Как решить дифференциальное уравнение в maple

Maple. Решение дифференциальных уравнений. Вычисления обычных и частных производных в Maple

Для начала вспомним, что для вычисления обычных и частных производных в Maple используется команда «diff» («Diff»). С её помощью можно задать дифференциальное уравнение. Например, уравнения y’ = 2x + 3, y’ = y, y’’ + y = 0 записываются так: > Diff(y(x),x)=2*x+3; > Diff(y(x),x)=y(x); > Diff(y(x),x,x)+y(x)=0;

Решение дифференциальных уравнений (часть 2)

Решает дифференциальные уравнения функция «dsolve». У этой функции два аргумента: первый — дифференциальное уравнение, второй — функцию, относительно которой решается это уравне-ние. Решим, например, уравнения y’ = 2x + 3, y’ = y, y’’ + y = 0: > dsolve(diff(y(x),x)=2*x+3, y(x)); > dsolve(diff(y(x),x)=y(x), y(x)); > dsolve(diff(y(x),x,x)+y(x)=0, y(x)); где _С1 и _С2 — произвольные постоянные.

Решение дифференциальных уравнений (часть 3)

При наличии начальных условий, они записываются через запя-тую вместе с уравнением в фигурных скобках. Решим, например, уравнения с начальными условиями: y’ = 2x + 3, y(1) = 1; y’ = y, y(0) = 2; y’’ + y = 0, y(0) = 3, y’(0) = –1: > dsolve( , y(x)); > dsolve( , y(x)); > dsolve( , y(x)); Обратите внимание на запись условия y’(0) = –1.

Научный форум dxdy

Maple 13. Решение системы дифференциальных уравнений

Здравствуйте, уважаемые Знатаки.

Прошу Вашей помощи.

Есть система дифференциальных уравнений

$arctan(b1*(diff(F(t), t)))$

и получаю ошибку Error, (in DEtools/convertsys) numeric exception: division by zero .
Поколупавшись выяснил, что ошибку вызывает .
Дальше у меня уже мозгов не хватает, что-бы как то обойти эту ошибку или решить ее.

Можит Кто, знает как выкрутится из данной ситуации.

$A(t):= a2*arctan(b2*F(t))+c2*F(t)-a1*arctan(b1*(diff(F(t), t)))*exp(-c1^2*F(t)^2);$

Рассматриваемая Вами система является системой дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Для такой системы, в задаче Коши (initial value problem, IVP) в начальный момент времени должны быть заданы не только функции, но и производные первого порядка.
2. Относительно описывает петлю Гистерезиса и работает правильно (с соответствующими коэффициентами аппроксимации).

Еще проверил раз составлиную систему — составлено верно.

И . что-то тогда совсем не понятно!

Таким образом, имеем систему двух дифференциальных уравнений второго порядка вида $f_1$ не совпадает с $f_2$ . Maple численно решение задачи Коши для такой системы не найдет.

$\TeX$

Для существования решения должно выполняться
!).

Спасибо.
Я, в вышей математике, почти ни чего не понимаю. Вот и пытаю разобраться на форумах что куда и зачем. Понимая, что в сети находятся очень толковые люди.
По поводу составления уравнений из схемы замещения то они (уравнения) составлены верно (проверено не тока мною).
И как полученные выражения дальше применить?! Как еще одно выражение использовать.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Примеры решения задачи в Maple Численные методы решения ОДУ

Проинтегрируем выписанное уравнение

. (5.2)

Процедура последовательных приближений метода Пикара реализуется согласно следующей схеме

, (5.3)

Пример . Решить методом Пикара уравнение

Решение этого уравнения не выражается через элементарные функции.

Видно, что при ряд быстро сходится. Метод удобен, если интегралы можно взять аналитически.

Докажем сходимость метода Пикара. Пусть в некоторой ограниченной

области правая частьнепрерывна и, кроме того, удовлетворяет условию Липшица по переменнойт.е.

где — некоторая константа.

В силу ограниченности области имеют место неравенства

Вычтем из (5.3) формулу (5.2), получим для модулей правой и левой

Окончательно, используя условие непрерывности Липшица, получим

, (5.4)

где — погрешность приближенного решения.

Последовательное применение формулы (5.4) при дает следующую цепочку соотношений при учете того, что

Заменяя по формуле Стирлинга, окончательно получим оценку погрешности приближенного решения

. (5.5)

Из (5.4) следует, что при модуль погрешности, т.е.

приближенное решение равномерно сходится к точному.

5.2.2. Методы Рунге-Кутта

Данные методы являются численными.

На практике применяются методы Рунге-Кутта, обеспечивающие пост-

роение разностных схем (методов) различного порядка точности. Наиболее

употребительны схемы (методы) второго и четвертого порядков. Их мы и

Предварительно введем некоторые понятия и определения. Сеткой на

отрезке называется фиксированное множество точек этого отрезка.

Функция, определенная в данных точках, называется сеточной функцией.

Координаты точек удовлетворяют условиям

Точки являются узлами сетки. Равномерной сеткой наназывается множество точек

, ,

При решении дифференциальных уравнений приближенным методом основным является вопрос о сходимости. Применительно к разностным методам традиционно более употребительно понятие сходимости при . Обозначим значения сеточной функциизначения точного решения дифференциального уравнения (5.1) в узле-(являются приближенными значениями). Сходимость приозначает следующее. Фиксируем точкуи строим совокупность сетоктаким образом, чтои(при этом). Тогда считают, что численный метод сходится в точке, если

при ,. Метод сходится на отрезке, если он сходится в каждой точке. Говорят, что метод имеет-й порядок точности, если можно найти такое число, чтопри.

Введем далее понятие невязки или погрешности аппроксимции разностного уравнения, заменяющего заданное дифференциальное уравнение, на решении исходного уравнения, т.е. невязка представляет собой результат подстановки точного решения уравнения (5.1)в разностное уравнение. Например, (5.1) можно заменить следующим простейшим разностным уравнением

, .

Тогда невязка определится следующим выражением

Приближенное решение не совпадает вообще говоря с , поэтому невязкав-ой точке не равна нулю. Вводят следующее определение: численный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение, еслипри, и имеет-й порядок точности, если.

Доказывается, что порядок точности численного метода решения дифференциального уравнения совпадает с порядком аппроксимации при достаточно общих предположениях.

Теперь перейдем к анализу схем Рунге-Кутта. Сначала обратимся к

схемам второго порядка точности.

Используя формулу Тейлора, решение дифференциального уравнения

(5.1) можно представить в виде

, (5.6)

где обозначено ,,.

Отметим, что согласно (5.1) ,.

производную следующим образом

где — пока неизвестные величины. Пусть

Обозначим приближенное значение решения в узле с номером через(именно это решение будет получаться после того, как мы ограничим ряд членами с порядком не выше второго).

Введенные здесь параметры иподлежат определению.

Разлагая правую часть в ряд Тейлора и приводя подобные члены, получим

Условием выбора параметров ипоставим близость выраже-

ния (5.7) ряду (5.6), тогда

, ,.

Один параметр остается свободным. Пусть это будет , тогда

, ,

и окончательно из (5.7) с учетом найденных отношений для и

Соотношение (5.8) описывает однопараметрическое семейство двучленных формул Рунге-Кутта.

В специальной литературе доказывается, что если непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то приближенное решение схемы (5.8) равномерно сходится к точному решению с погрешностью, т.е. схема (5.8) обладает вторым порядком точности.

В практике расчетов используют формулы (5.8) при значениях параметра ,.

Применение формулы (5.9) сводится к следующей последовательности шагов:

1. Вычисляется грубо значение функции (по схеме ломаных)

2. Определяется наклон интегральной кривой в точке ()

3. Находится среднее значение производной функции на шаге

4. Рассчитывается значение функции в ()-м узле

Данная схема имеет специальное название «предиктор — корректор».

Согласно (5.8) получаем

Задача решается посредством следующих шагов:

1. Вычисляется значение функции в половинном узле

2.Определяется значение производной в узле

3. Находится значение функции в ()-м узле

Помимо рассмотренных выше двучленных схем широкое распространение в практике расчетов имеют схемы Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Ниже даются без вывода соответствующие формулы

(5.10)

Схемы с большим числом членов практически не применяются. Пяти-

членные формулы обеспечивают четвертый порядок точности, шестичленные формулы имеют шестой порядок, но их вид весьма сложен.

Погрешности приведенных схем Рунге-Кутта определяются максималь-

ными значениями соответствующих производных.

Оценку погрешностей легко получить для частного случая правой

части дифференциального уравнения

В этом случае решение уравнения может быть сведено к квадратуре и

все схемы разностного решения переходят в формулы численного интегри-

рования. Например, схема (5.9) принимает вид

то есть имеет вид формулы трапеций, а схема (5.10) переходит в схему

представляющую собой формулу Симпсона с шагом .

Мажорантные оценки погрешности формул трапеций и Симпсона известны (см. раздел 3.2). Из (3.4) и (3.5) видно, что точность схем Рунге-Кутта достаточно высока.

Выбор той или иной из приведенных схем для решения конкретной за-

дачи определяется следующими соображениями. Если функция в

правой части уравнения непрерывна и ограничена, а также непрерывны и

ограничены ее четвертые производные, то наилучший результат достигает-

ся при использовании схемы (5.10). В том случае, когда функция

не имеет названных выше производных, предельный (четвертый) порядок

схемы (5.10) не может быть достигнут, и целесообразным оказывается

применение более простых схем.

Помимо схем Рунге-Кутта практический интерес представляют многошаговые методы, которые можно описать следующей системой уравнений

где , а- числовые коэффициенты,,.

Согласно данному уравнению расчет начинается с . В этом случае получается соотношение вида

т.е. для начала счета надо иметь начальных значений,. Эти значенияприходится вычислять каким-либо другим методом, например, методом Рунге-Кутта.

Среди многошаговых методов наиболее распространен метод Адамса, схема реализации которого следует из (5.11) при идля:

При метод Адамса оказывается явным, а при- неявным.

Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) — французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) — точное решение, — константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин — та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где — решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: — дифференциальное уравнение

Найти: значение

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при, удовлетворяющее начальному условию.

Дано: — дифференциальное уравнение

Найти: значение

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

Найдем приближенное решение данного ДУ при, для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Цель работы: сформировать у студентов представление о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у » = f (x , y ) на отрезке [ a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0) методами Пикара, Эйлера, Рунге – Кутты, Адамса; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

Метод Пикара

: у h = 0,1 методом Пикара с шагом h .

В отчете представить: ход работы, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения.

1. Вводим данные (рис. 5.1)

a = 1,7 b = 2,7

y 0 = 5,3 i = 0..n

Рис.5.1. Задание исходных данных

2. Задаем функцию, возвращающую значения первой производной по переменной у (рис.5.2).

f derive(y ) =

Рис.5.2. Функция, возвращающая значение первой производной функции

3. Составим функцию, возвращающую решение ДУ методом

Пикара. Здесь: f – исходнаяфункция; f deriv –

Производная функции по у ; a ,b – концы отрезка; h – шаг; у 0 –

начальное значение переменной у .

4. Найдем решение ДУ методом Пикара (рис. 5.3).

fnPikan(fn, fn derive, a, b, h, y0)=

Рис. 5.3. Задание функции, возвращающей решение ДУ

методом Пикара (файл fnPikar.mcd)

fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =

7,78457519486·10 -11
5,3
5,46340155616
5,62650688007
5,78947945853
5,95251650231
6,11584391144
6,27971330675
6,44440084325
6,61020759752
6,77746140952
6,94652015221

Рис. 5.4. Нахождение численного решения ДУ методом Пикара

Метод Эйлера и его модификации

у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагами h и h /2.

Ход решения задачи по методу Эйлера приведен на рис. 5.5 – 5.7.

а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

Рис5.5. Фрагмент рабочего листа Маthcad с решением

уравнения методом Эйлера с шагом h и h /2 и графической

визуализацией метода Эйлера.

1. Составим программу, реализующую метод Эйлера(рис.

Рис.5.6. Листинг программы, реализующий метод Эйлера

2. Получим решение ДУ методом Эйлера(рис. 5.7.).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Рис. 5.7. Нахождение численного решения ДУ методом Эйлера

Функцию, возвращающую решение ДУ усовершенствованным методом Эйлера, составить самостоятельно.

Рис. 5.8. Решение ДУ усовершенствованным методом

Эйлера с шагами h и h /2

5.3. Метод Рунге – Кутты

На практике наиболее часто используют метод Рунге – Кутты четвертого порядка.

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Рунге – Кутты четвертого порядка с шагом h и 2h .

В отчете представить: ход работы, программу функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

1. Вводим данные задачи (рис. 5.9).

a = 1,7 b = 2,7

Рис.5.9. Задание исходных данных

2. Составим функцию, возвращающую решение ДУ первого порядка методом Рунге – Кутты. Здесь: fn – заданная функция; a , b – концы отрезка; h – шаг; y 0 – начальное значение функции.

3. Найдем решение ДУ первого порядка, используя встроенные функции Mathcad (рис. 5.10).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Рис. 5.10. Листинг функции, возвращающей численное

решение ДУ методом Рунге–Кутты

Метод Адамса

Решить задачу Коши для ДУ на отрезке при заданном НУ у (1,7) = 5,3 и шаге интегрирования h = 0,1 методом Адамса с шагом h .

В отчете представить: ручной счет, программу – функцию, погрешность, графическую иллюстрацию решения и оценку погрешности приближения.

1. Найдем первые четыре числа по формуле Рунге–Кутты (рис. 5.11).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Рис. 5.11. Вычисление первых четырех значений численного решения по формуле Рунге–Кутты

2. Составим функцию, реализующую метод Адамса (рис. 2.10.3). Здесь a , b – концы отрезка; y 1 – начальное значение функции; h – шаг.

Рис. 5.12. Функция, возвращающая численное решение

ДУ методом Адамса

3. Графическая иллюстрация решения ДУ разными методами представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.13. Визуализация решения ДУ разными методами

Вопросы по теме

1. Что значит – решить задачу Коши для ДУ первого порядка?

2. Графическая интерпретация численного решения ДУ.

3. Какие существуют методы решения ДУ в зависимости от

формы представления решения?

4. В чем заключается суть принципа сжимающих

5. Рекуррентная формула метода Пикара.

6. В чем заключается суть метода ломаных Эйлера?

7. Применение, каких формул позволяет получить значения

искомой функции по методу Эйлера?

8. Графическая интерпретация метода Эйлера и

усовершенствованного метода Эйлера. В чем их отличие?

9. В чем заключается суть метода Рунге–Кутты?

10. Как определить количество верных цифр в числе,

являющемся решением ДУ методом Эйлера,

усовершенствованного метода Эйлера, Пикара, Рунге–

Задание к лабораторной работе № 5

Решить задачу Коши для ДУ y ’ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном НУ у (а ) = с и шаге интегрирования h (исходные параметры заданы в табл. 2.10.1):

1) методом Эйлера и усовершенствованным методом Эйлера с шагом h и h /2;

2) методом Рунге–Кутты с шагом h и 2h ;

3) методом Адамса;

4) методом Пикара.

Решение должно содержать: ход работы, программу метода, графическое решение уравнения и оценка погрешности приближения. В числах оставлять 5 цифр после запятой.

Таблица 5.1. Варианты заданий для выполнения самостоятельной работы

№	f(x , y )	[a , b ]	y 0	h
3х 2 + 0,1ху	у (0) = 0,2	0,1
0,185(x 2 + cos(0,7x )) + 1,843y	у (0,2) = 0,25	0,1
у (1,6) = 4,6	0,1
у (0,2) = 1,1	0,1
у (1,4) = 2,5	0,1
у (1,7) = 5,3	0,1
у (2,6) = 3,5	0,2
у (2) = 2,3	0,1
1,6 + 0,5y 2	у (0) = 0,3	0,1
у (1,8) = 2,6	0,1
у (2,1) = 2,5	0,1
e 2x + 0,25y 2	у (0) = 2,6	0,05
[- 2; -1]	у (-2) = 3	0,1
0,133·(x 2 + sin(2x )) + 0,872y	у (0,2) = 0,25	0,1
sin(x + y ) +1,5	у (1,5) = 4,5	0,1
у (0,4) = 0,8	0,1
2,5x + cos(y + 0,6)	у (1) = 1,5	0,2
cos(1,5y +x ) 2 + 1,4	у (1) = 1,5	0,1
у (1,5) = 2,1	0,05
cos y + 3x	у (0) = 1,3	0,1
cos(1,5x – y 2) – 1,3	[-1; 1]	у (-1) = 0,2	0,2
у (1,6) = 4,6	0,1
e -(y – 1) + 2x	у (0) = 0,3	0,05
1 + 2y sin x – y 2	у (1) = 0	0,1
у (0) = 0	0,1
0,166(x 2 + sin(1,1x )) + 0,883y	у (0,2) = 0,25	0,1
у (1,7) = 5,6	0,1
у (1,4) = 2,5	0,1
у (0,6) = 0,8	0,1
у (1) = 5,9	0,1
1 + 0,8y sin x — 2y 2	у (0) = 0	0,1
у (0,5) = 1,8	0,1
у (1,2) = 1,8	0,1
1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2	у (0) = 0	0,1
у (0) = 0	0,1
у (0) = 0	0,1
у (0) = 0	0,1
0,2x 2 + y 2	у (0) = 0,8	0,1
x 2 + y	у (0) = 0,4	0,1
xy + 0,1y 2	у (0) = 0,5	0,1

Основная литература :

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математические методы в

пищевой инженерии: Учебное пособие. – СПб.: «Лань», 2012. – 212 с.

Алексеев Г.В. Математические методы в инженерии: Учеб.-метод. пособие. – СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ. 2012. – 39 с.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация: учебное пособие для вузов, ГИЭФПТ, 2011, 211 с.

Макаров Е.Г. Mathcad: Учебный курс. – СПб.: Питер, 2009. — 384 с.

дополнительная литература :

Поршнев С.В.,Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. –

СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464 с.

Агапьев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Обработка экспериментальных данных: Учеб. пособие / СПбГТУ. СПб., 2001.

ГореловаГ.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel. – М.: Феникс, 2005. – 476 с.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий.-М.: Наука, 1976

Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента.-М.: Радио и связь, 1983

Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента.-М.: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессия.-М.: Финансы и статистика, 1981

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Планирование эксперимента.-Минск: БГУ, 1982

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента.-М.: Наука,1979

Фролькис В.А. Линейная и нелинейная оптимизация.-СПб. 2001. 306 с.

Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0.-СПб.: BHV,1997,384с

программное обеспечение и Интернет-ресурсы:

http://www.open-mechanics.com/journals — Процессы и аппараты пищевых производств

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm — Механика жидкости и газа, гидравлика и гидравлические машины

http://elibrary.ru/defaultx.asp — научная электронная библиотека «Elibrary»

1.Лабораторная работа №1: Теория приближенных вычислений

1.1. Абсолютная и относительная погрешности

1.2. Погрешность округленного числа

1.3. Погрешности арифметических действий

1.4. Погрешности элементарных функций

1.5. Способ границ

1.6. Обратная задача теории погрешностей

1.7. Вопросы по теме

1.8. Задания к лабораторной работе №1

2.Лабораторная работа №2:Численные методы решения

1.2. Метод касательных

1.3. Метод простой итерации

1.4. Вопросы по теме

1.5. Задания к лабораторной работе №2

3.Лабораторная работа №3: Численные методы решения систем

3.1. Метод Ньютона

3.2. Вопросы по теме

3.3. Задание к лабораторной работе №3

4.Лабораторная работа№4: Численное интегрирование

4.1. Метод прямоугольников

4.2. Метод Симпсона

4.3. Метод трапеций

4 .4. Метод Монте – Карло

4.5. Вопросы по теме

4.6. Задание к лабораторной работе №4

5. Лабораторная работа №5: Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

5.1. Метод Пикара

5.2. Метод Эйлера и его модификации

5.3. Метод Рунге – Кутты

Постановка задачи

47. Метод Пикара последовательных приближений

55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и система Maple

Книга посвящена основным разделам теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Более полно рассмотрены краевые задачи для уравнений второго порядка, особые решения уравнений и систем уравнений, а также применение групп Ли в теории уравнений. Главная ее особенность состоит в широком использовании системы Maple. Анализ многочисленных примеров демонстрирует высокую ее эффективность при исследовании и решении разнообразных задач. Основная цель книги состоит в том, чтобы показать, что использование системы Maple позволяет более глубоко изучить теорию уравнений и научиться пользоваться этой системой в решении различных задач.

Книга предназначена тем читателям, которые изучают теорию обыкновенных дифференциальных уравнений или используют их в своей практической деятельности.

Ведение . 8

Глава 1. Классификация уравнений. Определение и анализ решений . 13

1. Дифференциальные уравнения и их решения . . . . 13

1.1. Уравнения. . 13

1.2. Решение и интеграл дифференциального уравнения . 13

2. Простейшие уравнения первого порядка . 23

2.1. Уравнения с разделенными переменными . 23

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными . 27

3. Задача Коши. Классификация решений уравнений пер вого порядка . 29

3.1. Основные определения. Теоремы Пеано и Осгуда. . 30

3.2. Теорема Коши и классификация решений . 32

3,3, Зависимость решений от начальных данных. Общие и особые решения . 34

3.4. Зависимость решений от параметров . 39

3.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной . 41

Глава 2. Методы решения уравнений первого порядка . 45

1. Интегрирование простейших уравнений . . . . 45

1.1. Однородные и приводящиеся кним однородные уравнения . 46

2. Линейные однородные и неоднородные уравнения . 47

2.1. Линейные уравнения . 47

2.2. Уравнения, приводящиеся клинейным . 50

3. Уравнение Риккати . 54

3.1. Общие свойства решений . 56

4. Уравнения в полных дифференциалах . 57

4.1. Уравнения в полных дифференциалах. 57

4.2. Интегрирующий множитель . 60

5. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 67

5.1. Уравнения, не содержащие одну из переменных . 67

5.2. Общий метод введения параметра . 68

5.3. Уравнение Лагранжа . 70

5.4. Уравнение Клеро . 74

6. Анализ особых решений . . 78

6.1. c- дискриминантная кривая и ее свойства . 78

6.2. Необходимые и достаточные условия существования

особой интегральной кривой . 85

6.3. Кривая касаний и некоторые ее свойства . 89

7. Практические способы построения особых решений . . 91

8. Параметрическая форма представления плоских кривых 95

8.1. Теоремы об огибающих семейства кривых на плоскости . 97

8.2. Точки возврата огибающей . 99

Глава 3. Уравнения n-го порядка . 103

1. Линейные однородные уравнения выше первого порядка103

1.1. Общие свойства линейных однородных уравнений . 103

2. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . 109

2.1. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . 109

3. Решение линейных неоднородных уравнений выше пер вого порядка. . 114

3.1. Структура общего решения . 114

4. Применение операционного исчисления . 116

4.1. Основные определения и формулы операционного исчисления 116

4.2. Применение операционного исчисления . 121

5. Различные задачи для уравнений второго порядка . . . . . . 125

5.1. Общее решение уравнение второго порядка . 125

5.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка. Функция Грина . 125

Читать:

Как убрать скрытые символы в excel

6. Cуществование решений краевых задач. 132

6.1. Положительные и положительно определенные операторы . . . 133

6.2. Энергетические пространства . 139

6.3. Обобщенные решения краевых задач . 140

7. Собственные значения и собственные функции краевой задачи . 148

7.1. Основные свойства собственных функций и собственных значений . 149

7.2. Оценка собственных значений и собственных функций . 151

7.3. Ряды Фурье . 152

8. Аналитические решения уравнений второго порядка . . . . 154

8.2. Интегрирование уравнений с помощью.степенных рядов . 156

9. Нелинейные уравнения n-го порядка . 160

9.1. Существование решений . 160

9.2. Промежуточный интеграл . 163

9.3. Уравнения, допускающие понижение порядка . 163

9.4. Многопараметрические семейства кривых на плоскости

и в пространстве . 168

10. Огибающие семейства поверхностей с двумя парамет рами . 170

10.2. Огибающие поверхности . 171

10.1. Неявно заданные двупараметрические семейства поверхностей. 173

Глава 4. Частные и общие решения систем линейных уравнений . 177

1. Системы линейных уравнений . 177

1.1. Основные понятия и определения . 177

1.2. Теорема Коши для линейных систем . 180

1.3. Анализ примеров . 180

1.4. Системы линейных однородных уравнений . 184

2. Системы линейных однородных уравнений с постоян ными коэффициентами . 187

2.1. Случай простых собственных значений . 187

2.1.1. Случай простых вещественных собственных значений . 188

2.1.2. Собственные значения простые, но не все вещественные . 189

2.2. Собственные значения вещественны и произвольной кратности191

2.3. Решение систем уравнений . 194

3. Применение функций от матриц . . 203

3.1. Функция от матрицы, матричная экспонента . 203

3.2. Практическое построение функции от матрицы . 205

3.3. Случай кратных корней характеристического уравнения. 208

3.4. Применение полинома Лагранжа . 212

4. Системы линейных неоднородных уравнений . 216

4.1. Структура решений системы. Матрица Коши . 216

4.2. Системы неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами . 218

5. Приводимые системы. 220

5.1. Теорема Еругина . 220

5.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами . 221

6. Уравнения Риккати и линейные системы . . . . 225

6.1. Системы уравнений Риккати . 227

7. Матричные многочленные уравнения . . 230

7.1. Уравнения AX − XA =Θ . 230

7.2. Перестановочные матрицы . 235

7.3. Решение линейного неоднородного уравнения . 238

7.4. Скалярное уравнение . 241

7.5. Полиномиальные уравнения . 244

8. Квадратный корень из матрицы . . . 245

8.1. Уравнение с жордановой матрицей . 244

8.2. Уравнение с особенной матрицей . 252

8.3. Матричные уравнения второй степени . 260

9. Линейные дифференциальные уравнения . 260

9.1. Однородное уравнение . 260

9.2. Неоднородное уравнение . 265

9.3. Частное решение неоднородного уравнения. Формула Коши . . 268

9.4. Уравнение Бернулли . 269

10. Матричное дифференциальное уравнение Риккати . . . . . 270

10.1. Простейшие свойства уравнения . 272

10.2. Уравнения с постоянными матрицами . 274

10.3. Существование решения . 279

Глава 5. Системы нелинейных уравнений . 282

1. Теорема существования и единственности решения . . 282

1.1. Предварительный анализ системы уравнений . 282

1.2. Теорема Коши . 284

1.3. Основные следствия . 285

1.4. Зависимость решений от параметров . 286

1.5. Частные и общие решения системы уравнений . 289

2. Нелинейные системы уравнений первого порядка . . . . 290

2.1. Основные свойства системы в нормальной форме . 291

2.2. Интегралы системы уравнений . 293

3. Автономные системы уравнений . . . . 295

3.1. Симметричная форма системы уравнений . 295

4. Особые решения системы уравнений . . 299

4.1. Параметризованные семейства поверхностей и их огибающие . 300

5. Семейства неявно заданных поверхностей и их огиба ющие . 307

Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка . 315

1. Основные задачи интегрирования уравнений с частными производными . 315

2. Линейные однородные уравнения первого порядка . 319

2.1. Общее решение . 319

2.2. Задача Коши . 321

3. Квазилинейные уравнения . . . . 324

3.1. Случай двух независимых переменных . 324

3.2. Задача Коши для уравнения с двумя независимыми перемен ными . 326

3.3. Квазилинейные уравнения. Общий случай . 328

3.4. Решение задачи Коши . 331

Глава 7 Групповой анализ дифференциальных уравнений . 333

1. Группы точечных преобразований. 334

1.1. Основные определения и теоремы теории групп Ли. 334

1.2. Инфинитезимальный оператор и инварианты группы . 336

2. Интегрирование уравнения, допускающего группу . . . . . . 343

2.1. Продолжение группы и инфинитезимального оператора . 343

2.2. Уравнения, допускающие группу . 345

2.3. Интегрирование уравнений первого порядка . 347

2.3.1. Первый способ (замена переменных) . 347

2.3.2. Второй способ (построение интегрирующего множителя) . 351

2.4. Интегрирование уравнений второго порядка . 352

3. Дифференциальные уравнения и допускаемые ими группы . 354

3.1. Определяюшее уравнение. Алгебра Ли . 354

4. Фундаментальная система решений . . . 360

4.1. Заключение . 363

Приложения . 365

1. Краткое описание систем Maple . 365

2. Приложение 1. Работа с числами, наборами и списками . 368

3. Приложение 2. Матрицы и векторы . 370

4. Приложение 3. Функции . 373

5. Приложение 4, Операции над функциями . 374

6. Приложение 5. Обыкновенные дифференциальные уравнения . . 376

7. Приложение 6. Визуализация . 378

8. Приложение 7. Визуализация в дифференциальных уравнениях. 381

Литература . 382

Предметный указатель . 386

Характеристики

Информация о книге
Автор	Егоров А. И.
Формат	70×100/16
Объем, стр	392 стр.

Ведение . 8

Глава 1. Классификация уравнений. Определение и анализ решений . 13

1. Дифференциальные уравнения и их решения . . . . 13

1.1. Уравнения. . 13

1.2. Решение и интеграл дифференциального уравнения . 13

2. Простейшие уравнения первого порядка . 23

2.1. Уравнения с разделенными переменными . 23

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными . 27

3. Задача Коши. Классификация решений уравнений пер вого порядка . 29

3.1. Основные определения. Теоремы Пеано и Осгуда. . 30

3.2. Теорема Коши и классификация решений . 32

3,3, Зависимость решений от начальных данных. Общие и особые решения . 34

3.4. Зависимость решений от параметров . 39

3.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной . 41

Глава 2. Методы решения уравнений первого порядка . 45

1. Интегрирование простейших уравнений . . . . 45

1.1. Однородные и приводящиеся кним однородные уравнения . 46

2. Линейные однородные и неоднородные уравнения . 47

2.1. Линейные уравнения . 47

2.2. Уравнения, приводящиеся клинейным . 50

3. Уравнение Риккати . 54

3.1. Общие свойства решений . 56

4. Уравнения в полных дифференциалах . 57

4.1. Уравнения в полных дифференциалах. 57

4.2. Интегрирующий множитель . 60

5. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 67

5.1. Уравнения, не содержащие одну из переменных . 67

5.2. Общий метод введения параметра . 68

5.3. Уравнение Лагранжа . 70

5.4. Уравнение Клеро . 74

6. Анализ особых решений . . 78

6.1. c- дискриминантная кривая и ее свойства . 78

6.2. Необходимые и достаточные условия существования

особой интегральной кривой . 85

6.3. Кривая касаний и некоторые ее свойства . 89

7. Практические способы построения особых решений . . 91

8. Параметрическая форма представления плоских кривых 95

8.1. Теоремы об огибающих семейства кривых на плоскости . 97

8.2. Точки возврата огибающей . 99

Глава 3. Уравнения n-го порядка . 103

1. Линейные однородные уравнения выше первого порядка103

1.1. Общие свойства линейных однородных уравнений . 103

2. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . 109

2.1. Решение линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами . 109

3. Решение линейных неоднородных уравнений выше пер вого порядка. . 114

3.1. Структура общего решения . 114

4. Применение операционного исчисления . 116

4.1. Основные определения и формулы операционного исчисления 116

4.2. Применение операционного исчисления . 121

5. Различные задачи для уравнений второго порядка . . . . . . 125

5.1. Общее решение уравнение второго порядка . 125

5.2. Краевые задачи для уравнений второго порядка. Функция Грина . 125

6. Cуществование решений краевых задач. 132

6.1. Положительные и положительно определенные операторы . . . 133

6.2. Энергетические пространства . 139

6.3. Обобщенные решения краевых задач . 140

7. Собственные значения и собственные функции краевой задачи . 148

7.1. Основные свойства собственных функций и собственных значений . 149

7.2. Оценка собственных значений и собственных функций . 151

7.3. Ряды Фурье . 152

8. Аналитические решения уравнений второго порядка . . . . 154

8.2. Интегрирование уравнений с помощью.степенных рядов . 156

9. Нелинейные уравнения n-го порядка . 160

9.1. Существование решений . 160

9.2. Промежуточный интеграл . 163

9.3. Уравнения, допускающие понижение порядка . 163

9.4. Многопараметрические семейства кривых на плоскости

и в пространстве . 168

10. Огибающие семейства поверхностей с двумя парамет рами . 170

10.2. Огибающие поверхности . 171

10.1. Неявно заданные двупараметрические семейства поверхностей. 173

Глава 4. Частные и общие решения систем линейных уравнений . 177

1. Системы линейных уравнений . 177

1.1. Основные понятия и определения . 177

1.2. Теорема Коши для линейных систем . 180

1.3. Анализ примеров . 180

1.4. Системы линейных однородных уравнений . 184

2. Системы линейных однородных уравнений с постоян ными коэффициентами . 187

2.1. Случай простых собственных значений . 187

2.1.1. Случай простых вещественных собственных значений . 188

2.1.2. Собственные значения простые, но не все вещественные . 189

2.2. Собственные значения вещественны и произвольной кратности191

2.3. Решение систем уравнений . 194

3. Применение функций от матриц . . 203

3.1. Функция от матрицы, матричная экспонента . 203

3.2. Практическое построение функции от матрицы . 205

3.3. Случай кратных корней характеристического уравнения. 208

3.4. Применение полинома Лагранжа . 212

4. Системы линейных неоднородных уравнений . 216

4.1. Структура решений системы. Матрица Коши . 216

4.2. Системы неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами . 218

5. Приводимые системы. 220

5.1. Теорема Еругина . 220

5.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами . 221

6. Уравнения Риккати и линейные системы . . . . 225

6.1. Системы уравнений Риккати . 227

7. Матричные многочленные уравнения . . 230

7.1. Уравнения AX − XA =Θ . 230

7.2. Перестановочные матрицы . 235

7.3. Решение линейного неоднородного уравнения . 238

7.4. Скалярное уравнение . 241

7.5. Полиномиальные уравнения . 244

8. Квадратный корень из матрицы . . . 245

8.1. Уравнение с жордановой матрицей . 244

8.2. Уравнение с особенной матрицей . 252

8.3. Матричные уравнения второй степени . 260

9. Линейные дифференциальные уравнения . 260

9.1. Однородное уравнение . 260

9.2. Неоднородное уравнение . 265

9.3. Частное решение неоднородного уравнения. Формула Коши . . 268

9.4. Уравнение Бернулли . 269

10. Матричное дифференциальное уравнение Риккати . . . . . 270

10.1. Простейшие свойства уравнения . 272

10.2. Уравнения с постоянными матрицами . 274

10.3. Существование решения . 279

Глава 5. Системы нелинейных уравнений . 282

1. Теорема существования и единственности решения . . 282

1.1. Предварительный анализ системы уравнений . 282

1.2. Теорема Коши . 284

1.3. Основные следствия . 285

1.4. Зависимость решений от параметров . 286

1.5. Частные и общие решения системы уравнений . 289

2. Нелинейные системы уравнений первого порядка . . . . 290

2.1. Основные свойства системы в нормальной форме . 291

2.2. Интегралы системы уравнений . 293

3. Автономные системы уравнений . . . . 295

3.1. Симметричная форма системы уравнений . 295

4. Особые решения системы уравнений . . 299

4.1. Параметризованные семейства поверхностей и их огибающие . 300

5. Семейства неявно заданных поверхностей и их огиба ющие . 307

Глава 6. Уравнения с частными производными первого порядка . 315

1. Основные задачи интегрирования уравнений с частными производными . 315

Похожие публикации:

Как установить mep modeler archicad 22
Как установить wolfram mathematica 9
Какие виды графических зависимостей можно построить в mathcad
Какие форматы поддерживает windows movie maker

Найти решение системы дифференциальных уравнений

В данной статье рассмотрим линейные системы дифференциальные уравнений, которые делятся на два вида: однородные и неоднородные. В общем виде они записываются следующим образом $$\begin \frac = a_1 x(t) + b_1 y(t) + f_1(t) \\ \frac = a_2 x(t) + b_2 y(t) + f_2(t) \end,$$где $a_1, b_1, c_1, a_2$ коэффициенты, функции $f_1(t)$ и $f_2(t)$ могут отсутствовать, либо быть константами, $x(t),y(t)$ неизвестные функции, которые требуется найти в качестве решения системы ДУ. Напоминаем, что аналогичная запись $\frac = x'(t)$ и $\frac = y'(t)$.

Если хотя бы один из коэффициентов $f_1(t)$ или $f_2(t)$ не равен нулю, то система называется неоднородной. Если $f_1(t) = f_2(t) = 0$, то система однородная.

Решением системы дифференциальных уравнений называется пара функций $y(t), x(t)$, подстановка которых в систему обращает её в тождество.

Разберём два основных способа решения линейных систем дифференциальных уравнений: метод исключения и метод Эйлера.

Метод исключения

Суть метода в том, что два уравнения сводятся к одному линейному дифференциальному уравнению. Для этого есть примерный алгоритм:

Находим производную одного из уравнений системы, например, $y»_t$
В получившейся производной исключаем всё что связано с $x$
Решаем линейное дифференциальное уравнение относительно $y(t)$
Подставляем получившийся $y(t)$ в одно из уравнений системы, чтобы найти $x(t)$

Применим метод исключения, чтобы из двух уравнений получить одно. Берем первое уравнение и дифференцируем его по $t$. $$\frac = \frac$$ В получившееся уравнения вместо $\frac$ подставим второе уравнение системы. $$\frac = -2x — 3y$$ Теперь нужно избавиться от $y$, чтобы остались только $x$, и тогда можно будет решить дифференциальное уравнение относительно $x(t)$. Для этого берём первое уравнение системы и получаем из него $$y = \frac+7.$$ Продолжаем решение с учётом полученного $y$ $$\frac = -2x — 3 (\frac+7).$$ После раскрытия скобок и преобразований получаем уравнение $$\frac + 3\frac + 2x = 21.$$ Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его будем искать в виде $x_\text = x_\text + x_\text$.

Сначала находим общее решение однородного уравнения $x_\text$. Для этого отбрасываем правую часть уравнения и составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<-3\pm \sqrt<9-4\cdot 1 \cdot 2>> = \frac<-3\pm 1>,$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2.$$ Итак, записываем $$x_\text = C_1 e^ + C_2 e^.$$

Искать частное решение $x_\text$ будем искать методом подбора правой части исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения. В данном случае в правой части стоит константа, значит подбор будет в виде $x_\text = A$. Находим первую и вторую производную и подставляем в исходное решаемое уравнение. $$x’_\text = 0, x»_\text = 0$$ $$0 + 3 \cdot 0 + 2 A = 21 \Rightarrow A = \frac.$$ Значит, $x_\text = \frac$.

Записываем окончательно, что $$x(t) = x_\text = x_\text + x_\text = C_1 e^ + C_2 e^ + \frac$$

Теперь зная $x(t)$ можно получить $y(t)$. Для этого нужно вернуться к началу решения и вспомнить, что мы выражали $y = \frac+7$. Таким образом осталось в него подставить полученное решение $x(t)$ $$y(t) = (C_1 e^ + C_2 e^ + \frac)’ + 7 = -C_1 e^ — 2C_2 e^ + 7$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Решаем методом исключения, то есть два уравнения приводим к одному. Берем производную первого уравнения по $t$. $$x» = (-2y+3t)’_t = -2y’+3$$ Знаем чему равен $y’$ из второго уравнения системы и поэтому его подставляем в получившееся последнее уравнение. $$x» = -2(2x+4)+3 = -4x — 8 + 3 = -4x — 5$$

Переписываем последнее получившееся уравнение в форме линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. $$x» + 4x = -5$$

Общее решение этого уравнения найдем в качестве суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного $x_\text = x_\text + x_\text$. Итак, составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 4 = 0$$ $$\lambda_1 = -2i, \lambda_2 = 2i.$$ Так как получились комплексные корни, то общее решение записывается следующим образом $$x_\text = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t.$$ Осталось найти $x_\text$. Для этого воспользуемся методом подбора правой части. Так как она представляет собой константу, то значит $x_\text = A$. Отсюда следует, что $x»_\text = 0$. Подставляя эти данные в дифференциальное уравнение получаем значение $A$. $$0 + 4A = -5,$$ $$A = -\frac.$$

Таким образом можно записать, что $$x(t) = x_\text + x_\text = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac.$$

Осталось найти функцию $y(t)$. Для этого выразим её из первого уравнения и подставим ранее полученный $x(t)$. $$y = \fract — \frac,$$ $$y = \fract — \frac(C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac)’ = $$ $$ = \frac + C_1 \sin 2t — C_2 \cos 2t.$$

Берем второе уравнение и находим его производную по $t$. $$\frac = \frac+2\frac$$ В полученное равенство вместо \frac подставим первое уравнение системы. $$\frac = 2x+y + 2\frac$$ Осталось избавиться от $x$. Для этого выразим его из второго уравнения системы и подставим в последнее полученное уравнение. $$\frac = 2(\frac — 2y) + y + 2\frac$$ Раскроем скобки и перенесем всё в левую сторону. Затем запишем для удобства $\frac = y’$. $$y» — 4y’ + 3y = 0$$

Получившееся дифференциальное уравнение называется однородным линейным ду второго порядка. Для его решения составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 — 4\lambda + 3 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<4\pm \sqrt<16 - 4 \cdot 1 \cdot 3>> = \frac<4\pm 2>,$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3.$$ Общее решение такого уравнения записывается в виде $$y = C_1 e^ + C_2e^.$$

Так как мы нашли $y(t)$, то теперь можем найти $x(t)$. Для этого подставляем $y(t)$ во второе уравнение системы и выражаем $x(t)$. $$x(t) = \frac — 2y = (C_1 e^ + C_2e^)’ — 2(C_1 e^ + C_2e^)$$ После раскрытия скобок и упрощения остаётся $$x(t) = 3C_1 e^ + C_2 e^t — 2C_1 e^ — 2C_2 e^t = C_1 e^ — C_2 e^t.$$ Вот таким образом находится общее решение системы дифференциальных уравнений $$\begin x(t) = C_1 e^ — C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^ + C_2e^ \end.$$

По условию задания необходимо кроме общего найти частное решение. Для этого берем дополнительные условия из задачи $x(0)=1, y(0)=3$ и подставляем в полученное общее решение, чтобы вычислить константы $C_1$ и $C_2$. $$\begin x(0) = C_1e^-C_2e^0 = 1 \\ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = 3 \end,$$ $$ \begin C_1-C_2 = 1 \\ C_1 + C_2 = 3 \end \Rightarrow \begin C_1 = 2 \\ C_2 = 1 \end.$$ Теперь зная постоянные можно записать частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin x(t) = 2e^ — e^t \\ y(t) = 2e^ + e^t \end.$$

Метод Эйлера

Примерный алгоритм решения по данному методу следующий:

Построить матрицу $A$ из коэффициентов дифференциальных уравнений
Найти собственные значения $\lambda$ и векторы матрицы $\overline$
Записать общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 $$

Рассмотрим данный метод решения на конкретном примере, так как практика учит лучше, чем теория.

Первым делом нужно составить матрицу, элементы которой равны коэффициентам из правой части системы дифференциальных уравнений. $$A = \begin 2&1 \\ 3&4 \end$$

Далее нужно найти собственные значения матрицы. Для этого необходимо составить характеристический многочлен и вычислить его корни. $$|A-\lambda E| = 0 \Rightarrow \begin 2 — \lambda & 1 \\ 3 & 4-\lambda \end = 0$$

Раскрываем определитель два на два и решаем квадратное уравнение. $$(2-\lambda)(4-\lambda)-3 = 0,$$ $$8-2\lambda -4\lambda+\lambda^2 — 3 = 0,$$ $$\lambda^2 — 6\lambda + 5 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<6\pm \sqrt<36-4 \cdot 5>> = \frac<6\pm 4>,$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5.$$ Зная собственные значения матрицы получим собственные векторы матрицы по формуле $(A-\lambda E)\overline = 0$.

1) Для $\lambda_1 = 1$ имеем $$(A-\lambda_1 E)\overline_1 = 0 \Rightarrow \begin x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 + 3x_2 = 0 \end$$ Видим, что после сокращения второго уравнения на 3 получится, что первое уравнение равно второму. $$x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$$ Так как $x_2$ свободный, то положим его $x_2 = 1$. Тогда $x_1 = -1$. Отсюда следует, что первый собственный вектор равен $$\overline_1 = \begin -1 \\ 1 \end.$$

2) Для $\lambda_2 = 5$ имеем $$(A-\lambda_2 E)\overline_2 = 0 \Rightarrow \begin -3x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 — x_2 = 0 \end$$ Замечаем, что первое уравнение одно и тоже что второе, если домножить на (-1) одно из них. $$3x_1 — x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac$$ Так как $x_2$ свободный, то зададим его $x_2 = 3$. Таким образом $x_1 = 1$. Из этих значений получаем второй собственный вектор $$\overline_2 = \begin 1 \\ 3 \end.$$

Находим общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 = $$ $$ = C_1 e^t \begin -1 \\ 1 \end + C_2 e^ \begin 1\\3 \end = \begin -C_1 e^t \\ C_1e^t \end + \begin C_2 e^ \\ 3C_2 e^ \end = $$ $$ = \begin -C_1 e^t + C_2 e^ \\ C_1 e^t + 3C_2 e^ \end \Rightarrow \begin x(t) = -C_1 e^t + C_2 e^ \\ y(t) = C_1 e^t + 3C_2 e^ \end$$

Решение дифференциальных уравнений

Например, решить дифференциальное уравнение онлайн: y»-2y+1=sinx . Записываем как y»-2*y+1=sin(x) . Для отображение хода решения нажмите Show steps или Step-by-step .

Способы решений дифференциальных уравнений

Уравнения с разделяющимися переменными: y’=e x+y , xydx+(x+1)dy=0
Однородные уравнения: (y 2 -2xy)dx+x 2 dy=0
Постановка задачи о выделении решений.
Калькулятор Линейные уравнения первого порядка : y’+2y=4x
Уравнения Бернулли: y’+2xy=2xy 3 ,
Уравнения в полных дифференциалах: 2xydx+x 2 dy=0 , 2xydx=(x 2 -y 2 )dy=0 .
Приближенные методы решения дифференциальных уравнений
Уравнения высших порядков
- Уравнения, допускающие понижение порядка: yy»’=y’y» , (y’) 2 +2yy»=0
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: y»-3y’+2y=0 , y»-2y’+5y =e x
- Метод вариации произвольной постоянной решения линейных неоднородных уравнений
- Уравнения с правой частью специального вида
Системы дифференциальных уравнений:
Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:
Метод вариации произвольной постоянной

Примеры решений задач по дифференциальным уравнениям

Теперь, когда вы научились находить производные и интегралы, самое время перейти к более сложной теме: решению дифференциальных уравнений (они же дифуры, диффуры и диф.уры :)), то есть уравнений, которые вместе с самой функцией (и/или аргументом), содержат и производную или даже несколько.

Как же решать дифференциальные уравнения? Главное, что понадобится, это а) умение правильно определить тип дифференциального уравнения и б) умение хорошо интегрировать — это существенная часть работы. А дальше следовать алгоримам для каждого из типов уравнений, которые подробно описаны в учебниках и ниже в примерах.

В этом разделе вы найдете решенные задачи на составление и решение дифференциальных уравнений. Примеры решений дифуров выложены бесплатно для вашего удобства и отсортированы по темам — изучайте, ищите похожие, решайте свои. Есть трудности в выполнении заданий? Мы готовы оказать помощь по дифференциальным уравнениям

Общий интеграл, семейство кривых
Дифференциальные уравнения первого порядка
Решение задачи Коши для ДУ
Дифференциальные уравнения второго порядка
Задачи на составление дифференциальных уравнений
Нелинейные дифференциальные уравнения

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Да ладно, неужели только вручную? Мучиться, определять тип, переносить, интегрировать, заменять, снова интегрировать, подставлять, выводить? Наверняка ведь есть онлайн-калькуляторы, которые позволяют решать дифференциальные уравнения?

У меня две новости, хорошая и плохая. Хорошая в том, что действительно самые распространенные типы дифференциальных уравнений математические программы умеют решать. Плохая в том, что обычно они выводят ответ (для научных расчетов этого достаточно), а не полное решение.

Есть известный математический сервис www.wolframalpha.com, которые представляет полные решения множества математических задач, в том числе диффуров онлайн (на английском языке) за 7 долларов в месяц. Ответы же доступны всем и могут помочь проверять правильность своего решения (см. ниже на скриншоте обведено само уравнение и его решение). Подробнее об этом сайте и типичных задачах, решаемых на нем, вы можете узнать тут.

решение дифференциального уравнения онлайн в wolframalpha

Если вы забьете в поисковик что-то вроде «решить дифференциальное уравнение онлайн», то получите десятки ссылок на сайты, обещающие именно это.

Я проверила все сайты с первых страниц Яндекса и Гугла. Большая часть сайтов использует результаты расчетов www.wolframalpha.com (см. выше) и показывает вам ответ (и рекламу :)). Некоторые при этом не показывают даже ответа или говорят, что уравнение введено некорректно (хотя это вполне стандартное решаемое вручную линейное уравнение с постоянными коэффициентами). Полное решение не выдал ни один сайт.

Выводы? Бесплатно и полно и онлайн — не бывает. Хотите получать полные решения — используйте платную подписку на ВольфрамАльфа (или проконсультируйтесь у нас). Хотите ответы — там же бесплатно. Хотите научиться решать? Придется засучить рукава. Примеры на этой странице и ссылки внизу помогут вам. Удачи!

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Общий интеграл, семейство кривых

Задача 1. Показать, что функция $y^2-x^2-Cy=0$ является общим интегралом дифференциального уравнения $y'(x^2+y^2)-2xy=0.$

Задача 2. Составить дифференциальное уравнение семейства кривых $C_1 x+(y-C_2)^2=0.$

Решения дифференциальных уравнений 1 порядка

Задача 3. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $ xy’+x^2+xy-y=0.$

Задача 4. Решить однородное дифференциальное уравнение $y’=-y/x \quad (x \ne 0).$

Задача 5. Решить дифференциальное уравнение $(y^4-2x^3y)dx+(x^4-2xy^3)dy=0.$

Задача 6. Решить однородное дифференциальное уравнение $(2x+y+1)dx+(x+2y-1)dy=0.$

Задача 7. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $y’-2xy=3x^2-2x^4.$

Задача 8. Решить дифференциальное уравнение $(x+y^2)y’=y-1.$

Решение задачи Коши для ДУ

Задача 9. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными $(1+x^2)dy-2xydx=0.$ Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y(0)=1$.

Задача 10. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка $2y y» +1 =(y’)^2, \, y(1/3)=1, \, y'(1/3)=2$.

Задача 11. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $$ y’= \frac, y(1)=1. $$

Задача 12. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения третьего порядка $$ y»’=x+\cos x, \quad y(0)=0, y'(0)=0, y»(0)=0. $$

Решаем дифференциальные уравнения на заказ

Решения дифференциальных уравнений 2 порядка

Задача 13. Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами $y»+4y’+4y=xe^.$

Задача 14. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации: $$ y»-3y’=\frac>>, \quad y(0)=4\ln 4, y'(0)=3(3\ln 4-1). $$

Cоставление дифференциальных уравнений

Задача 15. Скорость остывания нагретого тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды. За 10 минут тело охладилось от 100 до 60 градусов. Температура среды постоянна и равна 20 градусам. Когда тело остынет до 25 градусов?

Задача 16. Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/сек. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 сек после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/сек. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решения нелинейных дифференциальных уравнений

Задача 17. Решить дифференциальное уравнение $y^2 ^2 -2xyy’+2y^2-x^2=0.$

Задача 18. Решить дифференциальное уравнение $^2-4xyy’+8y^2=0.$

Полезные ссылки

Решение ДУ с помощью преобразования Лапласа
Примеры ДУ в частных производных
Решенные в МатБюро контрольные по ДУ
Онлайн-помощь на контрольной
Дифференциальные уравнения для чайников (кратко)
Дифференциальные уравнения для чайников (полный курс)