Что такое узел в окружности

Узел (математика)

Узлы — предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это ещё и математические объекты; более того, в последние 20 лет математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса были получены именно за работы, связанные с этой теорией. А именно, лауреатами медали Филдса в разное время стали Владимир Дринфельд из Харькова, работающий в Чикаго, Максим Концевич из Москвы, работающий в Париже, Воган Джонс из Новой Зеландии, работающий в Калифорнии, и Эдвард Виттен, физик-теоретик, работающий в Принстоне.

Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или на шнурках ботинок? Естественно, в математике узел — это некая абстракция: рассматривается не верёвка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно либо как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой — в бесконечность «вниз», либо просто соединить их (см. рис.). В последнем случае модель узла — замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, то есть состоит из отрезков (впрочем, на рисунках мы почти всегда будем изображать узлы в виде гладких кривых, считая отдельные звенья ломаной. Самый простой узел — тривиальный (простая окружность). Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, то есть его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая верёвку) так, чтобы он превратился в тривиальный.

Трилистник и восьмёрка

Вот несколько примеров нетривиальных узлов: узел на рис. слева называется трилистником, узел на рис. справа — восьмёркой. (Обычно узлы рассматривают с ориентацией, то есть считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.)

Группа узлов

Если считать узлы кривыми, концы которых уходят в бесконечность, то умножение узлов определяется естественным образом: произведение узлов а и b — это просто нить, на которой завязан сначала узел а, затем узел b (рис. справа). Это умножение ассоциативно: для любых узлов а, b и с верно равенство: (ab)c=a(bc). Ясно, что тривиальный узел (то есть просто вертикальная прямая) является единичным элементом. Ни один нетривиальный узел не имеет обратного. Покажем, что два узла, завязанные на одной веревке, можно переставить. Действительно, пусть на нити завязан сначала узел a, затем узел b. Сперва, не трогая узел a, «затянем» узел b в маленький узелок. Потом заключим этот узелок в маленький стеклянный шарик и будем двигать его вверх по нити. В итоге этот шарик окажется наверху, и его можно превратить опять в узел b. Таким образом, умножние узлов коммутативно: ab=ba.
Итак, верна

Теорема об узлах. Узлы образуют ассоциативную и коммутативную систему относительно умножения.

В этой системе есть единичный элемент, но нет обратных.

Компьютер развязывает узлы

Первый шаг в этой теории состоит в сведении (сложной) пространственной задачи развязывания узла к (более простой) задаче применения простых операций к кривым на плоскости. Эти операции придумал в 1920-е годы немецкий математик Рейдемейстер.
Имеет место

Лемма Рейдемейстера. Если узел можно развязать (превратить в окружность) в пространстве, то его плоскую диаграмму можно распутать на плоскости с помощью операций Рейдемейстера.

Некоторые типы узлов

Восьмёрка
Дикий узел
Незаузлённый узел
Трилистный узел
Узел Нейвирта
Торический узел (англ.)

Ссылки

Атья М. Геометрия и физика узлов. — М .: Мир, 1995. — 192 с.
Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М .: Мир, 1967. — 348 с.
Сосинский А. Б. Узлы и косы. — М .: МЦНМО, 2001. — 24 с.
The Knot Atlas — вики-проект об узлах.

Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.

Узел Curve Circle (окружность)

Узел Circle.

Три точки окружности. Порядок точек определяет направление окружности (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Из-за конечного разрешения три точки не обязательно лежат на сгенерированной кривой.

Свойства

Mode Points :

Положение и радиус окружности определяются трёмя точками. Центр окружности также даётся как выход. Если три точки лежат на одной линии, геометрия не создаётся.

Окружность определяется радиусом.

Выходы

Полисплайн, сгенерированный из входных данных.

Центр окружности определяется тремя точками.

View Source
Сообщить об ошибке на этой странице

Нейросеть научилась распознавать узлы в полимерах

Ученые проверили способность нейросетей классифицировать возникающие в химии полимеров узлы. Исследователи протестировали несколько различных архитектур, лучшая из которых показала правильное распознавание в 99 процентов случаев при анализе циклических молекул из ста сегментов. Такой точности уже сегодня достаточно для некоторых применений, а в случае прогресса в будущем нейросетевое определение узлов может стать полноценным методом как в случае физико-химических систем, так и в контексте математики, пишут авторы в журнале Physical Review E.

Узлы повсеместны в окружающей реальности, от спутавшихся в кармане наушников до альпинисткой обвязки. Они также возникают во многих разделах науки, в том числе в физике, химии и биологии. Например, бывают заузленные течения в жидкости, в узлы также скручиваются многие молекулы — в частности, белки и ДНК.

С точки зрения математики узел — это вложение окружности в трехмерное пространство, при этом одинаковые с точностью до непрерывных преобразований (без разрывов) узлы считаются эквивалентными. Известно, что задача о классификации узлов алгоритмически разрешима, но пока не придумано алгоритма полиномиальной сложности даже для распознавания тривиальных узлов, то есть обычных окружностей с точностью до деформаций.

Стандартный подход заключается в поиске топологических инвариантов, по которым можно отличить узлы. Здесь выделяются два направления: полиномиальные инварианты (Александера, Джонса и другие) и гомотопические инварианты (Хованова, Хегора — Флоера и другие). Однако все предложенные методы обладают недостатками. В частности, бесконечно много неодинаковых узлов оказываются неотличимы при использовании полинома Александера, а гомотопии в общем случае нереалистично сложно подсчитать.

Исследователи из Китая и Сингапура под руководством Лян Дая (Liang Dai) из Городского университета Гонконга опробовали принципиально иной метод на основе нейросетей. В отличие от аналитических алгоритмов он не позволяет добиться абсолютной уверенности в ответе, но зато теоретически может работать в недоступных для других способов случаях. Авторы хотели проверить принципиальную возможность использования нейросетей для распознавания узлов, поэтому ограничились пятью разными узлами и двумя нейросетями.

Исследователи использовали нейросеть с прямой связью и рекуррентную нейросеть. Обучающей и тестовой выборкой были проведенные методом Монте-Карло симуляции конфигурации полимера в виде кольца из ста мономеров. В каждом случае тип узла определялся с помощью многочлена Александера, а для нейросетей выбиралось по 200 тысяч или 2 миллиона каждого из пяти видов получаемых узлов. В качестве дополнительного испытания нейросети также определяли тип узла у миллиона полимеров из 60 и 80 мономеров, которых не было в обучающей выборке.

Рекуррентная нейросеть во всех тестах показала себя лучше. Наивысшего результата удалось добиться в случае работы с суммарной выборкой в 2 миллиона полимеров длиной в сто элементов — выше 99 процентов. В то же время максимальная точность более простой нейросети с прямой связью составила всего немногим более 80 процентов. В целом ученые заключают, что их работа вселяет уверенность, что более сложные нейросети в случае наличия достаточно больших обучающих выборок смогут стать мощным инструментом по классификации узлов.

Классификация узлов в утолщенной бутылке Клейна Текст научной статьи по специальности «Математика»

Статья посвящена составлению таблиц узлов в утолщенной бутылке Клейна K 2 хI, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Классификация узлов в утолщенной бутылке Клейна»

КЛАССИФИКАЦИЯ УЗЛОВ В УТОЛЩЁННОЙ БУТЫЛКЕ КЛЕЙНА

Статья посвящена составлению таблиц узлов в утолщенной бутылке Клейна К2 хI, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков.

Ключевые слова: бутылка Клейна, узел, диаграмма узла, минимальная диаграмма, полином Кауффмана.

Пусть К2 — бутылка Клейна и К2 х I — утолщенная бутылка Клейна, т. е. ориентируемое косое произведение бутылки Клейна К2 на отрезок I [1]. Статья посвящена составлению таблиц узлов в К2 х I, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков. Узлы строятся в три этапа (сначала — регулярные графы валентности 4, потом — отвечающие им проекции, затем — диаграммы). Различность полученных узлов доказывается с помощью модифицированного полинома Кауффмана для узлов К2 х I.

1. Основные определения

Под узлом в К2 х I будем понимать непересекающуюся простую замкнутую кривую К в 1п1(К2 хI). Два узла К0,К С 1п1(К2 хI) эквивалентны, если пара (К2 х!,К0) гомеоморфна паре (К2 х^К^.

Рассмотрим прямоугольник Р с вершинами А, В, С, Д. В нем отождествим точки сторон АВ и СД и точки сторон СВ и ДА симметрично относительно центра прямоугольника (рис. 1). Хорошо известно, что отождествление противоположных сторон в прямоугольнике Р представляет собой бутылку Клейна К 2.

Рис. 1. Прямоугольник Р

Определение 1. Проекцией узла в К2 называется граф в прямоугольнике Р, причем:

Исследования поддержаны грантом РФФИ №. 12-01-00748, грантом НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ и программы ОМН РАН (проект 12-Т-1-1003/2).

1. Валентность любой вершины равна 1 или 4■ Вершины валентности 4 лежат внутри Р, а вершины валентности 1 лежат внутри сторон Р.

2. Вершины валентности 1 отождествляются с вершинами валентности 1 по указанному выше отображению сторон в прямоугольнике.

3. Если начиная с некоторой точки графа будем двигаться по его ребрам, проходя вершины валентности 4 по правилу «прямо вперед»» и проходя вершины валентности 1 по указанному отождествлению сторон в Р, то получим полный обход графа.

Диаграмма узла в К2 получается из проекции указанием разрывов в точках самопересечения, то есть вершинах валентности 4. Две проекции (диаграммы) считаются эквивалентными, если одна получается из другой при гомеоморфизме бутылки Клейна на себя. Также разрешается одновременно изменять типы всех перекрестков. Как и в классическом случае, две диаграммы эквивалентны тогда и только тогда, когда их диаграммы можно соединить последовательностью ,движений Рейдемейстера и четырех новых движений (рис. 2).

Рис. 2. Движения Д4, Д5, Дб и Д7

Напомним, что утолщенная бутылка Клейна К2 х I получается из прямого произведения Р х I. Многообразие Р х I представляет собой параллелепипед, у которого две противоположные грани отождествляются по параллельному переносу и две противоположные грани — по суперпозиции параллельного переноса и поворота на 180 градусов относительно центра грани. Как и в классическом случае (узлов в Я3), каждая диаграмма узла в Р определяет узел в К2 хI.

Определение 2. Диаграмма узла К называется минимальной, если ее сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы любого узла, эквивалентного узлу К. Проекция называется минимальной, если минимальна хотя бы одна из отвечающих ей диаграмм.

Будем называть узел К С К2 хI локальным, если он содержится в некотором шаре V С К2 хI, и составным, если существует такой шар V С К2 хI, что пересечения К П V и К П V’, где V’ = (К2 х I) \ 1п^, являются нетривиальными дугами (то есть дугами, не параллельными краю шара V). Такие узлы мы не будем включать в таблицу. Узел назывется примарным, если он отличен от локального и составного.

2. Основной результат

Теорема 1. Существуют ровно 22 различных примарных узла в К2 х I, минимальные диаграммы которых имеют не более двух перекрестков. Эти диаграммы изображены в табл. 1.

Минимальные диаграммы узлов, имеющих не более двух перекрестков на бутылке Клейна, которая представлена в виде прямоугольника с отождествленными противоположными сторонами

01 02 0з 11 12 13

І4 2і 22 2з 24 25

Ї 7 ТУ 1 . К . г* , (ґ* К

2б 27 28 29 210 211

212 21з 214 215

Лемма 1. Существуют ровно 4 регулярных связных графа, имеющих не более двух вершин (рис. 3).

Доказательство. Этот результат получается путем очевидного перебора всех графов. □

Лемма 2. Существует ровно 18 различных минимальных проекций узлов в К2 х I с не более чем двумя двойными точками (табл. 2).

Рис. 3. Регулярные графы с п < 2 вершинами

Минимальные проекции узлов, имеющих не более двух перекрестков на бутылке Клейна, которая представлена в виде прямоугольника с отождествленными противоположными сторонами

Доказательство. Графу А отвечает только три проекции нетривиальных узлов 01, 02, 03 (с точностью до эквивалентности), так как известно, что бутылка Клейна содержит только три нетривиальных простых замкнутых кривых.

Все вершины графов В, С являются разбивающими. Тогда подходящие разрезания по всем вершинам проекций, соответствующих графам В и С, дадут две и три окружности. Окружности, отвечающие петлям графа, нетривиальны. Оставшиеся окружности могут быть как тривиальными, так и нет. Перебирая все комбинации их типов, мы получаем проекции 11,12,13,14 для п =1, проекции 21 — 28 для п = 2 (см. табл. 2).

Рассмотрим граф Д, его можно представить как объединение двух окружностей с двумя общими точками. В одной из этих точек окружности пересекаются трансверсально (по отношению к тому, как они располагаются на бутылке Клейна), в другой нет, так как в случае двух трансверсальных точек получаем зацепление из двух компонент. Разрезав граф по нетрансверсальной точке, получим две окружности с одной оставшейся трансверсальной точкой пересечения.

Легко проверить, что существуют два случая расположения двух окружностей с одной трансверсальной точкой: 01 и 02, 02 и 02. Тогда графу Б соответствуют три проекции 29, 210, 211 (см. табл. 2). □

Рассмотрим узел К. Каждый перекресток делит плоскость на два дополнительных угла, один из которых мы назовем углом типа А, а другой — углом типа В. Угол типа А — это тот угол, который мы видим сначала справа, когда проходим перекресток по верхней ветви; угол типа В — это тот угол, который мы сначала видим справа, когда проходим перекресток по нижней ветви. Состоянием Б называют выбор в каждой двойной точке диаграммы расщепления типа А или типа В. Если в каждой двойной точке применить одно из двух возможных преобразований расщепления А или В, то получем набор попарно не пересекающихся замкнутых кривых [2].

Определение 3. Для ориентированной диаграммы Б узла в К2 х I определим модифицированный полином Кауффмана (М) от четырех переменных А, г, f по формуле

где а(Б) и в (Б) — количество расщеплений типа А и В в состоянии Б; 7(Б), ^(Б), V(Б), А(Б) — соответственно число простых замкнутых в бутылке Клейна состояния Б и ш(Б) — число скрученности диаграммы узла.

Данный полином является инвариантом узлов в К2 х I. Проверяется аналогично как для узлов в Я3. Теперь мы перейдем к доказательству основной теоремы 1.

Доказательство. Восстановим из минимальных проекций (см. лемму 2) диаграммы узлов, указав тип каждой двойной точки. Из получившегося списка мы уберем эквивалентные диаграммы. Таким образом, получили 22 диаграммы узлов (см. табл. 1). Для доказательства различности всех этих диаграмм узлов посчитаем модифицированный полином Кауффмана. В результате получаем 22 различных полинома. □

3. Пример вычисления модифицированного полинома Кауффмана

Вычислим модифицированный полином Кауффмана для узла 21.

Найдем число ш(21), для этого ориентируем узел (см. рис. 4), и получаем ш(21) = —2. Узел 21 имеет два перекрестка, следовательно, 4 состояния: АА, АВ, ВВ, ВА. В состоянии АА получаем тривиальную кривую и кривую типа 02. В остальных состояниях получаем кривые типа 02 (рис. 4). Тогда,

(М(Б)) = М(Б; АДг^) = — А-3(-2) ^ Аа(5)-в(5)(—А2 — А-2)7(5)#(5)г^^Л(5) =

-А6[А2(-А2 — А-2)г + г + А-2г + г] = -А6(-А-4 — 1 + 1 + А-2 + 1)г = -А6(-А-4 + А-2 + 1)г = (А2 — А4 — А6)г.

1. Матвеев, С. В. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии / С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Изд-во МГУ, 1991. — 304 с.

2. Прасолов, В. В. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия / В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. — М. : МЦНМО, 1997. — 352 с.