Натуральные логарифмы
Натуральный логарифм числа N , то есть logeN принято обозначать ln N.
Переход от натуральных логарифмов к десятичным
Если натуральный логарифм числа N равен q: lnN = q, тогда N = e q , или lgN = q lg e. Заменяем в последнем равенстве q на натуральный логарифм числа N и получаем
lg N = (ln N) · lg e.
lg e = 0,43429. .
Чтобы получить десятичный логарифм какого-нибудь числа, надо его натуральный логарифм умножить на число 0,43429. (lg e).
Число lg e = 0,43429. называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
Переход от десятичных логарифмов к натуральным
lg N = (ln N) · lg e
| ln N = (lg N) · | 1 | . |
| lg e |
| 1 | ≈ 2,30258 . |
| lg e |
Чтобы получить натуральный логарифм какого-нибудь числа, надо его десятичный логарифм умножить на число 2,30258.
| 1 | ≈ 2,30258 |
| lg e |
называется модулем перехода от десятичных логарифмов к натуральным.
| Список литературы | | | contact@izamorfix.ru |
| 2018 − 2023 | © | izamorfix.ru |
Как перейти от натурального числа к десятичному логарифму? Как перевести число в натуральный логарифм.
Если Вам известен десятичный логарифм какого-то числа Х (равный lg(X)), то натуральный логарифм этого числа (равный ln(X)) будет равен, согласно основным свойствам логарифмов : ln(X)=In10*lg(X)=(1/Ig(e))*lg(X)=(1/M)*lg(X), т. е. натуральный логарифм числа, равен десятичному логарифму этого числа умноженному на «число 1/М»=1/Ig(e).
Для быстрых оценок приводим табличку: Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851).
Таблица для перехода от десятичных логарифмов к натуральным (таблица умножения на «число 1/М» (у англосаксов это «число 1/A») = In 10 = 2,3025851).
0102030405060708090
00,000023,02646,05269,07892,103115,129138,155161,181184,207207,233
12,302625,32848,35471,38094,406117,431140,458163,484186,509209,535
24,605227,63150,65773,68396,709119,734142,760165,786188,812211,838
36,907829,93452,95975,98599,011122,037145,062166,089191,115214,140
49,210332,23655,26278,288101,314124,340147,365170,391193,417216,443
511,51334,53957,56580,590103,616126,642149,668172,694195,720218,746
613,81636,84159,86782,893105,919128,945151,971174,997198,022221,048
716,11839,14462,17085,196108,221131,247154,273177,299200,325223,351
818,42141,44764,47287,498110,524133,550156,576179,602202,627225,653
920,72343,74966,77589,801112,827135,853158,878181,904204,930227,956
Натуральный логарифм
Логарифм, взятый по основанию e, носит название — натуральный логарифм. Часто такие логарифмы называют Неперовыми, что неверно.
Натуральные логарифмы принято обозначать так: ln N. Соответсвенно знак ln есть сокращение слов logarithm natural — натуральный логарифм
\[ \log_e (N) = \ln N \]
Вычислить, найти натуральный логарифм
Натуральный логарифм
См. также
Разделы
Калькулятор
| Для ссылки на Формулы и расчеты используйте этот баннер |
< a
href = «http://www.fxyz.ru/»
title = «Формулы и расчеты» >
< img
src = «http://www.fxyz.ru/data/img/fxyz-88×31.png»
alt = «Формулы и расчеты» />
| Copyright © FXYZ.ru, 2007 2023. Мобильная версия | Случайная статья | Образовательные сайты | рассказать другу | карта сайта |
|---|
3.7. Логарифмы и логарифмическая функция
Рассмотрим уравнение , которое задаёт нам вопрос: в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? На этот вопрос отвечает логарифм , который равен трём: . …замысловато? Ну не зря же это проходят в старших классах J.
– в какую степень нужно возвести «е», чтобы получить 1?
– в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1/100?
И вообще, – в какую степень нужно возвести «а», чтобы получить «бэ»?
Логарифмом числа по основанию :
– называется степень «пэ» , в которую нужно возвести «а», чтобы получить «бэ».
Из чего следует основное логарифмическое тождество: .
…тождество – это такое железобетонное равенство 🙂
Сама запись читается как « логарифм «бэ» по основанию «а» », и очевидно, что логарифм определён лишь для положительных «бэ»: – по той причине, что любое положительное «а» в любой действительной степени «пэ»: – положительно.
Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом, и для краткости обозначают значком , например: .
Логарифм по основанию «е» называют натуральным логарифмом и обозначают значком , например: . В высшей математике в ходу именно натуральные логарифмы, и в дальнейшем мы уделим им самое пристальное внимание.
Свойства логарифмов
Как и в случае со степенями / корнями, я не буду разбирать все свойства, а остановлюсь лишь на тех, которые имеют большое значение для практики.
Переход к новому основанию: , причём новое основание «цэ» вы можете выбрать по своему желанию (из доступных вариантов: ), например:
. Но гораздо чаще встречается частный случай формулы: , например: . Разумеется, формула работает и в обратном направлении, что бывает удобным, когда нужно избавиться от знаменателя: .
Если то справедливо следующее (и слева направо и справа налево):
Например: .
Обращаю внимание, что эти действия выполнимы только для логарифмов с одинаковыми основаниями, не путайте с «похожими» ситуациями: , или . Однако в последнем случае можно сделать так: .
Далее. Для и любого действительного числа :
Например: – и это просто волшебство! Ведь это здОрово избавиться от 50-й степени! Популярно и обратное действие, особенно, когда нужно выполнить другие упрощения:
Перечисленные правила можно распространить на отрицательные значения «бэ», но тогда нужно добавить модули:
, если чётное. Например: – и равносильность соблюдена, поскольку полученный логарифм тоже определён для отрицательных «икс».
А вот такое преобразование неравносильно: , и поэтому здесь следует обязательно указать, что .
В случае иных значений модуль не нужен: – по той причине, что и исходные и полученные логарифмы определены только для положительных значений «икс».
Логарифмирование и потенцирование
Логарифмирование – это перевод чисел или уравнений в логарифмический масштаб или, попросту говоря, «навешивание» логарифмов.
Данное действие удобно использовать при работе с астрономическими или микроскопическими числами, особенно, если они находятся в произведении. Так, число целесообразно упростить, «навесив» на него логарифм, выгодно взять десятичный логарифм: – далее переводим другие числа в тот же масштаб (логарифмируем по основанию десять)
и работаем (выполняем действия) с гораздо более удобными значениями.
Логарифмирование незаменимо при решении некоторых уравнений, например:
Для разрешения этого уравнения относительно «икс» «навесим» на обе его части логарифмы, обычно используют натуральные логарифмы:
в левой части «сносим» степень, и порядок:
и «любительская» проверочка: , около 80, что и требовалось проверить.
При логарифмировании нужно следить за знаками, так, обе части уравнения (функции) определены и положительны при любом значении «икс», поэтому здесь можно смело логарифмировать: , получая равносильное уравнение.
А вот у функции обе части могут быть меньше нуля, и поэтому здесь нужно добавить модули: , квадратному корню модуль не нужен: . Однако это действие всё равно неравносильно т.к. мы потеряли значение (почему?). Но это не помеха для решения некоторых задач, например, для нахождения производной, где можно пренебречь даже модулями. Да, а зачем логарифмировать? Чтобы упростить правую часть: .
Потенцирование – это обратная операция, «избавление» от логарифмов.
Предположим юные физики вдоволь нарезвились с вычислениями в десятичном логарифмическом масштабе, и хотят перевести результат обратно. Без проблем:
, используем свойства степеней, логарифмов и основное логарифмическое тождество: .
Потенцирование используют для того, чтобы выразить функцию в явном виде, например: – «упаковываем» логарифмы в правой части:
, после чего просто убираем логарифмы и модули заодно:
Такие действия выполняют при решении некоторых дифференциальных уравнений
Логарифмическая функция и её график
В логарифмической функции фиксируется основание «а», а значение «бэ» является независимой переменной:
– данная функция каждому положительному значению «икс» ставит в соответствие степень «игрек», такую, что:
Таким образом, логарифмическая и показательная функция – это две взаимно обратные функции, и график логарифма тоже представляет собой экспоненциальную кривую, только расположена она по-другому. Так, график натурального логарифма имеет следующий вид (запомните его!):
Удобные опорные точки: 
Принципиально так же выглядит график любого логарифма с основанием , в частности, десятичный логарифм
Если , то графики оказываются «развёрнутыми наоборот» относительно оси , например, . Но такие логарифмы в высшей математике встречаются довольно редко.
Однако и в том и в другом случае логарифмическая функция проходит через точку , а ось является вертикальной асимптотой графика.
Если «начинка» логарифма более сложная, то, естественно, график будет видоизменяться и мигрировать вместе с асимптотой. Построим, например, график функции . Это удобно сделать по следующей схеме: сначала из уравнения находим вертикальную асимптоту (оранжевый пунктир на чертеже). Теперь нужно выяснить область определения функции. Логарифм определён только в том случае, если его «начинка» строго больше нуля: , и преобразуя это простое неравенство, получаем, что: . Найдём затем несколько опорных точек:
и аккуратно соединим их линией. Для вычисления «игреков» удобно использовать калькулятор, например, Калькулятор, приложенный к этой книге.
Ещё пример (на чертеже отсутствует): – график этого логарифма имеет две симметричные относительно оси ветви (т.к. функция чётная), и эта функция не определена лишь в точке . А вот этот логарифм: – определён всюду, поскольку при любом значении «икс».
Только что рассмотренные функции называют сложными или композиционными – это функции, в которые «вложены» другие функции: . В наших трёх примерах под логарифмом оказались линейная и квадратичные функции.
Уравнения и неравенства с логарифмами
В параграфе о логарифмировании и потенцировании мы искусственно «навешивали» логарифмы на обе части уравнения либо избавлялись от них. А сейчас речь пойдёт об уравнениях и неравенствах, где логарифм присутствует изначально.
Начнем с простых случаев… и закончим ими:)
Уравнение вида ( – константа) очевидным образом приводится к уравнению . Например:
ну и давайте что-нибудь посодержательнее:
С геометрической точки зрения это означает, что график функции пересекает график (ось ) в точке .
И, конечно, проверка – подставим в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть, ОК.
Уравнение вида тоже разрешимо из естественных соображений: логарифмы с одинаковыми основаниями равны, если , при этом корни должны быть ТАКИМИ, чтобы для них выполнялись условия . Так, для решения уравнения потенцируем обе части:
, откуда получаем корень , после чего обязательно подставляем его в исходное уравнение: – верное равенство.
А теперь рассмотрим такое уравнение: , где после избавления от логарифмов всё вроде бы хорошо: , однако корнями эти значения не являются, т.к. не входят в область определения логарифмов.
Неравенства. Простейшие из них удобно решать графически, причём мысленно. Рассмотрим неравенство . Это неравенство предлагает нам определить участок, где график натурального логарифма выше оси . Вспомнили, взглянули? . Аналогично, неравенству соответствует интервал , где график логарифма ниже оси абсцисс. В случае нестрогих неравенств в решения следует добавить единичку.
И рассмотрим общий случай , где «пэ» – произвольная константа.
Во-первых, «начинка» логарифма должны быть строго больше нуля: . Это незыблемое условие, о котором ни в коем случае забывать нельзя! Теперь разбираемся с основным неравенством: сначала в правой части искусственно добавляем множитель: . Обратите внимание, что и статус-кво соблюдён. В правой части поднимаем «пэ» в показатель: и дальше следует развилка:
если , то решаем систему , если – то систему: .
Как видите, в 1-м случае после потенцирования знак неравенства следует сменить на противоположный.
Неравенство решается аналогично с финальными системами:
, если и (без смены знака), если .
Если изначальные неравенства нестрогие, то нижние неравенства в системах тоже будут нестрогими. И ещё раз – условие незыблемо при любых раскладах!
Как я уже отмечал, на практике почти всегда встречает второй случай, когда , ему и уделим внимание. Дорешаем неравенство , которое мы начали в параграфе Метод интервалов. Там была найдена область определения логарифма :
и сейчас нужно решить вторую часть задания. Согласно формальному алгоритму, домножаем правую часть неравенства: , поднимаем ноль наверх: и получаем: . Так как основание логарифма , то при потенцировании знак неравенства менять не нужно: . Преобразуя это простенькое неравенство, получаем: . Таким образом, имеем систему . Решение 1-го неравенства я отмечу сверху, а 2-го – снизу:
Решением системы и исходного неравенства является пересечение (общая часть) промежутков: – да, вот такой вот совсем небольшой интервал.
Как вариант, неравенство нетрудно решать графически – с графиком этого логарифма никаких проблем. И я предлагаю вам это задание в числе других для самостоятельного выполнения. Если что-то не запомнилось или не уложилось в голове, вернитесь к предыдущим параграфам:
Задание 8
а) Решить графически:
б) Определить количество действительных корней уравнения
в) Почему уравнение мы можем сократить на два, но на два нельзя сокращать правую часть ? Пояснить аналитически и геометрически
г) Вычислить или упростить:
, пожалуй, хватит, а то уже извращение какое-то пошло 🙂
д) Решить аналитически:
и для особых любителей пример посложнее: .
Решения и ответы в конце книги.
© mathprofi.ru — mathter.pro, 2010-2023, сделано в Блокноте.