Как определяется в mathcad математическое ожидание

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание — это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины — срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Нужна помощь? Решаем теорию вероятностей на отлично

Формула математического ожидания случайной величины
Примеры вычисления математического ожидания
Онлайн калькулятор для мат.ожидания
Видео. Полезные ссылки

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=\sum_^. $$ Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i \quad -1 \quad 2 \quad 5 \quad 10 \quad 20 \\ p_i \quad 0.1 \quad 0.2 \quad 0.3 \quad 0.3 \quad 0.1 $$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=\sum_^. $$ Получаем: $$ M(X)=\sum_^ =-1\cdot 0.1 + 2 \cdot 0.2 +5\cdot 0.3 +10\cdot 0.3+20\cdot 0.1=6.8. $$ Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x \in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=\int_<-\infty>^ <+\infty>f(x) \cdot x dx = \int_^ 12(x^2-x^3) \cdot x dx = \int_^ 12(x^3-x^4) dx = \\ =\left.(3x^4-\fracx^5) \right|_0^1=3-\frac = \frac=0.6. $$

Подробно решим ваши задачи по теории вероятностей

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

Введите число значений случайной величины К.
Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
Нажмите на кнопку «Вычислить».
Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Спасибо за ваши закладки и рекомендации

Полезные ссылки

А теперь узнайте о том, как находить дисперсию или проверьте онлайн-калькулятор для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины. Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей — онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала — еще примеры решений по теории вероятностей.
А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

Как определяется в mathcad математическое ожидание

Значениям t и h(t) соответствуют столбцы TOUT и SIMOUT(h(t)) взятые из Exсel, примененного в методе последовательного логарифмирования.

Метод моментов.

При использовании метода моментов основной проблемой является нахождение функциональной зависимости между моментом входной и выходной функции.

Получить явные выражения для моментов можно несколькими способами.

Первый способ состоит в решении математической модели. Основным достоинством этого метода является возможность определения моментов как

для линейных, так и для нелинейных операторов, при любом промежутке интегрирования Т. Момент произвольной функции Ф интеграл вида

Однако в большинстве случаев получение решения уравнений математической модели в пространстве оригиналов представляет собой довольно сложную задачу. В связи с этим представляют значительный интерес методы, позволяющие определять моменты выходных кривых без предварительного получения решения уравнений модели в пространстве оригиналов. Оказывается, что для вычисления моментов функции достаточно знать ее изображение по Лапласу (которое часто найти гораздо легче, чем функцию). Действительно, согласно определению преобразования по Лапласу функции Ф(t), ее изображение

Это равенство при p=0 имеет вид

Аналогично, для производных более высокого порядка получим:

Таким образом, для получения момента любого порядка некоторой функции Ф(t) достаточно продифференцировать по р необходимое число раз изображение этой функции и положить р=0.

Наша передаточная функция описывается уравнением апериодического звена второго порядка. Ее изображение по Лапласу имеет вид:

Тогда выражение примет вид:

Рассчитаем нулевой момент:

Рассчитаем первый момент (математическое ожидание):

С другой стороны, т.к. математическое ожидание – это среднее арифметическое значений импульсной переходной функции k(t)=C₀-h(t)

Рассчитаем второй момент (дисперсию):

С другой стороны, т.к. дисперсия – это квадрат отклонения значений k(t) от среднего арифметического M₁ .

Итак, получившаяся система уравнений позволяет найти T₁ и T₂, а следовательно и α₁ и α₂ .

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ MATHCAD

Mathcad является интегрированной системой, ориентированной на проведение математических и инженерно-технических расчетов [18]. Он объединяет понятность, ясность, простоту в обращении при вычислениях и т.п. с простотой в обращении, свойственной электронным таблицам.

• Использоваться как калькулятор для простых вычислений.
• Определять значения выражений, заданных в символьном виде.
• Производить матричные и векторные преобразования.
• Решать линейные, нелинейные уравнения и системы уравнений.
• Заменять справочные таблицы.
• Производить дифференцирование, интегрирование, статистические расчеты и анализ данных.
• Строить двумерные и трехмерные графики и т. п.

Документ Mathcad, на котором могут быть совмещены текст, графика и формулы, выглядит как страница научной статьи или учебника, при этом формулы являются «живыми» — стоит внести изменения в одну из них, как Mathcad пересчитает результаты, перерисует графики и т. д.

После запуска приложения Mathcad открывается окно, как это показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Рабочее окно системы Mathcad

Главное окно оформлено стандартным для Windows-приложений образом: заголовок, главное меню, панель инструментов, окно редактирования, строка состояния.

Основные команды Mathcad

Главное меню системы Mathcad представлено набором команд, общим для большинства приложений операционной системы MS Windows, а также командами, представляющими специфические возможности:

• меню File (Файл) — работа с файлами;
• меню Edit (Правка) — редактирование документов;
• меню View (Вид) — настройка элементов окна. Команды меню View представлены на рис. 3.2;

View Insert Format

ToolBars — содержит кнопки панелей инструментов Standard, Formatting, Math. Если отсутствует какая-либо панель, то следует включить соответствующую опцию, например, командой View—>Toolbars—>Math.

Status Bar — позволяет включать и отключать отображение строки состояния.

Ruler — позволяет включать и отключать отображение горизонтальной линейки для точного позиционирования документов на листе.

Regions — делает видимыми/нсвидимыми границы областей.

Zoom — изменение масштаба.

Refresh — обновить содержимое экрана.

Animate — анимация.

PlayBack — воспроизведение.

Preferences — настройки.

Рис. 3.2. Команды меню View (Вид) — редактирование документов

• меню Insert (Вставка) — позволяет помещать в Mathcad документ графики, функции, матрицы, гиперссылки, компоненты и настраивать объекты;
• меню Format (Формат) — содержит команды, предназначенные для задания различных параметров, определяющих внешнее представление чисел, формул, текста, абзацев, колонтитулов и т. д.;
• меню Math (Математика) — позволяет установить режимы и параметры вычислений;
• меню Symbolics (Символы) — реализует символьные вычисления.
• меню Window (Окно) — содержит команды для упорядочения взаимного расположения нескольких окон и позволяет активизировать одно из них;
• меню Help (Помощь) — информационный центр и справочники. Команда Help открывает окно, представленное на рис. 3.3. На вкладке Содержание справочные сведения распределены по темам. На вкладке Указатель темы представлены в алфавитном порядке. Вкладка Поиск позволяет находить конкретное понятие.

b? Mathcad Help

So о ffl в ff-Скрыть Назад Вперед Домой Печать Параметры

Содержание УкАзате/ь | Поиск | Введите ключевое слово для поиска: laithmebc operators

Arrange Icons command array functions array operators arrays arrow for live symbolic evaluation arrow keys

ASCII codes fc addition with linebreak Ctrl+Enter addition +

complex comuqate division /

in-line division Ctrl+/

exponentiation magnitude multiplication *

negation nth root Ctrl+

Рис. 3.3. Окно меню справки

Кнопки панели Math

Одна из сильных сторон Mathcad — это представление и ввод математических символов и выражений в привычной для человека форме. Это обеспечивается развитым графическим интерфейсом и инструментами, располагающимися на панелях инструментов приложения Mathcad (Math, Graph . ). Открыть соответствующую панель инструментов можно с помощью команды главного меню View—>Toolbars. Для удобства работы ссылки на них объединены на панели Math.

На панели Math расположены 9 кнопок. Каждая из кнопок, в свою очередь, открывает панели инструментов специального назначения. Это следующие кнопки (в развернутом виде эти панели представлены на рис. 3.4):

• Calculator (Калькулятор). На этой панели находятся кнопки для задания математических операций, а также некоторых часто используемых функций. Эту кнопку можно использовать как калькулятор.
• Boolean (Булева) — для ввода операторов сравнения и логических операций.
• Evaluation (Вычисление) — содержит кнопки для ввода операторов присвоения значений переменных и функций.
• Graph (Графика) — инструменты для построения графика.
• Vector and Matrix (Векторы и Матрицы) — инструменты для работы с векторами и матрицами.
• Calculus (Исчисление) — представляет математические выражения с элементами интегрирования, дифференцирования в привычном виде. Кнопки этой панели позволяют вычислять значения пределов, сумм, произведений.
• Programming (Программирование) — инструменты для написания программ.

Greek Symbol (Греческий алфавит).

Symbolic (Символы) — для символьных вычислений.

Рабочее окно системы Mathcad с развернутыми панелями инструментов панели Math

Рис. 3.4. Рабочее окно системы Mathcad с развернутыми панелями инструментов панели Math

Запись команд в рабочем документе системы Mathcad

Запись команд в системе Mathcad на языке очень близка к стандартному языку математических расчетов, выполняемых на бумаге, что значительно упрощает постановку и решение задач. В результате главные аспекты решения математических задач смещаются с их программирования на алгоритмическое и математическое описание.

Mathcad реализует вычисления в строго определенном порядке, как это делает человек: читая страницу книги, то есть слева направо и сверху вниз. Правильный порядок выполнения блоков — основа правильного функционирования системы при обработке документа. Например, если в некотором блоке содержатся операции, требующие данных из другого блока, то этот «другой» блок обязательно должен выполняться первым и располагаться перед использующим его блоком. Иначе ошибка. Сигнал ошибки в системе имеет вид всплывающей надписи, заключенной в прямоугольник.

Используемые типы констант

В системе Mathcad предусмотрены следующие типы данных:

1. Целые (2,-543,+13).
2. Вещественные (1.876,-375.08).
3. Комплексные (2.5+3/). Следует иметь в виду, что при записи мнимой единицы следует использовать специальную кнопку панели Calculator.
4. Строковые. Обычно это комментарий «Вычисление суммы».

5. Системные. Системная константа — это предварительно определенная переменная, значение которой задается в начале загрузки системы. Примерами таких констант являются числа е или л.

Применение пакета MathCAD для исследования критических нагрузок на балку

Математическое моделирование технических объектов. Система MathCAD, ее основные функции. Структура HTML-документа. Определение опорных реакций. Влияние сил и распределенных нагрузок на поперечную силу и на изгибающий момент. Определение прогиба балки.

Рубрика	Программирование, компьютеры и кибернетика
Вид	курсовая работа
Язык	русский
Дата добавления	28.01.2013
Размер файла	293,6 K

Соглашение об использовании материалов сайта

Просим использовать работы, опубликованные на сайте, исключительно в личных целях. Публикация материалов на других сайтах запрещена.
Данная работа (и все другие) доступна для скачивания совершенно бесплатно. Мысленно можете поблагодарить ее автора и коллектив сайта.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Математическое моделирование технических объектов. Проведение расчета балки на изгиб с использованием математического пакета MathCAD. Схема балки, зависимость ее диаметра от распределённой силы. Алгоритмический анализ задачи. Описание создания Web-сайта.

курсовая работа [1,3 M], добавлен 09.10.2013

Понятие математической модели и моделирования. Общие сведения о системе MathCad. Структурный анализ задачи в MathCAD. Режим непрерывных символьных преобразований. Оптимизация численных вкладок через символьные преобразования. Расчет опорной реакции.

курсовая работа [649,5 K], добавлен 06.03.2014

Исследование особенностей создания математической модели и её дальнейшего решения в пакете MathCAD. Характеристика предметного и абстрактного моделирования технических объектов. Построение графика максимального прогиба балки и угла поворота сечения.

курсовая работа [610,5 K], добавлен 11.12.2012

Основные элементы системы MathCAD, обзор ее возможностей. Интерфейс системы, концепция построения документа. Типы данных, входной язык системы. Классификация стандартных функций. Графические возможности системы MathCAD. Решение уравнений системы.

курс лекций [2,1 M], добавлен 01.03.2015

Изучение теоретических положений, раскрывающие структуру линейных и нелинейных стационарных и динамических объектов, математическое описание и решение задачи анализа объектов. Использование для решения функции системы математических расчетов MathCAD.

контрольная работа [317,7 K], добавлен 16.01.2009

Изучение структуры рабочего документа MathCad — программы, предназначенной для автоматизации математических расчетов. Работа с переменными, функциями и матрицами. Применение MathCad для построения графиков, решения уравнений и символьных вычислений.

презентация [639,2 K], добавлен 07.03.2013

Применение комплексного математического моделирования в проектировании. Обзор численных методов в моделировании. Решение дифференциальных уравнений в MathCAD. Анализ исходных и результирующих данных. Описание реализации базовой модели в MathCAD.

Вычисление выражений и построение двумерных графиков в Mathcad (стр. 1 из 2)

Общение с Mathcad происходит на входном языке максимально приближенном к обычному языку описания математических задач. Входной язык Mathcad относится к интерпретируемому типу. Это означает, что, как только опознается какой либо объект системы, тут же выполняются связанные с ним операции. По существу, входной язык — это промежуточное звено между скрытым от пользования языком создаваемого документа и языком реализации системы (Mathcad написан на С++). По мере того, как вы будете создавать в окне редактирования различные объекты, сама система составляет программу на некотором промежуточном языке, которая хранится в оперативной памяти до тех пор, пока не будет сохранена на диске в виде файла с расширением .mcd.

Цель работы: изучение методов вычисления выражений в Mathcad и построения графиков функций одной переменной.

вычисление выражение построение график mathcad

1. Возможности математического пакета MathCad

Как и во всех интерпретирующих языках, листинг полученной промежуточной программы просматривается сверху вниз, а в пределах строки — слева направо.

Любые указания в программе тут же выполняются.

Как только блок опознается, система автоматически запускает внутренние подпрограммы выполнения необходимых действий, например вычисления по формуле.

В простейшем случае работа с пакетом сводится к подготовке в окне редактирования задания на вычисления и установке форматов вывода результатов.

Для этого используются различные приемы подготовки блоков.

Фактически Mathcad содержит в себе три редактора — текстовый, формульный и графический.

Текстовый редактор позволяет задавать текстовые комментарии к создаваемому документу.

В простейшем случае для вызова текстового редактора достаточно ввести символ одиночной кавычки — ‘ (на английской раскладке клавиатуры). В появившемся прямоугольнике можно вводить текст.

Для запуска формульного редактора достаточно установить указатель мыши в любом месте окна редактирования и щелкнуть левой кнопкой мыши. Появится курсор в виде маленького красного крестика.

Читать:

Ltinbox что это смс

Этот курсор указывает место, с которого можно начинать набор формул — вычислительных блоков.

Простейшие вычисления выполняются посимвольным набором левой части вычисляемого выражения и установкой после него оператора вывода — знака =. Примеры таких вычислений приведены на рисунке 1.

Рис. 1 Примеры вычисления простейших выражений

Оператор «равно» обычно используется как оператор вывода, однако его можно использовать как оператор первого присваивания значения переменной.

Чтобы присвоить переменной новое значение необходимо использовать оператор присваивания «:=» (кавычки не входят в состав оператора), для которого сначала вводится символ двоеточие «:».

Для ввода дробных чисел в качестве разделителя используется точка.

Следует отметить некоторые особенности использования системы при вычислении простых выражений:

— некоторые комбинированные операторы, например :=, вводятся одним первым символом;

— система вставляет пробелы до и после арифметических операторов;

— оператор умножения вводится как звездочка, но представляется точкой в середине строке;

— операция деления вводится как наклонная черта /, но заменяется горизонтальной чертой;

— оператор возведения в степень вводится знаком ^, но число в степени представляется в обычном виде (степень как верхний индекс);

— по умолчанию десятичные числа представляются с тремя знаками после разделительной точки;

— Mathcad понимает наиболее распространенные константы — e или p.

Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря использованию шаблонов при вводе того или иного оператора. Для этого служат палитры математических символов и шаблонов операций и функций (рисунок 2).

Рис.2. Палитры математических символов

Например, мы хотим вычислить определенный интеграл. Для этого вначале на экран нужно вывести палитру операторов математического анализа. Щелкните на кнопки с изображением знака интеграла и производной, и палитра появится в окне программы. Затем следует установить курсор в то место экрана, куда необходимо ввести шаблон, и щелкнуть на кнопке с изображением знака определенного интеграла.

В составе сложных шаблонов встречаются меньшие шаблоны для ввода отдельных данных. Они имеют вид небольших черных квадратов и называются местами ввода. В шаблоне интеграла их четыре: для ввода нижнего и верхнего интервалов интегрирования, для задания подынтегральной функции и для указания имени переменной, по которой осуществляется интегрирование (рисунок 3).

Рис.3. Пример использования шаблона

Mathcad имеет множество встроенных элементарных, специальных и статистических функций. Наиболее известные из них вполне можно ввести, используя их математические обозначения: sin(2.5), ln(5) и т.д. Однако большое количество функций не позволяет их запомнить. Для облегчения ввода математических функций на стандартной панели инструментов имеется кнопка f(x), которая выводит окно с полным перечнем функций, разбитым на тематические разделы (рисунок 4).

Функции имеют параметры (аргументы), которые записываются в круглых скобках. Функция может иметь один или несколько параметров. Параметры могут иметь численное значение, быть константой, ранее определенной переменной или математическим выражением, возвращающим численное значение.

Рис.4. Окно выбора функции

2. Построение графика функции одного аргумента

В Mathcad очень просто строить различные графики, которые в ряде случаев позволяют лучше понять особенности различных функциональных отношений.

В качестве примера рассмотрим процедуру построения графика функции sin(x 3 ).

1.Введите функцию, набрав sin(x 3 ).

2.На панели инструментов для ввода математических объектов, выберите кнопку с изображением графика — на экране появится палитра графиков.

3.На палитре графиков выберем кнопку с изображением двумерного графика — на экране появится шаблон графика (рисунок 5) с введенной по оси Y функцией.

4.Введите по оси Х имя независимого аргумента — х.

5.Отведите от графика указатель мыши и щелкните левой кнопкой — график будет построен (рисунок 6).

Рис. 5. Шаблон графика функции одного переменного

Рис.6. Построенный график функции

В одной системе координат можно построить несколько графиков. Для этого их надо перечислить после первой функции у оси Y, отделяя выражения с функциями запятыми. В качестве примера добавим графики функций sin(x) 2 и cos(x). Для этого выполним следующие действия:

1.Подведем указатель мыши точно в конец выражения sin(x) 3 .

2.Щелкним левой кнопки мыши — появится синий уголок в конце выражения (или перед ним).

3.Клавишами перемещения курсора по горизонтали переместим уголок точно в конец выражения и нажатием клавиши пробел добьемся, чтобы уголок охватил все выражение.

4.Введем знак запятой, при этом первое выражение ушло вверх, а под ним появляется новое место ввода.

5.Введем выражение sin(x) 2 .

6.Проделаем аналогичную процедуру для функции cos(x).

Результат выполнения указанной последовательности действий приведен на рисунке 7.

Рис.7. Графики трех функций

Рассмотрим теперь приемы форматирования двумерных графиков. Под форматированием понимают изменение вида графика.

Для вывода окна форматирования достаточно выполнить двойной щелчок левой клавишей мыши над областью рисунка (рисунок 8).

Рис. 8. Окно форматирования двумерного графика с открытой вкладкой XY-Axes

Настройки вкладки XY-Axes (XY-оси) задают характер отображения осей, настройки вкладки Traces (след) — служат для управления отображением линий, из которых строится график, настройки вкладки Labels (метки) позволяют ввести текст титульной строки и надписи по осям, вкладка Defaults (умолчание) позволяет назначить установленные на других вкладках параметры форматирования параметрами по умолчанию.

На вкладке XY-Axes (XY-оси) определяются следующие параметры, относящиеся к осям X и Y:

Log Scale (логарифмический масштаб) — установка логарифмического масштаба по оси;

Grid Lines (вспомогательные линии сетки) — установка линий масштабной сетки;

Numbered (нумерация) — установка цифровых данных по осям;

Autoscale (автомасштаб) — автоматическое масштабирование графика;

Show Markers (показать метка) — установка делений по осям;

Auto Grid (авто сетка) — автоматическая установка масштабных линий;

Number of Grids (число интервалов) — установка заданного числа масштабных линий.

Назначение этих параметров очевидно. Отметим лишь, что если флажок Grid Lines (вспомогательные линии сетки) снят, масштабная сетка графика не строится, хотя на осях размещаются короткие деления. Флажок Numbered (нумерация) обеспечивает возможность редактирования цифровых данных, например, для округления нижнего и верхнего пределов изменений значений абсцисс и ординат, которые при автоматическом выборе масштаба могут оказаться вещественными числами.

Похожие публикации:

Как сделать maple stick
Как сделать монтаж в snapchat
Как сделать фигурную скобку в mathcad
Как скачать snapchat на компьютер

Как определяется в mathcad математическое ожидание

Обработка экспериментальных данных

Моделирование псевдослучайных чисел

Функция генерирует одно случайное число, равномерно распределенное в интервале [0, х].

Функции MathCAD генерирования случайных векторов. — число проекций случайного вектора

Равномерное распределение

Нормальное распределение

распределение

( число степеней свободы)

Пример. Необходимо сгенерировать два случайных вектора: – проекции имеют нормальное распределение (математическое ожидание равно –20, дисперсия 100); – проекции имеют распределение (с числом степеней свободы 10). Размерность векторов равна 100.

Функции MathCAD вычисления выборочных значений числовых характеристик. К числовым характеристикам случайной величины относятся: математическое ожидание (или среднее), дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д. Часто возникает необходимость оценить эти характеристики по выборке значений случайной величины объема . Такие оценки называют выборочными значениями числовых характеристик.

В таблице приведены имена функций, вычисляющих выборочное значение часто используемых числовых характеристик. Здесь векторы размерности , составленные из значений случайной величины и .

Математическое ожидание случайной величины

Дисперсия случайной величины

Среднеквадратическое отклонение случайной величины

Медиана случайной величины

Мода случайной величины

Корреляционный момент двух случайных величин

Коэффициент корреляции двух случайных величин

Пример. На приведенном выше рисунке показан фрагмент документа MathCAD , в котором вычисляются выборочные значения некоторых числовых характеристик.

Задание. Сгенерируйте случайный вектор размерности 200, проекции которого равномерно распределены в интервале . Вычислите его числовые характеристики.

Увеличить размерность до 1000 и снова вычислить его числовые характеристики. Сравнить выборочные числовые характеристики с теоретическими.

ф ункции MathCAD вычисления частот значений случайной величины (построение гистограмм). Введём некоторые определения.

Предположим, что дана выборка случайной величины Х ( – объём выборки). Введём L +1 точку

Тогда число значений , попавших в интервал обозначим через и назовём частотой.

назовём относительной частотой, для которой выполняется условие

В качестве оценки плотности распределения вероятности непрерывной случайной величины Х используют гистограмму относительных частот, т.е. систему прямоугольников, k -й из которых основанием имеет а высота определяется по формуле

и имеет место приближенное тождество

где некоторое число из интервала .

Возникает вопрос: как сформировать интервалы ? Количество интервалов L рекомендуется вычислять по формуле

где – целая часть числа .

Значения w_k , вычисляются по частотам . Поэтому для определения по выборке в MathCAD включены две функции:

hist(int,X), histogram(int,X).

Параметры функции hist ( int , X ):

int – массив длины ( L +1), составленный из значений Если параметр int задать целым числом, равным числу интервалов L , то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

X – массив длиной N , составленный из значений выборки .

Результатом работы функции является одномерный массив

Параметры функции histogram ( int , X ):

int – массив длины ( L +1), составленный из значений Если int задать целым числом, равным числу интервалов L , то при выполнении функции формируется рабочий массив узлов ;

Х – массив длиной N , составленный из значений выборки .

Результатом работы функций является матрица размером , первый столбец содержит значения (середины отрезков а второй столбец – значения .

Пример. Построить гистограммы относительных частот по выборкам случайных величин определенных в рассмотренном ранее примере. Объём выборки N = 1000.

На рисунке А показано построение гистограммы для случайной величины а на рисунке Б – для случайной величины с использованием функции histogram при L = 11. Середины отрезков «откладываются» по оси абсцисс, а для отображения гистограммы задаётся параметр solidbar (команда Формат контекстного меню, закладка Метки). Точками на рисунках показаны значения соответствующих плотностей распределений, вычисленных при .

Задание. По двум выборкам равномерно распределенных случайных чисел (объемом 200 и 2000) построить гистограммы.

Сделать вывод о влиянии объема выборки на точность оценивания плотности распределения случайной величины.

Математическое ожидание

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины, рассматривается в теории вероятностей. [1] В англоязычной литературе и в математических сообществах Москвы и Санкт-Петербурга обозначается через $\mathbb<E>[X]» width=»» height=»» /> [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert ), в русской — <img decoding=$ [источник не указан 98 дней] (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert , а возможно от рус. Математическое ожидание ). В статистике часто используют обозначение $\mu$ .

Определение

Пусть задано вероятностное пространство $(\Omega,\mathfrak<F>,\mathbb)» width=»» height=»» /> и определённая на нём случайная величина <img decoding=$ . То есть, по определению, $X\colon\Omega \to \mathbb<R>» width=»» height=»» /> — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от <img decoding=$ по пространству $\Omega$ , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или $\mathbb<E>[X]» width=»» height=»» />. <img decoding=$ — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

$M[X]=\int\limits_<-\infty>^<\infty>\!x\, dF_X(x); x \in \mathbb R» width=»» height=»» />. <h4>Математическое ожидание дискретного распределения</h4> <ul> <li>Если <img decoding=$ — дискретная случайная величина, имеющая распределение

$\mathbb(X=x_i) = p_i,\; \sum\limits_^ <\infty>p_i = 1″ width=»» height=»» />, то прямо из определения интеграла Лебега следует, что <img decoding=$ — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

$\mathbb(X=j) = p_j,\; j=0,1. ;\quad \sum\limits_^ <\infty>p_j = 1″ width=»» height=»» /> <img decoding=$ . Если математическое ожидание бесконечно, то $\lim_<s\to 1>P» width=»» height=»» /> и мы будем писать <img decoding=$

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения $\<q_k\>» width=»» height=»» /> <img decoding=$ свойством: $Q(s)=\frac<1-P(s)>» width=»» height=»» /> при <img decoding=$ . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M[X]=P

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью, равно

$M[X]=\int\limits_<-\infty>^<\infty>\! x f_X(x)\, dx» width=»» height=»» />. <h3>Математическое ожидание случайного вектора</h3> <img decoding=$ — борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

$M\left[g(X)\right] = \sum\limits_<i=1> ^ <\infty>g(x_i) p_i» width=»» height=»» />, <img decoding=$

если имеет дискретное распределение;

$M\left[g(X)\right] = \int\limits_<-\infty> ^<\infty>\!g(x) f_X(x)\, dx» width=»» height=»» />, <img decoding=$

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение $\mathbb^X» width=»» height=»» /> случайной величины <img decoding=$ общего вида, то

$M\left[g(X)\right] = \int\limits_<-\infty> ^<\infty>\!g(x)\, \mathbb^X(dx)» width=»» height=»» />. В специальном случае, когда <img decoding=$ , Математическое ожидание $M\left[g(X)\right]=M[X^k]$ называется -тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

Математическое ожидание числа есть само число.

M[a] = a $a \in \mathbb<R>» width=»» height=»» /> — константа; <ul> <li>Математическое ожидание линейно, то есть</li> </ul> <img decoding=$ , где X,Y — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а $a,b\in \mathbb<R>» width=»» height=»» /> — произвольные константы; <ul> <li>Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если <img decoding=$ почти наверное, и — случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины также конечно, и более того

$0 \leqslant M[X] \leqslant M[Y]$ ;

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверное, то

M[X]=M[Y] .

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

M[XY] = M[X]M[Y] .

Дополнительные свойства математического ожидания

Неравенство Маркова;
Теорема Леви о монотонной сходимости;
Теорема Лебега о мажорируемой сходимости;
Тождество Вальда;
Лемма Фату.
Математическое ожидание случайной величины может быть выражено через её производящую функцию моментовкак значение первой производной в нуле:

Примеры

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.
- Пусть случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на интервале , где . Тогда её плотность имеет вид $f_X(x) = \frac\mathbf_(x)$ и математическое ожидание равно
$M[X] = \int\limits_^b\!\frac<x>\, dx = \frac» width=»» height=»» />. <ul> <li>Пусть случайная величина <img decoding=$ имеет стандартное распределение Коши. Тогда

$\int\limits_<-\infty>^<\infty>\!xf_X(x)\, dx = \infty» width=»» height=»» />, <img decoding=$

то есть математическое ожидание не определено.

Примечания

↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов. — М. : «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
↑А. Н. Ширяев 1 // «Вероятность». — М. : МЦНМО, 2007. — 968 с. — ISBN 978-5-94057-036-3, 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6

См. также

Дисперсия случайной величины;
Моменты случайной величины;
Условное математическое ожидание;
Выборочное среднее.

Литература

В.Феллер. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Под ред. Е. Б. Дынкина. — 2-е изд. — М .: Мир, 1964. — С. 270—272.

Как найти математическое ожидание?

Формула среднего случайной величины

Пример нахождения математического ожидания

Вычисление математического ожидания онлайн

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Полезные ссылки

Как определяется в mathcad математическое ожидание

Метод моментов.

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ В СИСТЕМЕ MATHCAD

Применение пакета MathCAD для исследования критических нагрузок на балку

Соглашение об использовании материалов сайта

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

Вычисление выражений и построение двумерных графиков в Mathcad (стр. 1 из 2)

Как определяется в mathcad математическое ожидание

Моделирование псевдослучайных чисел

Математическое ожидание

Определение

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Простейшие свойства математического ожидания

Дополнительные свойства математического ожидания

Примеры

Примечания

См. также

Литература

Похожие записи