Любое число как обозначается

MyTetra Share

Делитесь знаниями!

Что обозначают математические символы

Время создания: 12.11.2015 12:10

Раздел: Точные науки — Математика

Запись: xintrea/mytetra_syncro/master/base/1447319425lk9rgf5ks3/text.html на raw.github.com

В математике, для записей выражений, используется свой символьный язык, элементы которого проходят в школе.

Символ ∀ (перевёрнутая А) и ∃ (Е наоборот) — всего-навсего английские « A ny» и « E xist», попавшие в «математический международный» таким идиотским способом из-за уже используемых «А» (альфа) и «Е» (число Эйлера). То есть:

Символ ∀ ( A ny) используется для обозначения фразы «Для любого. », «Для любых. ». Иногда такой знак называют «Квантор всеобщности».
Символ ∃ ( E xist) используется вместо слова «существует». Иногда такой знак называют «Квантор существования».

Символ Σ — это греческая буква «сигма». Означает сумму элементов.
Символ ∏ — больша греческая буква «пи». Означает произведение элементов.

Символ — обозначает равносильность. Например, следует читать «A верно тогда и только тогда, когда B верно»
Символ ∈ — означает «принадлежит». Обычно испаользуется в контексте множеств, т. е. обозначает «принадлежит множеству».
Символ ∉ — буквально означает «не принадлежит».
Символ ⋃ — от слова (union) — обозначает «объединение» того что слева от него и того что справа. Обычно используется в теории множеств.
Символ ⋂ — обозначает «пересечение». В теории множеств используется для обозначения результата операции пересечения множества A и B: A ⋂ B.

N или ℕ — любое натуральное число (целое число от 1 до бесконечности)
Z или ℤ — любое целое число
Q или ℚ — любое рациональное число (число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби)
R или ℝ — любое вещественное число
C или ℂ — любое комплексное число (число с реальной и мнимой частью)
H или — любой кватернион

Почему нельзя делить на ноль?
dxdy.ru — математический форум с возможностью вводить формулы
Классическая механика: о диффурах «на пальцах»
Используем быстрое возведение матриц в степень для написания очень быстрого интерпретатора простого языка программирования
Что обозначают математические символы
Задачка про два стеклянных шарика и 100 этажное здание
Первый в мире 3D-мультфильм «Кошечка» (СССР), 1968 г.
Справочная линейка с формулами по геометрии
Наименования размерностей десятичных величин

1. Некоторые символы математического языка

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.

ℕ — обозначение множества всех натуральных чисел.

ℤ — множество целых чисел . Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.

$…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …$

ℚ — множество рациональных чисел .

Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 1 3 , 51 52 , − 8 5 . .

Множество ℚ рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида m n ; − m n (где $m$, $n$ — натуральные числа) и числа $0$.

Очевидно, ℕ — составной компонент множества ℤ , а ℤ — составной компонент множества ℚ . Обозначается это так: ℕ ⊂ ℤ ; ℤ ⊂ ℚ .

⊂ — знак включения .

Запись x ∈ X показывает, что $x$ — элемент множества $X$.

Запись A ⊂ B показывает, что множество $A$ — часть множества $B$. Говорят: $A$ — подмножество множества $B$.

Для записи, что элемент $x$ не принадлежит множеству $X$ или что множество $A$ не является подмножеством множества $B$, используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: x ∉ X , A ⊄ B .

Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями .

Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):

7 22 = 0,3181818 . = 0,3 ( 18 ) ; 4 = 4,000 . = 4, ( 0 ) ; 7,3777 = 7,37770000 . = 7,3777 ( 0 ) .

Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом .

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5 ( 28 ) в обыкновенную дробь.

Пусть $x=$ 4,5 ( 28 ) , т. е. $x=$ 4,5282828 . и т.д.

Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число $x$ умножим на $10$. Получим 10 x = 45,282828 . и т.д.

Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число $x$ умножим на $1000$. Получим 1000 x = 4528,282828 . и т.д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

1000 x = 4528,282828 . 10 x = 45,282828 .

Отсюда x = 4483 990 = 4 523 990 .

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.

1, ( 23 ) = 123 − 1 99 = 122 99 = 1 23 99 ; 1,5 ( 23 ) = 1 523 − 5 990 = 1 518 990 = 1 259 495 .

Числа

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических «умений». Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти «волшебные» свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Числа - N, Z, Q, I, R

Натуральные числа $\mathbb$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb=\lbrace 1,2,3,4. \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb_0$.

В $\mathbb$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb$:

1. $a+b\in \mathbb$, $a\cdot b \in \mathbb$ множество $\mathbb$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Читать:

Как сместить ось х в excel

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb$ определены отношения «меньше» ($ b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120. $

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ — известные натуральные числа, а $x$ — неизвестное натуральное число, требует введения новой операции — вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3. \rbrace$.

Поскольку $\mathbb\subset \mathbb$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $

Электронная почта:
Об авторе

Классы чисел

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [math]\mathbb[/math] . Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.

Формальное определение

Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):

[math]1\in\mathbb[/math] ( [math]1[/math] является натуральным числом);
Если [math]x\in\mathbb[/math] , то [math]S(x)\in\mathbb[/math] (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
[math]\nexists x\in\mathbb\ (S(x) = 1)[/math] ( [math]1[/math] не следует ни за каким натуральным числом);
Если [math]S(b)=a[/math] и [math]S(c)=a[/math] , тогда [math]b=c[/math] (если натуральное число [math]a[/math] непосредственно следует как за числом [math]b[/math] , так и за числом [math]c[/math] , то [math]b=c[/math] );
Аксиома индукции. Пусть [math]P(n)[/math] — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа [math]n[/math] . Тогда:

Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

[math]0=\varnothing[/math]
[math]S(n)=n\cup\left\[/math]

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».

Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел

Определение целых чисел

Определение:

Множество целых чисел (англ. integers) [math]\mathbb=\\,[/math] определяется как замыкание множества натуральных чисел [math]\mathbb[/math] относительно арифметических операций сложения [math](+)[/math] и вычитания [math](-)[/math] .

Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел [math](1, 2, 3)[/math] , чисел вида -n ( [math]n\in\mathbb[/math] ) и числа ноль.

Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.

Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (1487—1567) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке (1445—1500).

Определение рациональных чисел

Определение:

Множество рациональных чисел (англ. rational numbers) обозначается [math]\mathbb[/math] и может быть записано в виде: [math]\mathbb = \left\< \dfrac \mid m \in \mathbb, n \in \mathbb \right\>.[/math]

Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, [math]\dfrac[/math] и [math]\dfrac[/math] , входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:

[math]\mathbb = \left\< \dfrac \mid m \in \mathbb, n \in \mathbb, \gcd(m,n) = 1 \right\>.[/math]

Здесь [math]\gcd(m, n)[/math] — наибольший общий делитель чисел [math]m[/math] и [math]n[/math] .

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа [math]a=\dfrac[/math] знаменатель [math]n=1[/math] , то [math]a=m[/math] является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).

Определение вещественных чисел

Определение:

Веще́ственное число (англ. real number) — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.

С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.

Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — R (полужирное «R»), или [math]\mathbb[/math] (blackboard bold «R») от realis — действительный.

Определение комплексных чисел

Определение:

Ко́мпле́ксные чи́сла (англ. complex number) — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается [math]\mathbb[/math] . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма [math]x+iy[/math] , где [math]x[/math] и [math]y[/math] — вещественные числа, [math]i[/math] — мнимая единица (одно из решений уравнения [math]x^2 = -1[/math] ).

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени [math]n[/math] с комплексными коэффициентами имеет ровно [math]n[/math] комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях.

См. также

Натуральные числа
Вещественные числа
Простые числа
Основная теорема арифметики

Источники информации

Натуральные числа
Аксиомы Пеано