Как реализовать кусочно заданную функцию в matlab

Кусочно-заданная функция

Система диф уравнений и кусочно-заданная функция
Добрый вечер всем! Интересует такой вопрос, в силу малого опыта написания программ в целом, как.

кусочно-заданая функция
Всем привет, не подскажите у меня кусочно-заданая функция x1,x2 =1: 0.01:10; % Задаём три.

Файл-функция для вычисления кусочно-заданной функции
Помогите пожалуйста исправить недочеты в решении. Все вроде правильно написано, однако нужного.

5236 / 3564 / 378
Регистрация: 02.04.2012
Сообщений: 6,471
Записей в блоге: 17

А у самого никаких идей?

*эх, что ж все так поиска боятся!

Регистрация: 04.07.2013
Сообщений: 32

Мы тока недавно перешли на МатлабБ у нас нет ни лекций,ни практик одни лабораторные и препод очень плохой не помогает всё сами. вот тут и застряли.

Добавлено через 1 час 45 минут
я вот пишу ему чёт ненравиться.

1 2 3 4 5

function [f1] = fun1(x) if x0,f=3.*x.^2/1+x.^2; elsif x>0 f=3.*sqrt(1+(2.*x/exp.^(0.5)+x.*2; end

%UNTITLED3 Summary of this function goes here
% Detailed explanation goes here
Добавлено через 12 минут
перепутал функцию
3*x^2/1+x^2, x sqrt(1+(2x/exp^(0.5x)+x^2, x>0
5236 / 3564 / 378
Регистрация: 02.04.2012
Сообщений: 6,471
Записей в блоге: 17

И так для начала можешь посмотреть похожую решенную тему:
Нарисовать график кусочной функции
Построить график кусочной функции
из которой я буду брать основу.

Ругается он потому, что ты в программе пишешь функцию, а в матлабе так нельзя — функции пишутся в отдельных файлах и имя этого файла должно совпадать с названием функции (m-функция matlab как создать?)
Поэтому создаем новый файлик и сохраняем его с именем fun1.m в котором должно быть:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

function f = fun1(x) for i = 1:length(x) if x(i)0 f(i) = 3*x(i)^2/(1+x(i)^2); else f(i) = sqrt( 1+(2*x(i)/exp(0.5*x(i))) + x(i)^2); end end

*у тебя во второй формулке скобок не хватает! Проверь.
Ты копируешь текст програмки в этот файл и просто сохраняешь! Запускать не нужно! Иначе будет ошибка

Потом создаешь новый файлик, можешь назвать его как угодно, в котором пишешь:

1 2 3 4 5 6

clear; clc; x = -5:0.01:5; y = fun1(x); plot(x,y)

Запускаешь, и он тебе нарисует такой вот график:

Как реализовать кусочно заданную функцию в matlab

Реализовать программу в MATLAB кусочно заданной функции, которая будет строить ее график

Добрый день!
Только начал знакомство с matlab, потому даже приблизительно не имею представления как должно выглядеть следующее:

*Условия задания.
Для вычисления интеграла воспользоваться методом прямоугольников. Шаг интегрирования задан в таблице. Суммирование ряда выполнять до тех пор, пока модуль очередного члена не будет меньше заранее заданного числа ε, заданного в варианте. При выполнении работы не использовать встроенные функции MATLAB для численного интегрирования и расчета факториала.
Составить блок-схему алгоритма программы.

помогите написать программу которая будет строить график параболы
помогите написать программу которая будет строить график параболы вида K*X*X+B*X+C, ГДЕ.

Как записать функцию, которая будет строить график кусочной функции
День добрый. Подскажите пожалуйста как записать функцию, которая будет строить такой график.

График кусочно-заданной функции
Построить график кусочно-заданной функции, отобразить ветви разными цветами и маркерами. я пишу.

График кусочно-заданной функции
Добрый день, уважаемые пользователи! Помогите пожалуйста разобраться. Строю кусочно-заданную.

Как создать кусочную встроенную функцию в MATLAB?

У меня есть функция в MATLAB, которая принимает другую функцию в качестве аргумента. Я хотел бы как-то определить кусочную встроенную функцию, которая может быть передана. Возможно ли это в MATLAB?

Изменить: функция, которую я хотел бы представлять, это:

Вы действительно определили кусочную функцию с тремя точками разрыва, т.е. в [0, 0.5, 1]. Однако вы не определили значение функции вне разрывов. (Кстати, здесь я использовал термин «break», потому что мы действительно определяем простую форму сплайна, кусочно-непрерывный сплайн. Возможно, я использовал термин «узел», другое общее слово в мире сплайнов. )

Если вы абсолютно знаете, что никогда не будете оценивать функцию вне [0,1], тогда проблем нет. Тогда просто определите кусочную функцию с ОДНОЙ точкой разрыва, при x = 0,5. Простым способом определения кусочно-постоянной функции, такой как ваша, является использование логического оператора. Таким образом, тест (x > 0,5) возвращает константу, либо 0, либо 1. С помощью масштабирования и перевода этого результата легко создать функцию, которая делает то, что вы пожелаете.

Встроенная функция выполняет аналогичную функцию, но встроенные функции ОЧЕНЬ медленны по сравнению с анонимной функцией. Я настоятельно рекомендую использовать анонимную форму. В качестве теста попробуйте следующее:

Да, встроенная функция заняла гораздо больше времени для выполнения, чем анонимная форма.

Проблема с простой кусочно-постоянной формой, которую я использовал здесь, трудно расширить, когда у вас больше точек останова. Например, предположим, вы хотели определить функцию, которая принимала три разных значения в зависимости от того, в какой интервал времени попала точка? Хотя это можно сделать и с творческим использованием тестов, тщательно перемещая и масштабируя их, это может стать неприятным. Например, как можно определить кусочную функцию, которая возвращает

Одним из решений является использование функции Heaviside. Итак, сначала определите базовую функцию Хевисайда.

Наша кусочная функция теперь выводится из H (x).

Посмотрите, что на P (x) есть три части. Первый термин — это то, что происходит для x ниже первой точки останова. Затем добавим часть, которая действует выше нуля. Наконец, третья часть добавляется в другое смещение выше x == 1. Это легко нарисовано.

С этого начала легко сгенерированы более сложные сплайны. Se, что я снова назвал эту конструкцию сплайном. На самом деле, это то, где мы могли бы вести. Фактически, именно здесь это и происходит. Сплайн — кусочная функция, тщательно связанная вместе в списке узлов или точек разрыва. Сплайны, в частности, часто имеют заданные порядки непрерывности, так, например, кубический сплайн будет дважды дифференцироваться (C2) через разрывы. Существуют также кусочно-кубические функции, которые являются только функциями C1. Моя точка зрения во всем этом заключается в том, что я описал простую начальную точку для создания любой кусочной функции. Это хорошо работает для полиномиальных сплайнов, хотя для выбора коэффициентов этих функций может потребоваться небольшая часть математики.

Другой способ создания этой функции — явный кусочно-полиномиальный. В MATLAB мы имеем небольшую известную функцию mkpp. Попробуйте это.

Если бы вы использовали инструментарий сплайнов, то fnplt построит это прямо для вас. Предполагая, что у вас нет этого TB, сделайте следующее:

Оглядываясь назад на вызов mkpp, это довольно просто. Первым аргументом является список точек разрыва кривой (как вектор ROW). Второй аргумент — это вектор COLUMN с кусочно-постоянными значениями, которые кривая будет принимать в этих двух определенных промежутках между разрывами.

Несколько лет назад я опубликовал еще один вариант, кусочно_ведаль. Его можно загрузить с помощью обмена файлами MATLAB Central. Это функция, которая позволит пользователю указывать кусочную функцию только как список точек останова, а также функциональные фрагменты между этими разрывами. Таким образом, для функции с одним разрывом при x = 0,5 мы сделали бы это:

Посмотрите, что третий аргумент предоставляет значение, используемое в каждом сегменте, хотя эти части не обязательно являются чисто постоянными функциями. Если вы хотите, чтобы функция возвращала, возможно, NaN вне интересующего интервала, это тоже легко выполнить.

Моей точкой во всей этой довольно длинной экскурсии является понимание того, что кусочно функция, и несколько способов ее создания в MATLAB.

Интерполяция в Matlab

Доброго времени суток! Сегодня поговорим о работе с данными полученными «экспериментально». Подразумевается, что даны значения по двум или более координатам (точки), с которыми в задаче нас просят выполнить то или иное действие. В этой статье мы с вами узнаем, что такое интерполяция в Matlab, и какие действия она позволяет выполнять.

Интерполяция

Задав такой вопрос поисковику, вы получите весьма развёрнутый ответ от Wikipedia. Но в двух словах, интерполяция (интерполирование) — процесс нахождения промежуточных значений по ряду данных, для восполнения пробелов между точными значениями приближенными. Точные значения так же называют узловыми точками.

Линейная интерполяция Matlab

Не будем вдаваться в математические определения и термины, перейдём сразу к сути:

Алгоритм интерполяции определяется способом вычисления приближенных значений между точными. Наиболее простым и очевидным вариантом является построение прямой между двумя узловыми точками. Этот метод называется методом линейной интерполяции.

В Matlab такой способ реализован с помощью команды
interp1 ( x , y , xi , ‘linear’ ) или просто interp1 ( x , y , xi ) , где x и y массивы из табличных данных (координаты точек), xi — массив промежуточных точек, координаты которых требуется найти.

Интерполяционные полиномы

Есть разные интерполяционные полиномы — функции, определяющие как будут изменяться приближенные значения между узловыми точками:

• Канонический полином
• Полином Лагранжа
• Полином Ньютона

Разберём для самого часто встречающегося полинома реализацию в Matlab. Вот пример использования:

Проинтерполировать функцию sin x на отрезке [1, 9] с шагом 2 и построим графики sin x и полученного интерполяционного полинома.

Для начала необходимо создать функцию, по которой Matlab будет считать. Создайте файл с именем «lagrange» и скопируйте в него:

Теперь создайте ещё один файл и запишем в него само решение поставленной задачи:

Ссылки на файлы — исходники сможете найти в конце статьи. Более подробную информацию о полиноме Лагранжа вы сможете найти на официальном сайте Matlab.

Интерполяция сплайнами

Ещё один часто встречающийся метод интерполяции. Происхождение термина “сплайны” связано с гибкой чертежной линейкой, которой пользовались для рисования гладких кривых, проходящих через заданные точки. Сплайн — это группа кубических многочленов, которые также называют кубическими сплайнами.

Вычисление сплайн интерполяции в Matlab осуществляется с помощью команды spline(x, y, xx) , где х и у — массивы табличных данных, а хх — промежуточные значения по оси абцисс (Х). Вот небольшой пример:

Построить интерполяцию сплайнами функции Рунге.

interp1

Большинство задач в Matlab реализуются с помощью этой команды. yi = interp1 (x,y,xi, metod), где х – массив абсцисс экспериментальных точек, у – массив ординат экспериментальных точек, xi — точки, в которых необходимо вычислить значения с помощью сплайна, metod – определяет метод построения сплайна. Этот параметр может принимать следующие значения:

• ‘nearest’ – интерполяция по соседним точкам – этот метод построения кусочной функции, при котором значение в любой точке равно значению в ближайшей узловой точке – интерполяция полиномами 0-ой степени;
• ‘linear’ – линейная сплайн-интерполяция — интерполяция полиномами 1-ой степени (применяется по умолчанию, если способ интерполирования не задан);
• ‘cubic’ – интерполяция кубическим полиномом;
• ‘spline’ – интерполяция кубическим сплайном;
• ‘pchip’ — интерполяция кубическим эрмитовым сплайном.

Вот и вся основная информация по интерполяции в Matlab, если остались вопросы, задавайте их в комментариях.

Построение кусочно-символьной функции в Matlab

Я пытаюсь создать кусочно-символическую функцию в Matlab. Причина, по которой он должен быть символическим, заключается в том, что я хочу иметь возможность интегрировать/дифференцировать функцию впоследствии и/или вставлять фактические значения. У меня есть следующая функция:

например, я хочу поместить эту функцию в переменную (скажем, f), а затем вызвать

и получить (скалярный) результат 2/3.

Я пробовал различные вещи, включая функцию piecewise () и символические сравнения, но ничего не помогало. вы можете помочь? ��

2 ответов

один из вариантов-это использовать heaviside функция, чтобы сделать каждое уравнение равным нулю вне его заданного диапазона, а затем добавить их все вместе в одно уравнение:

Другой альтернативой является выполнение интеграции для каждой функции над каждым поддиапазоном, а затем добавить результаты:

обновление:

хотя в вопросе упоминается, что piecewise функция не работает, ответ Карана предполагает, что это так, по крайней мере, в более новых версиях. Документация для piecewise В настоящее время говорит, что он был представлен в R2016b, но он явно присутствовал намного раньше. Я нашел его в документации для Symbolic Math Toolbox еще R2012b, но синтаксис вызова был другим, чем сейчас. Я не мог найти его в более ранней документации для Symbolic Math Toolbox, но он появился как функция в других наборах инструментов (таких как Statistics and Spline Toolboxes), что объясняет его упоминание в вопросе (и почему он не работал для символических уравнений в то время).

Похожие публикации:

1. Почему windows movie maker не поддерживает mp4
2. Сколько панелей инструментов в mathcad две или три
3. Что включает в себя интерфейс windows movie maker
4. Что нельзя делать с помощью telegram

XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум — 2019

В жизни мы постоянно сталкиваемся с изменяющимися величинами. Наблюдения за процессами и явлениями помогают выявить их взаимосвязи. При подробном изучении абстрактных переменных величин мы замечаем общие свойства и закономерности, которые складываются в функциональные зависимости.

Функция будучи одним из основных математических и общенаучных понятий имеет большое количество определений. Одно из основополагающих определений функции дано Н. Лобачевским: «Переменная величина y называется функцией переменной величины (в некотором промежутке ), если каждому значению (из ) соответствует некоторое определенное значение y » [1].

В современных источниках функция трактуется как, соответствие между переменным величинами , в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины ( аргумента или независимой переменной ) соответствует определенное значение другой величины y ( зависимой переменной)» [ 24 ].

С помощью функций возможно описать природные процессы, которые принято разделять на непрерывные и разрывные. Существование разрывных процессов объясняет появление специальных способов и моделей для их описания, называемых в математике кусочно-заданными функциональными зависимости. Если функция на разных промежутках области определения задаётся разными формулами, то говорят о кусочно-заданной функции [22].

Актуальность исследования заключается в том, что информация о кусочно-заданных функциях разрознена, недостаточно систематизирована, а применяемые свойства данных функций встречаются эпизодически в различных разделах школьной и высшей математики.

Впервые ученики формируют представление о кусочно-заданных функциях при знакомстве с модулем числа в 7 классе. Изучение кусочно-заданной функции представлено в учебниках математики [18], алгебре и началах анализа [16 ]. Кусочно-заданные функции встречаются в заданиях государственной итоговой аттестации.

В высшей математике кусочно-заданные функции активно используются в математическом анализе, в элементарной математике, в теории вероятностей, в математической статистике, в теории рядов [10].

Понятие «функция» прошло долгий путь развития, прежде чем появились современные определения. Идея функциональной зависимости восходит к древности, встречаясь в формулах нахождения площади и объема фигур, в математических выражениях, в правилах действий над числами. Вавилонские математики в 2000 г. до н. э. имели представление о функциях, используя таблицы квадратов, кубок, квадратных и кубических корней, обратных чисел для вычислений.

Сознательное понимание понятия функция возникает при изучении переменных. В аналитической геометрии Р. Декарта и П. Ферма функцию определяет уравнение, связывающее x и y . Как математический термин функция появляется с 1673 г. в работах Г. Лейбница. Функциями кривой он называл абсциссы, ординаты, хорды, другие отрезки, связанные с рассматриваемой линией, но «функция» не рассматривалась как величина, зависящая от некоторой другой переменной. В 1718 г. И. Бернулли называет функцией «переменную величину, заданную аналитическим выражением, составленным из переменной х и постоянных величин». Г. Лопиталем в 1696 г. были определены «постоянные и переменные количества». И. Ньютон в 1676 г. употребляет для функции понятие «ордината». Л. Эйлер дал общее определение функции как произвольной зависимости одной величины от другой и в 1748 г. распространил определение на величины зависящие от нескольких переменных. С отделением геометрии от анализа и вкладом П. Дирехле, Н. Лобачевского, Ф. Фреге, Ю. Дедекинда, Д. Пеано, Ж. Лангранжа, Л. Маскерони, А. Клеро сложилось современное понимание «функции» [2 , 205с. ].

Кусочно-заданные функции встречаются работах известных математиков. Знания о данных функциях расширяются с изучением отдельных математических терминов и наук.

Английский математик, физик О. Хевисайд в 1893 – 1898 годах осуществлял работу над вторым томом «Электромагнитной теории». В своих вычислениях он использует кусочно-постоянную функцию, которая равна нулю для отрицательных значений и единицы – для положительных и не определена в нуле. Позднее данную функцию назовут импульсной функцией Хевисайда или единичной ступенчатой функцией [ 15 ]. Через 30 лет данную обобщенную функцию с математическими доказательствами заново вводит английский физик П. Дирак и она получает новое название – дельта-функция П. Дирак. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции Дирака [ 15 ].

Знакопеременную функцию ввёл немецкий математик Л. Кронекер в 1878 году. Название данной функции происходит от латинского слова « signum » – знак [21]. Непрерывная кусочно-линейная функция комплексного переменного появляется с изучением модуля французскими математиками О. Коши в 1831 г. и Ж. Аграном 1814 году.

Функция Дирехле, названа в честь немецкого математика И. Дирихле. Он внёс существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. Функция Дирихле — функция, принимающая значение 1, если аргумент является рациональным числом, и значение 0, если аргумент является иррациональным числом [21].

В современном мире мы не обходимся без кусочно-заданных функций, активно применяющихся в науках, сферах жизни человека. В социологии производятся анализы данных, которые зависят от каких-либо изменяющихся условий. В демографии осуществляется контроль за изменением состава населения ввиду ряда обстоятельств. В геодезии считывается параметр вращения планеты и вычисляется его зависимость от времени. В медицине осуществляется контроль за состоянием больного при помощи электрокардиографа , который ведет запись сердечных сокращений человека, зависящих от времени, в компьютерной графике. Представленные зависимости являются функциями и вносят неоценимый вклад в изучение мира.

Объект исследования – функции.

Предмет исследования – кусочно-заданные функции.

Целью нашего исследования является систематизация теоретического материал по заданной теме и его применение к решению задач элементарной математике.

Результаты исследования были представлены на V внутривузовской студенческой научно-практической конференции «Молодежь в мире науки» Сургутского государственного педагогического университета (ноябрь, 2017 г., Сургут) и XXII студенческой научно-практической конференции «Студенчество в научном поиске» (апрель, 2018 г., Сургут), на которой доклад занял II место. Кроме того, в сборнике опубликована статья «Кусочно-заданные функции», в которой были использованы результаты исследования.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка источников и приложения. Список использованной литературы включает 24 наименования.

Глава 1. Теоретическая основа кусочно-заданных функций

1.1. Общие сведения о функциях

Одним из основных понятий в математике является функция, которая представлена рядом различных определений (табл. 1).

В таблице 2 рассмотрены способы задания функций.

Определение 1. Задать функцию – это значит указать область её определения и правило, при помощи которого по данному значению независимой переменной находятся соответствующие ему значения функции.

Определение 2. Графиком (в системе декартовых прямоугольных координат) называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции.

Рассмотрим виды функций.

Определение 3. Алгебраическая функция – функция , связанная с независимым переменным алгебраическим уравнением .

Определение 4. Рациональными называются такие функции, значения которых можно найти, не совершая над заданным значением независимой переменной и числами, которые предполагаются постоянными, никаких операций, кроме четырех действий арифметики (сложение, вычитание, умножение, деление).

Определение 5. Иррациональными называются функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

Определение 6. Линейной функцией называется всякая функция вида

где и – действительные числа.

Определение 7. Логарифмической функцией называется функция вида

Определение 8. Функция называется трансцендентной, если она не удовлетворяет никакому алгебраическому уравнению , где обозначает алгебраический многочлен (целую рациональную функцию) относительно переменных и .

Определение 9. Показательной (или экспоненциальной) функцией называют всякую функцию вида

Определение 10. Степенной функцией называют всякую функцию вида

Определение 11. Тригонометрическая функция – функция, связывающая стороны треугольника с его углами.

Определение 12. Обратной функцией называется функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Определение 13. Прямой пропорциональность называется функция, заданная формулой , где . Число – коэффициент пропорциональности.

Определение 14. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки и предел функции совпадает со значением функции, т.е.

Определение 15. Функцию мы называет гладкой на отрезке [ a , b ], если она имеет непрерывную производную на этом отрезке [17, с. 176].

Определение 16. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой

Определение 17. Если функция определена в некоторой окрестности точки , но не является непрерывной в этой точке, то называют разрывной в точке .

Рассмотрим основные свойства функций (Табл. 3).

Определение 18. Число b называется предельным значением функции

= в точке (или пределом функции при x → ), если для любой сходящейся к последовательности , , . , , … значений аргумента , элементы которой отличны от ( ), соответствующая последовательность , …, … значений функции сходится к b .

Определение 19. Пусть – предельная точка , тогда,, согласно определению Коши.

Определение 20.Число b называется правым (левым) предельным значением функции = в точке , если для любой сходящейся к a последовательности , , . , , … значений аргумента х, элементы которого больше (меньше) a , соответствующая последовательность , … , … значений функции сходится к b .

Для правого предельного значения функции используется обозначение

Для левого предельного значения функции употребляется обозначение

Определение 21.Число называется предельным значением функции при ( или пределом функции при ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Для обозначенияпредельного значения функции при используется следующая символика:

Определение 22. Функция = называется бесконечно малой в точке

(при → a ), если .

Определение 23. Функция = называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой сходящейся к последовательности , , . , , … значений аргумента , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность , … , … значений функции является бесконечно большой последовательностью определенного знака.

Определение 24. Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой разрыва функции , если функция не является непрерывной в этой точке [11].

Определение 25. Точка называется точкой разрыва I рода если функция имеет в этой точке конечные пределы слева и справа. Если при этом эти пределы равны, то точка называется точкой устранимого разрыва (рис. 1), в противном случае – точкой скачка (рис. 2) [11].

Определение 26. Точка называется точкой разрыва II (рис. 3) рода если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен или не существует [11].

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

1.2. Понятия и свойства кусочно-заданных функций

Рассмотрим определения кусочно-заданной (или кусочной) функции, встречающиеся в различных источниках (табл. 4).

На основе известных способов задания функций, рассмотрим, способы применимые для кусочной функции. Сделаем вывод, что для задания кусочной функции наиболее удобен и популярен аналитический способ. Графический способ позволяет выделять и анализировать поведение функции на разных участках, а табличный способ становится менее эффективным для кусочной функций ввиду её свойств и особенностей (табл. 5).

В схеме 2 представлены классификация основных видов кусочно-заданных функций. Рассмотрим их определения.

Определение 27. Если область определения функции может быть разбита на конечное число непересекающихся числовых промежутков, объединение которых дает всю область определения, и на каждом из этих промежутков функция линейна, то такая функция называется кусочно-линейной [18].

Определение 28. Функция, заданная формулой

где , , …, , – произвольные линейные функции называется кусочно-линейной.

Определение 29.Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке [ a , b ], если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв 1-го рода и, кроме того, имеет односторонние пределы в точках а и b [23, с. 91].

Определение 30. Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке [23, с. 91].

Определение 31. Функция называется кусочно-непрерывной насегменте , если эта функция определена всюду на сегменте непрерывна во всех внутренних точках этого сегмента, за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых она имеет разрыв первого рода и, кроме того, имеет правый предел в точке и левый предел в точке [9, с. 166].

Определение 32. Функция называется кусочно-непрерывной на интервале (или на бесконечной прямой), если ( x ) кусочно-непрерывна на любом принадлежащем этому интервалу (или бесконечной прямой) сегменте [9, с. 166].

Определение 33. Назовем функцию кусочно-гладкой на отрезке , если она кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производную на этом отрезке. Таким образом, отрезок можно разбить точками

так, что непрерывна вместе со своей производной на каждом из интервалов и, кроме того, существуют односторонние конечные пределы как , так иʹ в концевых точках этих интервалов[17].

Определение 8. Непрерывная кусочно-гладкая на отрезке функция – частный случай кусочно-гладкой функции . Для которой характерны следующие свойства:

отрезке такое, что является гладкой функцией на каждом из частных отрезков .

Пример.

Функция не является гладкой на , потому что в точке она не имеет производной. С другой стороны – непрерывная кусочно-гладкая на функция, потому что она непрерывна на и имеет непрерывную производную на интервале , , которая к тому же имеет соответствующие пределы на концах этих интервалов.

Мы считаем, что функция в точке не определена (рис. 4) [17, с.176].

Для последующего решения задач, содержащих кусочные функции, изучим свойства данных функций, представленных различными теоремами.

Теорема 1. Если функция определена на сегменте и является монотонной на этом сегменте, то она может иметь на этом сегменте только точки разрыва первого рода, причем множество всех её точек разрыва не более чем счетно [9, с. 166].

Доказательство. В силу леммы о том, что монотонная функция имеет конечный правый и левый пределы в любой внутренней точке сегмента и, кроме того, конечный правый пределе в точке и конечный левый предел в точке . Отсюда следует, что точками разрыва монотонной функции могут быть только точки разрыва первого рода. [9, с. 166]

Теорема 2.Пусть ограничена на промежутке . Если ∀ ε > 0 существует конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва и имеющих сумму длин, меньшую ε, то интегрируема на промежутке [a, b].

Следствие. Кусочно-непрерывная функция (т. е. имеющая на промежутке конечное число точек разрыва I рода) интегрируема на этом промежутке.

Замечание. Если выполнены условия теоремы 2, то значение интеграла.

Теорема 3. Кусочно непрерывная на сегменте функция имеет первообразную на этом сегменте в смысле расширенного определения. Одной из первообразных является функция

Теорема 4. Для кусочно непрерывной функции справедлива формула Ньютона-Лейбница

где – первообразная функции на [a, b] в смысле расширенного определения.

Пример.

Для наглядного изучения кусочно-заданных функций рассмотрим примеры известных функций (табл. 6).

Таким образом, мы осуществили выборку теоретического материала по темам: функции, кусочно-заданные функции. Мы осуществили систематизацию материала по таким категориям, как: виды, свойства и способы задания функций.

Рассмотрена классификация кусочных функций, встречающаяся в литературе математического анализа:

Нами выявлены наиболее удобные способы задания кусочных функций:

Также, в данной главе рассмотрены популярные кусочно-гладкие функции.

Глава 2. Решение задач с использованием кусочно-заданных функций

На основе изученного теоретического материала нами рассмотрены и систематизированы задачи с использованием кусочно-заданных функций.

Классификация задач по теме кусочно-заданные функции:

Определение вида функции;

Исследование свойств функции;

Решение уравнений и неравенств;

Дифференцирование и интегрирование кусочных функций;

Задачи с параметром;

Рассмотрим задачи, на основе получившейся классификации и выделим закономерности их решения.

2.1. Задачи на определение вида функции

Задача 1.

Условие. Задана функция , а также два значения аргумента и . Определить вид функции (непрерывная или разрывная), если функция имеет разрыв найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева и определить тип точки разрыва [12].

Точка Воспользуемся определением функции непрерывной в точке.

В данной точке разрыва нет.

Точка Знаменатель обращается в нуль, значит, это точка разрыва.

Вычислим пределы справа и слева:

Один из пределов равен , значит является точной разрыва второго рода.

Ответ:функция является разрывной для аргумента

Задача 2.

Условие. Каким числом можно доопределить функцию

при , чтобы она стала непрерывной в этой точке [3]?

Подобная операция возможна в том случае, если точка разрыва является устранимой.

Найдем предел данной функции в точке :

Следовательно, если принять , функция станет непрерывной в точке .

2.2. Задачи на исследование свойств функции

Задача 3.

Условие. Функция задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют [12] .

Функция непрерывна на каждом из интервалов

Исследуем на непрерывность точки

Найдем пределы слева и справа:

Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке функция терпит разрыв первого рода («скачок»).

Найдем пределы слева и справа:

Пределы слева и справа конечны и равны, поэтому функция непрерывна в

Ответ: является точкой разрыва первого рода.

2.3. Решение уравнений и неравенств

Задача 4.

Условие.Решите неравенство: [19].

Запишем неравенство в виде:

Заметим, что левая часть представляет из себя кусочно-линейную функцию, которая возрастает при и убывает при .

Это означает, что в точке она достигает минимума, равного 5. Таким образом правая часть . Тогда неравенство принимает вид:

2.4. Задачи с параметром

Задача 5.

Условие. Найдите все значения при каждом из которых график функции

пересекает ось абсцисс более чем в двух точках [19].

Рассмотрим вспомогательную функцию

График функции пересекает ось абсцисс в трёх или более точках (Рис. 5), если уравнение имеет более двух различных корней.

График функции состоит из двух лучей и дуги параболы. На рисунке 5 прослеживается, что уравнение имеет более двух корней только если

Соответствующие значения функции равны:

Задача 6.

Условие. Постройте гра­фик функ­ции +15 и най­дите зна­че­ния , при ко­то­рых пря­мая имеет с ним ровно три общие точки [20].

Воспользовавшись определением модуля, построим гра­фик функции (рис. 6)

Прямая имеет с по­стро­ен­ным гра­фи­ком ровно три общие точки при и .

Задача 7.

Условие. Найти все значения a, при каждом из которых функция

имеет хотя бы одну точку максимума [19].

Заметим, что данная функция является кусочно-линейной.

График функции при представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины При график представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, абсцисса вершины

Рассмотрим все возможные конфигурации при различных значениях параметра, как показано на рисунке 3.

Ясно, функция достигает максимума в точке , причём тогда и только тогда, когда

Таким образом, или .

Задача 8.

Условие. Найдите все значения , при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1 [19].

Воспользовавшись определением модуля получим

Найдя множество положительности подмодульного выражения, запишем

Получаем новое условие. При каких значениях a наименьшее значение функции

График функции на промежутках и [ представляет собой фрагменты параболы, ветви которой направлены вверх, а значит, она принимает наименьшее значения на этом множестве либо в вер- шине, если таковая лежит в множестве и [ , либо в точках 1 или 3.

График второго фрагмента, задающего функцию , есть часть параболы, ветви которой направлены вниз, и она может давать наименьшие значения только на концах промежутка, т. е. в точках 1 или 3. А в этих точках она совпадает с первой задающей квадратичной функцией (рис. 1, на котором функции изображены условно), а значит, часть функции на промежутке от 1 до 3 можно не рассматривать.

Изучим функции на множестве

на предмет выяснения, когда ее наименьшее значение на этом множестве положительно. Наименьшим является значение, соответствующее вершине параболы, если таковая оказалась в рассматриваемом множестве, и значение на каком-то из концов рассматриваемого множества, если вершина из него ушла. Стало быть, надо рассмотреть три возможности для расположения абсциссы вершины и сделать соответствующие выводы.

Пусть абсцисса вершины лежит левее единицы либо совпадает с ней, т. е. , или, что то же, . Тогда положительность ординаты вершины графика функции равносильна тому, что ее дискриминант отрицателен, т. е. .

Это произойдет при , так что с учетом рассматриваемых значений , а именно , получаем, что при этих наименьшее значение функции положительно, если .

Пусть абсцисса вершины правее чем три или совпадает с тройкой, т. е. ⇔ . Однако это множество не имеет пересечений с множеством тех , при которых дискриминант отрицателен, так что в этом случае на рассматриваемом множестве всегда есть отрицательные значения и тем самым этот случай не вносит никакой информации в окончательный результат.

Наконец, пусть . Это условие означает, что абсциссы вершин парабол h(x) при таких a расположены между 1 и 3. Тогда наименьшее значение функции на рассматриваемом множестве достигается либо в точке 1, либо в точке 3. Найдем значения и и потребуем их положительности. Имеем

и с учетом того, что рассматриваются только получаем, что среди таких a функция g(x) положительна при

Задача 9.

Условие. При каком значении числа функция

будет непрерывна [12]?

Областью определения функции является всё множество действительных чисел, причем по обе стороны точки функция является элементарной, то есть непрерывной. Для обеспечения непрерывности в точке поставим условие ;

Решив уравнение, получим ;

2.5. Задачи на дифференцирование и интегрирование

Задача 10.

Условие. Будет ли дифференцируема функция

По условию, очевидно, что кусочно-заданная функция непрерывна в точке . Выясним, будет ли она дифференцируема в данной точке.

Последовательность действий для решения данной задачи такова:

1) Вычислить левостороннюю производную в данной точке: .

2) Вычислить правостороннюю производную в данной точке: .

3) Если односторонние производные совпадают: , то в точке существует общая производная, то есть функция дифференцируема в данной точке и геометрически здесь существует общая касательная. Если же получены два разных значения: , то функция не дифференцируема в точке.

1) При нахождении левосторонней производной приращение аргумента отрицательно: , а слева от точки расположена парабола

, поэтому приращение функции равно

.Соответствующий левосторонний предел численно равен левосторонней производной в рассматриваемой точке:

2) Справа от точки находится график прямой и приращение аргумента положительно: . Таким образом, приращение функции:

Правосторонний предел и правосторонняя производная в точке:

3) Односторонние производные различны: ,

Ответ:функция не дифференцируема в точке .

Нами проанализирован способ построения графика кусочно-линейной функции. Данная последовательность действий встречается в учебнике по математике для седьмого класса [18, с. 216]:

Выделить непересекающиеся числовые промежутки, составляющие всю область определения функции, на каждом из которых функция является линейной.

Для каждого числового промежутка выбрать два значения х, принадлежащих ему.

Вычислить значения y , соответствующие выбранным значения x .

Записать выбранные значения х и вычисленные значения у как упорядоченные – координаты точек, принадлежащих графику у = ( x ).

Построить на координатной плоскости Oxy полученные точки.

Для каждого числового промежутка провести через построенные точки, соответствующую часть прямой – график у = ( x ) на этом промежутке.

Необходимой для решения задач является последовательность действий, направленная на вычисление значения кусочно-заданной функции в точке:

На основе вышеизложенного нами составлена общая последовательность действий для решения задач, в которых рассматриваются кусочные функции:

Проанализировать аналитическую запись кусочно-заданной функции (при необходимости представить аналитическую запись в более удобной виде);

Разбить числовую прямую на участки при помощи точек смены формул;

Построить графики подфункций на соответствующих участках числовой прямой;

Проверить на графике принадлежность граничных точек каждой подфункции.

В данной главе составлена классификация задач по уровню сложности и по объему владения необходимыми для их решения математическими знаниями. Для решения рассмотренных задач необходимо знать свойства кусочных функций, их виды, применять классификацию точек разрыва, уметь строить график кусочно-заданной функции, определять разрывность функции.

Таким образом, основными закономерностями решения задач по данной теме можно считать:

при проверке наличия разрывов кусочно-заданной функции использовать понятие предельного значения функции в точке;

при решении уравнений и неравенств содержащих подмодульное выражение использовать свойства кусочно-заданной функции (метод с использованием кусочно-заданной функции).

Таким образом, мы систематизировали теоретический материал по теме кусочно-заданные функции. Изучили историю и отрасли, в которых применяются данных функций, проанализировали способы задания кусочных функций. Осуществили отбор задач по теме исследования и выявили закономерности, последовательности действий для их решения.

В данной работе изложены вопросы, касающиеся понятия кусочно-заданной функции, свойств функций, видов функций, предельного значения функций.

Классифицированы виды кусочно-заданных функций:

Выделена типология задач, содержащих кусочно-заданную функцию (или задач, решаемых при помощи свойст данной функции):

определение вида функции;

исследование свойств функции;

решение уравнений и неравенств;

дифференцирование и интегрирование кусочных функций;

задачи с параметром;

Приведённая типология задач, а также описанные приёмы и методы могут быть использованы в разработке методических рекомендаций к проведению факультативных занятий по алгебре в курсе средней общеобразовательной школы, а также на уроках в школах и классах с углублённым изучением математики.

Список использованной литературы

Александров П. С., Энциклопедия элементарной математики. / Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я. (ред.) /Книги 1–5. / – М.: Л.: ГИТТЛ, 1951.

Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. – М.: Изд-во ЛКИ, 2008. – 203с. – 205 с.

Антоневич А. Б., Задачи и упражнения по функциональному анализу. / А. Б. Антоневич, П. Н. Князев, Я. В. Радыно. Выш. шк . , Минск. – 1978.

Башмаков М. И., Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. – 3-е изд. – М.: Просвещение, 1993. – 351 с.

Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. / А.Ф Бермант, И. Г. Араманович. – 14-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 736 с.: ил.

Данилов В.Л., Математический анализ, Функции, Пределы, Ряды, Цепные дроби / В.Л. Данилов, А.Н. Иванова, Е.К. Исакова, 1961. – 634 с.

Дуран А. Истина в пределе. Анализ бесконечно малых / Дуран А. // Мир математики. — №14. — М.: Де Агостини, 2014.

Егерев В. К. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / В. К¸ Егерев, В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. – 6-е изд. – М. : ООО «Издательство «Мир и Образование»: ООО «Издательство «ОНИКС-ЛИТ», 2013. – 608 с.

Ильин В. А. Математический анализ. Начальный курс / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Под редакцией А. Н. Тихонова. – 2-е изд., перераб. – М.: Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.

Ильин. В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть I : Учеб.: Для вузов. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 648 с. – 100 –146-155 с.

Казимиров Н. И., Конспект лекций для первого курса специальности «физика». Математический анализ / Н. И. Казимиров – Петрозаводск, 2002 г.

Кудрявцев Л. Д. Сборник задач по математическому анализу / Л. Д. Кудрявцев и др. – Т. 1. – 2-е изд., перераб. – М.: Физматлит, 2003. – 496 с.

Макарычев, Ю. Н. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики / Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2007.

Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю. В. Прохорова. – М.: Советская энциклопедия, 1988.

Нахин П.Дж. Оливер Хевисайд / П.Дж. Нахин // В мире науки. –1990. – № 8. –13 c .

Никольский С. М. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс : учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Никольский С. М. и др. – 8-е изд. – М. : Просвещение, 2009. – 464 с.

Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. 1. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 464 с.

Петерсон Л. Г. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Учебник для 7 класса. Часть 3 / Л. Г. Петерсон, Д. Л Абранов, Е. В. Чуткова. – М: Издательство «Ювента», 2011. – 216 с.

Решу ЕГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика. Профильный уровень [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/ (дата обращения 14.03.2018 г).

Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://oge.sdamgia.ru/ (дата обращения 14.03.2018 г).

Старова О.А. Кусочно-заданные функции / О. А. Старова // Грани математики. Все для учителя! – 2015. – № 3(51). – С. 26-28.

Шевелева Н. В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н. В. Шевелева, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин. – М.: Национальное образование, 2011. – 144 с.: ил. – (Краткий курс).

Шипачев В. С. Высшая математика. Учеб. для вузов – 4-е изд. стер. – М.: Высш. школа. 1998. – 479 с.: ил.

Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . – М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003 .

Основные определения понятия «функция»

Определения

Пусть даны два множества действительных чисел: множество и множество

Если каждому элементу множества E поставлен в соответствие единственный элемент множества M , то говорят, что на множестве E определена функция действительного переменного x и пишут .

называют независимой переменной или аргументом, а y называют зависимой переменной или функцией. Множество E называют областью определения функции, а множество множеством значений функции.

Лихтарников Л. М. Основы математического анализа. Книга для учителей математики старших классов средних школ. / Л. М. Лихтарников, А. И. Поволоцкий. – СПб.: Издательство Лань, 1997. – 304 с.

Величина y называется функцией переменной величины х в области определения D , если каждому значению x из этой области соответствует одно определенное значение величины y .

Бермант А.Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. 14-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2008. – 736 с.: ил. – (Учебники для вузов. Специальная литература).

Если каждому значению переменной x из множества < x >ставится в соответствие по известному закону некоторое число y , то говорят, что на множестве < x >задана функция = или

При этом переменная x называется аргументом, а множество < x >– областью задания функции

Ильин. В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического анализа: в 2-х ч. Часть I : Учеб.: Для вузов. – 6-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 648 с. – (Курс высшей математики и математической физики). – 100 -146 с.

Функция , в математике – одно из основных понятий , выражение , определяющее регулярную зависимость между двумя множествами переменных величин , заключающуюся в том , что каждому элементу одного множества соответствует определенная , единственная величина из другого .

Научно — технический энциклопедический словарь .

1 ) Зависимая переменная величина ;

2) Соответствие между переменными величинами , в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины ( аргумента или независимой переменной ) соответствует определенное значение другой величины ( зависимой переменной или Ф . в значении.

Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . — М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003

Функция – это в заимосвязь между двумя и более переменными . Если у является функцией от х и записывается в виде то , если значение аргумента х известно , функция позволяет показывает , как найти значение у . Если у – однозначная функция от х , то для каждого значения х существует только одно значение у .

«Зависимость переменной y от переменной х называется функцией, если каждому значению переменной х соответствует единственная переменная у.»

АЛГЕБРА-7 (С.А. Теляковский)

«Переменную y называют функцией переменной х, если каждому значению х из некоторого числового множества соответствует одно определенное значение у».

МАТЕМАТИКА – 8 (Г.В. Дорофеев)

«Если дано числовое множество и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция где .

АЛГЕБРА – 9 (А.Г. Мордкович).

Способы задания функций

Способ задания

Достоинства

При этом способе выписываются ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функций.

Легко найти значения функции для заданных значений аргумента.

Малая наглядность, невозможность отыскания промежуточных значений аргумента.

Задание с помощью формулы.

Возможность пользоваться математическим аппаратом.

Выписывается ряд значений независимой переменной и соответствующее им значения функции.

Невозможность в должной мере применить математический аппарат, приближенное построение чертежа.

Это задание функции при помощи некоторого словестного описания закона соответствия, позволяющего по заданному значению аргумента (из области определения) находить соответствующее значение функции.

Возможность пользоваться математическим аппаратом.

Квадратичная парабола с вершиной в начале координат, расположенная выше оси

Виды функций

Свойства функции

Свойство функции

Определение

Область определения функции

Областью определения функции называется множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция

Область значений функции

Областью значений функции называется это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. (В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.)

Нулём функции называют такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

Чтобы найти нули функции , нужно решить уравнение .

Чтобы найти нули функции по ее графику, нужно найти точки пересечения графика с осью ОХ. Абсциссы точек пересечения и будут нулями функции .

Промежутки знакопостоянства функции

Промежутками знакопостоянства называют такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции

, нужно решить неравенства и .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого из области определения выполняется равенство . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого из области определения справедливо равенство . График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Ограниченная и неограниченная функции

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число , что для всех значений x.

Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

Функция — периодическая, если существует такое отличное от нуля число , что для любого x из области определения функции имеет место: . Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Точками экстремума называются точки, лежащие внутри области определения, в которых функция принимает самое большее (максимум) или самое меньшее (минимум) значение по сравнению со значениями в близких точках.

Экстремумами функции называют

Корнями функции называют точки, в которых функция обращается в нуль, или иначе решения уравнения

Определения кусочной функции

Определение

Если функция на разных промежутках области определения задается разными формулами, то говорят о кусочно-заданной функции.

Шевелева Н. В. Математика (алгебра, элементы статистики и теории вероятностей). 9 класс / Н. В. Шевелева, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин. – М.: Национальное образование, 2011. – 144 с.: ил.

Кусочно-заданной называют функцию, которая определена на множестве вещественных чисел и задана на каждом из интервалов, составляющих область определения, отдельной формулой.

Старова О.А. Кусочно-заданные функции // Грани математики. Все для учителя. – 2015. – № 3(51). – С. 26-28.

Кусочно-непрерывная функ­ция — функция , непрерывная во всех точках отрезка, на котором она определена, за исключением конечного числа точек (называемых точками разрыва 1-го рода).

Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . — М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003 .

Кусочно-непрерывная функция
Функция, непрерывная во всех точках отрезка, на котором она определена, за исключением конечного числаточек (называемых точками разрыва 1-го рода).

Л . Г . Суменко . Англо — русский словарь по информационным технологиям . М . : ГП ЦНИИС , 2003.

Кусочно-линейная функция — функция , которая (при ее геометрическом представлении) состоит из переходящих друг в друга линейных участков.

Экономико — математический словарь: Словарь современной экономической науки . — М . : Дело . Л . И . Лопатников . 2003

Способы задания кусочных функций

Способ задания

Достоинства

При этом способе выписываются ряд значений независимой переменной и соответствующие им значения функций.

Легко найти значения функции для заданных значений аргумента.

Малая наглядность, невозможность отыскания промежуточных значений аргумента.

Справочник по MATLAB — Математические функции (В.Г.Потемкин)

Информация в данной статье относится к релизам программы MATLAB ранее 2016 года, и поэтому может содержать устаревшую информацию в связи с изменением функционала инструментов. С более актуальной информацией вы можете ознакомиться в разделе документация MATLAB на русском языке.

В системе MATLAB имеется обширная библиотека математических функций. Каждой функции соответствует определенное имя. Функция ставит в соответствие значениям своих аргументов значение результата.

Аргументы функции всегда указываются в круглых скобках после имени функции и, если их больше одного, разделяются запятыми. В качестве аргументов могут использоваться другие функции и любые выражения языка MATLAB (при условии соответствия типов аргументов).

Элементарная математическая функция — это, как правило, функция от одной переменной, и в этом случае устанавливается соответствие между массивами значений аргумента и результата.

Аргумент указывается в круглых скобках после имени функции. Имя переменной, которой присваивается значение функции, располагается слева от знака равенства. Если имя присваиваемой переменной не указано, значение функции присваивается служебной переменной ans.

Тип результата вычисления математической функции всегда совпадает с типом ее аргумента. Например, если аргументом функции является вектор-столбец, то значением этой функции также будет вектор-столбец.

Рассмотрим встроенные математические функции системы MATLAB, которые применяются к числам, скалярным переменным и к массивам (поэлементно).

Базовые функции

• ABS — абсолютное значение
• ANGLE — аргумент комплексного числа
• REAL, IMAG — действительная и мнимая части комплексного числа
• CONJ — операция комплексного сопряжения
• SIGN — вычисление знака числа
• CEIL, FIX, FLOOR, ROUND — функции округления
• REM — функция остатка
• GCD — наибольший общий делитель
• LCM — наименьшее общее кратное
• RAT, RATS — представление результата в виде рационального числа или цепной дроби

Трансцендентные функции

• SQRT — квадратный корень
• EXP — экспоненциальная функция
• LOG — функция натурального логарифма
• POW2 — экспонента по основанию 2
• NEXTPOW2 — ближайшая степень по основанию 2
• LOG2 — фунции логарифма
• LOG10 — функции логарифма

Тригонометрические функции

• SIN, SINH — функции синуса
• ASIN, ASINH — функции обратного синуса
• CSC, CSCH — функции косеканса
• ACSC, ACSCH — функции обратного косеканса
• COS, COSH — функции косинуса
• ACOS, ACOSH — функции обратного косинуса
• SEC, SECH — функции секанса
• ASEC, ASECH — функции обратного секанса
• TAN, TANH — функции тангенса
• ATAN, ATAN2, ATANH — функции обратного тангенса
• COT, COTH — функции котангенса
• ACOT, ACOTH — функции обратного котангенса

Преобразования системы координат

• CART2POL — преобразование декартовой системы координат в полярную и цилиндрическую
• CART2SPH — преобразование декартовой системы координат в сферическую
• POL2CART — преобразование полярной и цилиндрической систем координат в декартову
• SPH2CART — преобразование сферической системы координат в декартову

Специальные функции

• BESSEL — функции Бесселя
• BETA, BETACORE, BETAINC, BETALN — бета-функции
• ELLIPJ — эллиптические функции Якоби
• ELLIPKE — полные эллиптические интегралы
• ERF, ERFCORE, ERFC, ERFCX, ERFINV — функции ошибок
• GAMMA, GAMMAINC, GAMMALN — гамма-функции

Базовые функции

ABS — абсолютное значение

Для массива действительных чисел X функция Y = abs(X) возвращает массив Y абсолютных значений элементов X.

Для массива комплексных чисел Z функция Y = abs(Z) возвращает массив Y модулей комплексных элементов Z.

Для строковой переменной S функция Y = abs(S) возвращает вместо символов, включая пробелы, их ASCII-коды.

Примеры:

abs(-5)
ans = 5
abs(3 + 4i)
ans = 5
ascii = abs(‘3 + 4I’)
ascii = 51 32 43 32 52 73
setstr(ascii)
ans = 3 + 4I

ANGLE — аргумент комплексного числа

Для массивов комплексных чисел Z функция P = abs(Z) возвращает массив значений аргументов для элементов Z. Значение аргумента измеряется в радианах и находится в пределах от — p до p .

Пример:

Для комплексного числа z = x + iy = re i j его модуль r и аргумент j вычисляются следующим образом:

r = abs(z)
phi = angle(z),

выполняет обратное преобразование.

Для вычисления аргумента комплексного числа используется следующее соотношение:

angle(z) = atan2(imag(z), real(z))

REAL, IMAG — действительная и мнимая части комплексного числа

X = real(Z)
Y = real(Z)

Для массивов комплексных чисел Z функция X = real(Z) возвращает массив действительных, а Y = real(Z) — мнимых частей элементов Z.

CONJ — операция комплексного сопряжения

Для массивов комплексных чисел Z функция V = conj(Z) возвращает массив комплексно-сопряженных значений для элементов Z.

SIGN — вычисление знака числа

Для массивов действительных чисел X функция S = sign(X) возвращает массив S тех же размеров, в котором на месте положительного числа стоит 1, на месте нулевого — 0, на месте отрицательного — (-1).

Для массивов комплексных чисел Z функция S = sign(Z) возвращает массив комплексных чисел S = Z ./abs(Z), модуль которых равен единице.

CEIL, FIX, FLOOR, ROUND — функции округления

Y = ceil(X)
Y = fix(X)
Y = floor(X)
Y = round(X)

Для массивов действительных чисел X:

• функция Y = ceil(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого >=X;
• функция Y = fix(X) возвращает значения с усечением дробной части числа;
• функция Y = floor(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого
• функция Y = round(X) возвращает значения, округленные до ближайшего целого.

Для массивов комплексных чисел Z эти функции применяются одновременно к действительной и мнимой частям.

Примеры:

Задан одномерный массив действительных чисел

x = [-1.9 -0.2 3.4 5.6 7.0];

ceil(x)	ans = -1 0 4 6 7	fix(x)	ans = -1 0 3 5 7
floor(x)	ans = -2 -1 3 5 7	round(x)	ans = -2 0 3 6 7

REM — функция остатка

Для действительных чисел x и y функция rem(x, y) вычисляет остаток от деления x на y или, в других обозначениях, функцию x(mod y) = x — y*n, где n = fix(x/y) — ближайшее целое.

Для массивов чисел эта функция применяется поэлементно.

GCD — наибольший общий делитель

g = gcd(m, n)
[g, c, d] = gcd(m, n)

Функция g = gcd(m, n) вычисляет наибольший общий делитель двух целых чисел m и n. Принято, что gcd(0, 0) = 0.

Функция [g, c, d] = gcd(m, n) кроме наибольшего общего делителя вычисляет два множителя c и d, таких, что выполняется соотношение g = = m*c + n*d.

Для массивов чисел эту функцию применять нельзя.

if round(a) ~= a | round(b) ~= b
error(‘Входные аргументы должны быть целыми числами.’)
end
u = [1 0 abs(a)];
v = [0 1 abs(b)];
while v(3)
q = floor( u(3) / v(3) );
t = u — v*q;
u = v;
v = t;
end
c = u(1) * sign(a);
d = u(2) * sign(b);
g = u(3);

Пример:

[g, c, d] = gcd(45, 36);
[g c d] ans = 9 1 -1

LCM — наименьшее общее кратное

Функция g = lcm(m, n) вычисляет наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n.

Для массивов чисел эту функцию применять нельзя.

if round(a) ~= a | round(b) ~= b | a < 1 | b < 1
error(‘Входные аргументы должны быть целыми числами.’)
end
c = a*b/gcd(a,b);

Пример:

g = lcm(45, 36)
g = 180

RAT, RATS — представление результата в виде рационального числа или цепной дроби

[N, D] = rat(X)	rat(X)	S = rats(X)
[N, D] = rat(X, tol)	rat(X, tol)	S = rats(X, tol)

Несмотря на то что все числа с плавающей точкой представлены в ком-пьютере в виде рациональных чисел, иногда целесообразно представить число в виде отношения двух относительно небольших целых чисел. Такое представление на основе цепных дробей и реализуется с использованием вышеперечисленных функций.

Функция [N, D] = rat(X) определяет для входа x два таких целых числа n и d, при которых выполняется условие n/d — x

Функция [N, D] = rat(X, tol) позволяет указать точность приближения tol, отличную от 1e-6.

Функции rat(X) и rat(X, tol) позволяют вывести на экран результат в виде цепной дроби.

Если в качестве входа задан массив чисел X, то результатом операций будут массивы соответствующего размера.

Функция S = rats(X, k) использует функцию rat(X), чтобы вывести на экран результат в виде простой дроби
s = [sprintf([‘%’ num2str(fix(k/2)), n) ‘/’ sprintf([‘%-‘ num2str(fix(k/2)) ‘.0f’], d)],
точность аппроксимации для которой составляет tol = 10^(-fix(k/2)) * abs(x).

Для функции S = rats(X) точность аппроксимации принимается по умолчанию равной 1e-6* abs(x), что соответствует значению k = 13.

Функция format rat равносильна функции rats.

Функция rat(X) аппроксимирует каждый элемент массива X цепной дробью следующего вид:

Величины dk получены последовательным выделением целой части с последующим обращением дробной части. Точность аппроксимации возрастает по степенному закону с ростом числа членов. Самая медленная сходимость наблюдается при рациональной аппроксимации числа x = sqrt(2). Погрешность аппроксимации с учетом k членов составляет 2.68 * (0.173)^k, так что учет каждого последующего члена увеличивает точность менее чем на одну десятичную цифру, так что для достижения максимальной точности в арифметике с плавающей точкой требуется 21 член.

Примеры:

Рассмотрим аппроксимацию числа p в виде цепной дроби и рационального числа

rat(pi)
ans = 3 + 1/(7 + 1/(16))
rat(pi, 1e-12)
ans = 3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/(-294 + 1/(3 + 1/(-4 + 1/(5))))))
[n,d]=rat(pi);
[n d]
ans = 355 113
[n, d]=rat(pi, 1e-12);
[n d]
ans = 5419351 1725033
s = rats(pi)
s = 355/113
s = rats(pi, 26)
s = 5419351/1725033

Трансцендентные функции

SQRT — квадратный корень

Функция V = sqrt(Z) вычисляет квадратные корни элементов массива Z. Для отрицательных и комплексных значений результат является комплексным числом.

Пример:

0+ 1.4142i

0+ 1.0000i

0

1.0000

1.4142

Name	Size	Bytes	Class
w	5×1	80	double array (complex)

Grand total is 5 elements using 80 bytes
Общее число элементов 5, используют 80 байтов.

Сопутствующие функции: EXP, LOG, SQRTM.

EXP — экспоненциальная функция

Функция V = exp(Z) вычисляет экспоненты значений элементов массива Z. Для комплексных значений z = x + iy справедлива формула Эйлера

e z = e x (cos(y) + i sin(y)).

Вычисление экспоненты от матрицы реализовано с помощью специальной функции expm.

Сопутствующие функции: LOG, LOG2, LOG10, EXPM.

LOG — функция натурального логарифма

Функция V = log(Z) вычисляет натуральный логарифм значений элементов массива Z. Для комплексных значений z = x + iy справедлива формула

ln(z) = ln(abs(z)) + i atan2(y, x).

Вычисление функции натурального логарифма от матрицы реализовано с помощью специальной функции logm.

Пример:

Одна из возможностей вычисления значения числа p — это вычислить log(-1):

log(-1)
ans = 0 +3.141592653589793e+000i

Сопутствующие функции: EXP, LOG2, LOG10, LOGM.

POW2 — экспонента по основанию 2

V = pow2(Z)
X = pow2([M, P])

Функция V = pow2(Z) вычисляет массив степеней 2.^Z.

Функция X = pow2([M, P]) для действительных массивов M и P вычисляет массив X = M.*(2.^P).

Пример:

Для компьютеров с IEEE-арифметикой, в которых определены объекты eps, realmax и realmin, функция x = pow2([m, p]) вычисляет следующие величины:

m	p	x
1/2	1	1
pi/4	2	pi
-3/4	2	-3
1/2	-51	eps
1-eps/2	1024	realmax
1/2	-1021	realmin

NEXTPOW2 — ближайшая степень по основанию 2

p = nextpow2(n)
p = nextpow2(x)

Функция p = nextpow2(n) возвращает такой показатель степени p, что 2^p >= n.

Функция p = nextpow2(x) для одномерного массива x возвращает значение nextpow2(length(x)). Эта операция широко применяется при вычислении быстрого преобразования Фурье.

Пример:

Для любого целого числа n в диапазоне от 513 до 1024 функция nextpow2(n) возвращает значение 10.

LOG2 — фунции логарифма

V = log2(Z)
[M, P] = log2(X)

Функция V = log2(Z) вычисляет логарифм по основанию 2 от значений элементов массива Z.

Функция [M, P] = log2(X) для массива X действительных чисел возвращает массив M значений мантисс и целочисленный массив P показателей степеней, позволяющих представить любой элемент x в виде x = f*2^p; нулевому элементу соответствует представление .

Примеры:

Для компьютеров с IEEE-арифметикой, в которых определены объекты eps, realmax, realmin, функция log2 вычисляет следующие величины:

log2(eps)	log2(realmax)	log2(realmin)
ans = -52	ans = 1024	ans = -1022

а функция [M, P] = log2(X) строит следующие представления чисел:

x	m	p
1	1/2	1
pi	pi/4	2
-3	-3/4	2
eps	1/2	-51
realmax	1-eps/2	1024
realmin	1/2	-1021

LOG10 — функции логарифма

Функция V = log10(Z) вычисляет логарифм по основанию 10 от значений элементов массива Z.

Примеры:

Для компьютеров с IEEE-арифметикой, в которых определены объекты eps, realmax realmin, функция log10 вычисляет следующие величины:

log10(eps)	log10(realmax)	log10(realmin)
ans = -15.6536	ans = 308.2547	ans = -307.6527

Сопутствующие функции: EXP, LOG2, LOGM, POW2.

Тригонометрические функции

SIN, SINH — функции синуса

V= sin(Z)
V = sinh(Z)

Функция V = sin(Z) вычисляет синус от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет гиперболический синус от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальные функции funm или expm.

Для вычисления функций синуса используются следующие соотношения:

sin(x + iy) = sin(x)ch(y) + icos(x)sh(y);
sh(z) = ;
sin(z) = — i sh(iz).

ASIN, ASINH — функции обратного синуса

V = asin(Z)
V = asinh(Z)

Функция V = asin(Z) вычисляет обратную функцию синуса от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического синуса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Функция Y = asin(X) для действительных значений -1

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного синуса используются следующие соотношения:

arsh(z) = ln[z + (1 + z 2 ) 1/2 ];
arcsin(z) = — i arsh(iz).

CSC, CSCH — функции косеканса

V = csc(Z)
V = csch(Z)

Функция V = csc(Z) вычисляет косеканс от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет гиперболический косеканс от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций косеканса используются следующие соотношения:

csc(z) = 1/sin(z);
csch(z) = 1/sinh(z).

ACSC, ACSCH — функции обратного косеканса

V = acsc(Z)
V = acsch(Z)

Функция V = acsc(Z) вычисляет обратную функцию косеканса от значений элементов массива Z.

Функция V = acsch(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического косеканса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного косеканса используются следующие соотношения:

arccosec(z) = arcsin(1/z);
arcosech(z) = arsinh(1/z).

COS, COSH — функции косинуса

V = cos(Z)
V = cosh(Z)

Функция V = cos(Z) вычисляет косинус от значений элементов массива Z.

Функция V = cosh(Z) вычисляет гиперболический косинус от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальные функции funm или expm.

Для вычисления функций косинуса используются следующие соотношения:

cos(x + iy) = cos(x)ch(y) — isin(x)sh(y);
ch(z) =;
cos(z) = ch(iz).

ACOS, ACOSH — функции обратного косинуса

V = acos(Z)
V = acosh(Z)

Функция V = acos(Z) вычисляет обратную функцию косинуса от значений элементов массива Z.

Функция V = acosh(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического косинуса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Функция Y = acos(X) для действительных значений -1

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного косинуса используются следующие соотношения:

arch(z) = ln[z + (z 2 — 1) 1/2 ];
arccos(z) = -i arch(z).

SEC, SECH — функции секанса

V = sec(Z)
V = sech(Z)

Функция V = sec(Z) вычисляет секанс от значений элементов массива Z.

Функция V = sech(Z) вычисляет гиперболический секанс от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций секанса используются следующие соотношения:

sec(z) = 1/cos(z);
sech(z) = 1/cosh(z).

ASEC, ASECH — функции обратного секанса

V = asec(Z)
V = asech(Z)

Функция V = asec(Z) вычисляет обратную функцию секанса от значений элементов массива Z.

Функция V = asech(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического секанса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного секанса используются следующие соотношения:

arcsec(z) = arccos(1/z);
arsech(z) = arcosh(1/z).

TAN, TANH — функции тангенса

V = tan(Z)
V = tanh(Z)

Функция V = tan(Z) вычисляет тангенс от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет гиперболический тангенс от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций тангенса используются следующие соотношения:

ATAN, ATAN2, ATANH — функции обратного тангенса

V = atan(Z)
V = atan2(Y, X)
V = atanh(Z)

Функция V = atan(Z) вычисляет обратную функцию тангенса от значений элементов массива Z.

Функция V = atan2(Y, X) вычисляет обратную функцию тангенса от значений элементов двух связанных действительных массивов Y и X. Если массивы оказались комплексными, берутся их действительные части. Углы V вычисляются с учетом знаков Y и X и определены в интервале — p

Функция V = atanh(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического тангенса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного тангенса используются следующие соотношения:

arctg(z) = -i arth(iz);

COT, COTH — функции котангенса

V = cot(Z)
V = coth(Z)

Функция V = csc(Z) вычисляет котангенс от значений элементов массива Z.

Функция V = sinh(Z) вычисляет гиперболический котангенс от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций косеканса используются следующие соотношения:

ctg(z) = 1/tg(z);
cth(z) = 1/th(z).

ACOT, ACOTH — функции обратного котангенса

V = acot(Z)
V = acoth(Z)

Функция V = acsc(Z) вычисляет обратную функцию котангенса от значений элементов массива Z.

Функция V = acsch(Z) вычисляет обратную функцию гиперболического котангенса от значений элементов массива Z.

Массив Z допускает комплексные значения; углы V измеряются в радианах.

Для вычисления функции от матрицы следует применять специальную функцию funm.

Для вычисления функций обратного котангенса используются следующие соотношения:

arсth(z) = ;
arcctg(z) = i arcth(iz).

Преобразования системы координат

CART2POL — преобразование декартовой системы координат в полярную и цилиндрическую

[TH, R] = CART2POL(X, Y)
[TH, R, Z] = CART2POL(X, Y, Z)

Функция [TH, R] = CART2POL(X, Y) преобразует точки декартовой системы координат в точки полярной системы координат. Размеры массивов X и Y должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Функция [TH, R, Z] = CART2POL(X, Y, Z) преобразует точки трехмерной декартовой системы координат в точки цилиндрической системы координат. Размеры массивов X, Y и Z должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

r = sqrt(x.^2 + y.^2);
th = atan2(y, x).

CART2SPH — преобразование декартовой системы координат в сферическую

[AZ, EL, R] = CART2SPH(X, Y, Z)

Функция [AZ, EL, R] = CART2SPH(X, Y, Z) преобразует точки трехмерной декартовой системы координат в точки сферической системы координат. Размеры массивов X, Y и Z должны быть согласованы. Углы AZ, EL измеряются в радианах.

Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

r = sqrt(x.^2 + y.^2 + z.^2);
elev = atan2(z, sqrt(x.^2 + y.^2));
az = atan2(y, x).

POL2CART — преобразование полярной и цилиндрической систем координат в декартову

[X, Y] = POL2CART(TH, R)
[X, Y, Z] = POL2CART(TH, R, Z)
Описание:

Функция [X, Y] = POL2CART(TH, R) преобразует точки полярной системы координат в точки декартовой системы координат. Размеры массивов X и Y должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Функция [TH, R, Z] = CART2POL(X, Y, Z) преобразует точки цилиндрической системы координат в точки трехмерной декартовой системы координат. Размеры массивов X, Y и Z должны быть согласованы. Угол TH измеряется в радианах.

Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

x = r.*cos(th);
y = r.*sin(th);
z = z;

SPH2CART — преобразование сферической системы координат в декартову

[AZ, EL, R] = CART2SPH(X, Y, Z)

Функция [AZ, EL, R] = CART2SPH(X, Y, Z) преобразует точки трехмерной декартовой системы координат в точки сферической системы координат. Размеры массивов X, Y и Z должны быть согласованы. Углы AZ, EL измеряются в радианах.

Для вычисления используются следующие формулы преобразования:

z = r .* sin(elev);
x = r .* cos(elev) .* cos(az);
y = r .* cos(elev) .* sin(az).

Специальные функции

BESSEL — функции Бесселя

J = bessel(alpha, X)

Линейное дифференциальное уравнение вида

где a — неотрицательная величина, называется уравнением Бесселя, а его решения известны как функции Бесселя.

Для вычисления функций Бесселя разработан набор M-файлов, обеспечивающий высокую точность их вычисления для действительных значений аргумента:

• besselj(alpha, X) — функция Бесселя первого рода J a (x);
• bessely(alpha, X) — функция Бесселя второго рода Y a (x);
• besseli(alpha, X) — модифицированная функция Бесселя первого рода I _a (x);
• besselk(alpha, X) — модифицированная функция Бесселя второго рода K _a (x).

Сохранена также функция [J, digits] = bessela(alpha, Z), которая допускает комплексные значения аргумента и позволяет получать оценку количества правильных цифр результата. Значение digits, равное 14 или 15, соответствует максимальной точности IEEE- или VAX-арифметик; однако значение digits, равное единице или двум, означает, что результату доверять нельзя. Для значений alpha и x, не превышающих 50, количество точных цифр по крайней мере 8. На плоскости (alpha, x) область наименьшей точности расположена вблизи прямой alpha = x, так что малые alpha и большие x, и наоборот, дают более точные значения.

Функция J = bessel(alpha, X) вызывает:

• функцию besselj(alpha, X), если X — массив действительных чисел;
• функцию besseli(alpha, X), если X — массив чисто мнимых чисел;
• функцию bessela(alpha, Z), если Z — массив комплексных чисел.

Примеры:

Функция besselj(3:9, (10:.2:20)’) генерирует таблицу размера 51 х 7, воспроизведенную на стр. 400 работы [1];

функция bessely(3:9,(10:.2:20)’) генерирует таблицу размера 51 х 7, воспроизведенную на стр. 401 работы [1];

функция besseli(3:9, [0:.2:9.8 10:.5:20], 1) генерирует таблицу размера 71 х 7, воспроизведенную на стр. 423 работы [1];

функция besselk(3:9, [0:.2:9.8 10:.5:20], 1) генерирует таблицу размера 71 х 7, воспроизведенную на стр. 424 работы [1].

Оценим точность вычисления функции Бесселя для разных значений alpha и x.

Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965.

BETA, BETACORE, BETAINC, BETALN — бета-функции

B = beta(p, q)
B = betacore(x, p, q)
I = betainc(x, p, q)
y = betaln(p, q)

Полная бета-функция B = beta(p, q) определяется следующим образом [2]:

Неполная бета-функция B = betainc(p, q) определяется так [2]:

Для ее вычисления используется вспомогательная функция betacore(x, p, q).

Функция y = betaln(p, q) представляет натуральный логарифм полной бета-функции B = beta(p, q). Поскольку бета-функция изменяется в широких пределах, знание ее логарифма может оказаться более предпочтительным. Вычисление функции ln(B) реализуется без вычисления функции beta(p, q).

Если p и q — массивы, то их размеры должны быть согласованы.

betaln(p, q) = gammaln(p) + gammaln(q) — gammaln(p + q)
beta(p, q) = exp(betaln(p, q))

Пример:

formt rar
beta((1:10)’, 3)
ans =

0/0

1/3

1/12

1/30

1/60

1/105

1/168

1/252

1/360

1/495

1/660

В данном случае при целочисленных аргументах

beta(n, 3) = (n — 1)! * 2!/(n + 2)! = 2/((n * (n + 1) * (n + 2))

и представляет собой отношение двух сравнительно небольших целых чисел, так что представление результата в формате format rat оказывается точным.

Для x = 510 betaln(x, x) = -708.8616, что для компьютеров с IEEE-арифметикой немного меньше, чем log(realmin) = -708.3964, так что при вычислении функции beta(x, x) следует проявлять осторожность.

1. Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

ELLIPJ — эллиптические функции Якоби

[sn, cn, dn] = ellipj(m, phi)

функция j = am(z) называется амплитудой, функция sn(z) — синусом амплитуды, функция cn(z) — косинусом амплитуды, и dn(z) — дельтой амплитуды.

Эти эллиптические функции Якоби связаны между собой следующим образом [1, 2]:

sn(z) = sin( j ),
cn(z) = cos( j ),
dn(z) = (1 — m sn(z)) 1/2 .

Функция [sn, cn, dn] = ellipj(m, phi) вычисляет эллиптические функции Якоби sn, cn, dn для заданных значений m и phi, которые могут быть как скалярами, так и массивами, но обязательно одинаковых размеров.

Ограничения:

Входной параметр m должен принадлежать диапазону 0

1. Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1968. 720 с.

ELLIPKE — полные эллиптические интегралы

K = ellipke(m)
[K, E] = ellipke(m)

Полные эллиптические интегралы первого и второго рода определяются следующим образом [1, 2]:

Ограничения:

Входной параметр m должен принадлежать диапазону 0

1. Abramovitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, Applied Math. Series #55. Dover Publications, 1965
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1968. 720 с.

ERF, ERFCORE, ERFC, ERFCX, ERFINV — функции ошибок

y = erf(x)
y = erfc(x)
y = erfcx(x)
x = erfinv(y)

Функция ошибки erf(x) определяется следующим образом [2]:

Функция y = erfc(x) задается соотношением

erfc(x) = = 1 — erf(x).

Функция y = erfcx(x) определяется так:

Для вычисления этих функций используется вспомогательная функция erfcore(x, n). При этом справедливо

erf(x) = erfcore(x, 0);
erfc(x) = erfcore(x, 1);
erfcx(x) = erfcore(x, 2).

Алгоритм основан на работе [1] и представляет собой переработанную с языка FORTRAN программу из раздела NETLIB/SPECFUN, написанную W. J. Cody (Argonne National Laboratory, March 19, 1990).

1. Cody W. J. Rational Chebyshev approximations for the error function//Math. Comp., 1969. P. 631-638.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1968. 720 с.

GAMMA, GAMMAINC, GAMMALN — гамма-функции

y = gamma(a)
y = gammainc(x, a)
y = gammaln(a)

Гамма-функция gamma(a) определяется следующим образом [2]:

Неполная гамма-функция gammainc(x, a) задается соотношением

gammainc(x, a) = P(x, a) = .

Логарифмическая гамма-функция определяется так:

gammaln(a) = ln G(a).

Алгоритм основан на работе [1] и представляет собой переработанную с языка FORTRAN программу из раздела NETLIB/SPECFUN, написанную W. J. Cody (Argonne National Laboratory, October 12, 1989).

1. Cody W. J. An Overview of Software Development for Special Functions//Lecture Notes in Mathematics. Berlin, 1976. Vol. 506.
2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.:Наука, 1968. 720 с.