Как в maple выразить переменную с уравнения

Выразить переменную из уравнения

Здравствуйте. Я даже не смогла установить мэпл. Может Вы поможете мне с одним уравнением? Надо выразить лямбду.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Выразить переменную
Подскажите, пожалуйста, как выразить из данного уравнения символьно переменную \alpha и возможно ли.

Выразить переменную
Здравствуйте! Подскажите с таким вопросом. Есть выражение, нужно выразить оттуда одну переменную.

Выразить переменную
не могу выразить b из выражения, после команды solve виснет намертво выражение приравниваем к ро1.

Выразить переменную из функции.
выразить из функции переменную, не могу разобраться.

Как выразить переменную из уравнения

Выразить переменную из уравнения
Здравствуйте. Я даже не смогла установить мэпл. Может Вы поможете мне с одним уравнением? Надо.

Как выразить символьно из данного уравнения переменную и возможно ли это
Подскажите, пожалуйста, как выразить из данного уравнения символьно переменную \alpha и возможно ли.

Как выразить переменную?
подскажите пожалуйста, почему "решение не было найдено"?

Как выразить переменную в данном случае
Есть две функции: P(b) и f(b), причем b меняется в заданном диапазоне от b0 до bmax. Можно ли.

Как выразить переменную с через а и b, чтобы получить таблицу от 0 до 30
Доброго времени суток! Имеются 2 переменные a и b. Переменная а задана через область.

1640 / 1492 / 494
Регистрация: 13.09.2015
Сообщений: 5,184

kepchuk1, во-первых, не стесняйтесь ставить знаки умножения. Во-вторых, вряд ли возможно выразить u из данного выражения.

222 / 292 / 53
Регистрация: 09.06.2015
Сообщений: 1,070

Сообщение было отмечено kepchuk1 как решение

Решение

Сообщение от kepchuk1

чтобы переменная u была только в левой части ?
Если ипользовать знаки умножения, то вот так, например:

1 2 3

restart: f := 2/(t*u^2)+1/u+4/3+(1/3)*u+x*u-1; solve(f, {u});

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Как из уравнения выразить одну переменную
Есть выражение 2*sqrt(V) = x^2 Как отсюда выразить V?

Выразить переменную из уравнения
В текстбокс пользователь вводит уравнение эллипса например. Нужно в программе автоматически считать.

Выразить переменную из уравнения
Всем доброго времени суток, есть вот уравнение, нужно с него выразить R, буду благодарен за помощь.

Надо выразить переменную из уравнения с модулями
Вот из этого уравнения нужно выразить q2. А я с модулями что-то не дружу. mg(n-1)= \frac <\mid.

Замена переменных

Очень часто в выражениях, содержащих производные, приходится переходить к новым переменным.

Внимание!
Если необходимо выполнить замену переменных в дифференциальном выражении, I в Maple в пакете PDEtools есть процедура dchange(). Первым параметром этой процедуры указывают равенство (или множество, состоящее из равенств), определяющее переход от старых переменных к новым, а вторым параметром — выражение, в котором следует выполнить эту замену. Кроме того, может использоваться ряд опций, информация о которых есть в справочной системе Maple. Ниже приведен пример использования процедуры dchange().

Сначала подключаем пакет.

Новая переменная вводится согласно соотношению х =ехр(/)

После упрощения получаем следующее

Замену переменных можно выполнить и в том случае, если переменных несколько. Рассмотрим выражение

В этом выражении перейдем к новым переменным и и v согласно соотношениям х = uv и у = (и1 -v2)/2 , и после упрощения получим следующее.

Процедура dchange() полезна во многих случаях. Однако желательно уметь обходиться и без нее. Рассмотрим, как без специальных команд приведения выражений к новым переменным выполнить подобные замены.

Преобразовать к полярным координатам уравнение у'(х) =x+y/x-y

Опишем процедуру, посредством которой в дальнейшем будет осуществляться переход к новым координатам. Параметрами процедуры будут новая переменная t, новая функция u(t) и две функции f и g, посредством которых выполняется переход от старых переменной и функции к новым.

Тело процедуры состоит из одного выражения, определяющего производную от старой функции по старой переменной в терминах новой функции и новой переменной.

Определим функции перехода от декартовой системы координат к полярной.

Теперь запишем декартовы координаты через полярные (это понадобится в дальнейшем).

Новая процедура позволяет выразить производную в полярных координатах.

Исходное уравнение будет записано следующим образом.

Поскольку предварительно декартовы координаты были выражены через полярные, правая часть равенства будет представлена тоже в полярной системе координат.

В полученном уравнении выделим производную. Для этого решим уравнение относительно этой производной.

Таким образом, можем записать окончательный результат.

В последней команде левая часть уравнения нужна для формального отображения символа производной. Однако следует иметь в виду, что вычислительным ядром Maple левая часть уравнения как производная не интерпретируется. Чтобы равенство можно было в дальнейшем трактовать как дифференциальное уравнение, следует воспользоваться процедурой Diff().

Перейти к новым переменным и , v, w в уравнении

В отличие от предьщущего случая, здесь выражение содержит частные производные, а функции (старая и новая) являются функциями двух переменных.

Определим уравнение, которое следует преобразовать.

Теперь у процедуры три параметра-функции, определяющие правила перехода от старых переменных и функции к новым.

В соответствии с правилами перехода к новым переменным, определяем юцедуру, аргументами которой выступают законы перехода F, G и Н к новым параметрам u, v и w.

Уравнения Eql i1 E(J2 связывают старые производные с новыми. Система этих уравнений решает относительно производных от функции z (команда solve()). мее задаем закон61 перехода от старых переменных и функции к новым.

Переменной S присваиваем в качестве значения результат выполнения процедуры преобразования производных. > S:=VarChange(F,G,H,u,v,w);

После этого в уравнении Eq производные от z по х и у, а также сами пере-Гменные и функцию следует выразить через новые параметры. Выполняется такая замена с помощью процедуры subs().

На заметку
Ссылки rhs (S [ 1 ]) и rhs (S [ 2 ]) возвращают выражения для частных производных функции z — это правые части первого и второго равенств, являющихся элементами множества S.

Полученное таким образом уравнение умножим на знаменатель правой части (знаменатель возвращается процедурой denom<)).

После упрощения имеем следующее.

Это уравнение, в частности, можно сократить на экспоненту.

Если уравнение сократить еще на один общий множитель, получим окончательный ответ.

Разумеется, сокращение совсем не обязательно было выполнять «в два этапа», но так нагляднее.

Fore kc .ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий

Символьные вычисления средствами Python. Часть1. Основы

При решении задач математического моделирования процессов и объектов часто очень практично использовать алгоритмы на языке Python с использованием символьных вычислений. Основываясь на библиотеке SymPy, Python с успехом справляется с решением уравнений и систем, интегрированием и дифференцированием, вычислением пределов, разложением в ряд и суммированием рядов, упрощением выражений, выполняет поиск решения дифференциальных уравнений и систем.

При использовании символьных вычислений пользователю предоставляется возможность управлять работой программы в процессе ее исполнения путём ввода любых допустимых функций с заданным количеством переменных.

Как преподаватель дисциплины «Компьютерная техника и программирование», в модуле, посвященном программированию на языке Python, я знакомлю студентов с возможностями этого языка для научных исследований. Вашему вниманию представляется цикл статей, в которых можно ознакомиться с символьными вычислениями на Python. Хочу сразу предупредить, что данные статьи не претендуют на абсолютную уникальность, так как собраны на основании материалов из различных источников, их цель – обучить студентов основам символьных вычислений.

Самым первым шагом на пути к символьным вычислениям является импортирование функций модуля SymPy с помощью pip, системы управления пакетами Python. Если вы с этим справились, сразу перейдем к объявлению переменных.

Примечание. Для сокращения записи во всех следующих примерах не приводится первая строка: from sympy import *

Явное объявление символьных переменных

Для символьных вычислений с помощью модуля SymPy символьные переменные и функции должны быть объявлены как таковые. В программах для математических вычислений, таких как Mathematica или Maple, переменные сразу рассматриваются как символьные. В Python же их необходимо принудительно объявить символьными, и сделать это можно несколькими путями. Самым простым будет использование функций symbols() или var(). Первая функция возвращает ссылку на символьный объект в виде какой-либо переменной. Вторая, без присваивания создает символьную переменную.

Пример кода

>>> x,y,a,b = symbols('x y a b') # созданы четыре символьные переменные, предыдущие же значения переменных затираются >>> f=a**3*x + 3*a**2*x**2/2 + a*x**3 + x**4/4 # переменная f становится автоматически символьной >>> type(f) >>> var('u,v') (u, v) >>> f=sin(u)**2+tan(v) # переменная f автоматически становится символьной >>> type(f)

Главное отличие между функциями symbols() и var() состоит в том, первая функция возвращает ссылку на символьный объект. Для использования в дальнейшем, ее нужно присвоить какой-либо переменной. Вторая, без присваивания, создает символьную переменную.
В функциях symbols() и var() можно объявлять символьные переменные с индексом:

Пример кода

>>> x=symbols('x:9'); x # диапазон индексов от 0 до 9 (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) >>> x=symbols('x5:10'); x # диапазон индексов от 5 до 9 (x5, x6, x7, x8, x9) >>> x=var('x:9'); x # диапазон индексов от 0 до 9 (x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8) >>> x=var('x5:10'); x # диапазон индексов от 5 до 9 (x5, x6, x7, x8, x9) 

Также можно назначить тип и накладывать ограничения на символьные переменные прямо в функциях symbols() и var(). Иногда без таких ограничений очевидные преобразования не работают, например, сравните:

Пример кода

>>> x = symbols('x', integer=True) #назначаем целый тип >>> sqrt(x**2) Abs(x) >>> x = symbols('x', positive = True, integer=True) >>> sqrt(x**2) x >>> x = symbols('x') >>> sqrt(x**2) # это x, если x≥0 sqrt(x**2) >>> x = var('x', integer=True) >>> sqrt(x**2) Abs(x) >>> x = var('x', positive = True, integer=True) >>> sqrt(x**2) x >>> x = var('x') >>> sqrt(x**2) # это x, если x≥0 sqrt(x**2) 

Чтобы создать контейнер для одиночного символа, используем аргумент seq=True:

>>> symbols('x',seq=True) (x,) 

Определение действительных значений для символьных переменных:

>>> x, y, z = symbols('x,y,z', real=True) >>> x.is_real and y.is_real and z.is_real True 

Функция S()

Иногда символьные выражения могут быть проинтерпретированы как числовые константы Python, а не SymPy. Поэтому для объявления символьных переменных, а также для преобразования числовых констант в символьные, применяют функцию S(), например, сравним:

>>> expr = x**2 + sin(y) + S(10)/2; expr x**2 + sin(y) + 5 >>> type(10) >>> type(S(10)) # символьная константа десять

Разница между постоянной Python и символьной состоит в том, что символьная константа может быть вычислена с заданной степенью точности, как показано в следующем примере в сравнении со стандартной функцией round():

z=1/7; z # вычисляет переменную z с процессорной точностью 0.14285714285714285 z1=S(1)/7; z1 1/7 z2=z1.n(30); z2 # вычисляет переменную z2 с точностью до 30 значащих цифр 0.142857142857142857142857142857 z3=round(z1,30); z3 0.14285714285714285

Cимвольные имена

Если в текущей сессии необходимо использовать символьную математику постоянно, то можно импортировать общепринятые символьные имена из модуля sympy.abc:

Пример кода

>>> import sympy.abc >>> dir(sympy.abc) ['A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I', 'J', 'K', 'L', 'M', 'N', 'O', 'P', 'Q', 'R', 'S', 'T', 'U', 'V', 'W', 'X', 'Y', 'Z', '__builtins__', '__cached__', '__doc__', '__file__', '__loader__', '__name__', '__package__', '__spec__', '_clash', '_clash1', '_clash2', 'a', 'alpha', 'b', 'beta', 'c', 'chi', 'd', 'delta', 'division', 'e', 'epsilon', 'eta', 'exec_', 'f', 'g', 'gamma', 'greeks', 'h', 'i', 'iota', 'j', 'k', 'kappa', 'l', 'lamda', 'm', 'mu', 'n', 'nu', 'o', 'omega', 'omicron', 'p', 'phi', 'pi', 'print_function', 'psi', 'q', 'r', 'rho', 's', 'sigma', 'string', 'symbols', 't', 'tau', 'theta', 'u', 'upsilon', 'v', 'w', 'x', 'xi', 'y', 'z', 'zeta'] 

Имя переменной из пространства имен можно удалить командой del имя1, имя2. :

>>> type(x) >>> del x,y >>> x NameError: name 'x' is not defined 

Для восстановления значений стандартных констант, а также имен некоторых функций, нужно повторно загрузить модуль sympy.

>>> from sympy import *

Метод subs(. )

Следует помнить, что при записи символьного выражения может автоматически выполняться его упрощение, например:

>>> a,b,c,d,x,y,z,u,v,w = symbols('a b c d x y z u v w') >>> x - z + 20 -z- 15 + 3*sin(pi/2)+2*z x + 8

Метод subs(. ) используется для вычисления символьного выражения при заданных значениях переменных, например:

>>> a, x = symbols('a x') >>> f= a**3*x + 3*a**2*x**2/2 + a*x**3 + x**4/4 >>> f.subs(a,1) # в выражение f вместо переменной a была подставлена единица x**4/4 + x**3 + 3*x**2/2 + x

Если в методе subs использовать два аргумента, то они интерпретируются как subs(old,new), т.е. старый идентификатор old заменяется новым new. Аргумент метода subs() может быть последовательностью, которая должна содержать пары (old,new), а может быть символьным выражением, например:

>>> a,b,c,d,x,y,z = symbols('a b c d x y z') >>> f=a*x**3 +b*y**2 + c*z+d >>> f.subs([(a,1),(b,2),(c,3),(d,4)]) # выполнена подстановка a=1, b=2, c=3, d=4 x**3 + 2*y**2 + 3*z + 4 >>> pr= x**3+4*x**2+6*x+10 >>> pr.subs(x,1/x) # выполнена подстановка символьного выражения 10 + 6/x + 4/x**2 + x**(-3)

Обратим ваше внимание на следующую особенность работы с переменными (символьными и обычными переменными Python). Выполним следующий код:

>>> x='Hello' >>> pr=x+'world' >>> pr 'Helloworld' >>> x='AAA' #присвоили символьной переменной x новое значение >>> pr 'Helloworld'

Здесь действует правило: если переменная изменилась, то созданное ранее выражение, содержащее эту переменную, не пересчитывается автоматически. Это правило срабатывает и для обычных переменных Python.

Операции с дробями

Модуль SymPy может проводить вычисления с дробями и приводить их к общему знаменателю, например, сравните:

>>> S(1)/3+S(2)/5 11/15 >>> 1/3+2/5 0.7333333333333334 

Функции Rational(числитель, знаменатель) и Integer(. ) используются для создания рациональных дробей без десятичного округления:

>>> z=Rational(1, 7)+Rational(2, 5); z 19/35 >>> Integer(1)/Integer(5) 1/5 >>> 1/5 0.2 >>> z=Integer(1)/Integer(5)+Rational(2, 7); z 17/35

Округления вычислений

В символьных вычислениях работает правило – если ничего не сказано, не делать никаких округлений. Посмотрите, как в первом случае Python преобразует выражение, но оставит в записи ответа квадратный корень и не выполнит никаких округлений, а во втором, так как одно из чисел задано с десятичной точкой, результат будет приближенным:

>>> sqrt(20) 2*sqrt(5) >>> sqrt(20.0) # в выражении используется число с десятичной точкой 4.47213595499958

Для любого символьного объекта существует метод evalf(. )(evaluate float), который возвращает его десятичное представление:

>>> sqrt(20).evalf() # функция sqrt() модуля sympy 4.47213595499958 >>> E.evalf() 2.71828182845905

В методе evalf([n. ]) можно использовать аргумент, задающий точность результата (n = количество значащих цифр)

>>> sqrt(20).evalf(30) 4.47213595499957939281834733746 >>> pi.evalf(20) 3.1415926535897932385

Также всегда нужно помнить, что вещественная арифметика не возвращает точный результат, сравните:

>>> from sympy import * >>> one=S('one') >>> one = cos(1)**2 + sin(1)**2 >>> one.evalf() # равно 1 1.00000000000000 >>> (one-1).evalf() # должно быть равно 0 -0.e-124 

Если известно, что результат содержит погрешность вычислений, то с помощью опции chop=True метода evalf() ее можно удалить. Очень маленькое значение вещественной или мнимой части результата в этом случае заменяется нулем. Возьмем предыдущий пример:

>>> (one-1).evalf() # должно быть равно 0 -0.e-124 >>> (one - 1).evalf(chop=True) 0

Бесконечность

После выполнения первой строки from sympy import * становится доступен символ бесконечности – oo (две буквы „o‟), с которым тоже можно выполнять определенные операции:

>>> oo+1 oo >>> 1000000>> 1/oo 0

Символ бесконечности в основном используется функциями limit() и integrate() при задании пределов интегрирования, о чем мы поговорим в одной из следующих статей.

Вывод

Рассмотренные в статье символьные вычисления отличаются от числовых методов тем, что результаты можно и дальше исследовать, например, определять экстремумы функций, решать уравнения со вложенными переменными и так далее.

Надеюсь, моя статья будет полезна всем интересующимся программированием на языке Python, студентам и тем, кто занимается научными исследованиями.

• python
• Символьные вычисления

• Python
• Программирование