислить отношение мощности (суммы квадратов) гармоник в диапазоне, ограниченном значениями m и n, к полной мощности сигналов (т. е. подобрать значения m и n, обеспечивающие значение отношений

Отношение ширины спектров, занимаемых такими сигналами, определить как отношение значений m и n.

1.5. Особенности применения БПФ (FFT) для гармонических сигналов.

На интервале моделирования T:=1024

сформировать несколько (четыре) непрерывных гармонических сигнала в виде векторов u с циклическими частотами:

и, выполнив прямое преобразование Фурье (FFT), построить графики амплитудных спектров сформированных сигналов.

Рис.5. Спектры гармонических сигналов в зависимости от соотношения между частотой гармонического сигнала и интервала моделирования.

Пояснить различия спектров сигналов с частотой, кратной интервалу моделирования T и некратной.

1.6. Спектр амплитудно-модулированных сигналов.

Смоделировать амплитудную модуляцию несущей частоты одной гармоникой низкой частоты.

Аналитическое выражение АМ-сигнала:

Модулирующее колебание (с амплитудой = 1):

Um – амплитуда несущей частоты колебания (без модуляция) – принять = 1;

m – коэффициент модуляции;

F – частота модуляции.

Построить спектр АМ-сигнала с помощью FFT.

Напомним, что для получения «правильного» результата расчета спектра по FFT как f, так и F должны быть кратны 1/T (целое число периодов на интервале моделирования), т. е. присвоить частотам значения:

где n и N – число периодов колебаний частоты f0 и F на интервале T.

Рис.6. АМ сигнал и его спектр.

Определить соотношение между гармоникой несущей и гармониками боковых частот при различных коэффициентах амплитудной модуляции m = 1; 0.7; 0.5.

Выяснить форму АМ-сигнала при перемодуляции (m > 1).

1.7. Спектр частотно-модулированного сигнала.

Частотная модуляция аналитически описывается выражением:

Um – амплитуда сигнала (при ЧМ амплитуда постоянна);

m – индекс частотной модуляции.

При ЧМ модуляции одной частотой Ω (F):

индекс модуляции равен m= Δf/F (или Δω/Ω); здесь амплитуда модулирующего сигнала принята равной 1.

Δf (Δω) – девиация частоты – максимальное отклонение несущей частоты под воздействием модулирующего сигнала от средней – f0.

Опуская здесь математическое обоснование, отметим, что ЧМ сигнал теоретически может быть представлен бесконечным рядом гармоник, вычисляемых через функции Бесселя:

где Jk(m) – значение функции Бесселя первого рода порядка k (k – номер гармоники ряда Фурье) при значении аргумента m (значении индекса модуляции).

Используя файл «Частотная модуляция», определить изменение спектра ЧМ сигнала в зависимости от частоты модуляции F (от N – числа периодов модулирующего сигнала на интервале T) и от девиации частоты Δf (в % от несущей частоты).

N менять в пределах 1…5, девиацию в % — в пределах 5…15%

Рис.7. Спектр ЧМ сигнала.

Спектр ЧМ сигнала бесконечен (см. выше), но на практике полагают, что полоса частот, занимаемая ЧМ сигналом, примерно равна:

(В пределах такой полосы сосредоточена основная мощность ЧМ сигнала).

Используя указанный выше файл, определить связь между девиацией частоты и шириной спектра ЧМ сигнала (т. е. убедиться в справедливости практических предположений о ширине спектра).

В вышеуказанном файле расчет гармоник спектра ЧМ сигнала выполнен методом быстрого преобразования Фурье (FFT).

Не безынтересно сравнить результаты расчета спектра ЧМ сигнала по FFT c теоретическими значениями.

В MathCAD имеются встроенные функции Бесселя Jn(j,x):

— где j — порядок функции, x – аргумент функции.

Применимо к ЧМ сигналу x – это значение индекса модуляции m;

j — номер гармоники боковой полосы спектра;

Для сравнения результатов расчета спектра по FFT с теоретическими значениями вывести значения нескольких гармоник, рассчитанных разными способами и сравнить их:

Построить несколько функций Бесселя:

Рис.8. Функции Бесселя первого рода порядка 0…4.

Найти одно из значений индекса модуляции m (порядка 6-и), при котором гармоника несущей частоты будет равна нулю, т. е. будет подавлена (Jn(0,x)=0).

Естественно, для определения x (m), при котором Jn(0,x)=0, т. е. для определения численных значений функции и аргумента по построенным графикам можно воспользоваться режимом измерений MathCAD Trace. Однако при этом не всегда обеспечивается требуемая точность получения результатов, т. к. указатель для измерения устанавливается только на расчетные точки.

В таких случаях (а также и при других расчетах) удобно использовать встроенную функцию root для вычисления корня уравнения.

Вычисление корня уравнения f(x) в MathCAD реализовано в двух вариантах:

f(x) – уравнение, x – переменная уравнения, относительно которой вычисляется корень.

Вычисление корня уравнения выполняется численным методом Ньютона (методом касательной), поэтому перед заданием функции root(f(x),x) следует задать начальное значение (первое приближение к корню) x0.

Здесь вместо задания начального (первого) приближения к корню уравнения задается диапазон, в пределах которого и следует искать корень. (MathCAD первое приближение вычисляет как середину заданного в root диапазона).

Применимо к рассматриваемой задаче определения индекса частотной модуляции для подавления несущей частоты m_0 можно воспользоваться вычислением:

m_0:=root(Jn(0,x),x, x_min, x_max)

По найденному значению индекса модуляции задать выражение для вычисления девиации частоты Df (уже не через %) и выполнить моделирование ЧМ сигнала, вычислить и построить его спектр (гармоника на несущей частоте должна быть = 0).

Изобразить спектр дискретизированного сигнала

Спектр сигнала
Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как построить спектр одиночного сигнала. С помощью БПФ.

Построить спектр ФМ сигнала
Удалось построить ФМС, но маткад не хочет строить спектр. Пробовал через интегрально.

Амплитудый спектр сигнала
Есть ли какой-то простой способ вывести амплитудный спектр сигнала в MathCAD? Исходные данные -.

Амплитудный спектр АМ-сигнала
Проблема такая: амплитудный спектр АМ сигнала, маткад строит только 1 гармонику,а две боковые.

Спектр и анализ заданного сигнала
Друзья, помогите пожалуйста! 1) Нужно построить амплитудно-частотный спектр заданного сигнала. Я.

Спектр прямоугольного сигнала в маткаде
Генератор ударного импульса возбуждает колибания в пьезодатчике воздушного типа с частотой 40 кГц.

Не удается получить спектр сигнала
Есть периодический сигнал, кое-как задала два периода, для быстроты хотела, чтобы он сам посчитал.

Как строить спектр чм сигнала в маткаде
Доброго времени суток. Подскажите, пожалуйста, как в маткаде можно построить спектр ЧМ сигнала вида

Построить фазовый спектр модулированного сигнала
помогите построить фазовый спектр модулированного сигнала

1.3. Рассчитать и построить амплитудный и фазный спектры сигнала воздействия.

Всякий периодический сигнал воздействия f(t) – может быть представлен бесконечной суммой синусоид кратных частот – рядом Фурье:

, (12)

Периодическая функция времени обладает свойством повторения формы через минимальный промежуток времени T, называемый периодом функции:

.

Период определяет частоту основной гармоники бесконечной суммы, которой кратны все слагаемые:

.

Коэффициенты ряда (12) определяются по формулам Фурье:

(13)

Объединение синуса и косинуса одной частоты в выражение (12) дает другую форму ряда Фурье:

(14)

где ,.

В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:

(15)

здесь комплексная амплитуда к-й гармоник

;

, (16)

где

С учетом выражений (14) и (15) можно получить выражение (17):

(17)

Вещественность означает, что ряд состоит только из косинусных гармоник, а функция времени является четной.

, (18)

число гармоник на интервале между двумя узлами равно отношению , называемого скважностью импульсов.

На вход ARC — фильтра будем действовать периодическим сигналом прямоугольной формы, имеющего следующие характеристики:

Скважность: S = 3

Амплитуда, В: U = 8

Порядок Фурье: n = 4

Будем исследовать реакцию фильтр при воздействие на него сигнала частотой лежащей в полосе пропускания. Для этого выберем частоту сигнала воздействия , где— резонансная частота данного фильтра. Отсюда частота сигнала воздействияГц.

1.Суммирование функций и построение графика суммы.

Рассмотрим разложение в усеченный ряд Фурье периодической последовательности импульсов со скважностью s и числом слагаемых N:

Для построения графика суммы воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

2.Амплитудный спектр воздействия.

Рис. 4 Амплитудный спектр воздействия.

3.Фазный спектр воздействия.

Рис. 5 Фазный спектр воздействия.

. Рассчитаем амплитудный и фазный спектры реакции:

В пункте 1.3 были получены амплитудный и фазовый спектры сигнала воздействия. Определим, какова будет реакция исследуемого ARC – фильтра, если на его вход воздействовать периодическим сигналом (см. п.п. 1.3).

1. Амплитудный спектр реакции:

Рис. 6 График амплитудного спектра реакции.

Из графика видно, что при k=2 наблюдается максимальная пропускная способность фильтра. Это обусловлено тем, что _к где _ частота основной гармоники.

2. Фазный спектр реакции:

Рис. 8 Фазный спектр реакции.

1.5. Построим график функции времени реакции цепи на заданное воздействие:

По амплитудному и фазному спектрам (см. п.п. 1.3) можно построить соответствующую им функцию времени по формулам (14).

Для построения графика функции времени воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

Рис.9. График функции времени.

На Рис. 9 представлены графики сигналов воздействия () и реакции () ARC – фильтра.

1.6. Рассчитаем и построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза больше.

В п.п. 1.3. – 1.4 мы исследовали реакцию фильтра при воздействие на него периодическим сигналом, частотой , где— резонансная частота данногоARC — фильтра. По условию данного пункта примем частоту сигнала воздействия .

График суммы:

Рис. 10. График суммы.

Амплитудный спектр воздействия.

Рис. 4 Амплитудный спектр воздействия.

Амплитудный спектр реакции имеет следующий вид:

Рис. 11Амплитудный спектр реакции.

Фазный спектр воздействия.

Рис. 5 Фазный спектр воздействия.

Фазный спектр реакции имеет следующий вид:

Рис. 12 Фазный спектр реакции

Построение спектра сигнала в matlab

Одной из самых распространённых задач является выявление в спектре сигнала составляющих. Делается это для того чтобы отфильтровать сигнал. Ведь иногда по одной линии передаётся далеко не один сигнал, в то время как обрабатывать каждый из них нужно по разному.

Рассмотрим простейший случай такого анализа в Matlab.

Сформируем временную сетку:

Теперь зададим сигнал для тренировок:

Как видите это всего навсего 2 синусоиды. одна на частоте 50Гц, другая на 120Гц. В жизни такого конечно же нет. Это всего навсего математическая абстракция, которая поможет понять как всё происходит.

Выведем сигнал для наглядности:

Теперь делаем преобразование Фурье для нашего сигнала.

Имеем 512 отсчётов. Примем это во внимание для нахождения цифрового преобразования:

Домножим на комплексно сопряженное и нормализуем:

Теперь задаём сетку частот и выводим спектр:

Как видно на рисунке, в спектре имеется 2 выброса на частотах 50 и 120Гц. Что подтверждается частотами, которые мы задали.

Отмечу ещё раз, что это идеальная ситуация, которой в жизни никогда не бывает. В настоящем сигнале постоянно присутствуют помехи с самыми разными частотами, что существенно зашумляет спектр и делает его менее наглядным.

В программе Simulink можно производить анализ спектра методом ДПФ (дискретного преобразования Фурье). При этом возможно анализировать спектры только непериодических сигналов по конечным наборам отсчетов.

Для анализа спектра периодических сигналов более целесообразно использовать функции классического языка MATLAB. Однако в этом случае моделирование спектра напоминает работу в программе Mathcad.

Работа в программе MATLAB осуществляется с помощью симулятора работы виртуального прибора Simulink. Запуск пакета Simulink можно произвести из командного окна MATLAB, нажав пиктограмму в панели инструментов и открыв новую модель (пиктограмма).

При запуске Simulink открываются два окна: пустое окно untitled (окно для создания блок–диаграммы модели) и окно Library Simulink (библиотека) с перечнем основных разделов библиотеки.

В открывшееся окно untitled необходимо добавить блоки, моделирующие работу источников сигналов, измерительных приборов и аналоговых систем.

Для изменения параметров блоков необходимо выполнить двойной щелчок на пиктограмму блока. При этом должно открыться окно настройки параметров Block Parameters.

Создание модели фильтра

Для проведения спектрального анализа аналогового фильтра требуется составить следующую структурную схему (модель), рис. 5.

Рис. 5. Структурная схема для проведения спектрального анализа фильтра

Модель аналогового фильтра (в данной работе исследуется фильтр Баттерворта) выглядит так, как показано на рис. 6, и создается с помощью следующих блоков:

аналоговый фильтр с единичным усилением Analog Filter Design

(DSP blockset/Filtering/Filter Design/Analog Filter Design), рис. 7;

усилитель Gain (Simulink/Math/Gain), рис. 8.

Рис. 6. Модель фильтра Баттерворта в программе MATLAB

Рис. 7. Расположение блока Analog Filter Design

Рис. 8. Расположение блока усилителя Gain

Исходные данные необходимые для синтеза аналогового фильтра:

порядок фильтра N;

пульсации в полосе пропускания / заграждения (не требуется для фильтров Баттерворта);

коэффициент усиления K.

Исходные данные задаются в блоке параметров фильтра Block Parameters: Analog Filter Design (рис. 9), где:

Design method – вид аппроксимации;

Filter order – порядок фильтра.

Коэффициент усиления задается отдельно в блоке параметров усилителя Block Parameters: Gain (рис. 10).

Рис. 9. Блок параметров Analog Filter Design

Рис. 10. Окно настройки параметров блока Gain

Блок Power Spectral Density (анализатор спектра)

Для просмотра спектральной плотности сигнала используют анализаторы спектра Power Spectral Density (Simulink Extras/Additional Sinks/Power Spectral Density), рис.11.

Рис. 11. Расположение блока Power Spectral Density (а) и результаты анализа спектра (б)

В окне настройки Block Parameters: Power Spectral Density, рис. 12, задаются следующие параметры анализатора спектра:

Length of buffer – длина буфера (по умолчанию 128);

Number of points for fft – число анализируемых точек (по умолчанию 512);

Plot after how many points– количество точек, после которого производится построение графика (по умолчанию 64);

Sample time – период дискретизации.

Все параметры, кроме периода дискретизации, должны быть кратны 2 N , где N – целое число.

Рис. 12. Окно настройки параметров блока Power Spectral Density

Результаты анализа спектра, выполняемого блоком Power Spectral Density, представляются в трех окнах (рис. 11.б):

исследуемый сигнал (Time history);

амплитудный спектр (Power Spectral Density);

фазовый спектр (Power Spectral Density (phase)).

Чтобы просмотреть спектр сигнала нужно запустить работу модели. Это можно сделать, вызвав меню Simulation и нажав команду Start, либо нажав сочетание клавиш Ctrl + T или же щелкнув пиктограмму –Start simulation.

Блок Signal Generator (генератор сигналов)

Для задания гармонического сигнала, используется блок Signal Generator

(Simulink/ Sources/Signal Generator), рис. 13.

Рис. 13. Расположение блока Signal Generator

В окне настройки блока Signal Generator задаются следующие параметры:

Wave form – форма сигнала:

sine– синусоидальный сигнал;

square – прямоугольный сигнал;

saw tooth – пилообразный сигнал;

random – случайный сигнал (шум);

Amplitude и Frequency – амплитуда и частота сигнала;

Units – единица измерения частоты (Hertz – Герцы или rad/sec – рад/сек).

Рис. 14. Окно настройки параметров блока Signal Generator

Для создания более сложных сигналов используется сумматор (Simulink/ Math Operations/Sum), рис. 15. Блок Sum выполняет суммирование входных сигналов. Пример использования сумматора для сложения двух входных сигналов показан на рис. 16.

Рис. 15. Расположение блока Sum

Рис. 16. Пример использования сумматора для сложения двух сигналов

Сумматор может использоваться в двух режимах:

Сложение входных сигналов (в том числе с разными знаками);

Суммирование элементов вектора, поступающих на вход блока.

Окно настройки параметров блока Sum изображено на рис. 18. Вводя значения в поле List of sings (список знаков), можно управлять режимами работы блока Sum.

Значения могут задаваться одним из трех способов:

в виде последовательности знаков «+» и «–», причем число знаков определяет число входов блока, а сами знаки – полярности соответствующих входных сигналов. При большом количестве слагаемых их целесообразно разбить на несколько групп, отделяя одну группу от другой символом │ (например: + +│– +);

в виде целой положительной константы (больше 1), значение которой равно числу входов блока, а все входы считаются положительными (например, ввод константы 4 аналогичен вводу «списка знаков» в форме + + + +).

ввод значении 1 означает вычисление суммы элементов входного вектора (в этом случае внутри блока выводится символ ?).

Рис. 17. Окно настройки параметров блока Sum

Два других параметра настройки блока имеют следующий смысл:

раскрывающийся список Icon shape (форма значка) позволяет выбрать форму блока: round (окружность) или rectangular (прямоугольник);

флажок Show additional parameters (показать дополнительные параметры) дает возможность задать необходимость «усечения» результата сложения, если он превышает диапазон, установленный для целочисленных значений.

Режимы моделирования систем в программе Simulink (меню Simulation)

Посредством этих команд входящих в меню Simulation (моделирование), рис. 18, разработчик получает возможность не только динамически управлять сеансом моделирования, но и изменять многие важнейшие параметры модели, такие, например, как способ изменения модельного времени, алгоритм расчета и формат представления результатов моделирования.

Рис. 18. Меню Simulation

Элементы управления на вкладке Solver окна Simulation Parameters (параметры моделирования), рис. 19, собраны в три группы.

Simulation time (интервал моделирования) – выбор интервала моделирования посредством указания начального (Start time) и конечного (Stop time) значений модельного времени.

Рис. 19. Окно установки параметров моделирования

Solver options (параметры расчета) – выбор метода реализации (расчета) модели.

Output options (параметры вывода) – параметры вывода выходных параметров моделируемой системы (при моделировании с переменным шагом).

Под выбором метода реализации модели имеется в виду следующее. Имея структуру исследуемой системы в виде блок–диаграммы, разработчик может выбрать метод отображения хода моделирования. С помощью двух раскладывающихся списков Type (тип) система может быть реализована в следующих формах:

с дискретными состояниями и дискретным временем перехода из одного состояния в другое;

с дискретными состояниями и непрерывным временем перехода;

с непрерывными состояниями и дискретным временем переходов;

с непрерывными состояниями и непрерывным временем переходов.

Первый список (слева) позволяет выбрать способ изменения модельного времени:

Variable – step (переменный шаг) – моделирование с переменным шагом;

Fixed – step (фиксированный шаг) – моделирование с фиксированным шагом.

Второй список (справа) позволяет выбрать метод расчета нового состояния системы. Первый вариант (discrete) обеспечивает расчет дискретных состояний системы. Остальные пункты списка обеспечивают выбор метода расчета нового состояния для непрерывных систем. Эти методы различаются для переменного (Variable – step) и для фиксированного (Fixed – step) шага времени, но основаны на единой методике – решение обыкновенных дифференциальных уравнений(ode).

Ниже двух раскрывающихся списков Type находится поле, название которого изменяется в зависимости от выбранного способа изменения модельного времени.

Параметры других вкладок используется по умолчанию.

Страницы работы

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ

Кафедра Систем Сбора и Обработки Данных

Дисциплина «Теория и обработка сигналов»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2

Студент: Першина Ж. С.

Преподаватель: доц. Щетинин Ю. И.

Изучение понятия спектра периодического сигнала, приобретение практических навыков вычисления и построения графиков спектров сигналов в среде MATLAB.

Рис. 1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов.

Ряд Фурье

· Функция: ;

· Частота основной гармоники: ω0=.

1. Коэффициенты комплексного ряда Фурье (аналитический метод).

|C1|=0.255, |C2|=0, |C3|=0.085, |C4 |=0, |C5 |=0.051

Так как данная функция является четной, все коэффициенты b_n=0.

2. Файл-сценарий для построения графиков амплитудного и фазового спектров сигнала в Matlab.

Рис.2. Графики амплитудного и фазового спектров сигнала.

3. Определение спектра Фурье сигнала с помощью функции fft() Matlab.

%файл-сценарий для вычисления коэффициентов ряда Фурье сигнала с помощью процедуры fft()

T=10; % период сигнала

t=-T:T/63:T; % временной интервал

x=0.4*square(2*pi*(t+2.5)./N,50)+0.6; % генерирование сигнала

subplot(311), plot(t,x) % график сигнала

% коэффициенты ряда Фурье

% график амплитудного спектра

y=fft(x,64);% Дискретное преобразование Фурье сигнала

subplot(313), stem(2*pi*k/T, abs(y)/64)

title(‘Амплитудный спектр по команде fft()’)

Рис. 3. График сигнала и графики его амплитудных спектров.

Переделать второй график: не хватает постоянной составляющей сигнала.

5.Составление и выполнение файл-сценария для исследования сходимости ряда Фурье.

Рис. 4. График, отображающий явление Гиббса десятью гармониками.

Не помешало бы для наглядности сходимости на рис.4 отобразить исходный сигнал.

Рис. 5. График, отображающий явление Гиббса тридцатью гармониками.

Рис. 6. График, отображающий явление Гиббса пятидесятью гармониками.

Рис. 7. График, отображающий явление Гиббса пятидесятью гармониками (увелич. Масштаб).

Явление Гиббса – это явление связанное с появлением пульсации или выбросов при суммировании рядов Фурье. От числа гармоник N зависит число выбросов, амплитуда выбросов не зависит от числа гармоник.

Отобразить свойства сходимости, рассмотрев среднеквадратичную сходимость и …

6. Аппроксимации сигналов: квадратной волны, ноты Ре, ноты До.

x = x + 4*sin(w0*n*t)/(pi*n);

>> y=harmonic(w0, 2*pi*8192, 2);

>> p = zeros(1,length(t)); p=[x p y];

Рис. 8. График аппроксимации ноты Ре.

do = do + k(n)*sin(n*w0*t);

>> subplot(211), plot(t(1:100),do(1:100)) , grid

>> subplot(212), stem(2*pi*s/T, abs(y)/(N+1)), grid

>> title(‘ Амплитудный спектр ноты До по процедуре fft’)

Рис.9. График ноты До и его амплитудный спектр.

Вывод: в данной работе было изучено спектральное представление периодических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов, при исследования сходимости ряда Фурье к исходному периодическому сигналу было рассмотрено явление Гиббса.

Похожие публикации:

1. Как в snapchat снимать видео без рук
2. Как ввести комплексное число mathcad
3. Как восстановить icq аккаунт
4. Как вставить текстовую область в mathcad

Построить спектр АМК

Построить спектр ФМ сигнала
Удалось построить ФМС, но маткад не хочет строить спектр. Пробовал через интегрально.

Построить спектр одиночного трапецеидального импульса
Нужно построить спектр трапецеидального импульса. Сам импульс я вроде нарисовал. А спектр найти не.

Построить пилообразный импульс и его спектр
пожалуйста помогите задать сигнал в маткаде и его спектр

Как построить спектр сигнала в MathCAD 15
Использую встроенную функцию cfft, но чем больше точек я учитываю, тем больше максимальное значение.