Как создать невозможную фигуру

Создание невозможных фигур.

Конечно, ни одну из невозможных фигур нельзя создать, действуя прямолинейно. Например, если вы возьмете три одинаковых деревянных бруска, вы не сможете совместить их так, чтобы получился невозможный треугольник. Однако, при проецировании трехмерной фигуры на плоскость некоторые линии могут становиться невидимыми, перекрывать друг друга, стыковаться друг с другом и т.п. Исходя из этого, мы можем взять три различных бруска и составить треугольник, представленный на фотографии ниже .

Еще один способ создания невозможного треугольника был предложен русским художником и конструктором Вячеславом Колейчуком и опубликован в журнале «Техническая эстетика» №9 (1974). Все ребра данной конструкции являются прямыми линиями, а грани изогнуты, хотя на фронтальном виде фигуры этой изогнутости не видно. Он создал такую модель треугольника из дерева.

Существует и еще один способ, при помощи которого можно увидеть невозможную фигуру, причем двумя глазами сразу. Заключается он в следующем: необходимо создать огромную фигуру высотой с многоэтажный дом, расположить ее на обширном открытом пространстве и смотреть на нее с очень большого расстояния. В этом случае, даже смотря на фигуру двумя глазами, вы будете воспринимать ее как невозможную вследствие того, что оба ваших глаза будут получать изображения практически ничем не отличающиеся друг друга. Такая невозможная фигура была создана в австралийском городе Перт.

Таким образом , невозможные фигуры приобретают все большую популярность.

Как создать невозможную фигуру

Собственно говоря, невозможный объект несложно создать. Если вы знаете обычные геометрические фигуры и у вас есть немного воображения, то это можно сделать за считанные минуты. Сложное расположение кубов на следующей странице было придумано за пять минут, при рассматривании линолеума с рисунком в виде шахматной доски. Сначала я сделал набросок узора пола, а потом при помощи перспективы добился эффекта глубины на рисунке. Эта уникальная конфигурация родилась после того, как я немного «поиграл» с фигурой. Поскольку создание невозможных объектов довольно сильно ограничено пределами графики, вполне возможно, что два человека, работающие независимо друг от друга, могут создать что-то одинаковое или очень похожее.

Вдохновить на создание невозможных объектов может практически все. При создании фигур, которые мы видим в этой книге, в качестве образцов использовались обыкновенные бытовые предметы и некоторые более-менее знакомые вещи. Они были по-новому переосмыслены, преображены и доведены до совершенства всего лишь при помощи воображения. Находить невозможные объекты в обыкновенных предметах так же увлекательно, как и искать сокровища. Из простых рисунков может родиться огромное количество невозможных объектов. Еще более интересно – самому дать им названия!

На создание этой фигуры меня вдохновил обычный дверной проем. Как вы считаете: «Пространственная рамка» реальна, нереальна или, может быть, сюрреальна? Это дверь в бесконечность или схематический набросок каркаса кровати? Если второе, то, вероятно, такую диковинную кровать можно использовать в борьбе с бессонницей!

Двойная пространственная рамка

В этой фигуре мы использовали тему дверного проема, но пошли немножко дальше. Здесь имеются три параллельных вертикальных элемента, которые лежат в одной плоскости. Верх и низ пересекаются под прямым углом и дублируют друг друга. То, что снизу, не похоже на то, что сверху, и наоборот. Благодаря смещенным в перспективе соединениям и параллельным линиям, расположенным на одинаковом расстоянии друг от друга, мы, как и ранее, имеем возможность смотреть на фигуру одновременно и с высоты птичьего полета, и с точки зрения червяка, ползающего по земле. «Двойная пространственная рамка» состоит из частей обычной рамки и кажется цельной пространственной структурой.

Здесь представлена еще одна уникальная удивительная фигура – «Двойная скоба». Будучи одной из многочисленных вариаций трибара, она, на первый взгляд, кажется лежащей в одной геометрической плоскости, но потом вы осознаете, что это не так: в месте соприкосновения двух скоб плоскостей становится тоже две, и они лежат под прямым углом друг к другу. Но все же в целом вы воспринимаете фигуру в одной плоскости.

Кирпич с выемкой

«Кирпич с выемкой» напоминает кубик масла или сливочной помадки, в которой был сделан большой надрез. Вертикальная поверхность на переднем плане лежит в одной плоскости, однако, рассмотрев элементы с двух сторон надреза, мы понимаем, что здесь две плоскости. Левая часть отверстия, кажется, отклонилась назад. И верхняя грань ведет себя так же странно, одновременно занимая две плоскости в перспективе. Как и в случае со многими невозможными фигурами, мы окончательно запутываемся из-за смещенных соединений.

Невозможные фигуры в форме кубов не знают пределов. Каждая новая разновидность идет дальше предыдущей и повергает нас в замешательство или приводит в восхищение. Как и у его более простого предшественника – «Разрастающегося куба», – у «Размножающегося куба» есть ряд увеличивающихся или уменьшающихся окон. В этой фигуре, напоминающей стартовые ворота на треке, кубы расположены по нарастающей, и легко представить, что они будут размножаться вечно.

В фигуре на следующей странице линии соединены так же, как и в фигуре «Раздвоенный столб». Мы смотрим на нее одновременно и с высоты птичьего полета, и с точки зрения червяка ползающего по земле. Как и ранее, две противоположные стороны одного и того же объекта выступают на передний план, создавая уникальный новый дизайн. И точно так же в реальности эта фигура должна была бы отклониться на 180°, чтобы получилось то, что мы видим. Здесь нет ни одного признака того, что фигура подверглась искажению или деформации. У нее нет никаких изъянов – ни трещин, ни царапин!

Фигура справа – еще один уникальный объект, который никогда ранее не был опубликован, – по крайней мере, насколько нам известно! Эта фигура показывает, насколько легко придумать новое в мире невозможного.

«Срезанный трибар» кажется гибридом куба и трибара. Эффект основан на том, что вверху фигура сначала была срезана, а затем восстановлена, причем получился совершенно новый образ. Доминирующая левая вертикальная ось ведет к новой верхней плоскости. Если вы пройдете по ней, то снова окажетесь внизу у основания оси – там, где начали.

Итак, заканчивая свое путешествие по миру невозможного, мы рассмотрим фигуру «Божественный брусок». Этот предмет состоит из многих отдельных элементов, причем вы не сможете с уверенностью сказать, соединены ли они между собой или нет. Здесь, так же как и в «Космической вилке», мы сталкиваемся с тем, что не можем воспринять эту фигуру как что-то целое. Наш взгляд перепрыгивает с одного элемента на другой. Хотя многие невозможные фигуры и состоят из простейших элементов, они все равно способны привести нас в полное замешательство.

В самом бруске нет ничего особенного, и с ним трудно сделать что-то невозможное. Можно лишь располагать концы брусьев невозможным образом так, как это сделано в фигуре «Противоположные бревна». Можно и завершить единую картину, добавив еще несколько групп элементов. Когда отдельные брусья соединяются в «группу», как показано здесь, фигура, в общем, приобретает еще одно измерение. Можно сказать, что эти бруски кто-то в качестве эксперимента срезал со знаменитого «Невозможного треугольника».

Поначалу вы автоматически воспринимаете «Божественный брусок» как обычный объект. Затем, когда вы понимаете, что эта фигура не совсем трехмерна, вы приходите в замешательство, не понимая, в чем дело. Сверху и снизу фигура выглядит нормальной, но когда вы пристально разглядываете противоположные концы вроде бы сплошного трехмерного бруска, то они просто испаряются в воздухе!

Прочитав эту книгу и, возможно, создав несколько удивительных фигур самостоятельно, вы можете бросить вашу теперешнюю конкретную работу и стать экспертом в мире невозможного!

«. И он сказал: «То, что невозможно для человека, возможно для Бога. Поскольку для Бога нет ничего невозможного» (Евангелие от Луки, 18:27; 1:37).

Невозможные фигуры в реальном мире

Приложение 3. Невозможные фигуры из бумаги и дерева

Kokichi Sugihara

Сотрудником токийского университета Кокичи Сугихарой (Kokichi Sugihara), работающим в отделении информатики, разработаны конструкции невозможных фигур, которые можно склеить из бумаги. Ниже представлены фотографии его фигур. Если вы желаете сделать такие же фигуры, вам надо загрузить файл с разверткой соответствующий выбранной вами фигуре, распечатать файл на бумаге, вырезать фигуру из бумаги и склеить. Развертки даны без полей, по которым надо клеить стороны фигуры, поэтому при вырезании не забудьте оставить небольшие поля по краям. Для просмотра файла равертки понадобится Acrobat Reader, который можно скачать по адресу http://www.adobe.com/products/acrobat/main.html.

Невозможная лестница Скачать развертку (PDF)	U and bar Скачать развертку (PDF)
Два кольца Скачать развертку (PDF)

Hitoshi Ikeuchi

Скачать развертку (PDF)	Скачать развертку (PDF)
Скачать развертку (PDF)	Скачать развертку (PDF)
Скачать развертку (PDF)

Дополнение

• Развертка для склеивания невозможного треугольника (PDF 31 Кб)
• Руководство по конструированию невозможного треугольника из дерева (английский язык) (PDF 202 Кб)

Невозможные фигуры

Тема работы актуальна ведь понимание парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с нереальными объектами можно отнести к «интеллектуальным математическим играм». Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И для развития пространственного воображения оказываются полезными невозможные фигуры. Человек неустанно мысленно создает вокруг себя то, что для него будет просто и понятно. Он даже не может себе представить, что некоторые объекты, окружающие его, могут быть «невозможными». На самом деле мир един, но рассматривать его можно с разных сторон.

1.Определение невозможных фигур

Невозможная фигура — один из видов оптических иллюзий, фигура, кажущаяся на первый взгляд проекцией обычного трёхмерного объекта, при внимательном рассмотрении которой становятся видны противоречивые соединения элементов фигуры[1].

Невозможные фигуры – это геометрически противоречивые изображения объектов, не существующих в реальном трёхмерном пространстве. Невозможность возникает из противоречия между подсознательно воспринимаемой геометрией изображённого пространства и формально-математической геометрией.

Невозможные фигуры разделяются на два больших класса: одни имеют реальные трехмерные модели, а для других такие создать невозможно.

Невозможные фигуры достаточно часто встречаются на древних гравюрах, картинах и иконах — в одних случаях мы имеем с явными ошибками передачи перспективы, в других — с умышленными искажениями, обусловленными художественным замыслом.

В средневековой японской и персидской живописи невозможные объекты являются неотъемлемой частью восточного художественного стиля, дающего лишь общий набросок картины, детали которой «приходится» додумывать зрителю самостоятельно, в соответствии со своими предпочтениями [2].

Картины с искаженной перспективой встречаются уже в начале первого тысячелетия. На миниатюре из книги Генриха II, созданной до 1025 года и хранящейся в баварской государственной библиотеке в Мюнхене, нарисована «Мадонна с младенцем» (рис.1). На картине изображен свод, состоящий из трех колонн, причем средняя колонна по законам перспективы должна располагаться впереди Мадонны, но находится за ней, что придает картине эффект нереальности.

Рисунок 1. «Мадонна с младенцем»

2.Виды невозможных фигур

• Удивительный треугольник – трибар (рис.2).

Рисунок 2. Трибар

Эта – фигура – возможно первый опубликованный в печати невозможный объект. Она появилась в 1958 году. Её авторы, отец и сын Лайонелл и Роджер Пенроузы, генетик и математик соответственно, определили этот объект как «трехмерную прямоугольную структуру»[2]. Она также получила название «трибар». С первого взгляда трибар кажется просто изображением равностороннего треугольника. Но стороны, сходящиеся вверху рисунка, кажутся перпендикулярными. В тоже время левая и правая грани внизу тоже кажутся перпендикулярными. Если смотреть на каждую деталь отдельно, то она кажется реальной, но, в общем, эта фигура существовать не может. Она не деформирована, но при черчении были неправильно соединены правильные элементы.

Вот еще несколько примеров невозможных фигур на основе трибара (рис.3-6).

Рисунок 3. Тройной деформированный трибар

Рисунок 4. Треугольник из 12 кубов

фигуру чаще всего называют «Вечной лестницей» или «Лестницей Пенроуза» – по имени ее создателя. Ее также называют «непрерывно восходящей и нисходящей тропой»

Впервые эта фигура была опубликована в 1958 году [2]. Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом, человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути.

«Бесконечной лестницей» с успехом воспользовался художник Мауриц К. Эшер, на этот раз в своей литографии «Восхождение и нисхождение», созданной в 1960 году.

Лестница с четырьмя или семью ступеньками. На создание этой фигуры с большим количеством ступенек автора могла вдохновить куча обыкновенных железнодорожных шпал. Собравшись взобраться на эту лестницу, вы будете стоять перед выбором: подняться ли по четырем или по семи ступенькам.

Следующая группа фигур под общим названием «Космическая вилка». С этой фигурой мы входим в самую сердцевину и суть невозможного. Может быть, это самый многочисленный класс невозможных объектов (рис.8).

Рисунок 8. Космическая вилка

Этот пресловутый невозможный объект с тремя (или с двумя?) зубцами стал популярен у инженеров и любителей головоломок в 1964 году. Первая публикация, посвященная необычной фигуре, появилась в декабре 1964 года. Автор назвал ее «Скобой, состоящей из трех элементов».

Еще один невозможный объект появился в 1966 году в Чикаго в результате оригинальных экспериментов фотографа доктора Чарльза Ф. Кокрана. Многие любители невозможных фигур проводили эксперименты с «Сумасшедшим ящиком». Первоначально автор назвал ее «Свободным ящиком» и заявил, что она была «сконструирована для пересылки невозможных объектов в большом количестве»(рис.9).

Рисунок 9. Невозможные ящики

2.Применение невозможных фигур

Невозможные фигуры находят иногда неожиданное применение. Оскар Рутерсвард рассказывает в книге «Omojliga figurer» об использовании рисунков имп-арта для психотерапии [3]. Он пишет, что картины своими парадоксами вызывают удивление, заостряют внимание и желание расшифровать. Психолог Роджер Шепард использовал идею трезубца для своей картины невозможного слона.

В Швеции их применяют в зубоврачебной практике: рассматривая картины в приемной, пациенты отвлекаются от неприятных мыслей перед кабинетом стоматолога.

• Невозможные фигуры в архитектуре и скульптуре

За рубежом, на улицах городов, мы можем увидеть архитектурные воплощения невозможных фигур.

В последнее время было создано несколько мини скульптур и объемных моделей невозможных фигур. Им даже поставлен памятник.

Треугольник Пенроуза увековечен в городе Петре в Австралии. Он был установлен в 1999 году и теперь все, проходя мимо, могут увидеть невозможную фигуру (рис. 10).

Рисунок 10. Треугольник Пероуза в Австралии

.Невозможные фигуры в живописи

В живописи существует целое направление, которое называется импоссибилизм («невозможность») – изображение невозможных фигур, парадоксов. Интерес к импоссибилизму разгорелся к 1980 году. Этот термин был введен в обращение Тедди Бруниусом, профессором искусствоведения копенгагенского университета. Термин этот точно определяет то, что входит в это новое понятие: изображение предметов, которые кажутся реальными, но не могут существовать в физической реальности.

Фрактальная геометрия изучает закономерности, проявляемые в структуре природных объектов, процессов и явлений, обладающих явно выраженной фрагментарностью, изломанностью и искривленностью.

Оп-арт (англ. Op-art – сокращенный вариант optical art – оптическое искусство) – художественное течение второй половины 20 века, использующее различные зрительные иллюзии, основанные на особенностях восприятия плоских и пространственных фигур. Самостоятельным направлением в оп-арте является так называемый имп-арт (imp-art), использующее для достижения оптических иллюзий особенности отображения трёхмерных объектов на плоскости.

Наиболее известными представителями оп-арте являются Морис Эшер, венгерский художник Иштван Орос, фламандский художник Жос Де Мей, швейцарский художник Сандро дель Пре. Британский художник Джулиан Бивер – один из самых известных художников этого направления, который изображает свои шедевры не на бумаге, а на улицах города, стенах городских домов, где ими могут любоваться все.

• Невозможные фигуры в оформительском искусстве

Не редко невозможные фигуры используются для оформления обложек журналов.

Учебник по алгебре для 7 класса (рис.11).

Рисунок 11. Учебник Алгебры

Список литературы

1. Левитин Карл Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984, -176 с.
2. Пенроуз Л., Пенроуз Р. Невозможные объекты, Квант, № 5,1971, с.26
3. Реутерсвард О. Невозможные фигуры. – М.: Стройиздат,1990, 206 с.
4. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики. – М.: Дрофа, 2002. – 168 с.
5. Интернет ресурсы:

• http://wikipedia.tomsk.ru
• http://www.konenko.net/imp.htm
• http://www.im-possible.info/russian/articles/reut_imp/