Как решить уравнение в mathcad prime

Например, выражение a:=1, 1.5, …10 описывает ранжированную переменную a со значениями от 1 до 10 с шагом 0,5.

Ранжированные переменные широко применяются для представления функций в виде таблиц вывода, а также для построения их графиков.

Если после некоторого выражения с ранжированной переменной поставить знак равенства, то после щелчка мышью на экране будет выведена таблица значений этого выражения. Такие таблицы называются таблицами вывода.

Необходимо учитывать следующее свойство таблиц вывода: если количество значений ранжированной переменной и, соответственно, строк в таблице вывода больше 16, то выводятся первые 16 строк. Если указатель мыши находится в пределах таблицы, то щелчок левой кнопкой мыши приводит к появлению вертикальной полосы прокрутки, позволяющей просмотреть все строки таблицы.

Помните, что задание ранжированных переменных эквивалентно заданию конечных циклов.

Примеры использования ранжированных переменных приведены на рисунке 1.1.

Рис. 1.1. Примеры использования ранжированных переменных

2. Работа с массивами

Ранжированная переменная отличается от вектора (одномерного массива) тем, что невозможно использование ее отдельных значений. При необходимости иметь доступ к каждому значению переменной со многими компонентами она должна быть задана в виде одномерного (вектора) и двумерного (матрицы) массива.

Местоположение элемента массива задается одним индексом для вектора и двумя для матрицы. Индексы могут быть только положительными целыми числами. Для ввода индекса используется знак « [ » – прямая открывающая скобка.

Для задания массивов можно либо воспользоваться командой Matrices меню Math, либо нажать комбинацию клавиш Ctrl+V, либо щелкнуть на значке с изображением шаблона матрицы. Любое из этих действий вызывает появление диалогового окна, в котором надо указать количество строк m и столбцов n в массиве. При m=1 получим вектор-столбец, а при n=1 – вектор-строку.

В отношении массивов действуют те же правила присваивания и вывода, что и для обычных переменных. В частности, с помощью оператора присваивания можно создать массив заданного размера и заданного типа без ручного заполнения шаблона (рисунок 2.1.).

Рис. 2.1 Пример создания матриц без использования шаблонов матриц

Для работы с массивами Mathcad содержит ряд операторов и функций. Ниже представлены операторы для работы с векторами и матрицами. В таблице используются следующие обозначения: V – для векторов, M – для матриц, Z – для скалярных величин.

7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В СРЕДЕ MATHCAD

Требуется решить данное уравнение или систему уравнений, т.е. найти те значения х, в которых уравнения превращаются в верное равенство.

Отыскание корней численными методами связано с несколькими задачами:

Ø Исследование существования корней в принципе, определение их количества и примерного расположения;

Ø Отыскание корней с заданной погрешностью

Всевозможные функции MathCAD нацелены на решение второй задачи, т.е. предполагается, что корни уже приблизительно локализированы. Выбор встроенных функций для решения уравнений и систем уравнений осуществляется в зависимости от специфики уравнения.

Решение одного уравнения с одним неизвестным

Рассмотрим алгебраическое уравнение f(x)=0 с одним неизвестным х, например, sin(x)=0.

Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному.

Мнемоника команды выглядит следующим образом:

root (f(x), x) или root (f(x), x, a, b),

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение; х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значе

ния переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

Приведем пример решения очень простого уравнения sin(x)=0, корни которого известны заранее (рис. 38).

Обратите внимание, что, хотя уравнение имеет бесконечное количество корней MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, х₀, лежащий наиболее близко к х = 0,5. Если задать другое начальное значение, например х = 3, то решением будет другой корень уравнения х₁ = π и т.д. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация. Это связано с особенностями выбранного численного метода, который называется методом секущих.

Если уравнение неразрешимо, то при попытке найти его корень будет выдано сообщение об ошибке. Кроме того, к ошибке или выдаче неправильного корня может привести и попытка применить метод секущих в область локального экстремума. В этом случае секущая может иметь направление, близкое к горизонтальному, выводя точку следующего приближения далеко от предполагаемого корня. Для решения таких уравнений лучше применять функцию Minerr.

Рис. 7.1. Функция Minerr

Примечание: Для решения уравнения с одним неизвестным применимы и градиентные методы, относящиеся в MathCAD к системам уравнений.

Иногда удобнее задавать не начальное приближение к корню, а интервал [а, b], внутри которого корень заведомо находится. В этом случае следует использовать функцию root с четырьмя аргументами, а присваивать начальное значение х не нуж

но. Поиск корня будет осуществлен в промежутке между а и b альтернативным численным методом (Риддера или Брента). Явный вид функции f(x) может быть определен непосредственно в теле функции root (рис. 39).

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

Ø внутри интервала [а, b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно, какой именно;

Ø значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти. Например, уравнение х 2 +1=0, имеющее два чисто мнимых корня, решается два раза с разными начальными значениями (рис. 40).

При задании начального значения 0,5 численный метод отыскивает первый корень (отрицательную мнимую единицу –i), а при начальном значении –0,5 находится и второй корень i.

Для решения этого уравнения второй вид функции root (с четырьмя, а не с двумя аргументами) неприменим, поскольку f(х) является положительно определенной, и указать интервал, на границах которого она имела бы разный знак, невозможно.

Нахождение корней полинома

Если функция f(x) является полиномом, то все его корни можно определить, использую встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root.

Например, найдем корни полинома четвертой степени f(x)=х 4 -6х 3 +12х 2 -10х+3 с

помощью функции polyroots (рис. 41).

Рис. 7.2. Функция Polyroots

Запишем коэффициенты рассматриваемого в примере полинома в виде вектора. Первым в векторе должен идти свободный член полинома, вторым – коэффициент при х 1 и т.д. Соответственно, последним n+1 элементом вектора должен быть коэффициент при старшей степени x N .

Совет: Иногда исходный полином имеется не в развернутом виде, а, например, как произведение нескольких полиномов. В этом случае определить все его коэффициенты можно, выделив его и выбрав в меню Symbolics (Символика) пункт Expand (Разложить). В результате символьный процессор MathCAD сам преобразует полином в нужную форму, пользователю надо будет только корректно ввести ее в аргументы функции polyroots.

Далее показано действие функции polyroots. Обратите внимание, что численный метод вместо двух из трех действительных единичных корней (иными словами, кратного корня 1) выдает два мнимых числа. Однако малая мнимая часть этих корней находится в пределах погрешности, определяемой константой TOL, и не должна вводить пользователей в заблуждение. Просто нужно помнить, что корни полинома могут быть комплексными, и ошибка вычислений может сказываться как на действительной, так и на комплексной части искомого корня.

Для функции polyroots можно выбрать один из двух численных методов – метод полиномов Лаггера (он установлен по умолчанию) или метод парной матрицы.

Решение системы линейных алгебраических уравнений

Рассмотрим систему уравнений вида

В матричной форме СЛАУ записывается в эквивалентном виде:

где А – матрица коэффициентов СЛАУ размерности n×n; x – вектор неизвестных; В – вектор правых частей уравнений.

СЛАУ имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т. е. ее определитель не равен нулю. С вычислительной точки зрения, решение СЛАУ не представляет трудностей, если матрица А не очень велика.

В MathCAD СЛАУ можно решить как в более наглядной форме (1), так и в более удобной для записи форме (2). Для первого способа следует использовать вычислительный блок Given/Find, а для второго – встроенную функцию решения системы линейных уравнений lsolve. Мнемоника написания команды следующая:

где А – матрица коэффициентов системы; В – вектор правых частей.

Применение функции lsolve показано на рис. 42.

В некоторых случаях, для большей наглядности представления СЛАУ, его можно решить точно так же, как систему нелинейных уравнений. Не забывайте, что при численном решении всем неизвестным требуется присвоить начальные значения (это сделано в первой строке листинга) (рис. 43). Они могут быть произвольными, так как решение СЛАУ с невырожденной матрицей единственно.

Решение системы нелинейных уравнений

Рис. 7.4. Решение системы

Рассмотрим решение системы N нелинейных уравнений с m неизвестными

Здесь f_i(x₁, … , x_m) – некоторые скалярные функции от скалярных переменных x₁, x₂, …, х_m и, возможно, от еще каких-либо переменных. Уравнений может быть как больше, так и меньше числа переменных. Заметим, что систему можно формально переписать в виде f(x)=0, где х – вектор, составленный из переменных x₁, x₂, …, х_m; f(x) – соответствующая векторная функция.

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

1) Given – ключевое слово;

2) Система, записанная логическими операторами в виде равенств и, возможно, неравенств;

3) Find (х₁, …, х_m) – встроенная функция для решения системы относительно переменных х₁, …, х_m.

Вставлять логические операторы следует, пользуясь панелью инструментов Boolean (Булевы операторы). Если вы предпочитаете ввод с клавиатуры помните, что логический знак равенства вводится сочетанием клавиш + . Блок Given/Find используется для поиска решения итерационные методы, поэтому, как и для функции root, требуется задать начальные значения для всех х₁, …, х_m. Сделать это необходимо до ключевого слова Given. Значение функции Find есть вектор, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора

Find равно числу аргументов.

В листинге (рис 44) приведен пример решения системы двух уравнений.

В первой строке листинга переменным х и у, относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два логических оператора, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, содержащая вектор решения. Первый элемент вектора есть первый аргумент функции Find, второй элемент – ее второй аргумент.

Совет: Часто бывает очень полезно проверить точность решения уравнений, вычислив значения образующих их функций в найденных вычислительным процессором корнях.

Рис. 7.6. Точность

В листинге найдено только одно из двух решений – находящееся в правой нижней части графика (рис. 45). Чтобы отыскать и второе решение, следует повторить вычисления, изменив начальные значения так, чтоб они лежали ближе к другой точке пересечения графиков, например, х=–1, y=–1.

Пока мы рассмотрели пример системы из двух уравнений и таким же числом

неизвестных, что встречается наиболее часто. Но число уравнений и неизвестных может и не совпадать. Более того, в вычислительный блок можно добавить дополнительные условия в виде неравенств. Например, введение ограничения на поиск только отрицательных значений х (рис. 46).

Рис. 7.7. Ограничение на поиск

Обратите внимание, что, несмотря на те же начальные значения, что и в предыдущем листинге мы получили другой корень. Это произошло именно благодаря введению дополнительного неравенства, которое определено в блоке Given в предпоследней строке.

Если предпринять попытку решить несовместную систему, MathCAD выдаст сообщение об ошибке, гласящее, что ни одного решения не найдено, и предложение попробовать поменять начальные значения или значение погрешности.

Примечание: Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Другая константа TOL определяет условие прекращения итераций численным алгоритмом. Значение CTOL может быть задано пользователем, так же как и TOL, например, CTOL:=0,01. По умолчанию принято, что CTOL=TOL=0,001, но по желанию можно переопределить их.

Рис. 7.8. Переопределение

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рас

смотренным в данном разделе примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа возвращаемого функцией Find (рис 47).

Символьное решение уравнений

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение уравнений с применением вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости. Рассмотрим листинги символьного решение уравнения с одним неизвестным и системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Как видно, вместо знака равенства после функции Find в листингах (рис. 48) следует знак символьных вычислений, который можно ввести с панели Symbolic, или, нажав клавиши +<.>.

Рис. 7.9. Пример вычисления

Не забывайте, что сами уравнения должны иметь вид логических выражений, т.е. знаки равенства нужно вводить с помощью панели Booleans (Булевы операторы). Обратите внимание, что во втором листинге вычислены как два первых действительных корня, которые мы уже находили численным методом, так и два других мнимых корня. Эти два последних корня чисто мнимые, так как множитель

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Как в mathcad prime решить систему уравнений

БлогNot. MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями

MathCAD: решаем основные типы дифференциальных уравнений встроенными функциями

Решать дифференциальные уравнения (далее ДУ) в MathCAD, составляя собственные подпрограммы-функции не всегда удобно и экономично по времени, хотя и полезно на этапе обучения. Опишем в этой заметке способы решения основных типов ДУ с помощью стандартных средств пакета, ограничимся простыми примерами.

1. ДУ с разделяющимися переменными. Общая постановка задачи: y’=f(x,y)=g(x)*h(y) , y(x0)=y0 . То есть, f(x,y) допускает представление в виде произведения функций от x и от y .

Для решения уравнения достаточно задать его правую часть как пользовательскую функцию MathCAD, определить интервал поиска решения [x0,x1] , начальное условие y0 и применить стандартную функцию Odesolve . Покажем этот процесс на примере уравнения y’=2x-y+x 2 , x∈[0,2] , y(0)=0 с известным решением y(x)=x 2 :

Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Знак «равно» в записи уравнений, конечно же, жирный (панель Boolean или сочетание клавиш Ctrl+=).

Функция Odesolve вернула именно функцию y , её нужно смотреть от аргумента, например, y(1)= .

И ещё 2 особенности:

Зная точное решение, графически сравним с ним найденное решение. Как видно на графике, MathCAD справился с задачей отлично.

Графики полученного и точного решения совпадают

2. Неоднородное ДУ первого порядка. В общем виде такое уравнение можно записать как y’=a(x)*y+b(x) . Оно решается аналитически по формуле, которую можно найти в любой книге по решению обыкновенных ДУ:

Формула для решения неоднородного ДУ первого порядка

Здесь С – константа интегрирования. Остаётся применить формулу к конкретному уравнению (возьмём для примера задачу y’+2xy=x*e -x 2 sin(x) , y(0)=1 ) и оценить её символьно:

Аналитическое решение неоднородного ДУ первого порядка в MathCAD

Здесь мы получаем решение в общем виде. Нижний оператор оценён символьно (см. панель «Символика»), а аргумент t используется, так как x в документе «уже занят» (для корректной работы символьной оценки переменные не должны быть определены заранее).

После подстановки начального условия получим частное решение y(t,Y₀) , а для проверки решения будет достаточно подставить полученную функцию в исходное уравнение и упростить его символьной функцией simplify . Полученный результат в нашем случае совпал с заданной в условии правой частью. Также для y(x,Y₀) , как и для любой функции, можно построить график на нужном интервале изменения x.

Проверка решения неоднородного ДУ первого порядка и построение графика

3. Неоднородное ДУ второго порядка. В общем виде имеем уравнение y» + p(x)*y’ + g(x)*y = f(x) плюс набор краевых условий, количество которых соответствует порядку задачи, например y(0)=. y'(0)=. или y(0)=. y(1)=.

Возьмём уравнение, которое мы мучили вот здесь, решим его стандартными средствами, сравним с известным точным решением и построим график:

Решение неоднородного ДУ второго порядка в MathCAD

Здесь при вызове Odesolve второй параметр, равный единице — это правая граница интервала, третий параметр, равный 10, задаёт количество интервалов. Точное решение u(t) взяли по ссылке. Как видим, даже на 10 интервалах всё очень хорошо совпадает.

4. Система ДУ. Подход к решению системы ДУ покажем на примере. Пусть задана система дифференциальных уравнений

x’ = a*x — y — (x 2 + y 2 )*x,
y’ = a*y + x — (x 2 + y 2 )*y,
x(0)=0, y(0)=1, a=-0.2

Чтобы решить эту систему стандартной функцией rkfixed , нужно задать для неё вектор начальных значений x = (x₀, y₀) и вектор правых частей D(t,x) .

После этого задача решится вызовом rkfixed , второй и третий параметры ( 0, 20 ) задают интервал по времени t , на котором ищется решение, четвёртый параметр 100 означает количество точек на интервале.

Функция вернёт матрицу решений системы, в которой количество строк соответствует количеству точек на интервале, а количество столбцов — количеству уравнений в системе.

Для построения графика достаточно отобразить зависимость столбцов Z_i,1 , Z_i,2 от Z_i,0 , i=0..99 :

Решение системы ДУ в MathCAD функцией rkfixed

Solve mathcad: Решение уравнений и систем уравнений в Mathcad

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “ This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 7 › Работа с символьным процессором › Решение уравнения относительно заданной переменной (Solve) [страница — 138] | Самоучители по математическим пакетам

Решение уравнения относительно заданной переменной (Solve)

Если задано некоторое выражение F(x) и отмечена переменная х, то операция Solve (Решить) возвращает символьные значения указанной переменной х, при которых F(x)==0. Это очень удобно для решения алгебраических уравнений, например квадратных и кубических, или для вычисления корней полинома. Рис. 8.13 содержит примеры решения квадратного уравнения и нахождения комплексных корней полинома четвертой степени.

Рис. 8.13. Примеры решения уравнений

Ранее отмечалось, что усложнение уравнения, например переход от квадратного уравнения к кубическому, может вызвать и существенное усложнение результата. Тогда система представляет решение в более компактном виде (но без общепринятой математической символики) и предлагает занести его в буфер обмена.

С помощью операции Paste (Вставить) в позиции Edit (Правка) главного меню можно перенести решение в основное окно системы, но оно имеет уже тип текстового комментария, а не математического выражения, пригодного для дальнейших преобразований. Впрочем, часть его можно (опять-таки с помощью буфера обмена) ввести в формульные блоки для последующих преобразований и вычислений.

Более того, форма представления результата в таком случае отличается от принятой в системе MathCAD (например, в качестве знака деления используется косая черта, для возведения в степень – составной знак

Рис. 8.14. Решение кубического уравнения в символьном виде

Последний пример наглядно иллюстрирует проблему «разбухания» результатов. Если при решении квадратного уравнения получены простые выражения, известные даже школьникам (рис. 8.13 – первый пример), то при увеличении порядка уравнения всего на единицу результат оказался представленным весьма громоздкими и малопригодными для анализа формулами. Хорошо еще, что существующими!

В случаях, подобных приведенному, пользователю надо реально оценить свои силы в упрощении решения. Это придется сделать вручную. При технических расчетах специалист нередко знает, какие из параметров решения несущественны и может отбросить их. Однако для строгих математических расчетов это не всегда возможно, поэтому даже громоздкий результат может быть весьма полезным с познавательной точки зрения.

mathcad — Translation into Russian — examples English

These examples may contain rude words based on your search.

These examples may contain colloquial words based on your search.

Here for a comparison outcomes of a package MathCad.

Вот для сравнения результаты пакета MathCad.

The idea of calculation is very easy and the same with Mathcad.

Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов.

The company became most famous for its Mathcad software, a powerful application for solving and visualizing mathematical problems.

Компания стала знаменитой благодаря разработке программы Mathcad, мощного приложения для решения и визуализации математических задач.

Mathsoft Engineering & Education continued to develop and sell its flagship Mathcad product as well as the Mathcad Calculation Server, an enterprise server for sharing technical calculations.

MathCAD — это просто! Часть 17. Снова символьные вычисления

Уже третью статью подряд мы с вами будем заниматься символьными вычислениями. Среда MathCAD, как вы сами уже имели возможность убедиться, имеет очень гибкие и мощные средства организации подобного рода вычислений. И вычисления эти в математике бывают важны и используются очень часто — именно поэтому мы с вами говорим о них столь подробно. Сегодня мы познакомимся с некоторыми новыми аспектами организации символьных вычислений в MathCAD’е, которые наверняка пригодятся вам при последующей работе с этой мощной математической средой.

Разложение на дроби

Мы уже говорили с вами о работе с дробями — точнее, о приведении суммы нескольких маленьких дробей к одной, но большой дроби. Теперь пришло время поговорить о процессе, диаметрально противоположном этому — о разложении одной дроби на сумму нескольких. Для решения этой задачи в MathCAD’е есть специальный оператор, который называется parfrac (от английского partial fraction — частные дроби). Использование этого оператора чрезвычайно простое, как, впрочем, и всех остальных операторов, которые можно найти на панели Symbolic. Достаточно, записав дробь, которую вы хотите разложить на сумму простых, затем выбрать на этой панели кнопку parfrac и указать имя переменной, для которой будет проводиться разложение. Когда вы добавите оператор parfrac, то перед ним автоматически добавится и оператор convert. Можете попробовать использовать их раздельно — уже на первой же дроби вы сможете собственноручно убедиться, что ничего ни хорошего, ни плохого из этого не выйдет — MathCAD просто не приемлет эти два оператора по отдельности.

Тот же самый результат, не используя оператор parfrac, можно получить, выбрав в меню Symbolics пункт Variable, а в нем — Convert to Partial Fraction. В этом случае, правда, если что-то нужно будет изменить в исходном выражении, операцию придется повторить, поэтому лучше все же использовать оператор parfrac.

Оператор collect

Мы уже говорили о работе со скобками в различных выражениях. Оператор collect является еще одним весьма и весьма полезным оператором, помогающим в работе со скобками — если конкретнее, то для вынесения из-за скобок общих множителей для полиномиальных выражений. Думаю, вы оцените все преимущества использования этого простого, но крайне эффективного оператора, если вам когда-нибудь будет нужно в реальных расчетах заниматься подобными вещами в практических целях.

В общем-то, конечно, кто-то может сказать (и будет, пожалуй, прав), что поиск и вынесение за скобки общего множителя — не самая трудоемкая задача, а потому особой нужды в том, чтобы напрягать для ее решения MathCAD, пожалуй, что и нет. Однако на самом деле гибкость оператора collect позволяет проводить поиск даже самых замысловатых общих множителей, что вручную все-таки бывает не всегда удобно. Способ применения оператора collect действительно предельно прост. Мы, как обычно, записываем выражение, которое нужно преобразовать, а затем ищем на привычной уже нам панели Symbolic нужный нам оператор. После запятой в качестве параметра указывается имя переменной, которую мы будем выносить за скобки. Можно указывать не отдельную переменную, а какую-то функцию либо выражение — например, синус или логарифм. Правда, вынесение общих множителей реализовано довольно своеобразно — программа работает только с одной степенью переменной. То есть, если у вас будет запись вида x2+x, то она останется неизменной после применения оператора collect по переменной x.

Коэффициенты многочленов

Иногда бывает полезно вынести коэффициенты многочлена в специальный столбец для того, чтобы потом ими оперировать. Конечно, для большинства распространенных задач полиномы не превышают третьей степени, и сделать это не так уж и сложно вручную. Однако зачем выполнять вручную то, что можно сделать одним оператором? Я думаю, вы согласитесь с тем, что это будет не слишком рациональным использованием времени, а потому имеет смысл применить оператор coeffs для того, чтобы получить готовый столбец коэффициентов. В общем-то, я думаю, вы уже догадались, как применять этот оператор. Нужно записать многочлен, а затем воспользоваться панелью Symbolic (еще раз напомню, что название оператора, который нужно в данном случае использовать, coeffs). Обращу ваше внимание на то, что столбец записывается снизу вверх от высших степеней многочлена к высшим. Также, конечно же, можно использовать именованные функции или другие выражения, которые возведены в различные степени.

Ограничения на переменные в вычислениях

Иногда при использовании символьных вычислений есть необходимость выставить определенные ограничения в вычислениях, которые могут коренным образом упростить итоговое выражение. Действительно, весьма и весьма часто при решении прикладных задач по условиям этих самых задач на переменные накладываются определенные ограничения — например, очень часто переменные можно считать неотрицательными или даже строго больше нуля. Как рассказать MathCAD’у, что переменные ограничены определенным диапазоном значений? Естественно, для этого в этом мощном математическом пакете существует специальный оператор. И имя ему — assume. Оператор assume используется вместе с остальными операторами (особенно часто в сочетании с оператором simplify). Я уже рассказывал в прошлый раз о том, как изменяется внешний вид операторов символьных вычислений в MathCAD, а потому это не должно стать для вас сюрпризом.В качестве ограничений, накладываемых на переменные, могут выступать не только минимальное и максимальное значения этой самой переменной. Для того, чтобы увидеть полный список всех возможных ограничений, нажмите на панели Symbolic кнопку Modifiers. Она, в отличие от большинства других кнопок на этой панели, не добавляет никаких новых операторов в рабочий лист MathCAD, а всего лишь показывает или прячет панель с модификаторами (modifiers) — эта панель как раз и пригодится нам для выставления различных ограничений на переменные при упрощении выражений и других символьных операциях.Как видите, модификаторов в панели не так уж много, а потому мы поговорим о каждом из них. Первый — это, как вы можете заметить, уже довольно неплохо знакомый нам с вами assume. Не буду повторяться — о его использовании я рассказывал всего парой абзацев выше. Второй по счету модификатор — это real. Поскольку MathCAD может оперировать и комплексными числами (об этой полезной возможности мы с вами еще обязательно поговорим), то местами в подобных вычислениях полезно наложить на переменную ограничение и определить ее как действительную. RealRange — третий по счету модификатор на панели Modifiers — это двустороннее ограничение на действительную переменную на определенном отрезке (то есть, обратите внимание, концы этого отрезка также попадут в область значений нашей переменной). Четвертый модификатор имеет название trig, и он обозначает переменную как тригонометрическую величину. Этот модификатор используется по сравнению с остальными совсем не часто, поскольку при работе с тригонометрическими функциями все же предпочтительнее использовать их общепринятые обозначения, которые, будучи совсем не длинными, сильно упрощают чтение проекта и уменьшают вероятность в нем запутаться. Последний модификатор, который можно найти на панели, — это модификатор integer. Он используется для задания целочисленных переменных. Используются модификаторы для указания выражений в операторе assume. То есть, например, если мы хотим указать при вычислении какого-либо символьного выражения, что переменная n у нас будет целочисленной, то мы должны записать после оператора assume следующее: n = integer. Совершенно аналогично и для всех остальных модификаторов, которые были описаны выше. Кстати, при преобразовании выражений наподобие того, что приведено на иллюстрации чуть выше, совершенно не обязательно использовать assume вместе с simplify. Если вы уберете оператор simplify, то сможете сами убедиться в том, что без него выражение будет вычислено ничуть не хуже. Правда, если пойти дальше и убрать еще и assume, оставив при этом n = integer, то MathCAD выдаст ошибку с сообщением о неверном синтаксисе команды.

Оператор float

Напоследок мы с вами поговорим о еще одном весьма полезном операторе, который, будучи оператором символьных вычислений, используется для получения конкретного результата в виде числа. Оператор float используется тогда, когда нужно получить результат символьных вычислений не в виде формулы, а в виде числа. Вполне понятно, что применять его можно исключительно в тех случаях, когда все числа в выражении заданы не в общем виде (т.е. не какими-то именованными константами), а конкретными значениями. В противном случае MathCAD ошибки не выдаст, однако использование оператора float будет напрочь лишено смысла. Для того, чтобы проиллюстрировать использование этого оператора, обратимся к примеру кубического уравнения, который рассматривался в предыдущей части нашей серии статей по MathCAD’у. Решения кубических уравнений в виде формул занимают очень много места и отличаются громоздкостью, а потому их целесообразно упрощать с помощью оператора float. Можете сравнить формульные результаты, полученные нами в прошлый раз, с тем, как они записываются с помощью этого оператора: разница, как говорится, налицо.

Думаю, синтаксис использования этого оператора вполне понятен из примера: в качестве первого параметра (до оператора) — выражение, которое нужно вычислить (в приведенном примере его, конечно, лучше опускать, потому что иначе это приводит, как показано на иллюстрации, к дублированию результата), а в качестве второго (после оператора) — точность, т.е. количество значимых цифр после запятой, остающихся после вычислений. Что ж, пока что, я так думаю, хватит на этот раз — нехорошо было бы перегружать вас, уважаемые читатели, информацией, тем более, что тема символьных вычислений в MathCAD’е явно не относится к тем, которые можно обсуждать практически бесконечно за чашкой чая или кофе. Я думаю, что те операторы, которые мы сегодня рассмотрели, наверняка пригодятся вам в повседневных буднях вычислений в MathCAD’е, и вы еще не раз будете добрым словом поминать разработчиков этого всесторонне замечательного математического пакета, предусмотревших для вас все эти возможности.

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 30 за 2008 год в рубрике soft

Решение в MathCAD

float
Численное вычисление

complex
Комплексное вычисление

assume
Символьное вычисление с некоторыми предположениями

solve
Решение уравнения (системы уравнений) относительно переменной (переменных)