Как вычисляется сумма

Вычислить сумму ряда онлайн

Для того, чтобы вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак, частичной суммой ряда (обозначается S_n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда ( S_n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b ₁ — первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q — это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S_n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда ( S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа «sum diverges»), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).

Калькулятор суммы ряда
Переменная суммирования:
Верхний предел суммирования:
Нижний предел суммирования:
Примеры Очистить Ссылка
Загрузка изображения, подождите .
Установить калькулятор на свой сайт

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

© Mathforyou 2023
Контакты: support@mathforyou.net

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если существует конечный предел \(S=\lim_S_n\), то его называют \(\sum\limits_^<\infty>u_n\) и сам ряд именуют . Если же \(\lim_S_n=\infty\) или \(\lim_S_n\) не существует, то ряд называют .

Если понятие «частичная сумма» вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на задачу №4. В этой задаче подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение \(\lim_S_n\), поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму \(S_n\) ;
2. Найти \(\lim_S_n\) (если он существует).

Если конечный \(\lim_S_n\) существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же \(\lim_S_n=\infty\) или \(\lim_S_n\) не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби \(u_n=\frac\), вполне подходит такой алгоритм:

1. Разложить дробь \(\frac\) на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
2. Записать выражение для частичной суммы \(S_n\), используя результаты предыдущего пункта.
3. Перегруппировать слагаемые в выражении для \(S_n\), приведя их к удобному для сокращения виду.
4. Используя результат предыдущего пункта, найти \(\lim_S_n\).

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Пусть общий член ряда \(\sum\limits_^<\infty>u_n\) можно представить в виде \(u_n=b_-b_n\). Если существует конечный предел \(\lim_b_n=b\), то ряд \(\sum\limits_^<\infty>u_n\) сходится. При этом частичная сумма ряда равна \(S_=b_-b_1\), а сумма ряда \(S=b-b_1\).

Доказательство этого свойства может быть интересно не всем читателям, поэтому я скрою его под примечание.

Запишем частичную сумму ряда \(\sum\limits_^<\infty>u_n\). Так как \(u_n=b_-b_n\), то будем иметь:

Как видите, выражения под знаком сумм одинаковы. Сделаем одинаковыми и пределы суммирования. Прибавляя и вычитая \(b_1\), для первой суммы получим:

\[ \sum\limits_^b_ =\sum\limits_^b_+b_1-b_1 =\sum\limits_^b_-b_1 \]

Аналогично, прибавляя и вычитая \(b_\) для второй суммы получим:

\[ \sum\limits_^b_k =\sum\limits_^b_k+b_-b_ =\sum\limits_^b_k-b_ \]

Вернёмся к сумме \(S_n\) :

\[ \lim_S_n =\lim_\left(b_-b_1\right) =b-b_1 \]

Во всех изложенных ниже задачах члены рядов будем обозначать буквами \(u_1\) (первый член ряда), \(u_2\) (второй член ряда) и так далее. Запись \(u_n\) будет обозначать общий член ряда.

Задача №1

Условие
Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=(-1)^\). Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые \(n\) членов числового ряда:

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

\[ \begin & S_2=1-1=0;\\ & S_4=1-1+1-1=0;\\ & S_6=1-1+1-1+1-1=0;\\ & S_8=1-1+1-1+1-1+1-1=0. \end \]

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если \(n\) – чётное число, то \(S_n=0\). Фразу «n – чётное число» можно записать так: \(n=2k\), \(k\in N\). В самом деле, подставляя вместо \(k\) значения 1, 2, 3, 4 будем получать \(n=2\cdot 1=2\), \(n=2\cdot 2=4\), \(n=2\cdot 3=6\), \(n=2\cdot 4=8\) и так далее. Итак, \(S_=0\).

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

\[ \begin & S_1=1;\\ & S_3=1-1+1=1;\\ & S_5=1-1+1-1+1=1;\\ & S_7=1-1+1-1+1-1+1=1. \end \]

Таким образом, если \(n\) – нечётное число, то \(S_n=1\). Фразу «n – нечётное число» можно записать так: \(n=2k-1\), \(k\in N\). В самом деле, подставляя вместо \(k\) значения 1, 2, 3, 4 будем получать \(n=2\cdot 1-1=1\), \(n=2\cdot 2-1=3\), \(n=2\cdot 3-1=5\), \(n=2\cdot 4-1=7\) и так далее. Итак, \(S_=1\).

Формально равенство \(S_=1\) можно доказать с помощью формулы \(S_=S_+u_\). Так как \(S_=0\), то \(S_+u_=0\), т.е. \(S_=-u_\). Так как \(u_=(-1)^=\left((-1)^2\right)^k\cdot (-1)^1=-1\), то \(S_=-(-1)=1\).

Возникает вопрос: как быть с пределом \(\lim_S_n\) ? Ведь если \(n\) – чётное число, т.е. \(n=2k\), то:

\[ \lim_S_n=\lim_S_=\lim_0=0. \]

С другой стороны, если \(n\) – нечётное число, то:

\[ \lim_S_n=\lim_S_=\lim_1=1. \]

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм \(\\) имеет две подпоследовательности: \(\\>\) и \(\\>\), пределы которых различны. Следовательно, последовательность \(\\) не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующую задачу №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Задача №2

Условие

Найти сумму ряда \(\sum\limits_^<\infty>(3n+1)\).

Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=3n+1\). Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые \(n\) членов заданного числового ряда:

\[ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=4+7+10+13+\ldots+3n+1. \]

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

\[ 4+7+10+13+\ldots+3n+1=\frac\cdot n=\frac\cdot. \]
\[ \lim_S_n=\lim_\left(\frac\cdot n\right)=+\infty. \]

Так как \(\lim_S_n=+\infty\), то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Задача №3

Условие
Решение

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: \(u_n=\frac\). Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые \(n\) членов заданного числового ряда:

\[ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac<2>+\frac<2>+\frac<2>+\frac<2>+\ldots+\frac<2>. \]

Почему я пишу именно \(\frac\), а не \(\frac\), будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти \(\lim_S_n\), но если мы просто запишем:

\[ \lim_S_n=\lim_\left(\frac+\frac+\frac+\frac+\ldots+\frac\right), \]

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби \(\frac\), которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, задачу №3 на этой странице). Раскладывая дробь \(\frac\) на элементарные дроби, будем иметь:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

\[ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). \]

Чтобы найти значения \(A\) и \(B\) есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо \(n\) некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этой задаче пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения \(n\). Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

\[ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. \]

В левой части равенства перед \(n\) стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как \(0\cdot n+ 2\). Так как в левой части равенства перед \(n\) стоит ноль, а в правой части равества перед \(n\) стоит \(2A+2B\), то имеем первое уравнение: \(2A+2B=0\). Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого \(A+B=0\).

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен \(3A+B\), то \(3A+B=2\). Итак, имеем систему:

\[ \left\ & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end\right. \]Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения \(A=-B\) и подставить во второе:

\[ 3\cdot (-B)+B=2;\; -2B=2; \; B=-1. \]
\[ \frac<2>=\frac+\frac=\frac-\frac. \]

Итак, \(u_n=\frac-\frac\). Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: \(u_n=\frac-\frac\). Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, \(S_n=\frac-\frac\). Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны «увидеть» (как любят писать некоторые авторы – «легко увидеть»), что слагаемые сокращаются. А если мы «увидим» не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу \(S_n=\frac-\frac\) можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство формулы \(S_n=\frac-\frac\)

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство \(S_n=\frac-\frac\) при \(n=1\). Мы знаем, что \(S_1=u_1=\frac\), но даст ли выражение \(\frac-\frac\) значение \(\frac\), если подставить в него \(n=1\) ? Проверим:

\[ \frac<1>-\frac<1>=\frac<1>-\frac<1>=\frac<1>-\frac<1>=\frac=\frac. \]

Итак, при \(n=1\) равенство \(S_n=\frac-\frac\) выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при \(n=k\) равенство выполнено, т.е. \(S_k=\frac-\frac\). Докажем, что это же равенство будет выполнено при \(n=k+1\). Для этого рассмотрим \(S_\) :

Так как \(u_n=\frac-\frac\), то \(u_=\frac-\frac=\frac-\frac\). Согласно сделанному выше предположению \(S_k=\frac-\frac\), поэтому формула \(S_=S_k+u_\) примет вид:

\[ S_=S_k+u_=\frac-\frac+\frac-\frac=\frac-\frac. \]

Вывод: формула \(S_n=\frac-\frac\) верна при \(n=k+1\). Следовательно, согласно методу математической индукции, формула \(S_n=\frac-\frac\) верна при любом \(n\in N\). Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются «вычёркиванием» сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: \(S_n=\frac-\frac\). Найдём значение \(\lim_S_n\) :

\[ \lim_S_n=\lim_\left(\frac-\frac\right)=\frac-0=\frac. \]

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его \(S=\frac\).

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

\[ u_n=\frac<1>-\frac<1> =\frac-\frac \]

Обозначим \(b_n=\frac\), тогда \(b_=\frac=\frac\). Таким образом, \(u_=b_-b_\). При этом \(\lim_b_n=0\). Согласно упомянутому свойству, ряд \(\sum\limits_^<\infty>u_n\) сходится. При этом его сумма равна \(S=0-b_1=\frac\). Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

\[ S_n =b_-b_1 =\frac-\left(-\frac\right) =\frac-\frac \]

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

\[ S_n=\sum\limits_^u_k=\sum\limits_^\frac. \]

Мы получили ранее, что \(u_k=\frac-\frac\), поэтому:

\[ S_n=\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\left(\frac-\frac\right). \]

Сумма \(S_n\) содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида \(\frac\), а уж затем переходить к слагаемым вида \(\frac\). Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

\[ S_n=\sum\limits_^\left(\frac-\frac\right)=\sum\limits_^\frac-\sum\limits_^\frac. \]

Теперь преобразуем выражения \(\frac\) и \(\frac\) к одному виду. Приведём, например, дробь \(\frac\) к виду \(\frac\). Выражение в знаменателе дроби \(\frac\) я представлю в таком виде:

\[ \frac<1>=\frac<1>=\frac<1>. \]

И сумму \(\sum\limits_^\frac\) теперь можно записать так:

\[ \sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac. \]

Если равенство \(\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac\) не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму?

У нас был ряд \(\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac\). Давайте вместо \(k+1\) введём новую переменную, – например, \(t\). Итак, \(t=k+1\).

Как изменялась старая переменная \(k\) ? А изменялась она от 1 до \(n\). Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная \(t\). Если \(k=1\), то \(t=1+1=2\). Если же \(k=n\), то \(t=n+1\). Итак, выражение \(\sum\limits_^\frac\) теперь стало таким: \(\sum\limits_^\frac\).

\[ \sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac. \]

У нас есть сумма \(\sum\limits_^\frac\). Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? 🙂 Банально записывая букву \(k\) вместо \(t\), получим следующее:

\[ \sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac. \]

Вот так и получается равенство \(\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac\).

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

\[ S_n=\sum\limits_^\frac-\sum\limits_^\frac=\sum\limits_^\frac-\sum\limits_^\frac. \]

Заметьте, что суммы \(\sum\limits_^\frac\) и \(\sum\limits_^\frac\) отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен \(n+1\). Если \(k=n+1\), то \(\frac=\frac\). Прибавляя и вычитая из первой суммы \(\frac\), получим:

\[ \sum\limits_^\frac =\sum\limits_^\frac+\frac-\frac =\sum\limits_^\frac-\frac \]

Для второй суммы \(\sum\limits_^\frac\) сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если \(k=1\), то \(\frac=\frac\). Прибавляя и вычитая \(\frac\), получим:

\[ \sum\limits_^\frac =\sum\limits_^\frac+\frac-\frac =\sum\limits_^\frac-\frac \]

С учётом полученных результатов, выражение для \(S_n\) примет такой вид:

\[ S_n =\sum\limits_^\frac-\frac-\left(\sum\limits_^\frac-\frac\right) =\frac-\frac \]

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

Напомню, что мы приводили дробь \(\frac\) к виду \(\frac\). Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь \(\frac\) в виде \(\frac\). Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти \(S_n\), если приводить к виду иной дроби?

\[ \lim_S_n=\lim_\left(\frac-\frac\right)=\frac-0=\frac. \]

Заданный ряд сходится и сумма его \(S=\frac\).

Как вычисляется сумма

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Математика, ЗНО, ГДЗ, ТІМС

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Сумма ряда

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��

Что умеет?

• Находит сумму различных типов рядов:
  1. Степенной ряд
  2. Знакочередующийся
  3. Гармонический ряд
  4. Ряд Маклорена
• Даёт быстрый аналитический ответ
• Численный ответ
• Исследует ряд на сходимость
• Находит радиус сходимости степенного ряда
• График скорости сходимости

Введите данные для подсчета суммы ряда

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Примеры

3/(9*n^2 - 3*n - 2)

(4*n - 2)/((n^2 - 1)*(n - 2))

(-1)^n/factorial(n)

Ряд Флинт Хиллз

csc(n)^2/n^3

Ряд обратных квадратов

Сумма с иксом x (степенной ряд)

(-1)^n*x^(3*n+1)/n

1/((n+1)*2^n)

cos(n)^2/n^3

(-1)^(n + 1)/n

(n + 2)*(-1)^(n - 1)

(3*n - 1)/(-5)^n

(-1)^(n - 1)*n/(6*n - 5)

Ряд Ньютона — Меркатора

(-1)^(n + 1)/n*x^n

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять — сходится ли ряд, а также показывает — какие признаки сходимости срабатывают, а какие — нет.

Также умеет находить сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Другие функции

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

sqrt(x)/(x + 1)

cbrt(x)/(3*x + 2)

С применением синуса и косинуса

2*sin(x)*cos(x)

x*arcsin(x)

x*arccos(x)

x*log(x, 10)

ln(x)/x

exp(x)*x

tg(x)*sin(x)

ctg(x)*cos(x)

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

x*arctg(x)

x*arcctg(x)

Гиберболические синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гиберболические тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Гиберболические арксинус и арккосинус

x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн