Числа Фибоначчи
Ряд чисел Фибоначчи представляет собой последовательность. Первый и второй элементы последовательности равны единице. Каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Рассмотрим разные способы нахождения элементов по номеру и генерацию списка с помощью Python 3.
Введение
Расчет ряда чисел Фибонначчи – один из лучших примеров программ на Python, использующих рекурсию. Хотя наиболее частый пример, рекурсии – это расчет факториала.
Рассмотрим варианты получения ряда Фибоначчи на Python 3:
- С помощью рекурсии.
- Используя оператор цикла.
Также сгенерируем список чисел и создадим генератор с помощью которого можно поочередно получать числа.
Цикл
Будем искать с помощью цикла for. В переменных prew и cur будут предыдущий элемент последовательности и текущий, их проинициализируем в 1. Если пользователь запросит первый или второй элемент, то мы так и не попадём внутрь тела цикла. И будет выведена единица из переменной cur .
Если же запросят 3-ий или какой либо последующий элемент последовательности Фибоначчи, то мы зайдем в цикл. Во временную переменную tmp сохраним следующее число последовательности. После этого заполним prew и cur новыми значениям. Когда пройдет нужное количество итераций, выведем значение cur в консоль.
prew = cur = 1 element = input('Введите номер искомого элемента : ') element = int(element) for n in range(int(element-2)): tmp = prew + cur prew = cur cur = tmp print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(cur)) Введите номер искомого элемента : 6 6 элемент последовательности равен 8
В предыдущем коде нам пришлось воспользоваться переменной tmp . Но можно код внутри цикла переписать следующим образом:
prew, cur = cur, prew + cur
Теперь вместо трех строк кода получилась одна строка! И пропала необходимость использования дополнительной переменной.
В этом примере мы использовали цикл for , но можно эту программу реализовать, немного изменив код, с помощью цикла while .
Рекурсия
В случае с рекурсией напишем функцию, аргументом которой будет требуемое число ряда Фибоначчи. Текущему значению последовательности cur вначале присвоим 1. После этого воспользуемся условным оператором языка Python – if . В нем проверим аргумент функции. Если он больше 2, то функция вызовет саму себя и вычислит предыдущее значение ряда, а так же то, которое было еще раньше и запишет в переменную cur их сумму.
def fibonacci(n): cur = 1 if n > 2: cur = fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) return cur element = input('Введите номер искомого элемента : ') element = int(element) value = fibonacci(element) print(str(element)+' элемент последовательности равен ' + str(value))
Конечно, пример с рекурсией интересен. Но он будет работать гораздо медленнее.
А если вы решите вычислить, допустим 1000-ый элемент последовательности. Используя цикл, мы его очень быстро рассчитаем. А вот в случае с рекурсией получим ошибку превышения максимального количества рекурсий:
RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison
Генератор списка
Если мы захотим инициализировать список рядом Фибоначчи, то это можно сделать следующим образом:
def fibonacci(n): a, b = 1, 1 for i in range(n): yield a a, b = b, a + b data = list(fibonacci(10)) print(data) [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]
Здесь fibonacci(10) это генератор объекта ряда размерностью 10. При каждом последующем вызове он будет с помощью yield возвращать очередной элемент. Мы создаём из него список. Затем выводим список в консоль с помощью функции print .
Если нам надо будет поочередно получать числа ряда, а не держать в памяти сразу весь список, то можно поступить следующим образом:
def fibonacci(): a, b = 1, 1 while True: yield a a, b = b, a + b gen = fibonacci() for i in range(5): print(next(gen)) 1 1 2 3 5
Здесь мы создали с помощью Python 3 генератор чисел Фибоначчи. При помощи функции next мы получаем поочередно числа ряда.
Числа Фибоначчи: циклом и рекурсией
Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.
Иногда ряд начинают с нуля.
В данном случае мы будем придерживаться первого варианта.
Вычисление n-го числа ряда Фибоначчи с помощью цикла while
Присвоим переменным fib1 и fib2 значения двух первых элементов ряда, то есть единицы.
Получим от пользователя номер элемента, значение которого требуется вычислить. Присвоим номер элемента переменной n .
Поскольку значения первых двух элементов ряда Фибоначчи нам уже известны и вычисления начинаем с третьего, количество проходов по телу цикла должно быть на 2 меньше значения n , то есть n — 2 .
Если пользователь вводит 1 или 2, тело цикла ни разу не выполняется, на экран выводится исходное значение fib2 .
- Сложить fib1 и fib2 , присвоив результат переменной для временного хранения данных, например, fib_sum .
- Переменной fib1 присвоить значение fib2 .
- Переменной fib2 присвоить значение fib_sum .
После окончания работы цикла вывести значение fib2 на экран.
fib1 = 1 fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) i = 0 while i n - 2: fib_sum = fib1 + fib2 fib1 = fib2 fib2 = fib_sum i = i + 1 print("Значение этого элемента:", fib2)
Пример выполнения программы:
Номер элемента ряда Фибоначчи: 10 Значение этого элемента: 55
Компактный вариант кода:
fib1 = fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) - 2 while n > 0: fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 n -= 1 print("Значение этого элемента:", fib2)
Вывод ряда чисел Фибоначчи с помощью цикла for
В данном случае выводится не только значение искомого элемента ряда Фибоначчи, но и все числа до него включительно. Для этого вывод значения fib2 помещен в цикл.
fib1 = fib2 = 1 n = int(input()) print(fib1, fib2, end=' ') for i in range(2, n): fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 print(fib2, end=' ')
10 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
Рекурсивное вычисление n-го числа ряда Фибоначчи
- Если n = 1 или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
- Во всех остальных случаях вызвать эту же функцию с аргументами n — 1 и n — 2. Результат двух вызовов сложить и вернуть в вызывающую ветку программы.
def fibonacci(n): if n in (1, 2): return 1 return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) print(fibonacci(10))
Допустим, n = 4. Тогда произойдет рекурсивный вызов fibonacci(3) и fibonacci(2). Второй вернет единицу, а первый приведет к еще двум вызовам функции: fibonacci(2) и fibonacci(1). Оба вызова вернут единицу, в сумме будет два. Таким образом, вызов fibonacci(3) возвращает число 2, которое суммируется с числом 1 от вызова fibonacci(2). Результат 3 возвращается в основную ветку программы. Четвертый элемент ряда Фибоначчи равен трем: 1 1 2 3.
X Скрыть Наверх
Решение задач на Python
Числа Фибоначчи в языке программирования Python: как произвести расчет
Цикл «for» в Python позволяет вывести не только конкретное число Фибоначчи, но и все предшествующие числа, то есть целый ряд чисел. Чтобы у нас это получилось , мы вывод значения «fsum2» поместим в цикл.
Как это реализуется:
fnum1 = fnum2 = 1
n = intput (“Введите номер числа Фибоначчи: “)
n = int(n)
print (fnum1, fnum2, end= )
for i in range(2, n):
fnum1, fnum2 = fnum2, fnum1 + fnum2
print(“Ряд чисел Фибоначчи до указанного номера: “, fnum2, end= )
Программа нам выдаст следующий результат:
Введите номер числа Фибоначчи: 13
Ряд чисел Фибоначчи до указанного номера: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
Заключение
Числа Фибоначчи можно просчитать при помощи циклов «for» или «while». Иногда для генерации чисел используют рекурсию, однако она имеет ряд ограничений и работает медленнее, чем представленные функции.
Мы будем очень благодарны
если под понравившемся материалом Вы нажмёте одну из кнопок социальных сетей и поделитесь с друзьями.
Рекурсивный метод нахождения чисел Фибоначчи
Программа принимает на вход число членов последовательности Фибоначчи и при помощи рекурсии вычисляет все числа, входящие в эту последовательность.
Решение задачи
- Принимаем на вход число членов последовательности и записываем его в отдельную переменную.
- Это число передается в качестве аргумента в рекурсивную функцию, которая будет вычислять n -й член последовательности.
- В качестве базового условия принимаем то обстоятельство, что число членов последовательности Фибоначчи не может быть меньше единицы либо равно ей. При наступление этого условия рекурсия останавливается.
- В противном случае функция вызывается вновь следующим образом: в качестве аргумента нашей рекурсивной функции передается введенное число, уменьшенное на единицу, и к этому прибавляется эта же функция с аргументом, уменьшенным уже на 2.
- Каждый вызов функции возвращает одно число, которое мы потом выводим на экран.
Исходный код
Ниже дан исходный код, который осуществляет вывод всех членов последовательности Фибоначчи заданного размера. Результаты работы программы также даны ниже.
def fibonacci(n): if (nОбъяснение работы программы
- Пользователь вводит число и оно записывается в переменную n .
- Передаем число n в качестве аргумента в рекурсивную функцию, которая вычисляет n-ый член последовательности.
- Так как первый член последовательности Фибоначчи по определению не может быть меньше 1, в качестве базового условия принимаем n
- В противном случае функция вызывается вновь следующим образом: fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2) .
- Результаты выводятся на экран при помощи цикла for .
Результаты работы программы
Пример 1: Введите число членов последовательности:5 Последовательность Фибоначчи: 0 1 1 2 3 Пример 2: Введите число членов последовательности:7 Последовательность Фибоначчи: 0 1 1 2 3 5 8Примечания переводчика
Данный пример приведен только с целью подробного ознакомления с алгоритмами рекурсии. Как вы можете заметить, данный код крайне неэффективен и не экономичен с вычислительной точки зрения, поскольку для вычисления n-го члена последовательности нам необходимо вычислять все предыдущие. И так мы делаем ровно n раз. Когда числа n являются большими, данный код абсолютно не применим. И, разумеется, для решения этой задачи есть другие, более эффективные, алгоритмы.