Как строить график заданный параметрически

При построении кривых, заданных параметрически:
можно придерживаться следующего плана.

Найти области определения и функций и .
Найти область определения
функции, заданной параметрически.
Решив уравнения
найти точки пересечения с осями координат.
Вычислить производные и
Определить производную Найти критические точки.
На каждом из интервалов, границами которых служат критические точки, определить знак производной и промежутки возрастания и убывания функции , заданной параметрически.
Определить экстремумы функции, а также точки, касательная к которым вертикальна (производная в этих точках обращается в бесконечность).
Определить особые точки графика, в которых и (или)
Найти пределы и в точках , лежащих на границах области определения.
- Если оба предела конечны, найти касательную к кривой в точке
- Если один из пределов конечен, а второй бесконечен, то кривая имеет горизонтальную или вертикальную асимптоту.
- Если оба предела бесконечны, то найти наклонную касательную, вычислив пределы Если один из этих пределов не существует, то асимптоты нет.
Вычислить производную и определить точки перегиба функции и направление выпуклости на каждом из интервалов, ограниченных точками перегиба или точками, в которых вторая производная не существует.
Выяснить, существуют ли точки самопересечения графика функции, решив систему
Проверить график функции на симметричность.
- График функции симметричен относительно точки , если при любом можно найти такое , что
- График функции симметричен относительно прямой , если при любом можно найти такое , что В частности, график функции симметричен относительно прямой , если при любых имеет решение система

график-функции — Построение графика функции, заданной параметрически

Объясните, пожалуйста, как построить график это функции, заданной параметрически:

Если можно, пожалуйста, объясните пошагово как строить график, а то, к сожалению, у нас по данной теме был только один семинар и на нем мы разбирали более легкие задания. Заранее благодарен!

задан 18 Дек ’14 20:07

1 ответ

Сначала надо построить часть графика для $%0\le t\le\pi/2$%, когда мы находимся в первой координатной четверти. Находим концевые точки: при $%t=0$% это $%(4;0)$%, а при $%t=\pi/2$% это $%(0;2)$%. Эти точки соединены кривой. Подставляя промежуточное значение $%t=\pi/4$%, для которого $%\cos t=\sin t=\sqrt2/2$%, получаем точку графика $%(\sqrt2;\sqrt2/2)$%. Она лежит ниже отрезка, соединяющего концевые точки. В соответствии с этим, соединяем точки плавной линией, расположенной ниже этого отрезка.

Можно также заметить, что в силу основного тригонометрического тождества выполнено равенство $%(\frac4)^a+(\frac2)^a=1$%, где $%a=2/3$%. При $%a=1$% у нас был бы отрезок, при $%a=2$% — дуга эллипса, то есть выпуклая кривая. Здесь же при $%a < 1$% кривая оказывается вогнутой.

Для точек других координатных четвертей график строится из соображений симметрии, при помощи отражения от осей координат уже построенных частей. Получается нечто вроде ромба со «вдавленными» сторонами.

отвечен 18 Дек ’14 21:25

falcao
300k ● 9 ● 38 ● 53

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки. Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций. • Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных. • Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси. Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны. Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы. • Если , или , то -вертикальная асимптота. • Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где Если существует, то ищем : Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , . Решение. Совокупная область определения: . Найдем , : Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается. На ось наносим точки , , (см. рис. 40): Рис. 40. Ось . Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси . Таблица 14.

Знак
Убывает	Убывает	Возрастает	Возрастает
от до	от до	от до	от до
Знак
Возрастает	Возрастает	Возрастает	Убывает
от до	от до	от до	от до

Для заполнения первой клетки изменения функции вычисляем Для первой клетки функции вычисляем Аналогично заполняются остальные клетки. В точках непрерывности вычисляем просто значение функции. Для построения графика читаем таблицу по столбцам. Получаем, что переменная точка движется от точки неограниченно влнво ( — убывает) и одновременно поднимается от до . В данном случае при имеем горизонтальную асимптоту . Получим монотонную ветвь по которой точка движется влево (см. рис. 41). Правый конец ветви на рис. 41 соответствует , левый — . Рис. 41. Ветвь графика функции , при . Остальные три ветви строим аналогично как движение точки в нужном направлении. Для уточнения графика на ветви найдем хотя бы одну точку. Выберем получим округлённо . На ветви возьмем получим . Исследуем направление выпуклости. Находим Наносим на ось точки разрыва функций , и нули . Находим и проставляем знаки . (см. рис. 42). Рис. 42. Ось и знаки . При получаем точку перегиба . При кривая будет выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вверх, при — выпукла вниз, при — выпукла вниз. При имеем , , поэтому у ветви может быть наклонная асимптота. Проверим это: Это значит, что асимптоты не существует. У ветви при проверка показывает отсутствие аимптоты. При — горизонтальная асимптота . Заметим также, что при любых , поэтому график функции находится выше оси . График функции , изображен на рис. 43. Рис. 43. График функции , .

График функции, заданной параметрически

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��

Что умеет?

Строит график в параметрических координатах
Можно задать несколько графиков
Находит особые точки и точки пересечения, если графиков несколько
Находит площадь фигуры, заданную параметрически

Введите график функции

Важно a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

Читать:

Как зайти в snapchat