С какого элемента считаются матрицы c

С какого элемента считаются матрицы c

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

1. .
2. — нельзя, т.к. размеры матриц различны.
3. .

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

1. .
2. Найти 2A-B, если , . .
3. Найти C=–3A+4B. Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

1. Пусть Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.
2. Найти произведение матриц. .
3. .
4. — нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
5. Пусть Найти АВ и ВА.
6. Найти АВ и ВА. , B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

1. .
2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки «+» и «–» у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Основные сведения о матрицах

В этом разделе мы даем основные сведения о матрицах, необходимые для понимания статистики и анализа данных.

Матрицей размера m x n (читается m на n) называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A , B , C ,….

Для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойным индексом, например: a_{ij ,} где i — номер строки, j — номер столбца.

В сокращенной записи обозначаем A =( a_ij ); i =1,2,… m ; j =1,2,…, n

Приведем пример матрицы 2 на 2:

Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы:

Две матрицы A и B одного размера называются равными, если они совпадают поэлементно, a_ij = b_ij для любых i =1,2,… m ; j =1,2,… n

Виды матриц

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором) — строкой, а из одного столбца — матрицей (вектором)- столбцом:

Матрица называется квадратной n -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n .

Элементы матрицы a_ij , у которых номер столбца равен номеру строки образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a ₁₁, a ₂₂,…, a_nn .

Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.

Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциями над числами, а некоторые — специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведение матрицы А на число называется матрица B=A, элементы которой b_ij=a_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n

Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера m называется матрица С=А+В, элементы которой c_ij=a_ij+b_ij для i=1,2,…m; j=1,2,…n (т.е. матрицы складываются поэлементно).

3. Вычитание матриц. Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции: A — B = A +( -1)∙ B .

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A_m ∙B _kназывается такая матрица C_m, каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций над матрицами (что следует из этих операций):

Однако имеются и специфические свойства матриц. Так, операция умножения матриц имеет некоторые отличия от умножения чисел:

a) Если АВ существует, то после перестановки сомножителей местами произведение матриц ВА может и не существовать.

b) Если АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

5. Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А ‘ называется транспонированной относительно матрицы А:

Из определения следует, что если матрица А имеет размер m , то транспонированная матрица А’ имеет размер n

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А Т

Матрицы. Виды матриц. Основные термины.

В данной теме рассмотрим понятие матрицы, а также виды матриц. Так как в данной теме немало терминов, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Определение матрицы и её элемента. Обозначения.

– это таблица из \(m\) строк и \(n\) столбцов. Элементами матрицы могут быть объекты совершенно разнообразной природы: числа, переменные или, к примеру, иные матрицы. Например, матрица \(\left(\begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)\) содержит 3 строки и 2 столбца; элементами её являются целые числа. Матрица \(\left(\begin a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end \right)\) содержит 2 строки и 4 столбца.

Разные способы записи матриц

Матрица может быть записана не только в круглых, но и в квадратных или двойных прямых скобках. Ниже указана одна и та же матрица в различных формах записи:

Произведение \(m\times\) называют . Например, если матрица содержит 5 строк и 3 столбца, то говорят о матрице размера \(5\times\). Матрица \(\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) имеет размер \(3 \times\).

Обычно матрицы обозначаются большими буквами латинского алфавита: \(A\), \(B\), \(C\) и так далее. Например, \(B=\left( \begin 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end \right)\). Нумерация строк идёт сверху вниз; столбцов – слева направо. Например, первая строка матрицы \(B\) содержит элементы 5 и 3, а второй столбец содержит элементы 3, -87, 0.

Элементы матриц обычно обозначаются маленькими буквами. Например, элементы матрицы \(A\) обозначаются \(a_\). Двойной индекс \(ij\) содержит информацию о положении элемента в матрице. Число \(i\) – это номер строки, а число \(j\) – номер столбца, на пересечении которых находится элемент \(a_\). Например, на пересечении второй строки и пятого столбца матрицы

\[ A=\left( \begin 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \\ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end \right) \]

расположен элемент \(a_=59\) :

Точно так же на пересечении первой строки и первого столбца имеем элемент \(a_=51\) ; на пересечении третьей строки и второго столбца – элемент \(a_=-15\) и так далее. Замечу, что запись \(a_\) читается как «а три два», но не «а тридцать два».

Для сокращённого обозначения матрицы \(A\), размер которой равен \(m\times\), используется запись \(A_\). Нередко используется и такая запись:

Здесь \((a_)\) указывает на обозначение элементов матрицы \(A\), т.е. говорит о том, что элементы матрицы \(A\) обозначаются как \(a_\). В развёрнутом виде матрицу \(A_>=(a_)\) можно записать так:

\[ A_=\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) \]

Введём еще один термин – равные матрицы.

Две матрицы одинакового размера \(A_=(a_)\) и \(B_=(b_)\) называются , если их соответствующие элементы равны, т.е. \(a_=b_\) для всех \(i=\overline\) и \(j=\overline\).

Пояснение к записи \(i=\overline<1,m>\)

Запись » \(i=\overline\) » означает, что параметр \(i\) изменяется от 1 до m. Например, запись \(i=\overline\) говорит о том, что параметр \(i\) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Итак, для равенства матриц требуется выполнение двух условий: совпадение размеров и равенство соответствующих элементов. Например, матрица \(A=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) не равна матрице \(B=\left(\begin 8 & -9\\0 & -87 \end\right)\), поскольку матрица \(A\) имеет размер \(3\times 2\), а размер матрицы \(B\) составляет \(2\times\). Также матрица \(A\) не равна матрице \(C=\left(\begin 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end\right)\), поскольку \(a_\neq c_\) (т.е. \(0\neq 98\)) . А вот для матрицы \(F=\left(\begin 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end\right)\) можно смело записать \(A=F\) поскольку и размеры, и соответствующие элементы матриц \(A\) и \(F\) совпадают.

Задача №1

Условие

Определить размер матрицы \(A=\left(\begin -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \\ 4 & 0 & -10 \\ \end \right)\). Указать, чему равны элементы \(a_\), \(a_\), \(a_\).

Решение

Данная матрица содержит 5 строк и 3 столбца, поэтому размер её \(5\times\). Для этой матрицы можно использовать также обозначение \(A_<5\times>\).

Элемент \(a_\) находится на пересечении первой строки и второго столбца, поэтому \(a_=-2\). Элемент \(a_\) находится на пересечении третьей строки и третьего столбца, поэтому \(a_=23\). Элемент \(a_\) находится на пересечении четвертой строки и третьего столбца, поэтому \(a_=-5\).

Виды матриц в зависимости от их размера. Главная и побочная диагонали. След матрицы.

Пусть задана некая матрица \(A_>\). Если \(m=1\) (матрица состоит из одной строки), то заданную матрицу называют . Если же \(n=1\) (матрица состоит из одного столбца), то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end \right)\) – матрица-строка, а \(\left( \begin -1 \\ 5 \\ 6 \end \right)\) – матрица-столбец.

Если для матрицы \(A_>\) верно условие \(m\neq\) (т.е. количество строк не равно количеству столбцов), то часто говорят, что \(A\) – . Например, матрица \(\left(\begin -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end \right)\) имеет размер \(2\times\), т.е. содержит 2 строки и 4 столбца. Так как количество строк не равно количеству столбцов, то эта матрица является прямоугольной.

Если для матрицы \(A_>\) верно условие \(m=n\) (т.е. количество строк равно количеству столбцов), то говорят, что \(A\) – порядка \(n\). Например, \(\left( \begin -1 & -2 \\ 5 & 9 \end \right)\) – квадратная матрица второго порядка; \(\left( \begin -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end \right)\) – квадратная матрица третьего порядка. В общем виде квадратную матрицу \(A_>\) можно записать так:

\[ A_=\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ \end \right) \]

Говорят, что элементы \(a_\), \(a_\), \(\ldots\), \(a_\) находятся на матрицы \(A_>\). Эти элементы называются (или просто диагональными элементами). Элементы \(a_\), \(a_\), \(\ldots\), \(a_\) находятся на ; их называют . Например, для матрицы \(C=\left(\begin2 & — 2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end\right)\) имеем:

Элементы \(c_=2\), \(c_=9\), \(c_=4\), \(c_=6\) являются главными диагональными элементами; элементы \(c_=1\), \(c_=8\), \(c_=0\), \(c_=-4\) – побочные диагональные элементы.

Сумма главных диагональных элементов называется и обозначается \(\Tr A\) (или \(\Sp A\)) :

\[ \Tr A=a_<11>+a_+\ldots+a_ \]

Например, для матрицы \(C=\left(\begin 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\-4 & -9 & 5 & 6 \end\right)\) имеем:

\[ \Tr C=2+9+4+6=21. \]

Понятие диагональных элементов используется также и для неквадратных матриц. Например, для матрицы \(B=\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & -7 & -6 \end \right)\) главными диагональными элементами будут \(b_=2\), \(b_=-9\), \(b_=4\).

Виды матриц в зависимости от значений их элементов.

Если все элементы матрицы \(A_>\) равны нулю, то такая матрица называется и обозначается обычно буквой \(O\). Например, \(\left( \begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end \right)\), \(\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – нулевые матрицы.

Рассмотрим некоторую ненулевую строку матрицы \(A\), т.е. такую строку, в которой есть хоть один элемент, отличный от нуля. ненулевой строки назовём её первый (считая слева направо) ненулевой элемент. Для примера рассмотрим такую матрицу:

\[ W=\left(\begin 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end\right) \]

Во второй строке ведущим будет четвёртый элемент, т.е. \(w_=12\), а в третьей строке ведущим будет второй элемент, т.е. \(w_=-9\).

Матрица \(A_>=\left(a_\right)\) называется , если она удовлетворяет двум условиям:

1. Нулевые строки, если они есть, расположены ниже всех ненулевых строк.
2. Номера ведущих элементов ненулевых строк образуют строго возрастающую последовательность, т.е. если \(a_\), \(a_\), . \(a_\) – ведущие элементы ненулевых строк матрицы \(A\), то \(k_1\lt\lt\ldots\lt\).

Примеры ступенчатых матриц:

Для сравнения: матрица \(Q=\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end\right)\) не является ступенчатой, так как нарушено второе условие в определении ступенчатой матрицы. Ведущие элементы во второй и третьей строках \(q_=7\) и \(q_=10\) имеют номера \(k_2=4\) и \(k_3=2\). Для ступенчатой матрицы должно быть выполнено условие \(k_2\lt\), которое в данном случае нарушено. Отмечу, что если поменять местами вторую и третью строки, то получим ступенчатую матрицу: \(\left(\begin 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end\right)\).

Ступенчатую матрицу называют или , если для ведущих элементов \(a_\), \(a_\), . \(a_\) выполнены условия \(k_1=1\), \(k_2=2\), . \(k_r=r\), т.е. ведущими являются диагональные элементы. В общем виде трапециевидную матрицу можно записать так:

\[ A_> =\left(\begin a_ & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_ & \ldots & a_\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end\right) \]

Примеры трапециевидных матриц:

Дадим ещё несколько определений для квадратных матриц. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные под главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)\) – верхняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении верхней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных над главной диагональю или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это несущественно. Например, \(\left( \begin 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – тоже верхняя треугольная матрица.

Если все элементы квадратной матрицы, расположенные над главной диагональю, равны нулю, то такую матрицу называют . Например, \(\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \end \right)\) – нижняя треугольная матрица. Заметьте, что в определении нижней треугольной матрицы ничего не сказано про значения элементов, расположенных под или на главной диагонали. Они могут быть нулевыми или нет, – это неважно. Например, \(\left( \begin -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end \right)\) и \(\left( \begin 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end \right)\) – тоже нижние треугольные матрицы.

Квадратная матрица называется , если все элементы этой матрицы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Пример: \(\left( \begin 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end \right)\). Элементы на главной диагонали могут быть любыми (равными нулю или нет), – это несущественно.

Диагональная матрица называется , если все элементы этой матрицы, расположенные на главной диагонали, равны 1. Например, \(\left(\begin 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end\right)\) – единичная матрица четвёртого порядка; \(\left(\begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right)\) – единичная матрица второго порядка.

Вернуться к списку тем
Задать вопрос на форуме
Записаться на занятия

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, в этой теме на форуме.

Если у вас есть некие предложения, отзывы или замечания относительно размещаемых материалов, можете написать об этом в данной теме. Регистрация не требуется.

Виды матриц

Матрица размера $n \times n$ называется квадратной, число $n$ называется порядком матрицы.

$A_=\left(\begin 1 & -3 \\ 7 & 2 \end\right)$ — квадратная матрица порядка 2 или матрица второго порядка.

Матрица $\Theta$ называется нулевой, если все её элементы равны нулю, т.е. $a_=0, \forall i, j$.

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

$$\Theta=\left(\begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end\right)$$

Матрица, состоящая из одной строки, называется вектор-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, — вектор-столбцом.

$B=(1 3 7)$ — вектор-строка; $B=\left(\begin 1 \\ 3 \\ 7 \end\right)$ — вектор-столбец.

Диагональные матрицы

Квадратная матрица $D$ называется диагональной, если все ее элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Замечание. Диагональные элементы матрицы (т.е. элементы, стоящие на главной диагонали) могут также равняться нулю.

$$D=\left(\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end\right)=\operatorname(1 ; 0 ; 3)$$

Скалярной называется диагональная матрица $S$, у которой все диагональные элементы равны между собой.

Замечание. Если нулевая матрица является квадратной, то она также является и скалярной.

$$S=\left(\begin -1 & 0 \\ 0 & -1 \end\right)$$

Единичной матрицей $E_$ называется скалярная матрица порядка $n$, диагональные элементы которой равны 1.

Замечание. Для сокращения записи порядок единичной матрицы можно не писать, тогда единичная матрица обозначается просто $E$.

$E_=\left(\begin 1 & 0 \\ 0 & 1 \end\right)$ — единичная матрица второго порядка.

Треугольные матрицы

Матрица называется верхней треугольной матрицей, если все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Матрица называется нижней треугольной матрицей, если все элементы выше главной диагонали равны нулю.

Замечание. Диагональная матрица — это пример матрицы, которая является одновременно верхне- и нижнетреугольной.

$C=\left(\begin 2 & 5 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end\right)$ — верхнетреугольная матрица.

Ступенчатая матрица

Ступенчатой называется матрица, удовлетворяющая следующим условиям:

1. если эта матрица содержит нулевую строку (т.е. строку, все элементы которой равны нулю), то все строки, расположенные под нею, также нулевые;
2. если первый ненулевой элемент некоторой строки расположен в столбце с номером $i$, то первый ненулевой элемент следующей строки должен находиться в столбце с номером большим, чем $i$.

Другое определение ступенчатой матрицы.

Ступенчатой называется матрица, которая содержит $m$ строк и у которой первые $r \leq m$ диагональных элементов ненулевые, а элементы, лежащие ниже главной диагонали и элементы последних $m-r$ строк равны нулю, то есть это матрица вида:

$$A=\left(\begin a_ & a_ & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & a_ & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & 0 & a_ & \ldots & a_ & \ldots & a_ \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_ & \ldots & a_ \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end\right)$$

Главным элементом некоторой строки матрицы $A$ называется ее первый ненулевой элемент.

Задание. Найти главные элементы каждой строки матрицы $A=\left(\begin 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end\right)$

Решение. Главный элемент первой строки — это первый ненулевой элемент этой строки, а поэтому $a_=1$ — главный элемент строки под номером 1; аналогично $a_=1$ — главный элемент второй строки.

Другое определение ступенчатой матрицы.

Матрица $A$ называется ступенчатой, если:

1. все ее нулевые строки стоят после ненулевых;
2. в каждой ненулевой строке, начиная со второго, ее главный элемент стоит правее (в столбце с большим номером) главного элемента предыдущей строки.

По определению к ступенчатым матрицам будем относить нулевую матрицу $\Theta$, а также матрицу, которая содержит одну строку.

Примеры ступенчатых матриц:

$A=\left(\begin 0 & 0 \\ 0 & 0 \end\right)$, $B=(1 2 3 4)$, $C=\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end\right)$, $D=\left(\begin 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 0 \end\right)$, $F=\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -7 \end\right)$

Примеры матриц, которые не являются ступенчатыми:

$A=\left(\begin 0 & 0 \\ 1 & 0 \end\right)$, $B=\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -3 \end\right)$, $D=\left(\begin 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 5 & 8 \\ 0 & 0 & 3 \end\right)$

Задание. Выяснить, является ли матрица $A=\left(\begin 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end\right)$ ступенчатой.

Решение. Проверяем выполнение условий из определения:

1. все строки под первой нулевой строкой матрицы (четвертая строка) являются нулевыми;
2. первый ненулевой элемент строки № 1 находится во втором столбце, значит, первый ненулевой элемент второй строки должен находиться, по крайней мере, в третьем столбце — выполняется, т.к. первый ненулевой элемент второй строки $a_ = 3 \neq 0$ находится в третьем столбце; аналогично, первый ненулевой элемент третьей строки находится в шестом столбце, а первый ненулевой элемент предыдущей, второй, строки, находится в столбце с номером 3 и 3

Итак, заданная матрица $A$ является ступенчатой.