ЛОГИЦИЗМ
— направление в философии математики, возникшее в конце XIX — начале XX в. Его основоположниками были Г. Фреге и Б. Рассел. Сущность логицизма состояла в стремлении свести математику к логике (математической) и таким образом обосновать истинность и непротиворечивость математики. Первую серьезную попытку в этом направлении предпринял Г. Фреге, определив основные понятия арифметики натуральных чисел (натуральное число, сложение и умножение) в терминах логики (класс, дизъюнкция, конъюнкция). Так, натуральное число определялось как класс всех равночисленных классов (определение натурального числа Фреге —Рассела). К тому времени уже была показана принципиальная возможность сведения всей математики либо к теории множеств (теоретико-множественная интерпретация и обоснование всех разделов и теорий математики), либо к арифметике натуральных чисел, а сами теория множеств и арифметика натуральных чисел были построены аксиоматически (последнее было осуществлено в конце XIX в. школой Пеано). Таким образом, проблема сведения математики к логике сводилась в принципе к решению вполне обозримой проблемы: переформулировке аксиом арифметики натуральных чисел в терминах логики и выведение этих логических высказываний в качестве теорем одного из логических исчислений. Попытка Фреге закончилась, однако, неудачей, так как в рамках его конструкции оказалось возможным сформулировать логический парадокс. Это сделал молодой Б. Рассел. По он же взял на себя роль продолжателя дела Фреге. Новая попытка была реализована в совместной монографии Б. Рассела и Н. Уайтхеда «Principia Mathematica». Благодаря введению иерархической теории идеального языка (теории типов) система Рассела-Уайтхеда была надежно защищена от логических парадоксов типа парадокса Рассела. Расселу и Уайтхеду в предложенной ими системе действительно удалось вывести аксиомы арифметики натуральных чисел в качестве теорем логики. Однако сама их система вызвала с самого начала серьезные возражения как чисто логическая, то есть как совокупность только логически—истинных высказываний. Обоснованные сомнения в их логическом характере касались трех аксиом: аксиомы выбора, аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности. Таким образом, логицистская программа Рассела-Уайтхеда оказалась по меткому выражению А. Черча реализованной «не более чем наполовину». Окончательно же бесперспективность логицизма была показана в 30-х гг. XX в., благодаря известным результатом К. Геделя, доказавшим строго интуиционистскими методами принципиальную невозможность абсолютно полной формализации любыми средствами (а значит и чисто логическими) арифметики натуральных чисел (теорема о неполноте любых формализованных систем арифметики по отношению к ее содержательному варианту). Таким образом, гипотеза логицистов о том, что математика — суть не более сложная («зрелая») чем логика, оказалась неверной. Математика не есть совокупность чисто логических истин (в силу только их логической формы). Однако, с другой стороны, логицисты убедительно продемонстрировали огромную роль чисто логических методов в построении и обосновании математики. (См. философия математики, метаматематика).
Смотреть больше слов в « Философии науки »
Смотреть что такое ЛОГИЦИЗМ в других словарях:
ЛОГИЦИЗМ
направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике», . смотреть
ЛОГИЦИЗМ
ЛОГИЦИЗМ — концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: матема. смотреть
ЛОГИЦИЗМ
направление в области филос. проблем математики, пытающееся обосновать математику путем сведения ее к логике, т.е. путем определения ее «неопределяемых» (исходных) понятий в терминах логики, формулировки всех вообще ее предложений на «языке» математической логики и доказательства их (в т.ч. и аксиом) по правилам этой же логики. Предшественником Л. считается обычно Лейбниц, основателем Л. является Фреге, предпринявший попытку построить арифметику натуральных чисел как систему предложений, выводимых по правилам логики из сформулированных им (в терминах логики) определений натуральных чисел и операций с ними. Поскольку в это время уже было осуществлено свед?ние геометрии к алгебре (аналитич. геометрия) и анализу (дифференциальная геометрия), математический же анализ удалось арифметизировать (путем теоретико-множеств. свед?ния действит. чисел к множествам множеств и т.д. натуральных чисел), то от осуществленного Фреге сведения натуральных чисел к объемам понятий уже, казалось, было недалеко к свед?нию всей вообще математики к глубоко и тонко разработанной Фреге, хотя и очень громоздкой, системе логики. Однако в системе Фреге Расселом было обнаружено противоречие, известное под названием «парадокса Рассела» (см. Парадоксы), побудившее Рассела предпринять новую попытку свести «чистую» математику к «чистой» логике, использовав осн. идею Фреге и введенную Пеано удачную математич. символику. Эта попытка, сделавшая Рассела осн. представителем Л., была осуществлена им вместе с Уайтхедом в большом, трехтомном, и все же незаконченном труде «Principia Mathematica» (1910–13), сыгравшем важную роль в дальнейшей истории математич. логики и оснований математики. В ходе жарких дискуссий, к-рыми было встречено появление этой работы (наиболее резкой, хотя и отнюдь не справедливой, была критика Л. со стороны Пуанкаре), были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что классич. «чистая» математика вообще не может быть сведена к логике, трактуемой, как этого хотел Рассел, как система тавтологий, истинных a priori (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах», и потому ничего не говорящих нам о мире, в к-ром мы живем и действуем). Действительно, именно в применении к Principia Mathematica и родственным ей системам были доказаны Геделем (1931) его осн. теоремы о их принципиальной неполноте (т.е. о невозможности вывести ни в одной из них все содержательно истинные предложения математики) и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Эти теоремы, – а также доказанная вскоре (1936) Черчем неразрешимость разрешения проблемы в системах типа Principia Mathematica – равно как и обнаруженная самим Расселом невозможность доказать, не обращаясь к естествознанию, необходимую ему аксиому о бесконечности множества вещей в мире или логически обосновать т.н. аксиому сводимости, к-рую Рассел вводил с целью избежать нарушений «принципа порочного круга» в определениях понятий в его системе, не выбрасывая из нее ряда осн. теорем классич. математики, – показали неосуществимость попыток обосновать классич. (теоретико-множественную) математику, трактуя ее как логику, строящуюся a priori, т.е. по существу идеалистически. Большинство позднейших последователей Л. пытается исправить недостатки системы Рассела с помощью т.н. «конструктивного номинализма» (см. Номинализм), трактующего множества (объемы понятий) не как особые абстрактные сущности или единичные «идеальные объекты», обладающие самостоят. существованием наряду с вещами, из свойств к-рых они, согласно особому «принципу абстракции», были извлечены, а лишь как коллективы, состоящие из отдельных (изолированных друг от друга) конкретных вещей. Такого рода системы были разработаны или намечены, напр., Лесьневским и его учениками, а также амер. логиками Куайном, Гудменом, Мартином, Вуджером, Генкиным и др. Сам Рассел в дальнейшем также пытался искать выход из обнаруженных им трудностей, интерпретируя свою систему в духе, отличном от его первоначальных намерений; но, перейдя на позиции, гораздо более близкие к т. зр. Венского кружка неопозитивистов, не случайно не нашел при этом выхода из трудностей, с к-рыми встретился. [О первоначальных идеях Рассела, направленных против трактовки математич. объектов и истин как произвольных творений нашего разума, хорошо говорят, напр., следующие слова из его статьи «Recent work in the philosophy of mathematics» (1901): «Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но есть только мнение и частное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своей точке зрения на мир, его личными особенностями, личным вкусом и склонностями; что нет внешнего царства истины, к которому с помощью терпения и дисциплины, мы можем, наконец, получить доступ, но есть только истина для меня, для тебя, для каждой отдельной личности. Людьми этого склада ума отрицается одна из главных целей человеческих усилий, и высшее достоинство беспристрастия, бесстрашного познания того, что есть, ускользает от нашего морального взора. По отношению к такому скептицизму математика является неизменным укором, ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно ни для какого оружия сомневающегося цинизма» («Mysticism and Logic», 1917, p. 71) ]. To обстоятельство, что Л. оказывается неспособным решить проблему обоснования математики, связано, прежде всего, с тем, что сама проблема поставлена неправильно. Когда в уже построенной математике обнаруживаются противоречия и трудности, то речь идет не просто об «обосновании» математики, а о ее перестройке, и притом такой, к-рая ориентирована на материалистич. критерий практики, т.е. предполагает такое истолкование абстрактных объектов математики (и относящихся к ним предложений), к-рое позволило бы применять математич. теории на практике (к построению др. математич. теорий, к естествознанию и технике, к экономике, языку и др. областям человеч. жизни и деятельности), к-рое позволило бы, иными словами, находить в материальной действительности и отражающей ее науке конкретные (во всяком случае, менее абстрактные) прообразы абстрактных объектов математики, обусловливающие возможность ее применения в тех случаях, к-рые действительно встречаются на практике. Для понятия натурального числа такими прообразами были еще с антич. древности модели в виде линейно расположенных последовательностей палочек, камушков, косточек, четок и др. достаточно жестких объектов. Именно эти модели и легли в основу того определенна числа как «слова» в алфавите, состоящем из букв 0 и 1, к-рое принято в сов. школе конструктивной математики А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников. Определение же количественного числа по Фреге и Расселу, т.е. как множества множеств, равномощных данному, отнюдь не имеет эффективного характера, позволяющего воспользоваться им на практике. Прежде всего, поскольку самое понятие «множества» или «объема понятия» трудно поддается уточнению. Даже те понятия, объем к-рых заведомо мыслится в виде нек-рого коллектива материальных объектов (списка его членов), в большинстве случаев не имеют достаточно жесткого объема (известно, какие трудности приходится преодолевать, напр., при уточнении понятия «гражданин данной страны», в связи с организацией переписи населения для выяснения объема этого понятия; с аналогичными трудностями приходится иметь дело вообще при организации любого учета, всегда состоящего в том, что уточняется объем нек-рого понятия, понимаемый в самом простом смысле: т.е. как список материальных объектов). Но даже научно уточненные уже понятия диалектически изменяются вместе с развитием науки, причем не всегда оказываются имеющими неизменяющийся – в ходе нашего рассуждения о них – объем (к ним не всегда применима т.н. «аксиома свертывания»). Сам Рассел не только не считает понятие «множества» само собой разумеющимся, но, даже объявляет его «фикцией» (т.е. имеющим смысл лишь в контексте). А как осуществить практически множество множеств, равномощных множеству пальцев моей руки? Такие определения «сводят» абстрактное понятие к абстрактным же понятиям, и притом не более низкого, а более высокого уровня абстрактности и поэтому, хотя и выясняют характерные для этих абстракций связи между ними, но вряд ли осуществляют действительное сведение сложного к простому, абстрактного к его восполнению (или реализации) в конкретных объектах, с к-рыми можно оперировать на практике и к-рые – в тех случаях, когда абстрактный объект или понятие таким образом peaлизуется, – допускают проверку с помощью материалистич. критерия практики. При всех ее недостатках, в системе Principia Mathematica, и особенно в работах Фреге, есть много важных и интересных результатов логич. анализа, относящихся к понятиям «объекта» и его «имени», «упоминания» и «употребления» термина, «смысла» и «значения», «функции» и «отношения» и мн. др. Особенное значение имеет разработанная Расселом, с целью избежать парадоксов теории множеств, типов теория, к-рая равносильна нек-рому включению времени, развития и движения в логику, т.е. содержит элементы диалектики. На истории Л. лишний раз подтверждается ленинский прогноз о том, что действительный прогресс науки нашего времени всегда будет удовлетворять требованиям материалистич. диалектики, между тем как всякие попытки использовать этот прогресс науки для к.-л. идеалистич. выводов неизбежно будут терпеть крушение. Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. I, с. 15–17, 45–47; Бирюков Б. В., О работах Г. Фреге по филос. вопросам математики, в кн.: Филос. вопросы естествознания, вып. 2, М., 1959; Гетманова А. Д., О взгляде Бертрана Рассела на соотношение математики и логики, «Вестн. МГУ. Серия экономики, философии, права», 1959, No 1; ее же, О соотношении логики и математики в системах типа Principia Mathematica, в сб.: Логич. исследования, М., 1959; Яновская С. . О филос. вопросах матем. логики, в сб.: Проблемы логики, М., 1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, М., 1963; Frege G., Begriffsschrift. Halle, 1879; англ. пер., Oxf., 1952; его же, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884; англ. пер., Oxf., 1950; его же, Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1–2, Jena; 1893–1903; оба тома частично перев. на англ., Oxf., 1952; Whitehead ?. N. and Russell В., Principia Mathematica, v. 1–3, Camb., 1910–13; 2 ed., v. 1–3, Camb., 1925–27; Russell В., Introduction to mathematical philosophy, 2 ed., L., 1924; нем. пер., M?nch., 1930; его жe, The principles of mathematics. 2 ed., L., 1937; G?del K., ?ber formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, «Monatsh. Math. und Physik», 1931, Bd 38; его же, Russell´s mathematical logic, в кн.: The philosophy of Bertrand Russell, ed. by P. A. Schlipp, Evanston, 1944, p. 123–53; Church . An unsolvable problem of elementary number theory, «Amer. J. Math.», 1936, v. 58, p. 345–63; Goodman N., Quine W., Steps toward a constructive nominalism, «J. Symbolic Logic», 1947, v. 12, No 4; Martin R. M. and Woodger J. H., Toward an inscriptional semantics, «J. Symbolic Logic», 1951, v. 16, No 3; Вeth E. W., The foundations of mathematics, Amst., 1959, ch. 13, p. 353–64; Luschei E. C, The logical systems of Lesniewski, Amst., 1962 (имеется библ. работ Лесневского); Lakatоs I., Infinite regress and foundations of mathematics, [Proceeding of the ] Aristotelian Society, suppl. v. 36, L., 1962, p. 155–84. С. Яновская. Москва. . смотреть
ЛОГИЦИЗМ
ЛОГИЦИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основоположником Л. можно считать И. смотреть
ЛОГИЦИЗМ
ЛОГИЦИЗМ — концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понимается теория дедуктивного рассуждения (см.: Дедукция). Л. восходит к идее Г. Лейбница (1646—1716) о «сводимости математики к логике». Во второй половине прошлого века немецкий логик Г. Фреге (1848-1925) сформулировал арифметику чисто логически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел (1872-1970) и А. Уайтхед (1861-1947). Против идеи, что математические понятия можно свести к логическим понятиям с помощью явных определений и затем вывести математические теоремы из логических аксиом, обычно выдвигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому бесконечности, предполагающую существование бесконечных множеств. Сам Б. Рассел вынужден был признать, что она не является собственно логической. Далее, вывод математики из логики в какой-то степени содержит круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Можно попытаться уменьшить их число, но нельзя избавиться от них совсем. Различение, что из этих предпосылок относится к математике, а что — к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 г. К. Гёдель показал, что все системы аксиоматически построенной арифметики существенно неполны: их средствами невозможно доказать некоторые содержательные истинные арифметические утверждения. Основной тезис Л. следует, таким образом, признать опровергнутым. Это не означает, что Л. был совершенно бесплодным. Его сторонники добились определенных успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат, как принято считать, словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена к сравнительно простой и унифицированной системе исходных, принимаемых без доказательства положений, или аксиом, и правил вывода из них следствий, или теорем. Однако в целом Л. оказался утопической концепцией.
. смотреть
ЛОГИЦИЗМ
— концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: математика может б. смотреть
(Решено) Кто в труде «Principia Mathematica» обосновал математику на аксиомах теории множеств и логики?Д. Гильберт и К. ГедельГ. ФрегеБ. Рассел и А. Уай…
Кто в труде «Principia Mathematica» обосновал математику на аксиомах теории множеств и логики?
Д. Гильберт и К. Гедель
Б. Рассел и А. Уайтхед
Ваш вопрос в очереди на обработку, пожалуйста подождите.
Не закрывайте страницу. Нейросеть пишет ответ. Он появится тут.
Этот ответ написан нейросетью.
Внимание! Ответы искусственного интеллекта могут быть неточными. Не полагайтесь на них в медицине, юриспруденции, финансах и вопросах безопасности. При принятии важных решений всегда консультируйтесь с профильными специалистами.
Администрация сайта не несет ответственности за любой автоматически созданный контент. Если вы обнаружили ошибки, пожалуйста, сообщите об этом через кнопку «репорт» внизу ответа и мы примем соответствующие меры. Спасибо за вашу помощь в улучшении качества нашего сервиса.
Ответ нейросети:
Автором труда «Principia Mathematica» являются Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед. Эта книга была опубликована в начале XX века и представляет собой попытку построить все математические выводы и теоремы на основе формальной логики и аксиоматики теории множеств.
Для обоснования математики на аксиомах теории множеств и логики Рассел и Уайтхед приложили огромные усилия к формализации различных областей математики и определению основных понятий. Они стремились основать все математические выводы на наборе строгих аксиом и правил вывода, используя формальные языки и символику логики.
Однако, эта работа оказалась чрезвычайно сложной и в действительности не до конца завершена. Уединившись на протяжении нескольких лет, Рассел и Уайтхед совместно работали над «Principia Mathematica», и до сих пор считается одним из самых грандиозных и значимых проектов в истории математики и философии. Однако, несмотря на эту значимость, книга оказалась излишне сложной и непонятной для многих математиков и философов.
К сожалению, Рассел и Уайтхед не смогли полностью достичь своей цели и не смогли представить все математические выводы и теоремы в полной формализованной форме. Однако, их работа сыграла крайне важную роль в развитии математики и философии в XX веке и является важным этапом в обосновании математики на формальных основаниях.
Другой важный математик, который внес свой вклад в формализацию математики, был Давид Гильберт. Он разработал концепцию формальных систем, которая стала основополагающей для работы Рассела и Уайтхеда. Гильберт также сформулировал свой список 23 проблем математики, которые стали возглавлять разработку новых теорий и методов в математике. Однако, его работа не так сильно связана с «Principia Mathematica», как работа Рассела и Уайтхеда.
Третьим важным математиком, связанным с теорией множеств и формализацией математики, был Георг Фреге. Он разработал современную формальную логику и предложил аксиоматическую систему для основ математики. Его работы оказали большое влияние на Рассела и Уайтхеда, и многие его идеи и методы были приняты ими в работе над «Principia Mathematica».
И, наконец, можно упомянуть еще одного важного математика, который внес вклад в формализацию математики и теорию множеств — это Георг Кантор. Он разработал теорию множеств, которая стала основополагающей для теории множеств Рассела и Уайтхеда. Кантор также изучал бесконечные множества и теорию вероятностей и сделал множество важных открытий в этих областях. Его работы влияли на формализацию математики и развитие ее основ.
Чтобы оставить комментарий, необходимо авторизоваться.
Задай любой вопрос нейросети!
она справится с любой поставленной задачей быстрее чем поиск в Яндекс.
Для того, чтобы задать вопрос нейросети, необходимо войти на сайт.
Последние вопросы
Последние вопросы:
(c) ChatGPT по русски 2023. Все права защищены. При обнаружении неправомерного контента пишите на [email protected]
Хотите задать любой вопрос нейросети?
Нажимая «Регистрация» или «Войти через Google», вы соглашаетесь с Публичной офертой, даете Согласие на обработку персональных данных, а также подтверждаете что вам есть 18 лет»
Форма репорта неправомерного контента.
Обратная связь с администрацией проекта
Уведомление об использовании cookie файлов
Наш сайт, как и большинство других, использует файлы cookie и другие похожие технологии (пиксельные тэги и т. п.), чтобы предоставлять услуги, наиболее отвечающие Вашим интересам и потребностям, а также собирать статистическую и маркетинговую информацию для анализа и совершенствования наших услуг и сайтов.
При использовании данного сайта, вы подтверждаете свое согласие на использование файлов cookie и других похожих технологий в соответствии с настоящим Уведомлением.
Если Вы не согласны, чтобы мы использовали данный тип файлов, Вы должны соответствующим образом установить настройки Вашего браузера или не использовать наш сайт.
Обращаем Ваше внимание на то, что при блокировании или удалении cookie файлов, мы не можем гарантировать корректную работу нашего сайта в Вашем браузере.
Cookie файлы, которые сохраняются через веб-сайт, не содержат сведений, на основании которых можно Вас идентифицировать.
Что такое файл cookie и другие похожие технологии
Файл cookie представляет собой небольшой текстовый файл, сохраняемый на вашем компьютере, смартфоне или другом устройстве, которое Вы используете для посещения интернет-сайтов.
Некоторые посещаемые Вами страницы могут также собирать информацию, используя пиксельные тэги и веб-маяки, представляющие собой электронные изображения, называемые одно-пиксельными (1×1) или пустыми GIF-изображениями.
Файлы cookie могут размещаться на вашем устройстве нами («собственные» файлы cookie) или другими операторами (файлы cookie «третьих лиц»).
Мы используем два вида файлов cookie на сайте: «cookie сессии» и «постоянные cookie». Cookie сессии — это временные файлы, которые остаются на устройстве пока вы не покинете сайт. Постоянные cookie остаются на устройстве в течение длительного времени или пока вы вручную не удалите их (как долго cookie останется на вашем устройстве будет зависеть от продолжительности или «времени жизни» конкретного файла и настройки вашего браузера).
Cookie файлы бывают различных типов:
Необходимые. Эти файлы нужны для обеспечения правильной работы сайта, использования его функций. Отключение использования таких файлов приведет к падению производительности сайта, невозможности использовать его компоненты и сервисы.
Файлы cookie, относящиеся к производительности, эффективности и аналитике. Данные файлы позволяют анализировать взаимодействие посетителей с сайтом, оптимизировать содержание сайта, измерять эффективность рекламных кампаний, предоставляя информацию о количестве посетителей сайта, времени его использования, возникающих ошибках.
Функциональные файлы cookie запоминают пользователей, которые уже заходили на наш сайт, их индивидуальные параметры (такие как язык и регион, например) и предпочтения, и помогают индивидуализировать содержание сайта.
Рекламные файлы cookie определяют, какие сайты Вы посещали и как часто, какие ссылки Вы выбирали, что позволяет показывать Вам рекламные объявления, которые заинтересуют именно Вас.
Электронная почта. Мы также можем использовать технологии, позволяющие отслеживать, открывали ли вы, прочитали или переадресовывали определенные сообщения, отправленные нами на вашу электронную почту. Это необходимо, чтобы сделать наши средства коммуникации более полезными для пользователя. Если вы не желаете, чтобы мы получали сведения об этом, вам нужно аннулировать подписку посредством ссылки «Отписаться» («Unsubscribe»), находящейся внизу соответствующей электронной рассылки.
Кнопки доступа к социальным сетям. Они используются для того, чтобы пользователи могли поделиться ссылкой на страницу в социальных сетях или сделать электронную закладку. Данные кнопки являются ссылками на веб-сайты социальных сетей, принадлежащих третьим лицам, которые, в свою, очередь могут фиксировать информацию о вашей активности в интернете, в том числе на нашем сайте. Пожалуйста, ознакомьтесь с соответствующими условиями использования и политикой конфиденциальности таких сайтов для понимания того, как они используют ваши данные, и того, как можно отказаться от использования ими ваших данных или удалить их.
Сторонние веб-сервисы. Иногда на данном сайте мы используем сторонние веб-сервисы. Например, для отображения тех или иных элементов (изображения, видео, презентации и т. п.), организации опросов и т. п. Как и в случае с кнопками доступа к социальным сетям, мы не можем препятствовать сбору этими сайтами или внешними доменами информации о том, как вы используете содержание сайта.
Как управлять файлами cookie?
Большинство интернет-браузеров изначально настроены на автоматический прием файлов cookie.
В любое время Вы можете изменить настройки вашего браузера таким образом, чтобы блокировать файлы cookie или предупреждать вас о том, когда они будут отправляться к вам на устройство (обратитесь к руководству использования конкретного браузера). Отключение файлов cookie может повлиять на Вашу работу в интернете.
Если вы используете несколько устройств и (или) браузеров для доступа в интернет, соответствующие настройки должны быть изменены в каждом из них.
Заключительные положения
По собственному усмотрению мы можем периодически изменять настоящее Уведомление.
По возникающим вопросам с нами можно связаться, используя контакты, размещенные на нашем сайте.
ЛОГИЦИЗМ
(Logizismus) — молчаливое или высказанное предпочтение логического способа рассмотрения перед психологическим; понимание математики как логической дисциплины; логицистский — зависящий от логики.
одно из осн. направлений обоснования математики, стремящееся свести всю математику к логике. Хотя эта идея высказывалась еще Лейбницем, но только в конце прошлого в. Фреге предпринял попытку ее реализации. Фреге ставил своей задачей: 1) определить исходные понятия математики в терминах одной лишь логики, 2) доказать ее принципы, исходя лишь из принципов логики и применяя только логические доказательства. Дальнейшие работы в этом направлении (Рассел и Уайтхед, 1910—13, Ф. П. Рамсей, 1926, У. Куайн, 1940), при всей ценности их конкретных результатов, не позволили осуществить данную программу, что связано с принципиально неверной методологической установкой Л. — утверждением о независимости математики от объективного мира и задач его изучения. Развитие математической логики, напротив, привело к выводу о том, что наиболее фундаментальные разделы математики (напр., арифметика) несводимы к логике (теорема Геделя).
направление в логико-филос. основаниях математики, исходящее из выдвинутого Лейбницем тезиса о «сводимости математики к логике», согласно к-рому математика изучает т. н. аналитич. истины, т. е. утверждения, «истинные во всех возможных мирах». В систематич. виде доктрина Л. была изложена Фреге в «Осн. законах арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik», Bd 1-2, 1893-1903), где основное для математики понятие натурального числа сводилось к объемам понятий, а теоремы арифметики доказывались средствами нек-рой логич. системы. Эта доктрина была развита затем Расселом, обнаружившим парадокс (противоречие) в системе Фреге и предложившим в совместном с Уайтхедом трехтомном труде «Principia Mathematica» (1910-13) т. н. теорию типов, в к-рой этот (как и другие) парадокс устранялся с помощью спец. иерархии логич. понятий. Однако для построения классич. математики в «Principia Mathematica» пришлось включить аксиомы, не удовлетворяющие критериям аналитич. истинности и характеризующие конкретный «математич. мир» и описываемый им мир реальных вещей и событий. С др. стороны, Геделъ показал (1931), что все системы типа «Principia Mathematica» и более сильные (т. е. во всяком случае все системы аксиоматич. арифметики и теории множеств) существенно неполны: их средствами нельзя доказать нек-рые формулируемые в них содержательно-истинные утверждения. Т. о., осн. тезис Л. можно считать опровергнутым. Однако работы Рассела и его последователей (напр., У. Куайна) способствовали формированию и уточнению ряда важнейших логико-математич. и методологич. идей и развитию соответствующего формального математич. аппарата.
концепция, сводящая математику к логике. Согласно Л., логика и математика соотносятся между собой как части одной и той же науки: математика может быть получена из чистой логики без введения дополнительных основных понятий или дополнительных допущений. Под логикой при этом понимается теория дедуктивного рассуждения (см.: Дедукция).
Л. восходит к идее Г. Лейбница (1646-1716) о «сводимости математики к логике». Во второй половине прошлого века немецкий логик Г. Фреге (1848-1925) сформулировал арифметику чисто логически, но, столкнувшись с парадоксами, признал свою попытку безнадежной. В дальнейшем тезис Л. развивали англ. философы и логики Б. Рассел (1872-1970) и А. Уайтхед (1861-1947).
Против идеи, что математические понятия можно свести к логическим понятиям с помощью явных определений и затем вывести математические теоремы из логических аксиом, обычно выдвигаются следующие возражения. Прежде всего, для сведения математики к логике приходится принимать аксиому бесконечности, предполагающую существование бесконечных множеств. Сам Б. Рассел вынужден был признать, что она не является собственно логической. Далее, вывод математики из логики в какой-то степени содержит круг. Всегда имеются необоснованные предпосылки, которые должны быть приняты на веру или интуитивно. Можно попытаться уменьшить их число, но нельзя избавиться от них совсем. Различение, что из этих предпосылок относится к математике, а что — к логике, лежащей в ее основе, носит субъективный и по существу произвольный характер. И наконец, в 1931 г. К. Гедель показал, что все системы аксиоматически построенной арифметики существенно неполны: их средствами невозможно доказать некоторые содержательные истинные арифметические утверждения. Основной тезис Л. следует, таким образом, признать опровергнутым.
Это не означает, что Л. был совершенно бесплодным. Его сторонники добились определенных успехов в прояснении основ математики. В частности, было показано, что математический словарь сводится к неожиданно краткому перечню основных понятий, которые принадлежат, как принято считать, словарю чистой логики. Вся существующая математика была сведена к сравнительно простой и унифицированной системе исходных, принимаемых без доказательства положений, или аксиом, и правил вывода из них следствий, или теорем.
Однако в целом Л. оказался утопической концепцией.
направление в философии математики, возникшее в конце XIX — начале XX в. Его основоположниками были Г. Фреге и Б. Рассел. Сущность логицизма состояла в стремлении свести математику к логике (математической) и таким образом обосновать истинность и непротиворечивость математики. Первую серьезную попытку в этом направлении предпринял Г. Фреге, определив основные понятия арифметики натуральных чисел (натуральное число, сложение и умножение) в терминах логики (класс, дизъюнкция, конъюнкция). Так, натуральное число определялось как класс всех равночисленных классов (определение натурального числа Фреге —Рассела). К тому времени уже была показана принципиальная возможность сведения всей математики либо к теории множеств (теоретико-множественная интерпретация и обоснование всех разделов и теорий математики), либо к арифметике натуральных чисел, а сами теория множеств и арифметика натуральных чисел были построены аксиоматически (последнее было осуществлено в конце XIX в. школой Пеано). Таким образом, проблема сведения математики к логике сводилась в принципе к решению вполне обозримой проблемы: переформулировке аксиом арифметики натуральных чисел в терминах логики и выведение этих логических высказываний в качестве теорем одного из логических исчислений. Попытка Фреге закончилась, однако, неудачей, так как в рамках его конструкции оказалось возможным сформулировать логический парадокс. Это сделал молодой Б. Рассел. По он же взял на себя роль продолжателя дела Фреге. Новая попытка была реализована в совместной монографии Б. Рассела и Н. Уайтхеда «Principia Mathematica». Благодаря введению иерархической теории идеального языка (теории типов) система Рассела-Уайтхеда была надежно защищена от логических парадоксов типа парадокса Рассела. Расселу и Уайтхеду в предложенной ими системе действительно удалось вывести аксиомы арифметики натуральных чисел в качестве теорем логики. Однако сама их система вызвала с самого начала серьезные возражения как чисто логическая, то есть как совокупность только логически—истинных высказываний. Обоснованные сомнения в их логическом характере касались трех аксиом: аксиомы выбора, аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности. Таким образом, логицистская программа Рассела-Уайтхеда оказалась по меткому выражению А. Черча реализованной «не более чем наполовину». Окончательно же бесперспективность логицизма была показана в 30-х гг. XX в., благодаря известным результатом К. Геделя, доказавшим строго интуиционистскими методами принципиальную невозможность абсолютно полной формализации любыми средствами (а значит и чисто логическими) арифметики натуральных чисел (теорема о неполноте любых формализованных систем арифметики по отношению к ее содержательному варианту). Таким образом, гипотеза логицистов о том, что математика — суть не более сложная («зрелая») чем логика, оказалась неверной. Математика не есть совокупность чисто логических истин (в силу только их логической формы). Однако, с другой стороны, логицисты убедительно продемонстрировали огромную роль чисто логических методов в построении и обосновании математики. (См. философия математики, метаматематика).
программа сведения математики к логике. Последняя четверть XIX в. была триумфом т. наз. «наивной» (канторовой) теории множеств. Казалось, что найдены незыблемые основания математики. Впрочем, радужные ожидания были омрачены открытием парадоксов теории множеств. Первые попытки их преодоления вылились в программу Л. [1]. Программа Л. восходит к идеям Г. Лейбница (см.), который, различая истины факта и истины основания, последние связывал с законами логики. Решающее значение в конструировании Л. имели работы Г. Фреге и Б. Рассела (см.). Фреге не без успеха реализовал программу Л. уже в своей ранней работе «Основания арифметики» (1884), а затем в «Основных законах арифметики» (1902), но проблематике парадоксов теории множеств он не уделил должного внимания, в результате сам не избежал их. Подлинным манифестом Л. стал трехтомный труд Б. Рассела и А. Уайтхеда «Основания математики» (1910-1913).
Во избежание парадоксов теории множеств Рассел и Уайтхед развили т. наз. теорию типов. Согласно этой теории высказывания об элементах (индивидах) множества имеют тип 0. Высказываниям о свойствах индивидов присваивается тип 1. Каждому утверждению о свойствах свойств элементов приписывается тип 2 и т.д. Ступенчатая логика, выступающая как иерархия высказываний, весьма громоздка, но зато она позволяет избежать всех парадоксов теории множеств. Как выяснилось, они возникают в силу соотнесения высказываний о множествах с одним и тем же логическим типом, что недопустимо. Если а принадлежит в, то в должно быть более высокого типа, чем а. Отсюда следует, например, что в теории типов высказывание о множестве, принадлежащем самому себе, недопустимо постольку, поскольку в нем отождествляются два логических типа.
Вскоре, однако, выяснилось, что Л. встретился с непреодолимыми трудностями, в частности в форме трех исключительно важных для математики аксиом. Речь идет об аксиомах сводимости, выбора и бесконечности. Но решающий удар последовал со стороны математики. Как неоднократно отмечалось различными авторами, программа Л. оказалась невыполнимой постольку, поскольку природа логических и математических концептов различна. «Математика не выводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие определенные факты области объектов и прежде всего — существование в последней определенных объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой» [2. С. 382]. Аксиомы логики определяют природу лишь логических объектов. Математика не может быть сведена к логике ни полностью, ни частично. Бесспорно, что логика может быть интерпретируема на область математики, а математика в свою очередь может быть интерпретирована на область физики, но ни в первом, ни во втором случае не происходит поглощения одной науки другой. Логическому знаку конъюнкции часто ставят в соответствие математический знак сложения, но отсюда не следует, что конъюнкция и сложение есть одно и то же.
Продолжая эту аргументацию, можно сослаться на следующее обстоятельство: когда физик говорит о сложении сил, действующих на данное тело, то он имеет в виду некоторый физический процесс, а отнюдь не математическое сложение или логическую конъюнкцию. Переход от одной науки к другой предполагает установление правил соответствия, а не сведение их друг к другу.
ЛОГИЦИЗМ — одно из трех главных направлений в основаниях математики наряду с интуиционизмом и формализмом. Основоположником Л. можно считать И. Канта, который рассматривал логику как априорно данную, а математические утверждения — как результаты столь же априорных выводов из логики. Г. Фреге построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свертки — а именно: каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из нее вошли в дальнейшие работы. По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный Л. все больше сближался с формализмом и сейчас многие авторы сводят их в единое металогическое направление. Отметим принципиальное методологическое отличие Л. от формализма и от наивного платонизма. Если для формалиста абстрактные объекты и понятия суть не более чем орудия, позволяющие получать реальные истины и конструкции, для платониста математические понятия предсуществуют и он открывает их свойства, то для логициста идеальные понятия — результат логического конструирования Л. конструирует математические понятия на базе одного из четырех фундаментальных отношений — принадлежности элемента классу, применения функции к аргументу, именования и отношения «часть—целое». За решение задачи построения математики как логической системы, базирующейся на отношении принадлежности, взялись Дж. Уайтхед и Б. Рассел. Этот труд до сих пор остается непревзойденным образцом конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В нем берут начало многие направления исследований. Прежде всего, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Эта концепция строгой типизации была затем использована в -исчислении, в современной информатике и когнитивной науке. Она стала общепринятой в языках программирования высокого уровня. Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: X´. При таком ограничении языка принцип свертки, введенный Фреге и позволяющий определять множества: 3Y1+1Vx´(xeY<=>A(x)), становится логическим принципом, поскольку на А(х) не нужно накладывать никаких ограничений, кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свертки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык в явном виде ввел польский логик Л. Хвистек в 1921. Для моделирования математики необходимо принять еще один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям др. наук. Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свертки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универса, пробегаемого переменными типа i+1, входящими в А, приводит к изменению объема Y´*´. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определенным множествам более низких порядков. Такая система называется разветвленной иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вейль, верхняя грань множества действительных чисел порядка к может быть порядка к+1. К. Гедель показал, что для некоторого ординала а совокупность множеств порядка а образует модель аксиомы свертки, а если перенести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой. Для обхода трудностей, выявившихся в разветвленной иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка п существует равнообъемное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф.П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошел еще дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид t´eX´»1″´, j > 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов. Линия Л. была продолжена У Куайном, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации.) Он предложил использовать в аксиоме свертки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свертки и аксиома объемности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие х = х, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, соотношений между стандартными теориями множеств и NF не получено. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо весьма слабой системой. Напр., если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа п быть членами множеств типа и+1 и п+2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объемности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории. Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н.Н. Непейвода). Таким образом, NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в др. теории конструкции, что позволяет рассматривать такие объекты, как категорию всех категорий. Этот результат был положен в основу еще одного подхода к основаниям математики: формальной системологии, когда фундаментальным понятием служит система. Продолжением Л. в области второго фундаментального отношения явились А-исчисление и комбинаторная логика. Их идея — построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции Хх. Карри показал, что добавление импликации к неограниченному Я-исчислению приводит к противоречию, но А-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в ИИ. Используются оба его варианта — и бестиповое, и типизированное. Рассмотрены и системы А-исчисления с типовой неопределенностью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей. Л. Хвистек и С. Лесьневский развивали др. логические основания для общей теории. Теория именования (онтология) имеет следующий исходный принцип: Vx,X(xeX»3y(yex&Vy,z(yEX&zex=>yez)&Vy(yex=> уеХ))). Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена, и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующая на соотношении часть—целое. Честь ее создания также принадлежит Лесьневскому. Громадный потенциал, заключенный в данных концепциях, остается пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят, скорее, комментаторский характер. П. Мартин-Леф, соединяя идеи комбинаторной логики и Л. с интуиционизмом, приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования. Сама по себе идея типов и порядков имеет громадное общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией Vx(P1&. &Pn=>Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (напр., импликации Vx(Vy(P=>Q)=>Vy(P1=>Q1))) и операторы из условий в умения) соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и т.д. Практика программирования показала, насколько большой выигрыш дает даже усеченное введение понятий второго типа по сравнению с понятиями первого типа (переход от структурного к объектно-ориентированному програмированию). Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня. Н.Н. Непейвода Лит.: Whitehead J., Russel В. Principia Mathematica. Oxford, 1912—1920; Chwistek L. Antynomie logiki formalnej // Przeland Filozofski. V. 20. 1921. P. 122—151; Ramsey EP. The foundations of mathematics and other logical essays. NY & London, 1931; Quine W. v. O. Mathematical Logik. Cambridge, Mass., 1951; Lesnewski S. Uber die Grundlagen der Ontologie // Comptes Rendus de Varsoive. V. 23. 1930. P. 111 — 132; Chwistek L. Neu e Grundlagen der Logik und Mathematik // Mathematische Zeitschrift, V. 30. 1929. P. 704—724; V. 34. 1932. P. 527—534; Chwistek L. Granice nauki. Lwow—Warszawa, 1935.
направление в области филос. проблем математики, пытающееся обосновать математику путем сведения ее к логике, т.е. путем определения ее «неопределяемых» (исходных) понятий в терминах логики, формулировки всех вообще ее предложений на «языке» математической логики и доказательства их (в т.ч. и аксиом) по правилам этой же логики. Предшественником Л. считается обычно Лейбниц, основателем Л. является Фреге, предпринявший попытку построить арифметику натуральных чисел как систему предложений, выводимых по правилам логики из сформулированных им (в терминах логики) определений натуральных чисел и операций с ними. Поскольку в это время уже было осуществлено свед?ние геометрии к алгебре (аналитич. геометрия) и анализу (дифференциальная геометрия), математический же анализ удалось арифметизировать (путем теоретико-множеств. свед?ния действит. чисел к множествам множеств и т.д. натуральных чисел), то от осуществленного Фреге сведения натуральных чисел к объемам понятий уже, казалось, было недалеко к свед?нию всей вообще математики к глубоко и тонко разработанной Фреге, хотя и очень громоздкой, системе логики. Однако в системе Фреге Расселом было обнаружено противоречие, известное под названием «парадокса Рассела» (см. Парадоксы), побудившее Рассела предпринять новую попытку свести «чистую» математику к «чистой» логике, использовав осн. идею Фреге и введенную Пеано удачную математич. символику. Эта попытка, сделавшая Рассела осн. представителем Л., была осуществлена им вместе с Уайтхедом в большом, трехтомном, и все же незаконченном труде «Principia Mathematica» (1910–13), сыгравшем важную роль в дальнейшей истории математич. логики и оснований математики. В ходе жарких дискуссий, к-рыми было встречено появление этой работы (наиболее резкой, хотя и отнюдь не справедливой, была критика Л. со стороны Пуанкаре), были получены результаты, которые сделали возможным строгое доказательство того, что классич. «чистая» математика вообще не может быть сведена к логике, трактуемой, как этого хотел Рассел, как система тавтологий, истинных a priori (или, по Лейбницу, верных вообще во всех «возможных мирах», и потому ничего не говорящих нам о мире, в к-ром мы живем и действуем). Действительно, именно в применении к Principia Mathematica и родственным ей системам были доказаны Геделем (1931) его осн. теоремы о их принципиальной неполноте (т.е. о невозможности вывести ни в одной из них все содержательно истинные предложения математики) и о невозможности доказать непротиворечивость такой системы средствами логики, формализуемыми в этой же системе. Эти теоремы, – а также доказанная вскоре (1936) Черчем неразрешимость разрешения проблемы в системах типа Principia Mathematica – равно как и обнаруженная самим Расселом невозможность доказать, не обращаясь к естествознанию, необходимую ему аксиому о бесконечности множества вещей в мире или логически обосновать т.н. аксиому сводимости, к-рую Рассел вводил с целью избежать нарушений «принципа порочного круга» в определениях понятий в его системе, не выбрасывая из нее ряда осн. теорем классич. математики, – показали неосуществимость попыток обосновать классич. (теоретико-множественную) математику, трактуя ее как логику, строящуюся a priori, т.е. по существу идеалистически. Большинство позднейших последователей Л. пытается исправить недостатки системы Рассела с помощью т.н. «конструктивного номинализма» (см. Номинализм), трактующего множества (объемы понятий) не как особые абстрактные сущности или единичные «идеальные объекты», обладающие самостоят. существованием наряду с вещами, из свойств к-рых они, согласно особому «принципу абстракции», были извлечены, а лишь как коллективы, состоящие из отдельных (изолированных друг от друга) конкретных вещей. Такого рода системы были разработаны или намечены, напр., Лесьневским и его учениками, а также амер. логиками Куайном, Гудменом, Мартином, Вуджером, Генкиным и др. Сам Рассел в дальнейшем также пытался искать выход из обнаруженных им трудностей, интерпретируя свою систему в духе, отличном от его первоначальных намерений; но, перейдя на позиции, гораздо более близкие к т. зр. Венского кружка неопозитивистов, не случайно не нашел при этом выхода из трудностей, с к-рыми встретился. [О первоначальных идеях Рассела, направленных против трактовки математич. объектов и истин как произвольных творений нашего разума, хорошо говорят, напр., следующие слова из его статьи «Recent work in the philosophy of mathematics» (1901): «Слишком часто говорят, что нет абсолютной истины, но есть только мнение и частное суждение; что каждый из нас обусловлен, в своей точке зрения на мир, его личными особенностями, личным вкусом и склонностями; что нет внешнего царства истины, к которому с помощью терпения и дисциплины, мы можем, наконец, получить доступ, но есть только истина для меня, для тебя, для каждой отдельной личности. Людьми этого склада ума отрицается одна из главных целей человеческих усилий, и высшее достоинство беспристрастия, бесстрашного познания того, что есть, ускользает от нашего морального взора. По отношению к такому скептицизму математика является неизменным укором, ибо ее здание истин стоит непоколебимо и неприступно ни для какого оружия сомневающегося цинизма» («Mysticism and Logic», 1917, p. 71) ]. To обстоятельство, что Л. оказывается неспособным решить проблему обоснования математики, связано, прежде всего, с тем, что сама проблема поставлена неправильно. Когда в уже построенной математике обнаруживаются противоречия и трудности, то речь идет не просто об «обосновании» математики, а о ее перестройке, и притом такой, к-рая ориентирована на материалистич. критерий практики, т.е. предполагает такое истолкование абстрактных объектов математики (и относящихся к ним предложений), к-рое позволило бы применять математич. теории на практике (к построению др. математич. теорий, к естествознанию и технике, к экономике, языку и др. областям человеч. жизни и деятельности), к-рое позволило бы, иными словами, находить в материальной действительности и отражающей ее науке конкретные (во всяком случае, менее абстрактные) прообразы абстрактных объектов математики, обусловливающие возможность ее применения в тех случаях, к-рые действительно встречаются на практике. Для понятия натурального числа такими прообразами были еще с антич. древности модели в виде линейно расположенных последовательностей палочек, камушков, косточек, четок и др. достаточно жестких объектов. Именно эти модели и легли в основу того определенна числа как «слова» в алфавите, состоящем из букв 0 и 1, к-рое принято в сов. школе конструктивной математики А. А. Маркова, Н. А. Шанина и их учеников. Определение же количественного числа по Фреге и Расселу, т.е. как множества множеств, равномощных данному, отнюдь не имеет эффективного характера, позволяющего воспользоваться им на практике. Прежде всего, поскольку самое понятие «множества» или «объема понятия» трудно поддается уточнению. Даже те понятия, объем к-рых заведомо мыслится в виде нек-рого коллектива материальных объектов (списка его членов), в большинстве случаев не имеют достаточно жесткого объема (известно, какие трудности приходится преодолевать, напр., при уточнении понятия «гражданин данной страны», в связи с организацией переписи населения для выяснения объема этого понятия; с аналогичными трудностями приходится иметь дело вообще при организации любого учета, всегда состоящего в том, что уточняется объем нек-рого понятия, понимаемый в самом простом смысле: т.е. как список материальных объектов). Но даже научно уточненные уже понятия диалектически изменяются вместе с развитием науки, причем не всегда оказываются имеющими неизменяющийся – в ходе нашего рассуждения о них – объем (к ним не всегда применима т.н. «аксиома свертывания»). Сам Рассел не только не считает понятие «множества» само собой разумеющимся, но, даже объявляет его «фикцией» (т.е. имеющим смысл лишь в контексте). А как осуществить практически множество множеств, равномощных множеству пальцев моей руки? Такие определения «сводят» абстрактное понятие к абстрактным же понятиям, и притом не более низкого, а более высокого уровня абстрактности и поэтому, хотя и выясняют характерные для этих абстракций связи между ними, но вряд ли осуществляют действительное сведение сложного к простому, абстрактного к его восполнению (или реализации) в конкретных объектах, с к-рыми можно оперировать на практике и к-рые – в тех случаях, когда абстрактный объект или понятие таким образом peaлизуется, – допускают проверку с помощью материалистич. критерия практики. При всех ее недостатках, в системе Principia Mathematica, и особенно в работах Фреге, есть много важных и интересных результатов логич. анализа, относящихся к понятиям «объекта» и его «имени», «упоминания» и «употребления» термина, «смысла» и «значения», «функции» и «отношения» и мн. др. Особенное значение имеет разработанная Расселом, с целью избежать парадоксов теории множеств, типов теория, к-рая равносильна нек-рому включению времени, развития и движения в логику, т.е. содержит элементы диалектики. На истории Л. лишний раз подтверждается ленинский прогноз о том, что действительный прогресс науки нашего времени всегда будет удовлетворять требованиям материалистич. диалектики, между тем как всякие попытки использовать этот прогресс науки для к.-л. идеалистич. выводов неизбежно будут терпеть крушение. Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ч. I, с. 15–17, 45–47; Бирюков Б. В., О работах Г. Фреге по филос. вопросам математики, в кн.: Филос. вопросы естествознания, вып. 2, М., 1959; Гетманова А. Д., О взгляде Бертрана Рассела на соотношение математики и логики, «Вестн. МГУ. Серия экономики, философии, права», 1959, No 1; ее же, О соотношении логики и математики в системах типа Principia Mathematica, в сб.: Логич. исследования, М., 1959; Яновская С. . О филос. вопросах матем. логики, в сб.: Проблемы логики, М., 1963; Бурбаки Н., Очерки по истории математики, М., 1963; Frege G., Begriffsschrift. Halle, 1879; англ. пер., Oxf., 1952; его же, Die Grundlagen der Arithmetik, Breslau, 1884; англ. пер., Oxf., 1950; его же, Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1–2, Jena; 1893–1903; оба тома частично перев. на англ., Oxf., 1952; Whitehead ?. N. and Russell В., Principia Mathematica, v. 1–3, Camb., 1910–13; 2 ed., v. 1–3, Camb., 1925–27; Russell В., Introduction to mathematical philosophy, 2 ed., L., 1924; нем. пер., M?nch., 1930; его жe, The principles of mathematics. 2 ed., L., 1937; G?del K., ?ber formal unentscheidbare S?tze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, «Monatsh. Math. und Physik», 1931, Bd 38; его же, Russell´s mathematical logic, в кн.: The philosophy of Bertrand Russell, ed. by P. A. Schlipp, Evanston, 1944, p. 123–53; Church . An unsolvable problem of elementary number theory, «Amer. J. Math.», 1936, v. 58, p. 345–63; Goodman N., Quine W., Steps toward a constructive nominalism, «J. Symbolic Logic», 1947, v. 12, No 4; Martin R. M. and Woodger J. H., Toward an inscriptional semantics, «J. Symbolic Logic», 1951, v. 16, No 3; Вeth E. W., The foundations of mathematics, Amst., 1959, ch. 13, p. 353–64; Luschei E. C, The logical systems of Lesniewski, Amst., 1962 (имеется библ. работ Лесневского); Lakatоs I., Infinite regress and foundations of mathematics, [Proceeding of the ] Aristotelian Society, suppl. v. 36, L., 1962, p. 155–84. С. Яновская. Москва.
Синкевич. Георг Кантор & Польская школа теории множеств
Книга посвящена научной биографии великого немецкого математика Георга Кантора. Впервые по архивным документам рассказана подлинная история его семьи и его детства в Петербурге. Особенное внимание уделено его деду, первому солисту-скрипачу Петербургс- ких Императорских театров Францу Бёму. Изложен жизненный путь Кантора, его становление как математика, его работы по те- ории множеств. Рассказана история возникновения и расцвета польской математической школы тео- рии множеств 1918–1939. Дан анализ большого количества работ лидера Варшавской матема- тической школы Вацлава Серпинского и его учеников. Для историков математики XIX и XX веков, историков Петербурга XIX века.
Download Free PDF View PDF
Монография посвящена развитию основных концепций математического анализа. В книге рассмотрено зарождение теоретико-множественных представлений в работах математиков Штифеля (XVI в.) и Галилео Галилея (XVII). Подробно, с XVII по XIX век проанализирована история двух теорем Ролля как основных свойств непрерывной функции. Дана история закона непрерывности от Аристотеля до Лейбница, история правил дифференцирования, сравнительный анализ особенностей французской и немецкой математической традиции XVII ‒ XIX веков. Показано формирование языка «ε-δ» в математике XIX века. Дана история возникновения концепции действительного числа и непрерывности в работах математиков XIX века Мере, Вейерштрасса, Дедекинда, Гейне и Кантора, проведён анализ их концепций. Подчёркнуто изменение математического языка и появление нового типа математических определений. К числу приоритетных открытий автора следует отнести выявление ранней истории понятий связности, метрического и топологического пространств в работах Вейерштрасса и развития этих понятий в работах математиков итальянской и школ, а также в концепциях Фреше и Хаусдорфа. Впервые в русскоязычной историко-математической литературе приводится перевод фрагментов книги Штифеля «Общая арифметика», Рейно «Доказательный анализ», Дробиша «Лекции по уравнениям высших порядков», Ампера «Исследование некоторых вопросов дифференциального исчисления, позволяющих получить новое представление ряда Тейлора и его выражение в конечном виде, если ограничить суммирование», Мере «Новый точный инфинитезимальный анализ», Гейне «Элементы учения о функциях» (полный перевод), Вейерштрасса «Дополнительные главы по теории функций», Дини «Основания теории функции действительного переменного». В конце книги дан обзор историографии математического анализа, содержащий более 100 наименований на 7 языках. Книга представляет интерес для историков науки, математиков-исследователей и преподавателей, студентов, изучающих математический анализ, а также для всех интересующихся историей математики.
Download Free PDF View PDF
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвузовский тематический сборник трудов. Выпуск 19. Под редакцией д-ра физ.- мат. наук, проф. Б.Г. Вагера / СПбГАСУ. – СПб. – 2013. – С. 4 – 23.
Понятие связности ввёл Листинг в 1847 году, развивали его Риман, Жордан, Пуанкаре. Понятие и строгое определение метрического и топологического пространства формируется в работах Фреше 1906 года и Хаусдорфа 1914 года. Понятие континуума корнями уходит в античность, но его математическое определение формировалось в XIX веке в работах Кантора, Дедекинда, позже Хаусдорфа и Рисса. Карл Вейерштрасс (1815-1897) привёл математический анализ к строгой форме, при этом в его рассуждениях формировались понятия математики будущего – функционального анализа и топологии. Работы Вейерштрасса на русский язык не переводились, а его лекции не издавались даже в Германии. В 1989 году были опубликованы конспекты его лекций по дополнительным главам теории функций, материал которых и послужил основой данной статьи.
Download Free PDF View PDF
Развитие понятия числа и непрерывности в математическом анализе до конца XIX века.
В диссертации дана картина становлений концепций числа и непрерывности к концу XIX века. Работа является первым трудом, представившим тему становления концепции числа и непрерывности в математическом анализе во всей её полноте. Привлечено большое количество первоисточников, рассмотрено использование понятий непрерывности и числа в работах таких математиков и мыслителей, как Архимед, Ж. Буридан, М. Штифель, Дж. Кардано, Галилео Галилей, Р. Декарт, А. Арно, Дж. Валлис, Дж. Грегори, И. Ньютон, Г. В. Лейбниц, М. Ролль, Ш.-Р. Рейно, Г.Ф. де Лопиталь, А. Муавр, К. Маклорен, Л. Эйлер, Ж.Л. Даламбер, А. Г. Кестнер, Ж. Л. Лагранж, К. Вессель, С. Ф. Лакруа, Ж.Б. Фурье, Ж. Р. Арган, А.-М. Ампер, К.Ф. Гаусс, Б. Больцано, О. Л. Коши, М. В. Дробиш, П. Лежён-Дирихле, У. Р. Гамильтон, Г. Грассман, К. Вейерштрасс, Э. Гейне, Б. Риман, Р. Дедекинд , Р. Липшиц, Ш. Мере, Г. Ганкель, Г. Кантор, У. Дини, А.В. Васильев, Б.К. Млодзеевский, С.О. Шатуновский, Д. Гильберт, И.Ю. Тимченко, В.Л. Некрасов, Ф. Хаусдорф, И.И. Жегалкин, Э. Борель, А. Лебег, М. Фреше, Ф. Рисс, П.А. Флоренский, Н.Н. Лузин, А.Н. Колмогоров, а также некоторых других. Наряду с первоисточниками привлечено большое число математических, критических и историко-математических работ как отечественных, так и зарубежных учёных, касавшихся этой темы.
Download Free PDF View PDF
Musicus. СПб 2010 №5 (24). С.54-59.
В XIX веке в Санкт-Петербурге жила семья скрипачей- виртуозов: Франц Бём, первый концертист оркестров Императорских театров, его жена скрипачка Мария Бём-Моравек, его брат Йозеф Бём, ставший основателем скрипичной школы в Вене, сын Франца Людвиг Бём, профессор скрипки Санкт-Петербургской консерватории. Ключевые слова: : Бём, Моравек, история скрипки, Петербург, XIX век, консерватория.
Download Free PDF View PDF
Труды XII Международных Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. – 2014. – с. 373-380.
Герман Ганкель. Научная биография
Download Free PDF View PDF
The book is a re-edition of Russian translation of Richard Dedekind’s book «What are numbers and what should they be?» which was published in Kazan in 1905. The preface by G.Sinkevich.
Download Free PDF View PDF
Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Вып. 20. СПб.: Издательство СПбГАСУ 2014. – с. 3–22.
Математический анализ ведёт свою историю с XVII века. Как самостоятельная теория он возник в работах Ньютона и Лейбница, был развит в работах И. Бернулли, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа, О. Коши, К. Вейерштрасса и многих других математиков XVIII и XIX веков. Историю идей математического анализа писали начиная с XVIII века. Сейчас историография анализа огромна, в статье ставится цель выделить наиболее значимые работы историков России, Франции, Англии, Германии, Италии, Польши, Чехии, Венгрии, США, Канады, Бразилии. Ключевые слова: математический анализ, история основных понятий, непрерывность.
Download Free PDF View PDF
Download Free PDF View PDF
Генеалогия ценностей в русской философии Серебряного века. Сборник научных трудов под редакцией М.И. Панфиловой, Е.А. Трофимовой. – СПб:СПбГЭУ. – 2013 г. – С. 444 – 456.
Статья посвящена вопросам истории математики, но рассчитана на неспециалистов. Нашей задачей было показать особенность подхода к называемости в московской школе теории функций и связь истории этой школы с историей развития философского понятия имени в работах московских философов.
Download Free PDF View PDF