Как вычислить число пи на компьютере

Самый простой и легкий в реализации метод.

Рассмотрим произвольный квадрат с центром в начале координат и вписанный в него круг. Будем рассматривать только первую координатную четверть. В ней будет находиться четверть круга и четверть квадрата. Обозначим радиус круга r, тогда четверть квадрата тоже будет квадратом(очевидно) со стороной r.

Будем случайным образом выбирать точки в этом квадрате и считать количество точек, попавших в четверть круга. Благодаря теории вероятности мы знаем, что отношение попаданий в четверть круга к попаданиям ‘в молоко’ равно отношению площадей — пи/4. Вот, собственно, и весь алгоритм. Чем больше взятых наугад точек мы проверим, тем точнее будет отношение площадей.

Вот простенькая программа на Паскале, считающая пи этим способом. Четыре первых знака требуют на моем PentiumII-300 около 5 минут.

uses Crt; const n=10000000; r=46340; r2=46340*46340; var i,pass : LongInt; x,y : real; begin WriteLn('Поехали!'); Randomize; pass:=0; for i:=1 to n do begin x:=Random(r+1); y:=Random(r+1); if ( x*x+y*y < r2 ) then INC(pass); end; TextColor(GREEN); WriteLn('Число ПИ получилось равным: ',(pass/i*4):0:5); ReadLn; end.

Однако, как говорил Козьма Прутков, 'нельзя объять необъятное', что, в применении к данному случаю, можно перефразировать так: нельзя просуммировать бесконечное число слагаемых за конечное время, каким бы быстрым компьютером мы не располагали.

Слава Богу, этого и не требуется. Поскольку мы хотим найти не точное значение PI, а лишь его приближение с пятью верными десятичными знаками, нам достаточно просуммировать такое количество первых членов ряда, чтобы сумма всех оставшихся членов не превышала 10 -5 .

Остался, правда, открытым вопрос о том, сколько же все-таки членов ряда нужно просуммировать, чтобы получить результат с требуемой точностью?

Ответ на этот вопрос в 'общем виде' выходит далеко за рамки настоящего обсуждения. Это отдельная тема в курсах математического анализа и численных методов.

К счастью, данный конкретный ряд позволяет найти очень простое правило, позволяющее определить момент, когда следует прекратить суммирование. Дело в том, что ряд Грегори является знакопеременным и сходится равномерно (хотя и медленнее, чем хотелось бы). Это означает, что для любого нечетного n , сумма первых n членов ряда всегда дает верхнюю оценку для PI, а сумма n +1 первых членов ряда - нижнюю.

Значит, как только разница между верхней и нижней оценками окажется меньше, чем требуемая точность, можно смело прекращать вычисления и быть уверенным, что как та, так и другая оценки отличаются от истинного значения PI не более, чем на 10 -5 . В качестве окончательного результата разумно взять среднее значение между полученными верхней и нижней оценками. Таким образом, можно предложить алгоритм, приведенный ниже.

Положить n=0, S1 = 0 и S2 = 0; ( начальные установки ) Увеличить n на 1; ( n становится нечетным ) Вычислить S1 = S2 + 4/(2n-1); (S1 - есть верхняя оценка ) Увеличить n на 1; ( n становится четным ) Вычислить S2 = S1 - 4/(2n-1); (S2 - есть нижняя оценка) Если S1 - S2 >= 10^(-5) перейти к шагу 2; ( нужная точность еще не достигнута ) Напечатать результат (S1 + S2) / 2

При реализации этого алгоритма на машине следует помнить, что ряд Грегори сходится достаточно медленно, и поэтому n может принимать довольно большие значения.

Для вычисления сколько-нибудь большого количества знаков пи предыдущий способ уже не годится. Но существует большое количество последовательностей, сходящихся к Пи гораздо быстрее. Воспользуемся, например, формулой Гаусса:

p	= 12arctan	1	+ 8arctan	1	- 5arctan	1
4		18		57		239

Доказательство этой формулы несложное, поэтому мы его опустим.

Исходник программы, включающий в себя 'длинную арифметику'

Программа вычисляет NbDigits первых цифр числа Пи. Функция вычисления arctan названа arccot, так как arctan(1/p) = arccot(p), но расчет происходит по формуле Тейлора именно для арктангенса, а именно arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - . x=1/p, значит arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + . Вычисления происходят рекурсивно: предыдущий элемент суммы делится и дает следующий.

/* ** Pascal Sebah : September 1999 ** ** Subject: ** ** A very easy program to compute Pi with many digits. ** No optimisations, no tricks, just a basic program to learn how ** to compute in multiprecision. ** ** Formulae: ** ** Pi/4 = arctan(1/2)+arctan(1/3) (Hutton 1) ** Pi/4 = 2*arctan(1/3)+arctan(1/7) (Hutton 2) ** Pi/4 = 4*arctan(1/5)-arctan(1/239) (Machin) ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1/57)-5*arctan(1/239) (Gauss) ** ** with arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - . ** ** The Lehmer's measure is the sum of the inverse of the decimal ** logarithm of the pk in the arctan(1/pk). The more the measure ** is small, the more the formula is efficient. ** For example, with Machin's formula: ** ** E = 1/log10(5)+1/log10(239) = 1.852 ** ** Data: ** ** A big real (or multiprecision real) is defined in base B as: ** X = x(0) + x(1)/B^1 + . + x(n-1)/B^(n-1) ** where 0 Work with double instead of long and the base B can ** be choosen as 10^8 ** => During the iterations the numbers you add are smaller ** and smaller, take this in account in the +, *, / ** => In the division of y=x/d, you may precompute 1/d and ** avoid multiplications in the loop (only with doubles) ** => MaxDiv may be increased to more than 3000 with doubles ** => . */ #include #include #include #include long B=10000; /* Working base */ long LB=4; /* Log10(base) */ long MaxDiv=450; /* about sqrt(2^31/B) */ /* ** Set the big real x to the small integer Integer */ void SetToInteger (long n, long *x, long Integer) < long i; for (i=1; i/* ** Is the big real x equal to zero ? */ long IsZero (long n, long *x) < long i; for (i=0; i/* ** Addition of big reals : x += y ** Like school addition with carry management */ void Add (long n, long *x, long *y) < long carry=0, i; for (i=n-1; i>=0; i--) < x[i] += y[i]+carry; if (x[i]> > /* ** Substraction of big reals : x -= y ** Like school substraction with carry management ** x must be greater than y */ void Sub (long n, long *x, long *y) < long i; for (i=n-1; i>=0; i--) < x[i] -= y[i]; if (x[i]<0) < if (i) < x[i] += B; x[i-1]--; >> > > /* ** Multiplication of the big real x by the integer q ** x = x*q. ** Like school multiplication with carry management */ void Mul (long n, long *x, long q) < long carry=0, xi, i; for (i=n-1; i>=0; i--) < xi = x[i]*q; xi += carry; if (xi>=B) < carry = xi/B; xi -= (carry*B); >else carry = 0; x[i] = xi; > > /* ** Division of the big real x by the integer d ** The result is y=x/d. ** Like school division with carry management ** d is limited to MaxDiv*MaxDiv. */ void Div (long n, long *x, long d, long *y) < long carry=0, xi, q, i; for (i=0; i> /* ** Find the arc cotangent of the integer p (that is arctan (1/p)) ** Result in the big real x (size n) ** buf1 and buf2 are two buffers of size n */ void arccot (long p, long n, long *x, long *buf1, long *buf2) < long p2=p*p, k=3, sign=0; long *uk=buf1, *vk=buf2; SetToInteger (n, x, 0); SetToInteger (n, uk, 1); /* uk = 1/p */ Div (n, uk, p, uk); Add (n, x, uk); /* x = uk */ while (!IsZero(n, uk)) < if (p/* One step for small p */ else < Div (n, uk, p, uk); /* Two steps for large p (see division) */ Div (n, uk, p, uk); > /* uk = u(k-1)/(p^2) */ Div (n, uk, k, vk); /* vk = uk/k */ if (sign) Add (n, x, vk); /* x = x+vk */ else Sub (n, x, vk); /* x = x-vk */ k+=2; sign = 1-sign; > > /* ** Print the big real x */ void Print (long n, long *x) < long i; printf ("%d.", x[0]); for (i=1; iprintf ("\n"); > /* ** Computation of the constant Pi with arctan relations */ void main () < clock_t endclock, startclock; long NbDigits=10000, NbArctan; long p[10], m[10]; long size=1+NbDigits/LB, i; long *Pi = (long *)malloc(size*sizeof(long)); long *arctan = (long *)malloc(size*sizeof(long)); long *buffer1 = (long *)malloc(size*sizeof(long)); long *buffer2 = (long *)malloc(size*sizeof(long)); startclock = clock(); /* ** Formula used: ** ** Pi/4 = 12*arctan(1/18)+8*arctan(1/57)-5*arctan(1/239) (Gauss) */ NbArctan = 3; m[0] = 12; m[1] = 8; m[2] = -5; p[0] = 18; p[1] = 57; p[2] = 239; SetToInteger (size, Pi, 0); /* ** Computation of Pi/4 = Sum(i) [m[i]*arctan(1/p[i])] */ for (i=0; i0) Add (size, Pi, arctan); else Sub (size, Pi, arctan); > Mul (size, Pi, 4); endclock = clock (); Print (size, Pi); /* Print out of Pi */ printf ("Computation time is : %9.2f seconds\n", (float)(endclock-startclock)/(float)CLOCKS_PER_SEC ); free (Pi); free (arctan); free (buffer1); free (buffer2); >

Конечно, это не самые эффективные способы вычисления числа пи. Существует еще громадное количество формул. Например, формула Чудновского (Chudnovsky), разновидности которой используются в Maple. Однако в обычной практике программирования формулы Гаусса вполне хватает, поэтому эти методы не будут описываться в статье. Вряд ли кто-то хочет вычислять миллиарды знаков пи, для которых сложная формула дает большое увеличение скорости.

Глава 6. Вычисление числа π

Одиннадцать первых цифр числа π = 3,1415926535… легко запомнить с помощью такой мнемоники:

«Кто и шутя и скоро пожелаетъ пи узнать число, ужъ знаетъ».

Её придумали до реформы русской орфографии 1918 года, поэтому и буквы «ѥръ» в конце слов после согласных.

Для приближённого вычисления числа π применяются разные методы.

Один из способов (на практике не очень удобный) связан с вычислением бесконечной суммы (ряда) Лейбница: 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + … = ∑ i = 0 ∞ − 1 i 2 ⁢ i + 1 = π 4 .

Можно получить π из суммы другого ряда — ряда Эйлера: 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + … = ∑ i = 1 ∞ 1 i 2 = π 2 6 .

Естественно, на компьютере невозможно осуществить вычисление бесконечной суммы. Однако в математическом анализе доказывается, что оба ряда сходятся. Это значит, что последовательности частных сумм стремятся к некоторым числам (в наших примерах к π 4 и π 2 6 ), то есть сумма достаточно большого количества слагаемых ряда даст хорошее приближение для суммы. Задавшись требуемой точностью, можно даже указать необходимые количества слагаемых, чтобы обеспечить вычисление с этой точностью (конечно, без учёта ошибок округления при выполнении арифметических действий — такие ошибки очень трудно контролировать).

Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем − 1 : 1 − 1 + 1 − 1 + … Найдём её сумму S : S = 1 − 1 + 1 − 1 + … = 1 − 1 − 1 + 1 − … . Заметим, что выражение в скобках ничем не отличается от выражения для S : S = 1 − S . Отсюда находим, что S = 1 2 .

Всё это очень странно…

Сходится не всякий ряд. Единственный ряд, изучаемый в школе — геометрическая прогрессия: 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + … = ∑ i = 0 ∞ q i . Его сходимость зависит от q : ряд сходится лишь при q < 1 . В этом случае сумма, как известно, равна 1 1 − q .

Для сходимости необходимо, чтобы последовательность слагаемых стремилась к нулю. Но это условие не является достаточным.

Наряду с бесконечными суммами (рядами) рассматривают также бесконечные произведения и другие бесконечные выражения.

Как заставить ПК вычислить число пи максимально точно?

Привет ЛОР. Как вычислить точное число Пи? Зачем? Да интересно стало сколько его будет вычислять мой ПК (cpu точнее, расчеты на gpu не берем). В идеале хотелось бы задать много-много знаков, ну хотя бы 20к знаков числа Пи как вычислить? В программировании я ноль.

Читать:

Как сделать анимацию картинки в css

Линукс тут при том, что вычисления будут вестись в нем, ведь всем известно, что все супер-пупер компьютеры работают на Линуксе.

karton1 ★★★★★
27.01.18 19:00:09 MSK
← 1 2 →

Его нельзя вычислить максимально точно, оно иррациональное.

hateyoufeel ★★★★★
( 27.01.18 19:05:53 MSK )

greenman ★★★★★
( 27.01.18 19:07:27 MSK )
Ответ на: комментарий от hateyoufeel 27.01.18 19:05:53 MSK

Можно, если работать с системой счисления с подходящим основанием - например, с пи-ической.

Begemoth ★★★★★
( 27.01.18 19:07:54 MSK )
Ответ на: комментарий от Begemoth 27.01.18 19:07:54 MSK

hateyoufeel ★★★★★
( 27.01.18 19:10:08 MSK )

Выбирай свой любимый язык программирования:

П.С. Гугл знает всё!

~~yvv~~ ★★☆
( 27.01.18 19:12:39 MSK )

В идеале хотелось бы задать много-много знаков, ну хотя бы 20к знаков числа Пи как вычислить?

soomrack ★★★★
( 27.01.18 19:16:34 MSK )

~~redgremlin~~ ★★★★★
( 27.01.18 19:18:54 MSK )

Прекрати прогуливать уроки. Твой учитель математики вам об этом рассказывал.

ты ноль не только в программировании.

Deleted
( 27.01.18 19:23:46 MSK )
Ответ на: комментарий от Deleted 27.01.18 19:23:46 MSK

Математику я прогуливал когда она была в школе, мне она не нравилась. А сейчас на заочке на вышмате упомянули про число Пи, вот я и задумался.

karton1 ★★★★★
( 27.01.18 19:24:39 MSK ) автор топика
Последнее исправление: karton1 27.01.18 19:25:02 MSK (всего исправлений: 2)

Ответ на: комментарий от karton1 27.01.18 19:24:39 MSK

вычисляй сразу pi^e

Avial ★★★★★
( 27.01.18 19:25:25 MSK )
Ответ на: комментарий от Avial 27.01.18 19:25:25 MSK

А чем это круче чем вычисление числа Пи? Я помню что это как то связано с Эйлером.

karton1 ★★★★★
( 27.01.18 19:30:20 MSK ) автор топика

Забавный факт. При попытке открыть в браузере файл с числом Пи вычисленным с точностью до миллиарда ПК завис. Файрфокс последний, cpu ryzen 1500x. Пишу с xiaomi.

karton1 ★★★★★
( 27.01.18 19:31:32 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от karton1 27.01.18 19:30:20 MSK

одно трансцендентное иррациональное число в степени другого иррационального трансцендентного числа - это разве не весело?

Avial ★★★★★
( 27.01.18 19:32:02 MSK )
Ответ на: комментарий от Avial 27.01.18 19:32:02 MSK

Мда, выглядит мощно.

karton1 ★★★★★
( 27.01.18 19:33:35 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от karton1 27.01.18 19:24:39 MSK

Так ты мазохист?

fornlr ★★★★★
( 27.01.18 19:36:06 MSK )
Ответ на: комментарий от fornlr 27.01.18 19:36:06 MSK

Почему ты так решил?

karton1 ★★★★★
( 27.01.18 19:36:54 MSK ) автор топика
Ответ на: комментарий от karton1 27.01.18 19:36:54 MSK

Математику я прогуливал когда она была в школе, мне она не нравилась. А сейчас на заочке на вышмате

Или я что не понял.

Я вот в школе терпеть не мог только одну вещь - русский язык и литературу. Как вспомню про сочинения, аж в дрожь с тошнотой бросает. Вот бы поступил на филологический 😀

fornlr ★★★★★
( 27.01.18 19:38:43 MSK )
Последнее исправление: fornlr 27.01.18 19:39:33 MSK (всего исправлений: 1)

Ответ на: комментарий от fornlr 27.01.18 19:38:43 MSK

Хах, у меня наоборот. Я был самый читающий в школе, меня даже награждали за это, книгу подарили из библиотеки, лол, поэтому русский язык и литература были вообще не проблемой, я их тупо знал, даже не учил. А вот математику я быстро освоить не могу как это требовали на уроке, а дома изучать скучно было, компа и интернета к тому же не было, я просто обкладывался книгами и читал. Фантастику всегда любил, научную, про космос там, будущее.

Как получить число пи

uchet-jkh.ru

Число пи является одним из наиболее известных и загадочных чисел в математике. Оно представляет собой математическую константу, которая определяет отношение длины окружности к ее диаметру. Значение числа пи приближенно равно 3,1415926535.

Вопрос о том, как получить число пи точно, занимает умы ученых и математиков уже не одно столетие. На протяжении истории было разработано множество методов и алгоритмов вычисления числа пи.

Одним из наиболее известных и простых методов является геометрический способ Архимеда. По этому методу число пи находится с помощью аппроксимации окружности правильным многоугольником. Чем больше число сторон у многоугольника, тем более точное значение числа пи можно получить.

Другим известным методом является метод Монте-Карло. Он основан на случайном выборе точек в квадрате и проверке, попали ли они в окружность. С помощью статистического анализа можно получить приближенное значение числа пи с нужной точностью.

Помимо этих методов, существует множество других способов вычисления числа пи, которые используются в науке и технике. Но пока что достижение точности до 10 знака после запятой остается задачей с высокой сложностью и требует большого количества вычислительных ресурсов.

История вычисления числа пи

Что такое число пи?

Число пи (π) — это математическая константа, которая представляет собой отношение периметра окружности к ее диаметру. Значение числа пи приближенно равно 3.14159 и обозначается символом π.

Античность:

Интерес к числу пи возник еще в Древней Греции. Греческий математик Архимед (III век до н.э.) впервые предложил метод приближенного вычисления числа пи путем описания и вписывания правильных многоугольников в окружность. Он использовал метод последовательного удвоения числа сторон многоугольников и достиг точности, позволяющей вычислить число пи с точностью до двух десятичных знаков.

Средневековье:

В Средние века вопрос вычисления числа пи оставался актуальным. Множество математиков пытались найти способы его вычисления. Например, индийский математик Мадхава (14 век) разработал бесконечную десятичную дробь для числа пи, которая сходилась к верному значению.

Новое время:

В новое время с появлением компьютеров появилась возможность вычислить число пи с большой точностью и скоростью. В 1949 году американский математик Дэвид Бэйли реализовал алгоритм Бэйли-Боруэна-Плугера-Тейлора, который позволил вычислить число пи до первого миллиона знаков. С тех пор, с помощью суперкомпьютеров, удалось вычислить число пи с точностью до миллиардов и триллионов знаков после запятой.

Вывод:

История вычисления числа пи тесно связана с развитием математики и технических возможностей человечества. Благодаря труду многих ученых и использованию современных технологий, нам становится доступно все большее количество знаков числа пи, что помогает в применении его в различных областях науки и техники.

Архимед и метод полигональных приближений

Архимед, древнегреческий математик, разработал один из первых методов приближенного вычисления числа пи. Его метод основан на концепции полигональных приближений, которая заключается в нахождении периметра правильных многоугольников, вписанных и описанных около круга.

Метод Архимеда достаточно прост в использовании и позволяет получить число пи с хорошей точностью.

Суть метода заключается в следующем:

Выбрать правильный многоугольник и вписать его в круг.
Найти периметр многоугольника.
Увеличить число сторон многоугольника и повторить шаги 1 и 2.
Непрерывно увеличивать число сторон многоугольника до бесконечности, чтобы получить все более точное приближение числа пи.

В таблице ниже приведены значения числа пи, полученные методом Архимеда для разного числа сторон правильного многоугольника:

Число сторон	Периметр	Приближение числа пи
6	12	3.00000
12	24	3.10583
24	48	3.13263
48	96	3.13935
96	192	3.14103

Как видно из таблицы, с увеличением числа сторон многоугольника приближение числа пи становится все точнее.

Метод полигональных приближений Архимеда является одним из многих методов вычисления числа пи и иллюстрирует принцип постепенного приближения к точному значению.

Математические ряды и формулы для расчета пи

Число π – это математическая константа, которая представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. В течение многих веков ученые и математики пытались найти точное значение числа π, и для этого было разработано множество математических рядов и формул.

Ряд Лейбница

Ряд Лейбница представляет собой альтернирующийся ряд, который может быть использован для приближенного вычисления числа π. Этот ряд имеет следующую формулу:

π/4 = 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + 1/9…

Чем больше членов ряда учитывается, тем ближе приближенное значение к истинному значению числа π.

Ряд Бэйли-Боруэйна-Плафф

Ряд Бэйли-Боруэйна-Плафф является еще одним способом приближенного вычисления числа π. Он имеет следующую формулу:

π = 48arctg(1/49) + 32arctg(1/57) — 20arctg(1/239)

Этот ряд также позволяет получить все большую точность при учете большего числа членов.

Метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло – это статистический метод, который также может быть использован для приближенного вычисления числа π. Он основан на генерации случайных чисел и подсчете доли точек, попадающих внутрь единичного круга, в отношении ко всем сгенерированным точкам.

Чем больше точек будут сгенерированы, тем более точное приближенное значение числа π будет получено.

Все эти методы и формулы позволяют приближенно вычислить число π. Однако, для получения более точного значения необходимо учитывать большее количество членов ряда или генерировать большее количество случайных точек.

Современные методы вычисления числа пи до 10 знака

Число пи (π) является одной из наиболее известных математических констант. Оно определяет отношение длины окружности к ее диаметру и приближенно равно 3,1415926535.

На протяжении истории математики было разработано множество методов для вычисления числа пи с высокой точностью. Вот некоторые из современных методов, которые позволяют получить число пи до 10 знака:

Метод Монте-Карло: основан на статистическом моделировании. Путем генерации случайных точек внутри квадрата и подсчета количества точек, попадающих внутрь единичного круга, можно приближенно вычислить значение числа пи.
Метод Буэлю-Байера (BBP-формула): использует ряд, состоящий из рациональных чисел, для вычисления десятичного представления числа пи. Этот метод позволяет получить каждую цифру числа пи независимо от других итераций, что делает его эффективным для вычисления до 10 знака.
Метод Чудновского: основан на ряде, который сходится к числу пи с экспоненциальной скоростью. Этот метод позволяет достичь высокой точности, однако требует большого количества вычислительных операций и времени.

Каждый из этих методов имеет свои преимущества и недостатки. Выбор конкретного метода зависит от требуемой точности вычислений и доступных вычислительных ресурсов.

Сравнение методов вычисления числа пи:

В зависимости от конкретных задач вычисления числа пи можно выбрать наиболее подходящий метод и обеспечить требуемую точность.

Вопрос-ответ

Как получить число пи?

Число Пи (π) можно получить с помощью различных методов вычисления. Один из них — метод Монте-Карло, который основан на выбрасывании точек случайным образом на квадратной площади и подсчете количества точек, попавших внутрь единичного круга. Еще один метод — формула Лейбница, где π равно сумме ряда (4/1 — 4/3 + 4/5 — 4/7 + 4/9 и так далее).

Какие методы вычисления числа пи существуют?

Существует множество методов вычисления числа Пи. Одни из наиболее распространенных — методы Монте-Карло, Метод Машина Тьюринга, формула Лейбница, формула Валлиса, метод Грегори и многие другие.

Какие есть методы вычисления числа пи до 10 знака?

Для вычисления числа Пи до 10 знака можно использовать методы Монте-Карло или формулу Лейбница. Для точного вычисления требуется выполнение большого количества итераций или сложных математических операций.

Какой метод вычисления числа Пи является самым эффективным?

Самый эффективный метод вычисления числа Пи зависит от требований к точности и времени вычислений. Некоторые методы, такие как Метод Монте-Карло, позволяют достаточно быстро получить приближенное значение числа Пи, однако для получения более точных результатов требуется использовать более сложные алгоритмы и методы.