5 способов разложения многочлена на множители
Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты это сделаешь, выражение станет намного проще и ты легко сможешь с ним «разобраться»!
Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.
Как этому научиться?
Прочитай эту статью. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова.
Потом объясним все пять способов разложения многочлена на множители.
И затем разберем на примерах как это делать.
Let’s dive right in… (Поехали!) ��
Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:
- вынесение общего множителя за скобки;
- использование формул сокращенного умножения;
- метод группировки;
- метод выделения полного квадрата;
- разложение квадратного трехчлена на множители.
Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)
Одночлены
Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)
Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.
Многочлены
Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:
Множители
Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».
Возьмем, например, число \( 12\), разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.
Так \( 12\) мы можем получить, умножив \( 2\) на \( 6\).
А \( 6\), в свою очередь, можно представить как произведение \( 2\) и \( 3\).
Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:
На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.
То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).
Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, \( 12=2\cdot 6\), а \( 6=2\cdot 3\)?
Вот и я говорю, что элементарно!
Иными словами, \( 2\cdot 2\cdot 3=12\).
Тут \( 2\), еще раз \( 2\) и \( 3\) – это и есть множители, на которые мы раскладываем.
Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?
Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.
Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.
А теперь «официальное» определение.
Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.
Для чего нужно знать все пять способов?
Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.
Давай посмотрим на каждый из них…
5 способов разложения многочлена на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки
\( \displaystyle ac+bc=c(a+b)\)
2. Формулы сокращенного умножения
3. Метод группировки
Применяется если преобразование не очевидно. Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:
Группируем члены парами, получаем:
4. Выделение полного квадрата
Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен – многочлен вида
Теорема. Если квадратное уравнение \( a^>+bx+c=0\) имеет корни \( _>,\text< >_>\), то его можно записать в виде:
Подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки
Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).
Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.
Иначе говоря, \( a\left( b\text< >+\text< >c \right)\text< >=\text< >ab\text< >+\text< >ac\).
Так же можно проделать и обратную операцию, \( ab\text< >+\text< >ac\text< >=\text< >a\left( b\text< >+\text< >c \right)\).
Вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.
Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как \( x\) и \( y\), например, так и с числами: \( 6\text< >+\text< >8\text< >=\text< >2\left( 3\text< >+\text< >4 \right)\).
Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа \( 12\), ведь все знают, что числа \( 6\), \( 8\) и \( 12\) делятся на \( 2\).
А как быть, если вам досталось выражение посложнее:
Как узнать на что, например, делится число \( 123\).
Нееет! С калькулятором-то любой сможет, а без него слабо?
А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.
Признаки делимости
Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:
| Делится на: | Признак делимости числа на данный делитель |
|---|---|
| 2 | Оканчивается на: 0, 2, 4, 6, 8 |
| 3 | Сумма цифр делится на 3 |
| 4 | Две последние цифры делятся на 4 |
| 5 | Последняя цифра 5 или 0 |
| 7 | Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь |
| 9 | Сумма цифр делится на 9 |
| 10 | Последняя цифра – ноль |
| 11 | Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11 |
Что ж, вернемся к выражению \( 3xy+123y\), может вынести за скобку \( y\) да и хватит с него?
Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ, что выносится!
И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на \( 2\) разделить не удастся.
Можно воспользоваться признаком делимости на \( 3\), сумма цифр \( 1\), \( 2\) и \( 3\), из которых состоит число \( 123\), равна \( 6\), а \( 6\) делится на \( 3\), значит и \( 123\) делится на \( 3\).
Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления \( 123\) на \( 3\) получаем \( 41\) (признаки делимости пригодились!).
Таким образом, число \( 3\) мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:
\( 3xy\text< >+\text< >123y\text< >=\text< >3y\cdot \left( x\text< >+\text< >41 \right)\).
Чтобы удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!
Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях.
Вот тут, например, \( 2^>-16^>+4x\), видишь общий множитель?
У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на \( 2\) – снова выносим, смотрим что получилось: \( 2^>-16^>+4x=2x(^>-8x+2)\).
2. Формулы сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».
А вот здесь можно решить вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком 119 задач на формулы сокращенного умножения!
А вот здесь наше видео о том, какой навык, относящийся к формулам сокращенного умножения является самым сложным и самым важным — выделение полного кавдрата!
Справка.
Эти видео — часть нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике. Можно провести бесплатный «тест-драйв» этого курса. Например, посетить наши пробные вебинары.
В чем суть разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения?
Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение.
Формулы сокращенного умножения (таблица)
А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:
- \( \displaystyle 16^>-8b+1\)
- \( \displaystyle -42c+9^>+49\)
- \( \displaystyle <<\left( 5\text\right)>^>-3\)
- \( \displaystyle \frac<\left( 4\text+2\text \right)\cdot \left( 4\text-2\text \right)>^>+4<<\text>^>-16\text>\)
- \( \displaystyle <<\left( 3\text\right)>^>-1\)
Вот что должно было получиться:
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
3. Метод группировки
А вот тебе еще примерчик:
Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на \( \displaystyle 3\) что-то делится и на \( \displaystyle 5\), а что-то на \( \displaystyle x\) и на \( \displaystyle y\)
Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?
Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!
Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.
Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.
Не очень понятно все это? Объясню на примере:
В многочлене \( \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>\) ставим член – \( \displaystyle 3xy\) после члена – \( \displaystyle 5x2y\) получаем:
Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:
А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.
Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.
Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки \( \displaystyle ^>\), а из второй \( \displaystyle 3y\), получаем:
Но это же не разложение!
После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…
НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это \( \displaystyle (x-5y)\)
\( \displaystyle (x-5y)\)за скобку и получаем финальное произведение \( \displaystyle (^>-3y)(x-5y)\)
Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.
Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения \( \displaystyle (x-5y)\), которые опять же мы и вынесли за скобку.
И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.
Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: \( \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>=(^>-3y)(x-5y)\).
Согласись, уже не такой громоздкий, как был?
4. Выделение полного квадрата
Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.
В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:
Многочлен \( \displaystyle ^>-4x+2\) в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.
Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будешь довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.
Для полной формулы квадрата разности здесь нужно \( \displaystyle 4\) вместо \( \displaystyle 2\).
Представим третий член \( \displaystyle 2\) как разность \( \displaystyle 4-2\), получим: \( \displaystyle ^>-4x+4-2=(^>-4x+4)-2\)
К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ), имеем: \( \displaystyle <<\left( x-2 \right)>^>-2\), к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ), представив \( \displaystyle 2\), как \( \displaystyle \sqrt\), получим: \( \displaystyle (x-2-\sqrt)(x-2+\sqrt)\).
Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду.
Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.
Примеры:
- \( \displaystyle 25^>-49^>;\)
- \( \displaystyle ^>-^>;\)
- \( \displaystyle ^>-^>;\)
- \( \displaystyle ^>+2-3\)
- \( \displaystyle ^>+6x+5;\)
Решения:
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
5. Разложение квадратного трехчлена на множители
О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.
Примеры 5 способов разложения многочлена на множители
1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры
Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: \( \displaystyle ac+bc=c\left( a+b \right)\)
Пример 1:
Разложить многочлен на множители \( \displaystyle 10^>-15^>\).
Пример 2:
Разложи на множители \( \displaystyle 12^>-2y\).
Решения двух примеров:
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
2. Формулы сокращенного умножения. Примеры
Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!
Пример 1:
Разложите на множители выражение \( \displaystyle ^>-8^>\).
Пример 2:
Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>-1\).
Решение примеров 1 и 2:
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
3. Метод группировки. Примеры
Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.
Пример:
Разложите на множители многочлен \( \displaystyle 2^>+^>y-6xy-3^>\).
Решение:
Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:
Регистрация
4. Метод выделения полного квадрата. Примеры
Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).
Пример:
Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>+6-7\).
Решение:
Пример:
Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>-4^>-1\).
Решение:
5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример
Квадратный трехчлен – многочлен вида \( \displaystyle a^>+bx+c=0\), где \( \displaystyle x\) – неизвестное, \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) – некоторые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\).
Значения переменной \( \displaystyle x\), которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения \( \displaystyle a^>+bx+c=0\).
Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».
Теорема.
Если квадратное уравнение \( \displaystyle a^>+bx+c=0\) имеет корни \( \displaystyle _>,\text< >_>\), то его можно записать в виде: \( \displaystyle a^>+bx+c=a\left( x-_> \right)\left( x-_> \right)\).
Пример:
Разложим на множители квадратный трехчлен: \( \displaystyle 2^>+5x-3\).
Сначала решим квадратное уравнение: Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:
\( \displaystyle 2^>+5x-3=2\left( x-\frac \right)\left( x+3 \right)\).
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Добавить комментарий Отменить ответ
17 комментариев
Татьяна Федоровна Архипова :
Разложить на множители x^4+2x+1
Сергей :
Аб+а^2? Разложить
Здравствуйте!
Помогите разложить на множители 128a⁷+b⁷.
Алексей Шевчук :
Света, (2a)⁷+b⁷ = (2a+b)((2a)⁶ — (2a)⁵*b + (2a)⁴ * b² — (2a)³ * b³ + (2a)² * b⁴ — (2a) * b⁵ + b⁶)
Ирина Лаговская :
Все замечательно. Но не могу разложить такое 15а^2 +14ab — 8b^2.
Александр Кель :
Ответ Алексея Шевчука: Ирина, один из вариантов раскладывать подобные выражения — приравнять к нулю и решить квадратное уравнение относительно одной из переменных. Например, если за переменную считать a, то получится: D = 196b^2 + 480b^2 = 676b^2 = (26b)^2 => a = 2b/5 или a = -4b/3. Это даёт нам разложение 15(a — 2b/5)(a + 4b/3) = (5a — 2b)(3a + 4b).
Марьяна :
Прекрасное изложение, спасибо! Успехов и продвижения вам!
Александр Кель :
Спасибо, Марьяна. Очень приятно слышать. И вам успехов и удачи!
1 из 100 сайтов нормальных
Александр Кель :
Спасибо, Захар. Заходите )
Татьяна :
t^2*(t+12)^3-t*(t+12)^12*(t-6)^2 подскажите, пожалуйста, как разложить на множители
Александра Купцова :
Здравствуйте, Татьяна!
Сначала давайте вынесем (t+12)^3, получим:
(t+12)^3(t^2 — t(t+12)^9(t-6)^2)
Смотрим на вторую скобку. Там у обеих частей есть t, вынесем:
t(t+12)^3(t — (t+12)^9(t-6)^2)
Я думаю, вторую скобку разложить больше не получится.
Спасибо за материал, а то везде дальше перечня и формул и примитивных примеров ничего нет. Подскажите, если можно, что делать с числителем.
5х^2-х-4/х^3-1 .
Александр Кель :
Ирина, спасибо за отзыв. Я перешлю Алексею Шевчуку ваш вопрос, но он может не ответить. Сейчас очень загружены ((
Александра Купцова :
Здравствуй, Ирина!
Давай начнем со знаменателя: внизу у тебя разность кубов, распиши ее по формуле (x^3-1^3=(x-1)(x^2+1*x*1^2))
Теперь посмотрим на числитель. Главная хитрость в том, что любой квадратный многочлен ax^2+bx+c (у тебя это 5x^2-x-4) можно представить в виде a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 – решения квадратного уравнения.
То есть ты решаешь 5x^2-x-4=0, находишь его корни. Это -0.8 и 1, значит, ты можешь написать, что 5x^2-x-4=5(x-1)(x+0.8)
Александр Кель :
Как круто! Куб в знаменателе я тоже увидел конечно, а вот что делать с числителем не догадался ) Спасибо, Саша!
Как разложить число на множители
wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 48 человек(а).
Количество просмотров этой статьи: 73 119.
В этой статье:
Множители – числа, которые при перемножении дают исходное число. То есть любое число есть результат произведения его множителей. Умение раскладывать числа на множители – один из основных математических навыков, который необходим не только в математике, но и в других науках.
Метод 1 из 2:
Разложение на множители целых чисел
- Рассмотрим число 12.
- В нашем примере у числа 12 есть несколько множителей: 12*1; 6*2; 3*4. Таким образом, вы можем заявить, что множителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12. Рассмотрим пару множителей 6 и 2.
- Четные числа легко разложить на множители, так как множителем любого четного числа является 2. 4 = 2*2, 26 = 13*2 и т.д.
- В нашем примере мы разложили 12 на 2*6. Обратите внимание, что 6 можно разложить на множители: 3*2 = 6. Таким образом, вы можете заявить, что 12 = 2*(3*2).
- В нашем примере вы разложили 12 на 2*(2*3). 2, 2, 3 — это простые числа. Их можно разложить на множители, например, 2=2*1 и 3=3*1, но это не имеет смысла (по крайней мере в большинстве задач).
- Например, разложим на множители число -60.
- -60 = -10*6
- -60 = (-5*2)*6
- -60 = (-5*2)*(3*2)
- -60 = -5*2*3*2. Обратите внимание, что при разложении на множители отрицательного числа количество отрицательных множителей должно быть нечетным. Например, вы можете разложить число -60 и так: -5*2*-3*-2.
Метод 2 из 2:
Разложение на множители больших чисел
- Разложим на множители число 6552.
- В нашем примере число 6552 – четное, поэтому 2 является его наименьшим простым множителем. 6552 ÷ 2 = 3276. В левой колонке запишите 2, а в правой — 3276.
- В нашем примере: 3276 ÷ 2 = 1638. В левой колонке запишите 2, а в правой — 1638. Далее: 1638 ÷ 2 = 819. В левой колонке запишите 2, а в правой — 819.
- В нашем примере вы получили нечетное число 819. Разделите его на 3: 819 ÷ 3 = 273. В левой колонке запишите 3, а в правой — 273.
- При подборе делителей опробуйте все простые числа вплоть до квадратного корня из наибольшего делителя, который вы нашли. Если ни один делитель не делит число нацело, то вы, скорее всего, получили простое число и можете прекратить вычисления.
- Продолжим вычисления в нашем примере:
- Разделите на 3: 273 ÷ 3 = 91. Остатка нет. В левой колонке запишите 3, а в правой — 91.
- Разделите на 3. 91 делится на 3 с остатком, поэтому разделите на 5. 91 делится на 5 с остатком, поэтому разделите на 7: 91 ÷ 7 = 13. Остатка нет. В левой колонке запишите 7, а в правой — 13.
- Разделите на 7. 13 делится на 7 с остатком, поэтому разделите на 11. 13 делится на 11 с остатком, поэтому разделите на 13: 13 ÷ 13 = 1. Остатка нет. В левой колонке запишите 13, а в правой — 1. Ваши вычисления закончены.
- В нашем примере 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Вы разложили число 6552 на простые множители (порядок множителей в этой записи не имеет значения).
- Также важным является понятие простого числа – это число, которое имеет только два множителя: 1 и само себя. 3 — простое число, потому что его простые множители 1 и 3. С другой стороны, 4 имеет 2 в качестве простого множителя. Число, которое не является простым, называется составным . (1 — число, которое считается ни простым, ни составным — это особый случай.)
- Наименьшие простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.
- Поймите, что одно число является множителем другого, большего числа, если оно «делит его полностью», то есть без остатка. Например, 6 является множителем 24, потому что 24 ÷ 6 = 4 (без остатка). С другой стороны , 6 не является множителем 25.
- Если цифры в числе при их сложении делятся на 3 , то 3 является множителем этого числа. (819 = 8 +1 +9 = 18, 1 +8 = 9. Три — множитель девяти, так что 3 является множителем и 819.)
- Помните, что мы рассматривали только «натуральные числа» — 1, 2, 3, 4, 5 . Мы не рассматривали отрицательные числа или дроби, которые могут быть описаны в других статьях.
- Некоторые числа могут быть разложены более быстрыми способами, но этот метод работает каждый раз и, как дополнительный бонус, в ответе дает простые множители в порядке их возрастания.
Предупреждения
- Не делайте лишней работы. После того, как вы убрали неподходящий множитель, вы не должны рассматривать его далее. После того, как мы решили, что 2 не является множителем 819, нам не надо рассматривать 2 дальше в процессе вычисления.
Разложение многочлена способом группировки
Как школьники разбиваются в классе на группы по интересам: одни слушают рок, другие рэп. Так и множители в выражениях группируются по общему признаку. Сейчас расскажем, как разложить многочлен методом группировки.
28 декабря 2020
· Обновлено 23 июня 2023
Открыть диалоговое окно с формой по клику
Основные понятия
Мы знаем, что слово «множитель» происходит от слова «умножать».
Возьмем, например, число 12. Чтобы разложить его на множители, нужно написать его по-другому, а именно в виде «произведения» множителей.
Число 12 можно получить, если умножить 2 на 6. А 6 можно представить, как произведение 2 и 3. Вот так:
Так выглядит пошаговое разложение на множители. Числа, которые обведены в кружок на картинке — это множители, которые дальше разложить уже нельзя.
Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.
Домашний лицей для 5–11 классов
Занятия где и когда удобно, 10+ кружков на выбор, никакого стресса с домашками и нудных родительских собраний
5 способов разложения многочлена на множители
- Вынесение общего множителя за скобки.
- Формулы сокращенного умножения.
- Метод группировки.
- Выделение полного квадрата.
- Разложение квадратного трехчлена на множители.
Выберите идеального репетитора по математике
15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения
Способ группировки множителей
Разложение на множители методом группировки возможно, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.
Этот способ применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку. И тогда исходный многочлен будет представлен в виде произведения, что значительно облегчает задачу.
Разложить на множители методом группировки можно в три этапа:
- Объединить слагаемые многочлена в группы, которые содержат общий множитель. Для наглядности их можно подчеркнуть.
- Вынести общий множитель за скобки.
- Полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который нужно вынести за скобки.
Объединить члены многочлена в группы можно по-разному. И не всегда группировка может быть удачной для последующего разложения на множители. В таком случае нужно продолжить эксперимент и попробовать объединить в группы другие члены многочлена.
Чтобы понять эти сложные выражения, применим правило группировки множителей при решении примеров. Рассмотрим два способа.
Пример 1. Разложить на множители методом группировки: up — bp + ud — bd.
up — bp + ud — bd = (up — bp) + (ud — bd)
Заметим, что в первой группе повторяется p, а во второй — d.
Вынесем в первой группе общий множитель p, а во второй общий множитель d.
Получим: p(u — b) + d(u — b).
Заметим, что общий множитель (u — b).
Вынесем его за скобки:
Группировка множителей выполнена.
up — bp + ud — bd = (up + ud) — (bp + bd)
Заметим, что в первой группе повторяется u, а во второй — b.
Вынесем в первой группе общий множитель u, а во второй общий множитель b.
Получим: u(p + d) — b(p + d).
Заметим, что общий множитель (p + d).
Вынесем его за скобки:
Группировка множителей выполнена.
От перестановки мест множителей произведение не меняется, поэтому оба ответа верны:
(u — b)(p + d) = (p + d)(u — b).
Вот так работает алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки. Продолжим практиковаться на примерах.
Пример 2. Разложить на множители выражение: c(m — n) + d(m — n).
- Найдем общий множитель: (m — n)
- Вынесем общий множитель за скобки: (m — n)(c + d).
Ответ: c(m — n) + d(m — n) = (m — n)(c + d).
Пример 3. Разложить на множители с помощью группировки: 5x — 12z (x — y) — 5y.
5x — 12z (x — y) — 5y = 5x — 5y — 12z (x — y) = 5(x — y) — 12z (x — y) = (x — y) (5 — 12z)
Ответ: 5x — 12z (x — y) — 5y = (x — y) (5 — 12z).
Иногда для вынесения общего многочлена нужно заменить все знаки одночленов в скобках на противоположные. Для этого за скобки выносится знак минус, а в скобках у всех одночленов меняем знаки на противоположные.
Проверим как это на следующем примере.
Пример 4. Произвести разложение многочлена на множители способом группировки: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b.
- Сгруппируем слагаемые по два и вынесем в каждой паре общий множитель за скобку:
ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (ax 2 — bx 2 ) + (bx — ax) + (a — b) = x 2 (a — b) — x(a — b) + (a — b)
Получили три слагаемых, в каждом из которых есть общий множитель (a — b).
- Теперь вынесем за скобку (a — b), используя распределительный закон умножения:
x 2 (a — b) + x(b — a) + (a — b) = (a — b)(x 2 + x + 1)
Ответ: ax 2 — bx 2 + bx — ax + a — b = (a — b)(x 2 + x + 1)
Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Как разложить на множители в maple
Разложить числа на простые множители
Разложить числа на простые множители:Разложить полином на множители в поле GF(2)
Всем доброго времени суток. Прошу помощи в написании программы для разложения полинома на множители.
Разложить полином второго рядка на множители
Прошу помощи, у знающих людей. 1. Программа в которой дается 5% скидки при сумме в 1000р. .Как разложить число на простые множители python
Разложение на множители
Задача разложения числа на простые(!) множители решается многими методами и довольно быстро.Меню пользователя @ Garry Galler Читать блог Разложить число на простые множители
Разложить число на простые множители, помогите с задачей пожалуйста!Разложить заданное число на простые множители
Разложить заданное число на простые множители.Составить программу расписания числа на простые множители
Составить программу расписания числа на простые множителиРазложение на простые ++ на Python !
import math number=int(input()) for i in range(2, int(math.sqrt(number)) + 1): # обычно.def factorize(n):
divisor = 2
while divisor ** 2 if n % divisor == 0:
n //= divisor
print(divisor)
else:
divisor += 1
if n != 1:
print(n)n = int(input())
factorize(n)procedure factorize(n: longint);
while divisor * divisor
if n mod divisor = 0 then begin
n := n div divisor;
def gcd(a, b):
if a == 0 or b == 0:
return max(a, b)
else:
if a > b:
return gcd(a — b, b)
else:
return gcd(a, b — a)def gcd(a, b):
while a != 0 and b != 0:
if a > b:
a = a — b
else:
b = b — a
return max(a, b)def gcd(a, b):
if a == 0 or b == 0:
return max(a, b)
else:
if a > b:
return gcd(a % b, b)
else:
return gcd(a, b % a)def gcd(a, b):
while a != 0 and b != 0:
if a > b:
a = a % b
else:
b = b % a
return max(a, b)def gcd(a, b):
if b == 0:
return a
else:
return gcd(b, a % b)Разложение на множители. Разложение многочленов на множители
Для того, чтобы разложить на множители, необходимо упрощать выражения. Это необходимо для того, чтобы можно было в дальнейшем сократить. Разложение многочлена имеет смысл тогда, когда его степень не ниже второй. Многочлен с первой степенью называют линейным.
Статья раскроет все понятия разложения, теоретические основы и способы разложений многочлена на множители.
Теория
Когда любой многочлен со степенью n , имеющие вид P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , представляют в виде произведения с постоянным множителем со старшей степенью a n и n линейных множителей (x — x i) , i = 1 , 2 , … , n , тогда P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 1) , где x i , i = 1 , 2 , … , n – это и есть корни многочлена.
Теорема предназначена для корней комплексного типа x i , i = 1 , 2 , … , n и для комплексных коэффициентов a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n . Это и есть основа любого разложения.
Когда коэффициенты вида a k , k = 0 , 1 , 2 , … , n являются действительными числами, тогда комплексные корни, которые будут встречаться сопряженными парами. Например, корни x 1 и x 2 , относящиеся к многочлену вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 считаются комплексно сопряженным, тогда другие корни являются действительными, отсюда получаем, что многочлен примет вид P n (x) = a n (x — x n) (x — x n — 1) · . . . · (x — x 3) x 2 + p x + q , где x 2 + p x + q = (x — x 1) (x — x 2) .
Замечание
Корни многочлена могут повторяться. Рассмотрим доказательство теоремы алгебры, следствия из теоремы Безу.
Основная теорема алгебры
Любой многочлен со степенью n имеет как минимум один корень.
Теорема Безу
После того, как произвели деление многочлена вида P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 на (x — s) , тогда получаем остаток, который равен многочлену в точке s , тогда получим
P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) + P n (s) , где Q n — 1 (x) является многочленом со степенью n — 1 .
Следствие из теоремы Безу
Когда корень многочлена P n (x) считается s , тогда P n x = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x — s) · Q n — 1 (x) . Данное следствие является достаточным при употреблении для описания решения.
Разложение на множители квадратного трехчлена
Квадратный трехчлен вида a x 2 + b x + c можно разложить на линейные множители. тогда получим, что a x 2 + b x + c = a (x — x 1) (x — x 2) , где x 1 и x 2 — это корни (комплексные или действительные).
Отсюда видно, что само разложение сводится к решению квадратного уравнения впоследствии.
Произвести разложение квадратного трехчлена на множители.
Решение
Необходимо найти корни уравнения 4 x 2 — 5 x + 1 = 0 . Для этого необходимо найти значение дискриминанта по формуле, тогда получим D = (- 5) 2 — 4 · 4 · 1 = 9 . Отсюда имеем, что
x 1 = 5 — 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1
Отсюда получаем, что 4 x 2 — 5 x + 1 = 4 x — 1 4 x — 1 .
Для выполнения проверки нужно раскрыть скобки. Тогда получим выражение вида:
4 x — 1 4 x — 1 = 4 x 2 — x — 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 — 5 x + 1
После проверки приходим к исходному выражению. То есть можно сделать вывод, что разложение выполнено верно.
Произвести разложение на множители квадратный трехчлен вида 3 x 2 — 7 x — 11 .
Решение
Получим, что необходимо вычислить получившееся квадратное уравнение вида 3 x 2 — 7 x — 11 = 0 .
Чтобы найти корни, надо определить значение дискриминанта. Получим, что
3 x 2 — 7 x — 11 = 0 D = (- 7) 2 — 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 — D 2 · 3 = 7 — 181 6
Отсюда получаем, что 3 x 2 — 7 x — 11 = 3 x — 7 + 181 6 x — 7 — 181 6 .
Произвести разложение многочлена 2 x 2 + 1 на множители.
Решение
Теперь нужно решить квадратное уравнение 2 x 2 + 1 = 0 и найти его корни. Получим, что
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = — 1 2 x 1 = — 1 2 = 1 2 · i x 2 = — 1 2 = — 1 2 · i
Эти корни называют комплексно сопряженными, значит само разложение можно изобразить как 2 x 2 + 1 = 2 x — 1 2 · i x + 1 2 · i .
Произвести разложение квадратного трехчлена x 2 + 1 3 x + 1 .
Решение
Для начала необходимо решить квадратное уравнение вида x 2 + 1 3 x + 1 = 0 и найти его корни.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 — 4 · 1 · 1 = — 35 9 x 1 = — 1 3 + D 2 · 1 = — 1 3 + 35 3 · i 2 = — 1 + 35 · i 6 = — 1 6 + 35 6 · i x 2 = — 1 3 — D 2 · 1 = — 1 3 — 35 3 · i 2 = — 1 — 35 · i 6 = — 1 6 — 35 6 · i
Получив корни, запишем
x 2 + 1 3 x + 1 = x — — 1 6 + 35 6 · i x — — 1 6 — 35 6 · i = = x + 1 6 — 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i
Замечание
Если значение дискриминанта отрицательное, то многочлены останутся многочленами второго порядка. Отсюда следует, что раскладывать их не будем на линейные множители.
Способы разложения на множители многочлена степени выше второй
При разложении предполагается универсальный метод. Большинство всех случаев основано на следствии из теоремы Безу. Для этого необходимо подбирать значение корня x 1 и понизить его степень при помощи деления на многочлена на 1 делением на (x — x 1) . Полученный многочлен нуждается в нахождении корня x 2 , причем процесс поиска цикличен до тех пор, пока не получим полное разложение.
Если корень не нашли, тогда применяются другие способы разложения на множители: группировка, дополнительные слагаемые. Данная тема полагает решение уравнений с высшими степенями и целыми коэффициентами.
Вынесение общего множителя за скобки
Рассмотрим случай, когда свободный член равняется нулю, тогда вид многочлена становится как P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x .
Видно, что корень такого многочлена будет равняться x 1 = 0 , тогда можно представить многочлен в виде выражения P n (x) = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x = = x (a n x n — 1 + a n — 1 x n — 2 + . . . + a 1)
Данный способ считается вынесением общего множителя за скобки.
Выполнить разложение многочлена третьей степени 4 x 3 + 8 x 2 — x на множители.
Решение
Видим, что x 1 = 0 — это корень заданного многочлена, тогда можно произвести вынесение х за скобки всего выражения. Получаем:
4 x 3 + 8 x 2 — x = x (4 x 2 + 8 x — 1)
Переходим к нахождению корней квадратного трехчлена 4 x 2 + 8 x — 1 . Найдем дискриминант и корни:
D = 8 2 — 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = — 8 + D 2 · 4 = — 1 + 5 2 x 2 = — 8 — D 2 · 4 = — 1 — 5 2
Тогда следует, что
4 x 3 + 8 x 2 — x = x 4 x 2 + 8 x — 1 = = 4 x x — — 1 + 5 2 x — — 1 — 5 2 = = 4 x x + 1 — 5 2 x + 1 + 5 2
Для начала примем за рассмотрение способ разложения, содержащий целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где коэффициента при старшей степени равняется 1 .
Когда многочлен имеет целые корни, тогда их считают делителями свободного члена.
Произвести разложение выражения f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 .
Решение
Рассмотрим, имеются ли целые корни. Необходимо выписать делители числа — 18 . Получим, что ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . Отсюда следует, что данный многочлен имеет целые корни. Можно провести проверку по схеме Горнера. Она очень удобная и позволяет быстро получить коэффициенты разложения многочлена:
Отсюда следует, что х = 2 и х = — 3 – это корни исходного многочлена, который можно представить как произведение вида:
f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Переходим к разложению квадратного трехчлена вида x 2 + 2 x + 3 .
Так как дискриминант получаем отрицательный, значит, действительных корней нет.
Ответ: f (x) = x 4 + 3 x 3 — x 2 — 9 x — 18 = (x — 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Замечание
Допускается использование подбором корня и деление многочлена на многочлен вместо схемы Горнера. Перейдем к рассмотрению разложения многочлена, содержащим целые коэффициенты вида P n (x) = x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , старший из которых на равняется единице.
Этот случай имеет место быть для дробно-рациональных дробей.
Произвести разложение на множители f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Решение
Необходимо выполнить замену переменной y = 2 x , следует переходить к многочлену с коэффициентами равными 1 при старшей степени. Необходимо начать с умножения выражения на 4 . Получаем, что
4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Когда получившаяся функция вида g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 имеет целые корни, тогда их нахождение среди делителей свободного члена. Запись примет вид:
± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60
Перейдем к вычислению функции g (y) в этих точка для того, чтобы получить в результате ноль. Получаем, что
g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = — 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = — 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = — 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = — 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60
Получаем, что у = — 5 – это корень уравнения вида y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 , значит, x = y 2 = — 5 2 — это корень исходной функции.
Необходимо произвести деление столбиком 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 на x + 5 2 .
Решение
Запишем и получим:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Проверка делителей займет много времени, поэтому выгодней предпринять разложение на множители полученного квадратного трехчлена вида x 2 + 7 x + 3 . Приравниванием к нулю и находим дискриминант.
x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 — 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = — 7 + 37 2 x 2 = — 7 — 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Отсюда следует, что
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 — 37 2 x + 7 2 + 37 2
Искусственные приемы при разложении многочлена на множители
Рациональные корни не присущи всем многочленам. Для этого необходимо пользоваться специальными способами для нахождения множителей. Но не все многочлены можно разложить или представить в виде произведения.
Способ группировки
Бывают случаи, когда можно сгруппировывать слагаемые многочлена для нахождения общего множителя и вынесения его за скобки.
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 на множители.
Решение
Потому как коэффициенты – целые числа, тогда корни предположительно тоже могут быть целыми. Для проверки возьмем значения 1 , — 1 , 2 и — 2 для того, чтобы вычислить значение многочлена в этих точках. Получаем, что
1 4 + 4 · 1 3 — 1 2 — 8 · 1 — 2 = — 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 — (- 1) 2 — 8 · (- 1) — 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 — 2 2 — 8 · 2 — 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 — (- 2) 2 — 8 · (- 2) — 2 = — 6 ≠ 0
Отсюда видно, что корней нет, необходимо использовать другой способ разложения и решения.
Необходимо провести группировку:
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 4 + 4 x 3 — 2 x 2 + x 2 — 8 x — 2 = = (x 4 — 2 x 2) + (4 x 3 — 8 x) + x 2 — 2 = = x 2 (x 2 — 2) + 4 x (x 2 — 2) + x 2 — 2 = = (x 2 — 2) (x 2 + 4 x + 1)
После группировки исходного многочлена необходимо представить его как произведение двух квадратных трехчленов. Для этого нам понадобится произвести разложение на множители. получаем, что
x 2 — 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = — 2 ⇒ x 2 — 2 = x — 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 — 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 x 2 = — 4 — D 2 · 1 = — 2 — 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 — 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 — x 2 — 8 x — 2 = x 2 — 2 x 2 + 4 x + 1 = = x — 2 x + 2 x + 2 — 3 x + 2 + 3
Замечание
Простота группировки не говорит о том, что выбрать слагаемы достаточно легко. Определенного способа решения не существует, поэтому необходимо пользоваться специальными теоремами и правилами.
Произвести разложение на множители многочлен x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 .
Решение
Заданный многочлен не имеет целых корней. Следует произвести группировку слагаемых. Получаем, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 — 2 x) — x 2 — 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) — 2 (x 2 + x) — (x 2 + 2 x — 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x — 2) — (x 2 + 2 x — 2) = (x 2 + x — 1) (x 2 + 2 x — 2)
После разложения на множители получим, что
x 4 + 3 x 3 — x 2 — 4 x + 2 = x 2 + x — 1 x 2 + 2 x — 2 = = x + 1 + 3 x + 1 — 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 — 5 2
Использование формул сокращенного умножения и бинома Ньютона для разложения многочлена на множители
Внешний вид зачастую не всегда дает понять, каким способом необходимо воспользоваться при разложении. После того, как были произведены преобразования, можно выстроить строчку, состоящую из треугольника Паскаля, иначе их называют биномом Ньютона.
Произвести разложение многочлена x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 на множители.
Решение
Необходимо выполнить преобразование выражения к виду
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3
На последовательность коэффициентов суммы в скобках указывает выражение x + 1 4 .
Значит, имеем x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 .
После применения разности квадратов, получим
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3
Рассмотрим выражение, которое находится во второй скобке. Понятно, что там коней нет, поэтому следует применить формулу разности квадратов еще раз. Получаем выражение вида
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x — 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 — 3 = x + 1 4 — 3 = = x + 1 4 — 3 = x + 1 2 — 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 — 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Произвести разложение на множители x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Решение
Займемся преобразованием выражения. Получаем, что
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 — 2 = (x + 2) 3 — 2
Необходимо применить формулу сокращенного умножения разности кубов. Получаем:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 — 2 = = x + 2 — 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 — 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Способ замены переменной при разложении многочлена на множители
При замене переменной производится понижение степени и разложение многочлена на множители.
Произвести разложение на множители многочлена вида x 6 + 5 x 3 + 6 .
Решение
По условию видно, что необходимо произвести замену y = x 3 . Получаем:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Корни полученного квадратного уравнения равны y = — 2 и y = — 3 , тогда
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Необходимо применить формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получим выражения вида:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 — 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 — 3 3 x + 9 3
То есть получили искомое разложение.
Рассмотренные выше случаи помогут в рассмотрении и разложении многочлена на множители разными способами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Что делать, если в процессе решения задачи из ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике вы получили многочлен, который не получается разложить на множители стандартными методами, которыми вы научились в школе? В этой статье репетитор по математике расскажет об одном эффективном способе, изучение которого находится за рамками школьной программы, но с помощью которого разложить многочлен на множители не составит особого труда. Дочитайте эту статью до конца и посмотрите приложенный видеоурок. Знания, которые вы получите, помогут вам на экзамене.
Разложение многочлена на множители методом деления
С том случае, если вы получили многочлен больше второй степени и смогли угадать значение переменной, при которой этот многочлен становится равным нулю (например, это значение равно ), знайте! Этот многочлен можно без остатка разделить на .
Например, легко видеть, что многочлен четвёртой степени обращается в нуль при . Значит его без остатка можно разделить на , получив при этом многочлен третей степени (меньше на единицу). То есть представить в виде:
где A , B , C и D — некоторые числа. Раскроем скобки:
Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть одинаковы, то получаем:
Идём дальше. Достаточно перебрать несколько небольших целых чисел, что увидеть, что многочлен третьей степени вновь делится на . При этом получается многочлена второй степени (меньше на единицу). Тогда переходим к новой записи:
где E , F и G — некоторые числа. Вновь раскрываем скобки и приходим к следующему выражению:
Опять из условия равенства коэффициентов при одинаковых степенях получаем:
То есть исходный многочлен может быть разложен на множители следующим образом:
В принципе, при желании, используя формулу разность квадратов, результат можно представить также в следующем виде:
Вот такой простой и эффективный способ разложения многочленов на множители. Запомните его, он может вам пригодиться на экзамене или олимпиаде по математике. Проверьте, научились ли вы пользоваться этим методом. Попробуйте решить следующее задание самостоятельно.
Разложите многочлен на множители :
Свои ответы пишите в комментариях.
Материал подготовил , Сергей Валерьевич
В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители . Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.
Навигация по странице.
Что значит разложить число на простые множители?
Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.
Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .
А что же значит разложить число на простые множители?
Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.
Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?
В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .
Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?
Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.
А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n , при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей
Каноническое разложение числа на простые множители
В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 – s 2 раз, и так далее, p n – s n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители .
Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .
Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .
Алгоритм разложения числа на простые множители
Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .
Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1 , где a 1 =a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , где a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , где a n =a n-1:p n . Когда получается a n =1 , то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n .
Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .
Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где — из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).
Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .
Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).
Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители . Алгоритм разложения числа a таков:
- Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1 числа a , после чего вычисляем a 1 =a:p 1 . Если a 1 =1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·a 1 и переходим к следующему шагу.
- Находим наименьший простой делитель p 2 числа a 1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1 , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2 . Если a 2 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 . Если же a 2 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2 и переходим к следующему шагу.
- Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 , находим наименьший простой делитель p 3 числа a 2 , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3 . Если a 3 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Если же a 3 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и переходим к следующему шагу.
- Находим наименьший простой делитель p n числа a n-1 , перебирая простые числа, начиная с p n-1 , а также a n =a n-1:p n , причем a n получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .
Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n .
Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.
Примеры разложения на простые множители
Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители . При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.
Разложите число 78 на простые множители.
Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1 числа a=78 . Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем 78:2=39 . Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p 1 =2 – первый найденный простой делитель числа 78 . В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1 имеющему вид 78=2·39 . Очевидно, что a 1 =39 отлично от 1 , поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.
Теперь ищем наименьший простой делитель p 2 числа a 1 =39 . Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2 . Делим 39 на 2 , получаем 39:2=19 (ост. 1) . Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3 ) и делим на него 39 , получаем 39:3=13 . Следовательно, p 2 =3 – наименьший простой делитель числа 39 , при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2 в виде 78=2·3·13 . Так как a 2 =13 отлично от 1 , то переходим к следующему шагу алгоритма.
Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13 . В поисках наименьшего простого делителя p 3 числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3 . Число 13 не делится на 3 , так как 13:3=4 (ост. 1) , также 13 не делится на 5 , 7 и на 11 , так как 13:5=2 (ост. 3) , 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2) . Следующим простым числом является 13 , и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3 числа 13 есть само число 13 , и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Так как a 3 =1 , то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.
На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откуда 83 006=2·41 503 .
На втором шаге выясняем, что 2 , 3 и 5 не являются простыми делителями числа a 1 =41 503 , а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929 . Имеем p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Таким образом, 83 006=2·7·5 929 .
Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929 является число 7 , так как 5 929:7=847 . Таким образом, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откуда 83 006=2·7·7·847 .
Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4 числа a 3 =847 равен 7 . Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , поэтому 83 006=2·7·7·7·121 .
Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121 , им является число p 5 =11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7 ). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , и 83 006=2·7·7·7·11·11 .
Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11 – это число p 6 =11 . Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Так как a 6 =1 , то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11 .
Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .
83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5 . Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17 . Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17 .
При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5 , при этом получаем, что 75=5·15 . А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5 , поэтому, 75=5·3·5 . Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.
- Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Виноградов И.М. Основы теории чисел.
- Михелович Ш.Х. Теория чисел.
- Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.
Что такое разложение на множители? Это способ превращения неудобного и сложного примера в простой и симпатичный.) Оч-ч-чень мощный приём! Встречается на каждом шагу и в элементарной математике, и в высшей.
Подобные превращения на математическом языке называются тождественными преобразованиями выражений. Кто не в теме — прогуляйтесь по ссылке. Там совсем немного, просто и полезно.) Смысл любого тождественного преобразования — это запись выражения в другом виде с сохранением его сути.
Смысл разложения на множители предельно прост и понятен. Прямо из самого названия. Можно забыть (или не знать), что такое множитель, но то, что это слово происходит от слова «умножить» сообразить-то можно?) Разложить на множители означает: представить выражение в виде умножения чего-то на чего-то. Да простят мне математика и русский язык. ) И всё.
Например, надо разложить число 12. Можно смело записать:
Вот мы и представили число 12 в виде умножения 3 на 4. Прошу заметить, что циферки справа (3 и 4) совсем другие, чем слева (1 и 2). Но мы прекрасно понимаем, что 12 и 3·4 одно и то же. Суть числа 12 от преобразования не изменилась.
А можно разложить 12 по-другому? Легко!
Вариантов разложения — бесконечное количество.
Разложение чисел на множители — штука полезная. Очень помогает, например, при действиях с корнями. Но разложение на множители алгебраических выражений вещь не то, что полезная, она — необходимая! Чисто для примера:
Кто не умеете раскладывать выражение на множители, отдыхает в сторонке. Кто умеет — упрощает и получает:
Эффект потрясающий, правда?) Кстати, решение достаточно простое. Ниже сами увидите. Или, например, такое задание:
Решить уравнение:
х 5 — x 4 = 0
Решается в уме, между прочим. С помощью разложения на множители. Ниже мы решим этот пример. Ответ: x 1 = 0; x 2 = 1 .
Или, то же самое, но для старшеньких):
Решить уравнение:
На этих примерах я показал основное назначение разложения на множители: упрощение дробных выражений и решение некоторых типов уравнений. Рекомендую запомнить практическое правило:
Если перед нами страшное дробное выражение, можно попробовать разложить на множители числитель и знаменатель. Очень часто дробь сокращается и упрощается.
Если перед нами уравнение, где справа — ноль, а слева — не пойми что, можно попробовать разложить левую часть на множители. Иногда помогает).
Основные способы разложения на множители.
Вот они, самые популярные способы:
4. Разложение квадратного трёхчлена.
Эти способы надо запомнить. Именно в таком порядке. Сложные примеры проверяются на все возможные способы разложения. И лучше уж проверять по порядочку, чтобы не запутаться. Вот по порядочку и начнём.)
1. Вынесение общего множителя за скобки.
Простой и надёжный способ. От него плохо не бывает! Бывает либо хорошо, либо никак.) Поэтому он и стоит первым. Разбираемся.
Все знают (я верю!)) правило:
Или, в более общем виде:
Все равенства работают как слева направо, так и наоборот, справа налево. Можно записать:
ab+ac+ad+. = a(b+c+d+. )
Вот и вся суть вынесения общего множителя за скобки.
В левой части а — общий множитель для всех слагаемых. Умножается на всё, что есть). Справа это самое а находится уже за скобками.
Практическое применение способа рассмотрим на примерах. Сначала вариант простой, даже примитивный.) Но на этом варианте я отмечу (зелёным цветом) очень важные моменты для любого разложения на множители.
Разложить на множители:
Какой общий множитель сидит в обоих слагаемых? Икс, разумеется! Его и будем выносить за скобки. Делаем так. Сразу пишем икс за скобками:
А в скобках пишем результат деления каждого слагаемого на этот самый икс. По порядочку:
Вот и всё. Конечно, так подробно расписывать не нужно, Это в уме делается. Но понимать, что к чему, желательно). Фиксируем в памяти:
Пишем общий множитель за скобками. В скобках записываем результаты деления всех слагаемых на этот самый общий множитель. По порядочку.
Вот мы и разложили выражение ах+9х на множители. Превратили его в умножение икса на (а+9). Замечу, что в исходном выражении тоже было умножение, даже два: а·х и 9·х. Но оно не было разложено на множители! Потому, что кроме умножения, в этом выражении было ещё и сложение, знак «+»! А в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет!
Как так!? — слышу возмущённый глас народа — А в скобках!?)
Да, внутри скобок есть сложение. Но фишка в том, что пока скобки не раскрыты, мы рассматриваем их как одну букву. И все действия со скобками делаем целиком, как с одной буквой. В этом смысле в выражении х(а+9) кроме умножения ничего нет. В этом вся суть разложения на множители.
Кстати, можно ли как-то проверить, всё ли правильно мы сделали? Запросто! Достаточно обратно умножить то, что вынесли (икс) на скобки и посмотреть — получилось ли исходное выражение? Если получилось, всё тип-топ!)
В этом примитивном примере проблем нет. Но если слагаемых несколько, да ещё с разными знаками. Короче, каждый третий ученик косячит). Посему:
При необходимости проверяем разложение на множители обратным умножением.
Разложить на множители:
Ищем общий множитель. Ну, с иксом всё ясно, его можно вынести. А есть ли ещё общий множитель? Да! Это тройка. Можно же записать выражение вот так:
Здесь сразу видно, что общий множителем будет 3х . Вот его и выносим:
А что будет, если вынести только х? Да ничего особенного:
Это тоже будет разложение на множители. Но в этом увлекательном процессе принято раскладывать всё до упора, пока есть возможность. Здесь в скобках есть возможность вынести тройку. Получится:
То же самое, только с одним лишним действием.) Запоминаем:
При вынесении общего множителя за скобки, стараемся вынести максимальный общий множитель.
Разложить на множители выражение:
Что будем выносить? Тройку, икс? Не-е-е. Нельзя. Напоминаю, выносить можно только общий множитель, который есть во всех слагаемых выражения. На то он и общий. Здесь такого множителя нету. Что, можно не раскладывать!? Ну да, обрадовались, как же. Знакомьтесь:
2. Группировка.
Собственно, группировку трудно назвать самостоятельным способом разложения на множители. Это, скорее, способ выкрутиться в сложном примере.) Надо сгруппировать слагаемые так, чтобы всё получилось. Это только на примере показать можно. Итак, перед нами выражение:
Видно, что какие-то общие буквы и числа имеются. Но. Общего множителя, чтобы был во всех слагаемых — нет. Не падаем духом и разбиваем выражение на кусочки. Группируем. Так, чтобы в каждом кусочке был общий множитель, было чего вынести. Как разбиваем? Да просто ставим скобки.
Напомню, что скобки можно ставить где угодно и как угодно. Лишь бы суть примера не менялась. Например, можно так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а+24 )
Прошу обратить внимание на вторые скобки! Перед ними стоит знак минус, а 8а и 24 стали положительными! Если, для проверки, обратно раскрыть скобки, знаки поменяются, и мы получим исходное выражение. Т.е. суть выражения от скобок не изменилась.
Но если вы просто воткнули скобки, не учитывая смену знака, например, вот так:
3ах+9х-8а-24 =(3ах+9х)-(8а-24 )
это будет ошибкой. Справа — уже другое выражение. Раскройте скобки и всё станет видно. Дальше можно не решать, да. )
Но возвращаемся к разложению на множители. Смотрим на первые скобки (3ах+9х) и соображаем, можно ли чего вынести? Ну, этот пример мы выше решали, можно вынести 3х:
Изучаем вторые скобки, там можно вынести восьмёрку:
Всё наше выражение получится:
Разложили на множители? Нет. В результате разложения должно получиться только умножение, а у нас знак минус всё портит. Но. В обоих слагаемых есть общий множитель! Это (а+3) . Я не зря говорил, что скобки целиком — это, как бы, одна буква. Значит, эти скобки можно вынести за скобки. Да, именно так и звучит.)
Делаем, как было рассказано выше. Пишем общий множитель (а+3) , во вторых скобках записываем результаты деления слагаемых на (а+3) :
Всё! Справа кроме умножения ничего нет! Значит, разложение на множители завершено успешно!) Вот оно:
Повторим кратенько суть группировки.
Если в выражении нет общего множителя для всех слагаемых, разбиваем выражение скобками так, чтобы внутри скобок общий множитель был. Выносим его и смотрим, что получилось. Если повезло, и в скобках остались совершенно одинаковые выражения, выносим эти скобки за скобки.
Добавлю, что группировка — процесс творческий). Не всегда с первого раза получается. Ничего страшного. Иногда приходится менять слагаемые местами, рассматривать разные варианты группировки, пока не найдётся удачный. Главное здесь — не падать духом!)
Примеры.
Сейчас, обогатившись знаниями, можно и хитрые примеры порешать.) Была в начале урока тройка таких.
В сущности, этот пример мы уже решили. Незаметно для себя.) Напоминаю: если нам дана страшная дробь, пробуем разложить числитель и знаменатель на множители. Других вариантов упрощения просто нет.
Ну, знаменатель здесь не раскладывается, а числитель. Числитель мы уже разложили по ходу урока! Вот так:
Пишем результат разложения в числитель дроби:
По правилу сокращения дробей (основное свойство дроби), мы можем разделить (одновременно!) числитель и знаменатель на одно и то же число, или выражение. Дробь от этого не меняется. Вот и делим числитель и знаменатель на выражение (3х-8) . И там и там получим единички. Окончательный результат упрощения:
Особо подчеркну: сокращение дроби возможно тогда и только тогда, когда в числителе и знаменателе кроме умножения выражений ничего нет. Именно потому превращение суммы (разности) в умножение так важно для упрощения. Конечно, если выражения разные, то и не сократится ничего. Бывет. Но разложение на множители даёт шанс. Этого шанса без разложения — просто нет.
Пример с уравнением:
Решить уравнение:
х 5 — x 4 = 0
Выносим общий множитель х 4 за скобки. Получаем:
Соображаем, что произведение множителей равно нулю тогда и только тогда, когда какой-нибудь из них равен нулю. Если сомневаетесь, найдите мне парочку ненулевых чисел, которые при умножении ноль дадут.) Вот и пишем, сначала первый множитель:
При таком равенстве второй множитель нас не волнует. Любой может быть, всё равно в итоге ноль получится. А какое число в четвёртой степени ноль даст? Только ноль! И никакое другое. Стало быть:
С первым множителем разобрались, один корень нашли. Разбираемся со вторым множителем. Теперь нас не волнует уже первый множитель.):
Вот и нашли решение: x 1 = 0; x 2 = 1 . Любой из этих корней подходит к нашему уравнению.
Очень важное замечание. Обратите внимание, мы решали уравнение по кусочкам! Каждый множитель приравнивали к нулю, не обращая внимания на остальные множители. Кстати, если в подобном уравнении будет не два множителя, как у нас, а три, пять, сколько угодно — решать будем точно так же. По кусочкам. Например:
Тот, кто раскроет скобки, перемножит всё, тот навсегда зависнет на этом уравнении.) Правильный ученик сразу увидит, что слева кроме умножения ничего нет, справа — ноль. И начнёт (в уме!) приравнивать к нулю все скобочки по порядочку. И получит (за 10 секунд!) верное решение: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Здорово, правда?) Такое элегантное решение возможно, если левая часть уравнения разложена на множители. Намёк понятен?)
Ну и, последний пример, для старшеньких):
Решить уравнение:
Чем-то он похож на предыдущий, не находите?) Конечно. Самое время вспомнить, что в алгебре седьмого класса под буквами могут скрываться и синусы, и логарифмы, и всё, что угодно! Разложение на множители работает во всей математике.
Выносим общий множитель lg 4 x за скобки. Получаем:
Это один корень. Разбираемся со вторым множителем.
Вот и окончательный ответ: x 1 = 1; x 2 = 10 .
Надеюсь, вы осознали всю мощь разложения на множители в упрощении дробей и решении уравнений.)
В этом уроке мы познакомились с вынесением общего множителя и группировкой. Остаётся разобраться с формулами сокращённого умножения и квадратным трёхчленом.
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Что значит разложить на множители? Это значит найти числа, произведение которых равно исходному числу.
Чтобы понять, что значит разложить на множители, рассмотрим пример.
Пример разложения числа на множители
Разложить на множители число 8.
Число 8 можно представить в виде произведения 2 на 4:
Представление 8 в виде произведения 2 * 4 и значит разложение на множители.
Обратите внимание, что это не единственное разложение 8 на множители.
Ведь 4 разлагается на множители так:
Отсюда 8 можно представить:
8 = 2 * 2 * 2 = 2 3
Проверяем наш ответ. Найдем, чему равно разложение на множители:
То есть получили исходное число, ответ верный.
Разложите на простые множители число 24
Как разложить на простые множители число 24?
Простым называют число, если оно нацело делится только на единицу и на себя.
Число 8 можно представить в виде произведения 3 на 8:
Здесь число 24 разложено на множители. Но в задании сказано «разложить на простые множители число 24», т.е. нужны именно простые множители. А в нашем разложении 3 является простым множителем, а 8 не является простым множителем.
Разложение многочлена на множители
Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Примером разложения многочлена на множители является вынесение общего множителя за скобки, поскольку исходный многочлен обращается в произведение двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом.
Разложение многочлена на множители способом вынесения общего множителя за скобки
При вынесении общего множителя за скобки образуется произведение из двух сомножителей, один из которых является одночленом, а другой многочленом. Например:
В рамках изучения многочленов, одночлен принято считать многочленом, состоящим из одного члена. Поэтому, когда в многочлене выносится за скобки общий множитель, то говорят что исходный многочлен представлен в виде произведения многочленов.
В нашем примере многочлен 6x + 3xy был представлен в виде произведения многочленов 3x и (2 + y) . По-другому говорят, что многочлен 6x + 3xy разложен на множители 3x и (2 + y)
Существуют также многочлены, в которых можно вынести за скобки такой общий множитель, который является двучленом. Например, рассмотрим многочлен 5a(x + y) + 7a(x + y) . В этом многочлене общим множителем является двучлен (x + y) . Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители способом группировки
Некоторые многочлены содержат группу членов, имеющих общий множитель. Такие группы можно заключать в скобки и далее выносить общий множитель за эти скобки. В результате получается разложение исходного многочлена на множители, которое называют разложением на множители способом группировки.
Рассмотрим следующий многочлен:
Члены ax и ay имеют общий множитель a . Выпишем эти члены и заключим их в скобки:
Далее в многочлене ax + ay + 3 x + 3 y члены 3x и 3y имеют общий множитель 3. Выпишем эти члены и тоже заключим их в скобки:
Теперь соединим выражения (ax + ay) и (3x + 3y) знаком «плюс»
В многочлене (ax + ay) вынесем за скобки общий множитель a , а в многочлене (3x + 3y) вынесем за скобки общий множитель 3. Делать это нужно в исходном выражении:
Далее замечаем, что двучлен (x + y) является общим множителем. Вынесем его за скобки. Продолжаем решение в исходном примере. В результате получим:
Запишем решение покороче, не расписывая подробно, как каждый член был разделен на общий множитель. Тогда решение получится более компактным:
Чтобы проверить правильно ли мы разложили многочлен на множители, выполним умножение (x + y)(a + 3) . Если мы всё сделали правильно, то получим многочлен ax + ay + 3x + 3y
Пример 2. Разложить многочлен 9x + ax − 9y − ay на множители способом группировки.
Члены 9x и −9y имеют общий множитель 9. А члены ax и −ay имеют общий множитель a . Сгруппируем их с помощью скобок, и объединим с помощью знака «плюс»
В первой группе (9x − 9y) вынесем за скобки общий множитель 9. Во второй группе (ax − ay) вынесем за скобки за скобки общий множитель a
Далее вынесем за скобки двучлен (x − y)
Пример 3. Разложить многочлен ab − 3b + b 2 − 3a на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член ab с четвёртым членом −3a . А второй член −3b сгруппируем с третьим членом b 2 . Не забываем, что объединять группы нужно с помощью знака «плюс»
В первой группе вынесем за скобки общий множитель a , во второй группе — общий множитель b
Во втором произведении b(−3 + b) в сомножителе (−3 + b) изменим порядок следования членов. Тогда получим b(b − 3)
Теперь вынесем за скобки общий множитель (b − 3)
Пример 4. Разложить многочлен x 2 y + x + xy 2 + y + 2xy + 2 на множители способом группировки.
Сгруппируем первый член многочлена со вторым, третий с четвёртым, пятый с шестым:
В первой группе вынесем за скобки общий множитель x , во второй группе — общий множитель y , в третьей группе — общий множитель 2
Далее замечаем, что многочлен (xy + 1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата суммы двух выражений
Формулы сокращённого умножения, которые мы рассматривали в прошлом уроке, можно применять для разложения многочленов на множители.
Вспомним, как выглядит формула квадрата суммы двух выражений:
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 2 представляет собой перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a 2 + 2ab + b 2 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b) (a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член многочлена 4x 2 + 12xy + 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2x , поскольку (2x) 2 = 4x 2 . Третий член 9y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 3y , поскольку (3y) 2 = 9y 2 , а член 12xy это есть удвоенное произведение членов 2x и 3y , то есть 2 × 2x × 3y = 12xy .
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 2x , а переменная b равна 3y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 4x 2 + 12xy + 9y 2 выглядело в виде квадрата суммы (2x + 3y) 2 , но в результате применения формулы квадрата суммы оно обратилось в многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (2x + 3y) 2
А поскольку (2x + 3y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (2x + 3y) , то исходный многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 можно представить в виде разложения на множители (2x + 3y) и (2x + 3y)
Полностью решение можно записать так:
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 + 12x + 36
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена x, поскольку x 2 = x 2 , третий член — результатом возведения в квадрат числа 6, поскольку 6 2 = 36 , а член 12x это удвоенное произведение членов x и 6 , поскольку 2 × x × 6 = 12x .
Воспользуемся формулой a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 . Роль переменной a играет одночлен x , а роль переменной b играет одночлен 6 . Отсюда:
А поскольку (x + 6) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (x + 6) , то исходный многочлен x 2 + 12x + 36 можно представить в виде разложения на множители (x + 6) и (x + 6)
Разложение многочлена на множители по формуле квадрата разности двух выражений
Как и по формуле квадрата суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле квадрата разности двух выражений.
Формула квадрата разности двух выражений выглядит так:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Поскольку правая часть это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 2 − 2ab + b 2 можно разложить на множители (a − b) и (a − b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 , нужно узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в квадрат одночлена 3x , поскольку (3x) 2 = 9x 2 . Третий член 4y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 2y , поскольку (2y) 2 = 4y 2 , а член 12xy это удвоенное произведение членов 3x и 2y , то есть 2 × 3x × 2y = 12xy .
Очевидно, что переменная a в данном случае равна 3x , а переменная b равна 2y
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 9x 2 − 12xy + 4y 2 выглядело в виде квадрата разности (3x − 2y) 2 , но в результате применения формулы квадрата разности оно обратилось в многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (3x − 2y) 2
А поскольку (3x − 2y) 2 это произведение двух сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3x − 2y) , то исходный многочлен 9x 2 − 12xy + 4y 2 можно представить в виде разложения на множители (3x − 2y) и (3x − 2y)
Полностью решение можно записать так:
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − 4x + 4
Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:
Разложение многочлена на множители по формуле куба суммы двух выражений
Вспомним, как выглядит формула куба суммы двух выражений:
Поменяем местами левую и правую часть, получим:
Левая часть этого равенства является многочленом, а правая часть — произведением многочленов, поскольку выражение (a + b) 3 представляет собой перемножение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (a + b).
Стало быть, если нам встретится выражение вида a 3 + 3a 2 b +3ab 2 + b 3 , то мы можем представить его в виде произведения (a + b)(a + b)(a + b) . Иными словами, разложить на множители (a + b), (a + b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3
Прежде чем применять формулу куба суммы, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб суммы двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом суммы двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена m
Последний член 8n 3 является результатом возведения в куб одночлена 2n
Второй член 6m 2 n является утроенным произведением квадрата первого выражения m и последнего 2n
Третий член 12mn 2 является утроенным произведением первого выражения m и квадрата последнего выражения 2n
То есть исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 по всем параметрам соответствует кубу суммы двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует m , а переменной b соответствует 2n
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 выглядело в виде куба суммы (m + 2n) 3 , но в результате применения формулы куба суммы оно обратилось в многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (m + 2n) 3
А поскольку (m + 2n) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (m + 2n) , то исходный многочлен m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3 можно представить в виде разложения на множители (m + 2n), (m + 2n) и (m + 2n)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 5x
Последний член 1 является результатом возведения в куб одночлена 1
Второй член 75x 2 является утроенным произведением квадрата первого выражения 5x и последнего 1
Третий член 15x является утроенным произведением первого выражения 5x и квадрата второго выражения 1
Воспользуемся формулой a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 5x , а роль переменной b играет одночлен 1
А поскольку (5x + 1) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (5x + 1) , то исходный многочлен 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 можно представить в виде разложения на множители (5x + 1), (5x + 1) и (5x + 1)
Разложение многочлена на множители по формуле куба разности двух выражений
Как и по формуле куба суммы двух выражений, многочлен можно разложить на множители по формуле куба разности двух выражений.
Вспомним, как выглядит формула куба разности двух выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Поскольку правая часть это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (a − b), то многочлен вида a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 можно разложить на множители (a − b), (a − b) и (a − b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3
Прежде чем применять формулу куба разности, следует проанализировать данный многочлен. А именно, убедиться что перед нами действительно куб разности двух выражений.
Чтобы убедиться, что исходное выражение является кубом разности двух выражений, следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 4
Последний член 8x 3 является результатом возведения в куб одночлена 2x
Второй член 96x является утроенным произведением квадрата первого выражения 4 и последнего 2x
Третий член 48x 2 является утроенным произведением первого выражения 4 и квадрата второго выражения 2x
3 × 4 × (2x) 2 = 3 × 4 × 4x 2 = 48x 2
Видим, что исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 по всем параметрам соответствует кубу разности двух выражений. Переменной a в данном многочлене соответствует 4 , а переменной b соответствует 2x
Тогда можно сделать вывод, что когда-то выражение 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 выглядело в виде куба разности (4 − 2x) 3 , но в результате применения формулы куба разности оно обратилось в многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 . Наша задача — вернуть ему былую форму, то есть представить в виде (4 − 2x) 3
А поскольку (4 − 2x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен (4 − 2x) , то исходный многочлен 64 − 96x + 48x 2 − 8x 3 можно представить в виде разложения на множители (4 − 2x) , (4 − 2x) и (4 − 2x)
Пример 2. Разложить на множители многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3
Первый член данного многочлена является результатом возведения в куб одночлена 3
Последний член 125 является результатом возведения в куб одночлена 5x
Второй член 135x является утроенным произведением квадрата первого выражения 3 и последнего 5x
Третий член 225x 2 является утроенным произведением первого выражения 3 и квадрата второго выражения 5x
3 × 3 × (5x) 2 = 3 × 3 × 25x 2 = 225x 2
Воспользуемся формулой a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = (a − b) 3 . Роль переменной a играет одночлен 3 , а роль переменной b играет одночлен 5x
А поскольку (3 − 5x) 3 это произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен многочлену (3 − 5x) , то исходный многочлен 27 − 135x + 225x 2 − 125x 3 можно представить в виде разложения на множители (3 − 5x) , (3 − 5x) и (3 − 5x)
Разложение многочлена на множители по формуле разности квадратов двух выражений
Вспомним, как выглядит формула умножения разности двух выражений на их сумму:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим:
Эту формулу называют разностью квадратов. Она позволяет разложить выражение вида a 2 − b 2 на множители (a − b) и (a + b).
Пример 1. Разложить на множители многочлен 16x 2 − 25y 2
Чтобы воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b), следует узнать чему в данном случае равна переменная a и чему равна переменная b .
Первый член 16x 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 4x
Второй член 25y 2 является результатом возведения в квадрат одночлена 5y
То есть в данном случае переменной a соответствует одночлен 4x , а переменной b соответствует одночлен 5y
Теперь можно воспользоваться формулой a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) . Подставим в неё наши значения a и b
Полностью решение можно записать так:
Для проверки можно выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y) . Если мы всё сделали правильно, то должны получить 16x 2 − 25y 2
Пример 2. Разложить на множители многочлен x 2 − y 2
В данном случае переменной a соответствует x , а переменной b соответствует y . Тогда по формуле квадрата разности имеем:
Случай как в данном примере является наиболее простым, поскольку здесь сразу видно чему равно a и чему равно b .
Чаще всего члены, из которых состоит исходная разность, являются результатами возведения во вторую степень каких-нибудь одночленов. Чтобы узнать чему в таком случае равны a и b, нужно как в первом примере представить члены исходной разности в виде одночленов возведённых в квадрат.
Например, чтобы разложить многочлен 4x 4 − 9y 6 на множители, нужно исходные члены представить в виде одночленов возведённых в квадрат. Первый член в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (2x 2 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 4x 4
А член 9y 6 в виде одночлена, возведенного в квадрат, можно записать как (3 y 3 ) 2 , поскольку вычисление этого выражение даёт в результате 9y 6
Теперь мы знаем, чему равны a и b . Они равны 2x 2 и 3y 3 соответственно. Подставим их в формулу a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
Полностью решение можно записать так:
Несмотря на простоту разложения по формуле разности квадратов, частые ошибки приходятся именно на эти задачи. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, не мешает выполнить умножение в получившемся разложении. Если задача решена правильно, то должен получиться изначальный многочлен.
Проверим умножением данный пример. У нас должен получиться многочлен 4x 4 − 9y 6
Пример 4. Разложить на множители многочлен 81 − 64
Представим члены исходной разности в виде одночленов возведенных в квадрат. Далее воспользуемся формулой разности квадратов:
81 − 64 = 9 2 − 8 2 = (9 − 8)(9 + 8)
Разложение многочлена на множители по формуле сумме кубов двух выражений
Мы помним, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую суммой кубов двух выражений:
Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 + b 3 на множители (a + b) и (a 2 − ab + b 2 ) .
Пример 1. Разложить на множители многочлен 27x 3 + 64y 3
Представим члены 27x 3 и 64y 3 в виде одночленов, возведённых в куб
Теперь воспользуемся формулой суммы кубов. Переменная a в данном случае равна 3x , переменная b равна 4y
Пример 2. Разложить на множители многочлен 125 + 8
Представим члены 125 и 8 в виде одночленов, возведённых в куб:
125 + 8 = 5 3 + 2 3
Далее воспользуемся формулой суммы кубов:
125 + 8 = 5 3 + 2 3 = (5 + 2)(25 − 10 + 4)
Разложение многочлена на множители по формуле разности кубов двух выражений
Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений:
Если в этой формуле поменять местами левую и правую часть, то получим формулу, называемую разностью кубов двух выражений:
Эта формула позволяет разложить выражение вида a 3 − b 3 на множители (a − b) и (a 2 + ab + b 2 ) .
Пример 1. Разложить на множители многочлен 64x 3 − 27y 3
Представим члены 64x 3 и 27y 3 в виде одночленов, возведённых в куб:
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 4x , переменная b равна 3y
Пример 2. Разложить на множители многочлен 64 − 27
Представим члены 64 и 27 в виде одночленов, возведённых в куб:
64 − 27 = 4 3 − 3 3 = (4 − 3)(16 + 12 + 9)
Пример 3. Разложить на множители многочлен 125x 3 − 1
Представим члены 125x 3 и 1 в виде одночленов, возведённых в куб:
Теперь воспользуемся формулой разности кубов. Переменная a в данном случае равна 5x , переменная b равна 1
Разложение многочлена на множители различными способами
К некоторым многочленам можно применять различные способы разложения на множители. Например, к одному многочлену можно применить способ вынесения общего за скобки, а затем воспользоваться одной из формул сокращённого умножения.
Пример 1. Разложить на множители многочлен ax 2 − ay 2
В данном многочлене содержится общий множитель a . Вынесем его за скобки:
При этом в скобках образовался многочлен, который является разностью квадратов. Применив формулу разности квадратов. Тогда получим:
Пример 2. Разложить на множители многочлен 3x 2 + 6xy + 3y 2
Вынесем за скобки общий множитель 3
В скобках образовался многочлен, который является квадратом суммы двух выражений, а именно выражений x и y . Тогда этот квадрат суммы можно представить как (x + y) 2 и далее записать в виде двух сомножителей, каждый из которых равен (x + y)
Похожие публикации:
- Почему windows movie maker не поддерживает mp4
- Сколько панелей инструментов в mathcad две или три
- Что включает в себя интерфейс windows movie maker
- Что нельзя делать с помощью telegram