Как называется точка в которой f x меняет знак с на

Экстремумы функции: признаки существования, примеры решений

Экстремумы функции, их необходимый и достаточный признаки

Точка экстремума функции — это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции.

Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков. Кстати, будет полезным открыть в новом окне материал Свойства и графики элементарных функций. И ещё потребуются таблица производных простых функций и таблица производных сложных функций (откроются в новом окне), так как в примерах указано, какая именно табличная производная найдена.

Рассмотрим график непрерывной функции (рисунок снизу).

Определение. Точка x 1 области определения функции f(x) называется точкой максимума функции, если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) > f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 1 максимум.

Определение. Точка x 2 области определения функции f(x) называется точкой минимума функции, если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f(x 0 ) < f(x 0 + Δx) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.

Допустим, точка x 1 — точка максимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает, поэтому производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ). Тогда в точке x 1 производная функции равна нулю или не существует.

Допустим также, что точка x 2 — точка минимума функции f(x) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля ( f ‘(x) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.

Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции). Если точка x 0 — точка экстремума функции f(x) , то в этой точке производная функции равна нулю ( f ‘(x) = 0 ) или не существует.

Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Пример 1. Рассмотрим функцию .

В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.

Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно — максимум или минимум.

Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с «плюса» на «минус», то точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.

Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.

Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную нулю и определить критические точки.
3. Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с «плюса» на «минус», то критическая точка является точкой максимума, а если с «минуса» на «плюс», то точкой минимума.
4. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём производную функции (в таблице производных сложных функций — производная 6):

Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:

Так как для любых значений «икса» знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:

Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:

в интервале от минус бесконечности до 3 — знак минус, то есть функция убывает,

в интервале от 3 до плюс бесконечности — знак плюс, то есть функция возрастает.

То есть, точка x = 3 является точкой минимума.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.

Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f(x) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю ( f »(x) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля ( f »(x) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля ( f »(x) < 0 ), то точкой минимума.

Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.

Локальный характер экстремумов функции

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер — это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.

Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок — максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок — минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.

Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .

То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума — наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.

Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума — точками локального максимума.

Ищем экстремумы функции вместе

Пример 3. Найти экстремумы функции и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная (и первое, и второе слагаемые — табличная производная 3) существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откуда и . Критическими точками и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой точке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную (каждое слагаемое находим как табличную производную 3) и критические точки функции:

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки: и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как и , то является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок — в начале примера.

Найти экстремумы функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Найти экстремумы функции .

Пример 6. Найти экстремумы функции .

Пример 7. Найти экстремумы функции .

Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных.

Продолжаем искать экстремумы функции вместе

Пример 8. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .

Найдём первую производную функции (производная вида 2 в таблице производных сложной функции):

Найдём критические точки функции:

Точки и не могут быть точками экстремума, так как находятся на границе области определения функции. В точке производная функции меняет знак с плюса на минус, а в точке — с минуса на плюс. Следовательно, — точка максимума, а точка — точка минимума функции.

Найдём значения функции в этих точках:

Таким образом, экстремумы функции:

Пример 9. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём область определения функции.

Найдём критические точки функции:

Таким образом, у данной функции две критические точки: и . Определим значения производной в критических точках. При переходе через точку производная функции продолжает убывать (сохраняет знак минус), а при переходе через точку — начинает возрастать (меняет знак с минуса на плюс). Следовательно, — точка минимума функции.

Найдём значение функции в точке минимума:

Таким образом, минимум функции:

Пример 10. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдём первую производную функции (первое слагаемое — производная вида 12 в таблице производных простых функций, второе — производная вида 6 в таблице производных сложной функции):

Найдём критические точки функции:

Так как для любого действительного x должно выполняться условие , то

Таким образом, данная функция имеет одну критическую точку. Определим значения производной в критической точке. При переходе через точку производная функции начинает убывать (меняет знак с плюса на минус). Следовательно, — точка максимума функции.

Найдём значение функции в точке максимума:

Таким образом, максимум функции:

Весь блок «Производная»

• Что такое производная
• Найти производную: алгоритм и примеры решений
• Производные произведения и частного функций
• Производная суммы дробей со степенями и корнями
• Производные простых тригонометрических функций
• Производная сложной функции
• Производная логарифмической функции
• Дифференциал функции
• Дифференциал сложной функции, инвариантность формы дифференциала
• Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
• Правило Лопиталя
• Частные производные
• Применение производной к исследованию функций
  • Экстремумы функции
  • Наименьшее и наибольшее значения функции
  • Асимптоты
  • Возрастание, убывание и монотонность функции
  • Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба
  • Полное исследование функций и построение графиков
  • Функции двух и трёх переменных
  • Экстремумы функции двух переменных
  • Условные экстремумы и функция Лагранжа

  Как называется точка в которой f x меняет знак с на

  Определение . Говорят, что функция , непрерывная в некотором промежутке , имеет в точке максимум (минимум), если существует проколотая окрестность точки , в которой выполняется неравенство .

  Значения функции в точке максимума (минимума) функции называются, соответственно, максимумом и минимумом функции. Максимумы и минимумы объединяют общим названием экстремумов функции. На рисунке функция имеет максимум в точке и минимум в точке :

  Экстремум функции часто называют локальным экстремумом, имея в виду, что он характеризует поведение функции лишь в достаточно малой окрестности точки .

  Функция может иметь несколько экстремумов в одном промежутке, в отличие от так называемых глобального максимума и глобального минимума, т.е. наибольшего и наименьшего значений функции на всем промежутке.

  Необходимое условие существования экстремума выявляется следующим рассуждением: если дифференцируемая функция в точке имеет экстремум, то в некоторой окрестности точки она удовлетворяет условиям теоремы Ферма и, следовательно, в этой точке производная равна нулю, т.е. .

  Заметим, что функция может иметь экстремумы и в точках, в которых она не дифференцируема. Например, функция имеет минимум в точке , но не дифференцируема в этой точке.

  А функция имеет максимум в точке , а ее производная в этой точке бесконечна: , при , .

  Теперь необходимое условие существования экстремума будет выглядеть так: если функция имеет экстремум в точке , то в этой точке ее производная равняется нулю или не существует.

  Точки, принадлежащие области определения, в которых выполняется необходимое условие существования экстремума, принято называть критическими точками функции.

  Однако необходимое условие существования экстремума не является достаточным.

  Например, для функции точка является критической, так как ее производная обращается в нуль в этой точке, но в этой точке она не имеет экстремума.

  Поэтому нужны достаточные условия существования экстремума.

  Первое достаточное условие существования экстремума дается следующей теоремой. Пусть функция дифференцируема, по крайней мере, в проколотой окрестности критической точки и ее производная сохраняет знак в каждой из полуокрестностей. Тогда: 1) если при переходе через точку производная меняет знак с плюса на минус, то — точка максимума; 2) если при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, то — точка минимума; 3) если при переходе через точку производная не меняет знака, то в точке нет экстремума.

  Утверждение становится понятным, если учесть достаточное условие монотонности функции. Так, например, в случае 1) функция возрастает в левой полуокрестности и ее значения меньше и убывает в правой и ее значения здесь также меньше , т.е. — максимум функции. Аналогичная ситуация в случае 2). Если же имеет место случай 3), то функция либо возрастает, либо убывает во всей окрестности точки и не является точкой экстремума.

  На основании первого достаточного условия экстремума можно составить план исследования функции на экстремум :

  1. Найти область определения функции , если она не указана.

  2. Найти производную .

  3. Найти критические точки функции.

  4. Выяснить знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии (или отсутствии) экстремумов функции.

  5. Вычислить экстремальные значения.

  Заметим, что практически удобно соединять исследование функции на монотонность с исследованием ее на экстремум. При этом результаты вычислений можно оформить в виде таблицы.

  Пример 1 . Исследуйте на экстремум и монотонность функцию

  1. Функция определена в интервале .

  3. существует в и обращается в нуль в точках .

  4. В интервале функция убывает; в интервале функция возрастает; в интервале функция убывает. Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума. При переходе же через точку производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому — точка максимума функции.

  2. Отыскание точек экстремума

  Теорема 3. Если функция \(y=f(x)\) имеет экстремум в точке x = x 0 , то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

  Теорема 4 (достаточные условия экстремума). Пусть функция y = f ( x ) непрерывна на промежутке \(X\) и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x = x 0 . Тогда:

  а ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) < 0 , а при x >x 0 — неравенство f ′ ( x ) > 0 , то x = x 0 — точка минимума функции y = f ( x ) );

  б ) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x 0 выполняется неравенство f ′ ( x ) >0 , а при x > x 0 — неравенство f ′ ( x ) < 0 , то x = x 0 — точка максимума функции y = f ( x ) );

  в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки x 0 знаки производной одинаковы, то в точке x 0 экстремума нет.

  Обычно точки из области определения функции, в которых производная равна нулю, называются стационарными , а точки из области определения функции, в которых функция непрерывна, а производная равна нулю или не существует, называются критическими .

  Итак, чтобы определить экстремумы (минимумы и максимумы) функции f ( x ) , сначала нужно найти критические точки, в которых f ′ ( x ) = 0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). Тогда легко определить интервалы, в которых у производной неизменный знак. (Критические точки делят реальную числовую прямую на интервалы с неизменным знаком производной. Чтобы определить знак производной, достаточно вычислить значение производной функции в какой-либо точке соответственного интервала.)

  Алгоритм исследования непрерывной функции y = f ( x ) на монотонность и экстремумы

  1. Найдём производную f ′ ( x ) .

  2. Определим критические точки.

  3. Нанесём критические точки на числовую прямую и определим знаки производной на каждом промежутке.

  4. Опираясь на теоремы \(1\), \(2\) и \(4\), определим промежутки монотонности функции и точки экстремума функции.

  1) если производная функции в критической точке меняет знак с отрицательного на положительный, то это точка локального минимума ;

  2) если производная функции в критической точке меняет знак с положительного на отрицательный, то это точка локального максимума ;

  3) если производная функции в критической точке не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
  найти экстремумы функции f ( x ) = x 2 x − 1 .

  Производная этой функции — f ′ ( x ) = x x − 2 ( x − 1 ) 2 , значит, критические точки функции — это \(x=0\) и \(x=2\). Точка \(x=1\) не принадлежит области определения функции.

  Они делят реальную числовую прямую на четыре интервала: − ∞ ; 0 ∪ 0 ; 1 ∪ 1 ; 2 ∪ 2 ; + ∞ . Знак первого интервала положительный (например, f ′ \((-1)=0.75\)). Второго — отрицательный, третьего — отрицательный, четвёртого — положительный.

  Значит, производная меняет знак только в точках \(x=0\) и \(x=2\).

  В точке \(x=0\) она меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это точка локального максимума со значением функции \(f(0)=0\).

  В точке \(x=2\) она меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это точка локального минимума со значением функции \(f(2)=4\).

  Ребят очень срочно Как называется точка, в которой f ‘(x) меняет знак с “+” на “ — ”? *
  1
  критическая
  min
  max
  экстремум

  Молоко разлили в 3 бидона.В первый бидон налили 0,1 всего молока.Во второй бидон налили 0,3 всего молока.А в третий день 0,6 всего молока а)0,1 к 0,3 … б)0,1 к 0,6 в)0,3 к 0,6 г)(0,3+0,1) к 0,6 НАЙДИТЕ ПЖ ДАЮ 15 БАЛОВ

  Найди отношение пж даю 10 балов а)124 к 3 б)6 к 20 в)12,3 к 3 г)0,1 к 0,07 д)0,25 к 0,55

  (СРОЧНО!)у трикутнику перша сторона у 2 рази менша ніж друга а третя на 7 більша знайдіть ці сторони якщо периметр трикутника 119 см