Как вводить число в корень

Внесение под знак корня

В данной публикации мы рассмотрим, как число (множитель) или букву внести под знак квадратного и более старших степеней корня. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Содержание скрыть

• Правило внесения под знак корня
  • Квадратный корень
  • Корень n-ой степени
  • Отрицательное число/множитель

  Правило внесения под знак корня

  Квадратный корень

  Чтобы внести число (множитель) под знак квадратного корня, его следует возвести во вторую степень (другими словами, в квадрат), затем полученный результат написать под знаком корня.

  Пример 1: внесем число 7 под квадратный корень.

  Решение:
  1. Для начала возведем заданное число в квадрат: .
  2. Теперь просто записываем рассчитанное число под корнем, т.е. получаем √ 49 .

  Коротко внесение под знак корня можно записать так:

  Примечание: Если речь идет про множитель, его мы умножаем на уже имеющееся подкоренное выражение.

  Пример 2: представим произведение 3√ 5 полностью под корнем второй степени.

  Корень n-ой степени

  Чтобы внести число (множитель) под знак кубического и более старших степеней корня, мы возводим это число в заданную ступень, затем переносим результат в подкоренное выражение.

  Пример 3: внесем число 6 под кубический корень.

  Пример 4: представим произведение 2 5 √ 3 под корнем 5-ой степени.

  

  Отрицательное число/множитель

  При внесении отрицательного числа/множителя под корень (неважно какой степени), знак “минус” обязательно остается перед знаком корня.

  Пример 5

  

  Внесение под корень буквы

  Чтобы внести букву под знак корня, поступаем так же, как и с числами (в т.ч. с отрицательными) – возводим эту букву в соответствующую степень, после чего добавляем в подкоренное выражение.

  Пример 6

  

  Это справедливо при , если же p – отрицательное число, то перед знаком корня необходимо добавить знак “минус”.

  Пример 7
  Рассмотрим более сложный случай: .

  1. Сперва внесем выражение в скобках под знак корня.

  

  2. Теперь согласно формуле сокращенного умножения возведем выражение в квадрат.

  

  Примечание: первый и второй шаг можно поменять местами.

  3. Остается только выполнить умножение под корнем с раскрытием скобок.

  Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения

  В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.

  Понятие внесения множителя под знак корня

  Начнем с определения этого преобразования.

  Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B · C n , где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение B n · C n или — B n · C n .

  Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n , равного 2 , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.

  Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5 · 3 , — 0 , 7 · x + 2 · y 3 , x — 2 · 1 — x 4 и т.д.

  В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 5 2 · 3 , — 0 , 7 3 · x + 2 · y 3 , — x — 2 4 · 1 — x 4 . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.

  После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда — B n · C n следует заменять на B n · C n , а когда B n · C n на — B n · C n .

  Теоретические основы внесения множителя под корень

  Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:

  1. Выражение A можно заменить на A n n в случае нечетного n . Если же n является четным числом, то возможна замена на A n n для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A ≥ 0 ). То есть если n – нечетное число, то A = A n n , A ≥ 0 , — A n n , A < 0 .
  2. Выражение A n · B n заменяется на A · B n при условии, что n – натуральное число.

  Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:

  • при нечетном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n
  • при четном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n , B ≥ 0 , — B n n · C n = — B n · C n , B < 0

  Допустим, B представляет из себя число, большее 0 , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B · C n = B n n · C n = B n · C n . А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

  В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.

  Основные правила внесения множителя под знак радикала

  Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.

  Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

  Определение 4

  Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением ( x 2 , 5 · x 4 + 3 · y 2 · z 2 + 7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B · C n = B n n · C n = B n · C n .

  Определение 5

  Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0 , или выражением с неположительными значениями (к примеру, − 2 · x 2 , − ( x 2 + y 2 + 1 ) и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

  Определение 6

  Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:

  • решить неравенства B ≥ 0 и B < 0 на области допустимых значений исходного выражения;
  • получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B · C n = B n n · C n = B n · C n , а на втором B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .

  Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.

  Решения задач на внесение множителя под корень

  Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.

  Условие: преобразуйте выражения 2 · 3 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 и x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 , внеся множитель под знак корня.

  Решение

  Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.

  1. 2 · 3 5 = 2 5 5 · 3 5 = 2 5 · 3 5 . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 2 5 · 3 5 = 32 · 3 5 = 96 5 .
  2. Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 3 3 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = 6 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3
  3. Здесь выполняем преобразования сразу:

  x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = ( x — 1 ) 7 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) 7 · x + 1 x — 1 6 7

  Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:

  x — 1 7 · x + 1 x — 1 6 7 = x — 1 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) · x + 1 7 = x 2 — 1 7

  Ответ: 2 · 3 5 = 96 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3 , x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = x 2 — 1 7

  Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.

  Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5 · 3 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 и x 2 + 1 · 1 x · ( x 2 + 1 ) , а потом по возможности упростите выражения.

  Решение

  Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 5 2 · 3 . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5 · 3 = 5 2 · 3 = 5 2 · 3 . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 5 2 · 3 = 75 .

  Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0 , значит, сразу переходим к преобразованиям:

  1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 1 2 4 4 · 16 · q 4 — q 4 = = 1 2 4 · 16 · q 4 — q 4 = q 4 — q 4 = 0

  В третьем случае очевидно, что x 2 + 1 будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x 2 и единицы мы получим положительное число), значит:

  x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x

  Ответ: 5 · 3 = 75 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 0 , x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x .

  Условие: преобразуйте выражения — 10 2 · ( 0 , 1 ) 7 · a 4 и 2 · — 3 — y 2 · x , внеся множитель под знак корня.

  Решение

  Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:

  — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 2 4 4 · 0 , 1 7 · a 4 = = — 10 2 4 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 8 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4

  Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2 · ( − 3 − y 2 ) будет отрицательно при любом y , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:

  2 · — 3 — y 2 · x = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = — 2 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 4 · y 4 + 6 · y 2 + 9 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x

  Ответ: — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4 , 2 · — 3 — y 2 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x .

  Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.

  Условие: даны выражения x — 2 · 1 — x 4 и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 . Выполните внесение множителя под знак корня.

  Решение

  Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x — 2 · 1 — x 4 есть четный показатель корня ( 4 ) , а выражение x − 2 может принять разные значения (больше 0 , меньше 0 , равные 0 ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1 − x ≥ 0 . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x — 2 ≥ 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 1 ⇔ ∅ и x — 2 < 0 1 - x ≥ 0 ⇔ x < 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 .

  Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x − 2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x ≤ 1 , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:

  x — 2 · 1 — x 4 = — x — 2 4 4 · 1 — x 4 = = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4

  Во втором выражении x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 имеется четный показатель корня, а выражение x + 6 x — 4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 и x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 .

  Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.

  x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 ⇔ ( - 6 , 4 ) ( - ∞ , - 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( - 6 , - 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

  Следовательно, значение выражения x + 6 x — 4 будет неотрицательным при x ∈ ( − ∞ , − 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

  А отрицательным значение будет при x ∈ ( − 6 , − 2 ] ∪ [ 1 , 4 ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2

  Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.

  Ответ: x — 2 · 1 — x 4 = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4 и

  x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )

  В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.

  Как внести под знак корня

  Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня.

  При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.

  7 √ 2 = √ 7 2 · √ 2 = √ 7 2 · 2 =

  Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак корня:

  Возводим « 3 » во вторую степень и вносим под знак корня: « √ 3 2 ».

  

  Важно!

  Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.

  Замена « 3 = √ 3 2 » возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.

  3 · √ 13 = √ 3 2 · √ 13 = …

  3 √ 13 = √ 3 2 · √ 13 = √ 3 2 · 13 =

  Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:

  3 √ 13 = √ 3 2 · 13 = √ 9 · 13 = √ 108

  Говорят: «Множитель « 3 » внесли под знак корня, получив « 9 ».

  Примеры внесения множителя под знак корня

  Разбор примера

  Внести множитель под знак корня:

  Внесение отрицательного множителя под корень

  Запомните!

  При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня минус всегда остается перед знаком корня.

  Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда « остается за бортом! ».

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак корня:

  Прежде чем вносить число « 10 » под знак корня, отдельно запишем знак минуса « − » как умножение на « −1 ».

  − 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 = …

  Теперь внесем только положительное число « 10 » под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.

  − 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
  = (−1) · √ 10 2 · 14 =
  = (−1) · √ 100 · 14 =
  = (−1) · √ 1400 = …

  Обычно умножение на « (−1) » заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.

  − 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
  = (−1) · √ 10 2 · 14 =
  = (−1) · √ 100 · 14 =
  = (−1) · √ 1400 =

  Кратко решение примера записывают следующим образом:

  −10 √ 14 = − √ 10 2 · 14 =
  = − √ 100 · 14 = − √ 1400

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак корня:

  −

  1

  3

  √ 18p ;

  При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.

  Внесение буквы под знак корня

  

  Важно!

  При внесении буквы под знак квадратного корня эта буква возводится во вторую степень.

  • p √ 3 = √ p 2 · √ 3 = √ 3p 2
    , где p ≥ 0 ;

  Если буква уже находится во второй степени, то ее степень умножается на « 2 » по правилу возведения степени в степень.

  b 2 √ 7 = √ (b 2 ) 2 · √ 7 =

  = √ b 2 · 2 · √ 7 = √ b 4 · √ 7 =

  = √ x 3 · 2 · √ y = √ x 6 · √ y =

  Разбор примера

  Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

  Запишем букву « a » в виде ее квадрата под знаком квадратного корня « √ a 2 ».

  По свойству произведения квадратных корней запишем их умножение под одним знаком корня.

  Разбор примера

  Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

  = √ 3x 5 − 4 = √ 3x 1 = √ 3x

  Внесение под корень буквы с минусом

  Запомните!

  При внесении под знак квадратного корня буквы с минусом знак минуса всегда остается перед знаком корня.

  Запомните правило: «При внесении отрицательной буквы под знак корня минус всегда « остается за бортом! ».

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак корня (всюду в этом параграфе предполагается, что переменные принимают только положительные значения):

  Вместо знака минуса « − » перед буквой « b » запишем умножение на « −1 ».

  − b √ 10 = (−1) · b √ 10 = …

  Теперь внесем букву « b » под знак корня, возведя ее в квадрат. Множитель « −1 » оставим перед знаком квадратного корня.

  − b √ 10 = (−1) · b √ 10 =
  = (−1) · √ b 2 · 10 = − √ 10b 2

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак квадратного корня при p > 0 и k > 0 :

  Чтобы не путаться при внесении буквы с числом под знак квадратного корня, удобно сначала внести числовой множитель, а затем букву.

  9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k = p 5 √ 81 · k = …

  После внесения числа « 9 » под знак корня перейдем к внесению буквы « p 5 », возведя её во вторую степень.

  9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k =

  = p 5 √ 81 · k = √ (p 5 ) 2 · 81 · k =

  = √ p 5 · 2 · 81 · k = √ p 10 · 81 · k = …

  Запишем окончательный ответ в стандартном виде одночлена: сначала число, затем буквы в алфавитном порядке.

  9p 5 √ k = p 5 √ 9 2 · k =

  = p 5 √ 81 · k = √ (p 5 ) 2 · 81 · k =

  = √ p 5 · 2 · 81 · k = √ p 10 · 81 · k =

  Как внести множитель в скобках под корень

  Запомните!

  При внесении под знак квадратного корня выражения в скобках, нужно возвести во вторую степень всё выражение в скобках .

  Разбор примера

  Внесите множитель под знак квадратного корня.

  Внесем множитель « (2 − √ 5 ) » под знак квадратного корня, возведя всё выражение во вторую степень.

  (2 − √ 5 ) · √ 3 =

  (2 − √ 5 ) 2 · 3

  = …

  Используем формулу сокращенного умножения «Квадрат разности»
  для « (2 − √ 5 ) 2 ».

  

  Важно!

  В старшей школе большинство заданий требует знания этих формул.

  Не забудем, что под знаком корня уже был множитель « 3 ».

  (2 − √ 5 ) · √ 3 =

  (2 − √ 5 ) 2 · 3

  =

  =

  (2 2 − 2 · 2 · √ 5 + ( √ 5 ) 2 ) · 3

  =
  =

  (4 − 4 √ 5 + 5) · 3

  =

  =

  (9 − 4 √ 5 ) · 3

  = …

  (2 − √ 5 ) · √ 3 =

  (2 − √ 5 ) 2 · 3

  =

  =

  (2 2 − 2 · 2 · √ 5 + ( √ 5 ) 2 ) · 3

  =
  =

  (4 − 4 √ 5 + 5) · 3

  =

  =

  (9 − 4 √ 5 ) · 3

  =

  =

  3 · 9 − 3 · 4 √ 5

  =

  27 − 12 √ 5

  Ваши комментарии

  

  Важно!

  Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

  Квадратный корень — все, что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

  Как же такое число запомнить? А как его записать, если, допустим, нельзя округлять? Например на ЕГЭ?

  Очень просто. С помощью квадратного корня. Пишешь \( \sqrt \) и все.

  Именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня. К слову такие числа называются иррациональными.

  Ну и давай теперь разберемся с квадратным корнем…

  Квадратный корень. Коротко о главном

  Определение квадратного корня

  Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \( \displaystyle a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \( \displaystyle a\).

  Главное!

  Если мы просто извлекаем квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

  Свойства арифметического квадратного корня

  СВОЙСТВО	ПРИМЕР
  Корень произведения равен произведению корней: \( \displaystyle \sqrt[<>]=\sqrt[<>]\cdot \sqrt[<>]\)	\( \displaystyle \sqrt[<>]=\sqrt[<>]\cdot \sqrt[<>]=8\cdot 3=24\)
  Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя: \( \displaystyle \sqrt[<>]<\frac>=\frac<\sqrt[<>]><\sqrt[<>]>\), если \( \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0\)	\( \displaystyle \sqrt[<>]<\frac>=\frac<\sqrt[<>]><\sqrt[<>]>=\frac=2\frac\)
  Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: \( \displaystyle <<\left( \sqrt\right)>^>=<<\left( \sqrt<<^>> \right)>^>>\), при \( \displaystyle a\ge 0\)	\( \displaystyle <<\left( \sqrt\right)>^>=\sqrt<<^>>=\sqrt=4\)

  Что такое арифметический квадратный корень

  Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа \(a\) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\). \( (\sqrt=x,\ ^>=a;\ x,\ a\ge 0)\).

  А почему же число \( a\) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

  Например, чему равен \( \sqrt\)?

  Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

  Может, \( \left( -3 \right)\)?

  Ну что же, не подбирается?

  Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

  Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

  Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

  Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа\( a\)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен\( a\)».

  Но подождите! В самом начале мы разбирали пример \( ^>=4\) и один из ответов был отрицательным числом!

  Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом \( \displaystyle 4\). Ответом были \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle -2\)

  А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

  Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

  К примеру, \( \displaystyle ^>=4\) (квадратное уравнение) не равносильно выражению \( x=\sqrt\) (арифмитический квадратный корень).

  \( \left| x \right|=\sqrt\), то есть \( x=\pm \sqrt=\pm 2\) или \( _>=2\); \( _>=-2\)

  (не помнишь почему так? Почитай тему «Модуль числа»!)

  А из \( x=\sqrt\) следует, что \( x=2\).

  Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки «плюс-минус» являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

  В наше квадратное уравнение подходит как \( 2\), так и \( x=-2\).

  Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

  Наглядный пример разницы между квадратным уравнением и квадратным корнем

  Этот наглядный пример привёл наш читатель Игорь, спасибо ему за это:

  Пусть есть две ситуации:

  В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет \( |х| =\sqrt\) (уже видно отличие от второго случая) и далее получаем два корня \( x_1 = +8\text< и >х_2 = -8.\)

  Во втором случае у нас нет квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8.

  Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

  А теперь попробуй решить такое уравнение \( ^>=3\).

  Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

  Начнем с самого начала – с нуля: \( ^>=0\) – не подходит.

  Двигаемся дальше \( \displaystyle x=1\); \( \displaystyle ^>=1\) – меньше трех, тоже отметаем.

  А что если \( \displaystyle x=2\)?

  Проверим: \( \displaystyle ^>=4\) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

  С отрицательными числами получится такая же история.

  И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

  Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 2\), а также между \( \displaystyle -2\) и \( \displaystyle -1\).

  Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

  Давай построим график функции \( \displaystyle y=^>\) и отметим на нем решения.

  

  Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

  Извлечем корень из \( \displaystyle 3\), делов-то!

  Ой-ой-ой, выходит, что \( \sqrt=1,732050807568\ldots \) Такое число никогда не кончается.

  Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

  Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. \( \sqrt\) и \( -\sqrt\) уже сами по себе ответы.

  Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

  Еще один пример для закрепления

  Разберем такую задачку: тебе необходимо пересечь по диагонали квадратное поле со стороной \( \displaystyle 1\) км, сколько км тебе предстоит пройти?

  

  Самое очевидное здесь рассмотреть отдельно треугольник и воспользоваться теоремой Пифагора: \( ^>=<^>+<^>\).

  Так чему же здесь равно искомое расстояние?

  Очевидно, что расстояние не может быть отрицательным, получаем, что \( c=\sqrt\). Корень из двух приблизительно равен \( \displaystyle 1,41\), но, как мы заметили раньше, \( c=\sqrt\) — уже является полноценным ответом.

  Извлечение корней

  Чтобы решение примеров с корнями не вызывало проблем, необходимо их видеть и узнавать.

  Для этого необходимо знать, по меньшей мере, квадраты чисел от \( \displaystyle 1\) до \( \displaystyle 20\), а также уметь их распознавать.

  То есть, тебе необходимо знать, что \( \displaystyle 15\) в квадрате равно \( \displaystyle 225\), а также, наоборот, что \( \displaystyle 225\) – это \( \displaystyle 15\) в квадрате.

  Первое время в извлечении корня тебе поможет эта таблица.

  

  Как только ты прорешаешь достаточное количество примеров, то надобность в ней автоматически отпадет.

  Попробуй самостоятельно извлечь квадратный корень в следующих выражениях:

  • \( \sqrt=?\);
  • \( \sqrt=?\);
  • \( \sqrt=?\);
  • \( \sqrt=?\);

  Ответы:

  • \( \displaystyle 0\);
  • \( \displaystyle 8\);
  • \( \displaystyle 11\);
  • \( \displaystyle 17\);

  Ну как, получилось? Теперь давай посмотрим такие примеры:

  Ответы:

  • \( \displaystyle 0,14\);
  • \( \displaystyle 0,31\);
  • \( \displaystyle 0,12\);

  Свойства арифметического квадратного корня

  Теперь ты знаешь, как извлекать корни и пришло время узнать о свойствах арифметического квадратного корня. Их всего 3:

  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

  Их ну просто очень легко запомнить с помощью этой таблицы и, конечно же, тренировки:

  СВОЙСТВО	ПРИМЕР
  Корень произведения равен произведению корней: \( \displaystyle \sqrt[<>]=\sqrt[<>]\cdot \sqrt[<>]\)	\( \displaystyle \sqrt[<>]=\sqrt[<>]\cdot \sqrt[<>]=8\cdot 3=24\)
  Корень из дроби — это корень из числителя и корень из знаменателя: \( \displaystyle \sqrt[<>]<\frac>=\frac<\sqrt[<>]><\sqrt[<>]>\), если \( \displaystyle a\ge 0\ ,\ b > 0\)	\( \displaystyle \sqrt[<>]<\frac>=\frac<\sqrt[<>]><\sqrt[<>]>=\frac=2\frac\)
  Чтобы возвести корень в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное значение: \( \displaystyle <<\left( \sqrt\right)>^>=<<\left( \sqrt<<^>> \right)>^>>\), при \( \displaystyle a\ge 0\)	\( \displaystyle <<\left( \sqrt\right)>^>=\sqrt<<^>>=\sqrt=4\)

  Попробуем решить по несколько примеров на каждое свойство!

  Умножение корней

  Взглянул еще раз на табличку… И, поехали!

  Начнем с простенького:

  • \( \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)
  • \( \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)

  \( 12\) это \( \displaystyle 4\cdot 3\), а это значит, что мы можем записать вот так:

  Усвоил? Вот тебе следующий:

  \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=2\cdot \sqrt=2\sqrt\)

  Корни из получившихся чисел ровно не извлекаются? Не беда – вот тебе такие примеры:

  \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=4\) \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=6\)

  А что, если множителей не два, а больше? То же самое! Формула умножения корней работает с любым количеством множителей:

  \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt30\)

  Теперь полностью самостоятельно:

  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)
  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)
  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\)
  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt=\sqrt=2\sqrt\);
  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt\);
  • \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt=\sqrt=\sqrt=8\).

  Молодец! Согласись, все очень легко, главное знать таблицу умножения!

  Деление корней

  С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

  Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

  А значит это, что корень из частного равен частному корней.

  Ну что, давай разбираться на примерах:

  Вот и вся наука. А вот такой пример:

  Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

  А что, если попадется такое выражение:

  Надо просто применить формулу в обратном направлении:

  А вот такой примерчик:

  Еще ты можешь встретить такое выражение:

  Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

  Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

  Возведение в степень

  А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа \( \displaystyle a\) – это число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\).

  Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен \( \displaystyle a\), в квадрат, то что получаем?

  Ну, конечно, \( \displaystyle a\)!

  Рассмотрим на примерах:

  Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

  Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

  Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

  Вот, к примеру, такое выражение:

  В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

  С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

  Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

  Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

  • \( \displaystyle \sqrt<<<\left( -3 \right)>^>>\)
  • \( \displaystyle \sqrt^>>\)
  • \( \displaystyle <<\left( \sqrt<8>\right)>^>\)

  Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

  Регистрация

  Внесение под знак корня

  Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

  Это совсем легко!

  Допустим, у нас записано число \( \displaystyle 3\sqrt\)

  Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из \( \displaystyle 9\)!

  \( \displaystyle 3\sqrt=\sqrt\cdot \sqrt=\sqrt\)

  Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

  \( \displaystyle 3\sqrt-\sqrt\cdot \sqrt=\sqrt-\sqrt=0\)

  Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

  Реши самостоятельно вот этот пример — \( \displaystyle 4\sqrt-2\sqrt\cdot \sqrt\)

  Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

  Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

  Сравнение корней

  Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

  Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

  Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

  Например, определи, что больше: \( \displaystyle 3\sqrt\) или \( \displaystyle 2\sqrt\)?

  Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

  Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

  Т.е. если \( \displaystyle 68>63\), значит, \( \displaystyle \sqrt>\sqrt\).

  Отсюда твердо делаем вывод, что \( \displaystyle 3\sqrt\).

  И никто не убедит нас в обратном!

  Извлечение корней из больших чисел

  До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

  Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

  Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

  Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

  Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

  \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt\)

  Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

  А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

  Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

  На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

  Вот и все, не так все и страшно, правда?

  \( \displaystyle \sqrt\cdot \sqrt\cdot \sqrt=?\)

  Получилось \( \displaystyle 90\)? Молодец, все верно!

  А теперь попробуй вот такой пример решить:

  А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

  Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

  Регистрация

  Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

  

  Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

  математика, информатика, физика

  +7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — c 2003 года;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

  Добавить комментарий Отменить ответ

  9 комментариев

  Александр Кель :
  Пожалуйста, Алекс!
  Григорова Мария :
  Большое спасибо! очень здорово написано! Все последовательно и понятно!
  Абдурахмон :
  Я сейчас учусь в 10 классе и я очень благодарен за этот ваш сайт. Очень помогло. Спасибо большое.
  Александр Кель :
  Спасибо, Абдурахмон! Очень приятно слышать. Заходите к нам ещё.
  хоть я и в 8 классе большое спасибо , очень помогли
  Александр Кель :

  Рожик, очень рады слышать! Кстати, учебник рассчитан и на 8 класс тоже, потому что каждая тема идет от простого к сложному. У нас есть ученики из 5-го класса )

  Александр Кель :

  Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье: Люба
  13 ноября 2017
  спасибо огромное очень помогли Александр (админ)
  13 ноября 2017
  Люба, и тебе спасибо. Очень рады помочь! илгар
  21 августа 2019
  спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет Александр (админ)
  21 августа 2019
  Илгар, удачи в изучении физики. Физика очень интересный предмет! Анна
  13 ноября 2017
  Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту ! Александр (админ)
  13 ноября 2017
  Анна, очень приятно слышать. Особенно нашим преподавателям, которые писали этот учебник Шевчуку Алексею Сергеевичу и Баштовой Елене Евгеньевне. Удачи, тебе на экзаменах. Алевтина
  15 ноября 2017
  я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо! Александр (админ)
  15 ноября 2017
  Отлично, Алевтина! Спасибо! кыса
  15 ноября 2017
  шыкарнае обясненее. я сразу всё понила. Александр (админ)
  15 ноября 2017
  СпасЫбо, Кыса! )) БезгрАмАдный Оркадий
  22 ноября 2017
  шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория)) Оликсандэр (админ)
  23 ноября 2017
  «Паффтарения» пишыца чириc дфа фэ… Спасибо! :)) Ирина
  23 ноября 2017
  СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо! Александр
  23 ноября 2017
  Ничего себе! Через 10 лет понадобилась школьная математика? Мы рады, что помогло, Ирина. Ксения
  23 ноября 2017
  Супер! Спасибо ! Александр (админ)
  23 ноября 2017
  Ксения, спасибо и тебе! Удачи на экзаменах! сара
  28 ноября 2017
  спасибо… Александр (админ)
  28 ноября 2017
  Пожалуйста, Сара! 28 ноября 2017
  Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке, а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное) Александр (админ)
  28 ноября 2017
  Очень рады, что помогло! Теперь если что не понятно, ты знаешь где искать простое и четкое объяснение �� На youclever ) Нина
  30 ноября 2017
  Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно. Александр (админ)
  30 ноября 2017
  Пожалуйста, Нина. Очень приятно слышать такую оценку… но если захотите все-таки нанимать репетитора, посмотрите сначала наши курсы на 100gia.ru… Пишите ) Арсений
  01 декабря 2017
  Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию! Александр (админ)
  01 декабря 2017
  Рады слышать… Пожалуйста… (не знаю как обращаться, Арсений?). А где закрепляла практикой? Здесь же в учебнике? Или где-то еще. Вопрос не праздный… Очень надо знать. Илья
  08 декабря 2017
  Всё очень понятно, но здесь к сожалению нет примеров, с которыми у меня возникают трудности: это когда под корнем ещё один корень( а под ним может быть ещё один, и т.д.). Александр (админ)
  10 декабря 2017
  Илья, замечание принято. К сожалению мы не успеваем учитывать все, но вот какое объяснение я нашел на стороннем ресурсе. Может будет понятно… https://www.youtube.com/watch?v=5rntedrQ7NY Алик
  10 декабря 2017
  Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока…. Александр (админ)
  10 декабря 2017
  Алик, как приятно слышать! Мы, вся команда, математики, консультанты, администраторы именно этого и добивались, чтобы было понятно за 10 минут. Удачи на экзаменах!) Полина
  12 декабря 2017
  Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку… Кстати не знаю нужно это вам или нет, НО мы сейчас час проходим такие примеры: Под корнем 17 в степени 2 минус 8 в степени 2(это на пример) В общем я думаю вам бы понадобилось и это записать) Александр (админ)
  12 декабря 2017
  Полина, спасибо! Лучики тепла тебе и удачи ни контрошке… Может быть тебе будет интересно… у нас на 100gia.ru есть возможность за небольшие деньги купить «Тренировку по теме». Там по каждой теме много задач, с решениями и ответами моментальными и с объяснениями. Как раз чтобы подготовиться к конкретной контрошке (хорошее слово, кстати) �� Алексей Шевчук
  20 декабря 2017
  Полина, посмотри в теме «Формулы сокращённого умножения» — разность квадратов: https://youclever.org/book/formuly-sokrashhennogo-umnozheniya-1#raznost-kvadratov Юлька
  19 декабря 2017
  А про построение графиков с арифметическими корнями, если они возводятся в квадрат. y=(√x+3)^2+(√5-x)^2 при x>5 корень над всем выражением в скобках Алексей Шевчук
  21 декабря 2017
  Юля, если корень возводится в квадрат, нужно написать ОДЗ и убрать корни вместе с квадратами. Если же это корень из квадрата выражения (то есть квадрат под корнем), то он превращается в модуль выражения. Алла
  22 декабря 2017
  И все же. если в примере стоит корень из 64, то в ответе надо писать 8 или + — 8? Игорь
  22 декабря 2017
  Насколько я понимаю есть две ситуации: 1) x^2=64. и 2) x= √64. В первом случае у нас квадратное уравнение и его решением будет «модуль х =√64» (уже видно отличие от второго случая) и, далее получаем два корня x1 = +8 и х2 = -8 Во втором случае у нас НЕТ квадратного уравнения, просто х равен корню из числа и в этом случае ответ всегда «одно неотрицательное число», то есть 8. (Это из определения корня, см выше) Сергей
  18 января 2018
  Ответьте мне пожалуйста на 1 вопрос. Зачем он нужен этот квадратный корень? Я начинающий программист в школе учился хорошо, сейчас для общего развития решаю задачки со всякими алгоритмами в том числе с квадратным корнем. Чем умнее я становлюсь тем больше убеждаюсь что вся эта муть простому человеку нафиг не нужна ну серьёзно. Чтобы делать сайты не нужно быть математиком, я уже не говорю про гуманитариев, которые даже таблицу умножения могут не помнить уже. Так зачем всё это нужно? Александр (админ)
  18 января 2018
  Хороший вопрос, Сергей ). По мне, так вопрос «Зачем?» самый важный и интересный. В особенности в математике. Ответ есть в нашем тексте. Почитайте внимательно. Математики люди ленивые и потому сообразительные. Чтобы записывать иррациональные числа более простым способом ввели понятие квадратного корня. Вот и все. RedTea01
  20 февраля 2018
  Админ, спасибо за помощь))) Александр (админ)
  20 февраля 2018
  Всегда рад! �� Егор
  21 февраля 2018
  В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями. Александр (админ)
  21 февраля 2018
  Егор, вот ради таких комментариев мы и работаем. ОЧЕНЬ приятно слышать всей нашей команде! Светлана
  12 марта 2018
  Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно Александр
  12 марта 2018
  О как! Светлана, здравствуйте! Очень приятно слышать! Удачи Вашей внучке на экзаменах! ) Семён
  13 мая 2018
  А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль Александр (админ)
  13 мая 2018
  Вот это комментарий. Семен, это ОЧЕНЬ приятно слышать. У нас были сомнения о том, как писать учебник: как обычно или «человеческим» языком. Видимо мы нашли правильный способ подачи материала. Спасибо Вам и отличного времяпровождения ) Александр
  14 марта 2018
  Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли. Александр (админ)
  14 марта 2018
  Привет, Александр. Приятно слышать. Сам через это проходил: сдавал вступительные экзамены в институт (тогда ЕГЭ не было) после армии. Это очень трудно. Удачи на экзаменах. Евгения
  04 мая 2018
  Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику:З Александр (админ)
  04 мая 2018
  Ого! Евгения, это то, на что даже мы не рассчитывали! �� На самом деле очень приятно… Удачи тебе с математикой. Она не такая и страшная, правда ведь? ) Шерзод
  01 ноября 2018
  Добрый день! Есть вопросы? Сергей.
  05 ноября 2018
  Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО! Александр (админ)
  05 ноября 2018
  Сергей, спасибо Вам! Очень ценно для нас слышать такие отзывы. Мы старались написать программу так, чтобы люди без подготовки и без знаний математики смогли ее понять. Удачи Вам и Вашему внуку. Рам
  02 декабря 2018
  Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем �� Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей ! Александр (админ)
  02 декабря 2018
  Спасибо, Рам! лол
  17 января 2019
  Спосыба аграмнае, очинь панятна Александр (админ)
  17 января 2019
  Пажылуста ни мение агромнае! SpaceJumpsuit
  03 февраля 2019
  Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever… Спасибо, спасибо, спасибо. Александр (админ)
  03 февраля 2019
  Вау. Вот это да! Очень! Очень приятно! Алина
  11 февраля 2019
  Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души Александр (админ)
  11 февраля 2019
  Алина, спасибо огромное! Лучики тепла тебе!)) Генадий
  11 февраля 2019
  И всё же, из сказанного (К примеру, x2=4×2 =4 не равносильно выражению x=4–x=√4)(вставилось с искажениями), всё равно в итоге приходим к двум значениям корня из положит. числа. Другое дело, что разбирая свойства корней, возникает необходимость преимущественно оперировать только положительным значением корня. А потому и привели их к положит. значению через абсолютную величину. Так, в примере — корень из 64 * из 9 = 8*3=24 оперировать попеременно и с отриц .значениями не получится. Сказанное настоятельно не утверждаю, просто в качестве рассуждения. Всё же как-то трудновато для понимания как бы неприемлемость отриц. значения при извлечении кв. корня из числа. А вот свойства, да, получаются без ограничений только для положительных корней. А потому оперируем только ариффметическими при преобразовании выражений. Алексей
  11 февраля 2019
  Геннадий, это хороший вопрос, который в рамках школьной программы, к сожалению, не разбирается. Вы можете посмотреть ответ на подобный вопрос в этом видео: https://www.youtube.com/watch?v=w9wPMMapKIQ Сергей
  19 февраля 2019
  Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры). Александр (админ)
  19 февраля 2019
  Это очень… приятно слышать, Сергей. Удачи, на экзамене! Викп
  20 февраля 2019
  Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50~ Александр (админ)
  20 февраля 2019
  Спасибо, Викп! Была бы у меня возможность ставить смайлики, поставил бы довольную рожицу! �� Павел
  26 февраля 2019
  Спасибо большое, все понял…почти. Вы написали что для того что бы вычислить квадратный корень из большого числа нужно разложить его на множители но как например разложить на множители такие крупные числа как 11234 3345 и т.д если таблицы квадратов на экзамене не будет+ очень трудно будет ее запомнить с11по 99)). Есть совет как быстро разложить такие большие числа на множители? Александр (админ)
  27 февраля 2019
  Спасибо, Павел. Если коротко, то нужно знать две вещи: 1) что такое простое число 2) признаки делимости чисел(наизусть) и затем делить большое число на наименьший простой делитель (кроме единицы) без остатка, в столбик, до тех пор пока не останется 1. В вашем примере, используя признаки делимости определяем на какое наименьшее простое число делится 112 343 345. На 2? Нет. На 3? Сумма цифр числа не делится на 3. Значит нет. На 5? Да! Делим на 5 в столбик и получаем 22 468 669…. Опять вспоминаем признаки делимости. На какое наименьшее простое число делится уже новое число? И вот тут интересно…оно не делится без остатка ни на одно простое число. Это мы определяем по признакам делимости. Значит оно само — уже простое число. Мы можем разделить его только на 1 или на само себя. Вот мы и разложили ваше большое число на два множителя: 5 и 22 468 669…. Если я нигде не ошибся )) Ну, думаю, идею вы поняли. Признаки делимости можно посмотреть здесь: https://youclever.org/book/razlozhenie-na-mnozhiteli-2 Их надо выучить назубок. Александр (админ)
  27 февраля 2019
  Павел, вот здесь наглядно очень про то, как раскладывать на множители большие числа: https://ru.wikihow.com/разложить-число-на-множители Игорь
  17 марта 2019
  Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах! Александр (админ)
  17 марта 2019
  Приятно слышать, Игорь! Сергей
  27 марта 2019
  присвоили ему специальный символ √. Этот символ имеет собственное название — РАДИКАЛ. Хорошие у Вас лекции. Скажите, а в комментах можно пользоваться HTML-кодом? Все-таки на что -то читатель хочет обратить внимание — процитировав, где-то использовать курсив итп Александр (админ)
  27 марта 2019
  К сожалению нет. Но идея хорошая. Может быть прикрутим редактор к коментариям. Сергей
  15 апреля 2019
  Очень жаль, что не читаете комментарий. В тексте написано: «присвоили ему специальный символ √.» Было предложено дописать: «присвоили ему специальный символ √(радикал).» Это, что ухудшит текст? Александр (админ)
  15 апреля 2019
  Сергей, я прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ). Не обижайтесь, но я его не принял. Мы старались облегчить тексты для понимания. Если дать сразу все определения слова «радикал» — это не поможет разобраться, наоборот запутает. Ведь тогда надо говорить, что радикал — это еще и значение числа, извлекаемого из квадратного корня, а так же значение выражения извлекаемого из квадратного корня, что это «не тот радикал, что бросает бомбы», ну и так далее. Определение символа добавляет не много смысла, но утяжеляет текст и отвлекает от основного понятия. На мой взгляд учебники математики для школьников этим грешат: даются сразу все определения, причем строгие… Но так никто не учится. В том числе и те, кто пишет эти учебники. Их учили не так. Им в детстве вводили понятия не сразу все, а последовательно и давали возможность встроить понятия в свою картину мира, своими словами. А уж потом давали строгие определения… В общем без обид :)) Я не буду перегружать текст. Сергей
  15 апреля 2019

  прочитал комментарий, но не понял, что это было предложение ).

  Был бы тег и догадываться не пришлось бы. �� Не обижайтесь, но все последующии доводы в ответе — говорят о том, что вы не в курсе почему у знака радикал две полки ( речь в данном случае не о том, что маленькая для степени, большая для «содержимого») . Речь об истории возникновения данного символа и его фундаментально значения для понимания — ЧИСЛА. Но это тема для отдельной беседы. С уважением. Александр (админ)
  30 мая 2019
  Сергей, спасибо еще раз за предложение сделать html код. Дай бог дойдут руки… Но предложение правда хорошее. По сути предмета — я не математик ) Эти лекции писал не я. Даня
  30 мая 2019
  спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую Александр Кель (админ)
  30 мая 2019
  Даня! Приятно слышать! Мои поздравления с итоговой оценкой! Так держать! �� Anubis
  07 июня 2019
  Ужасный сайт всё платное плохо всё расписано просто — Александр (админ)
  12 июня 2019
  Anubis, а что конкретно «плохо расписано»? По поводу платности контента. Для меня весь контент сайта платный. Мне пришлось заплатить математикам, которые его писали, довольно приличную сумму. А для пользователей сайта 90% конетнта бесплатно. Вы разве не заметили? За оставшиеся 10% я беру деньги и они идут на поддержание сайта. Кстати, Anubi, не хотите бесплатно поработать над созданием контента или еще над чем-нибудь для сайта? Что вы умеете? Работы много… Александр
  16 июня 2019
  Можете пояснить следующий момент. Вы пишете, что корень из числа имеет 2 варианта ответа (например корень из 4 это +2 и -2) только если решается уровнениенеравенство, а если ПРОСТО извлечь корень из числа то только положительное число. Но получается какая-то несостыковка: при решении иррациональных УРАВНЕНИЙ принимают как подкоренное выражение не должно быть отрицательным, но так и корень >= 0. Вроде и решение уравнения и в тоже время просто извлечение корня и все одновременно. �� Алексей Шевчук
  30 июня 2019
  Александр, корень из числа имеет только один вариант ответа (в рамках действительных чисел — комплексных чисел в школьной программе нет, а если даже есть, то в условии задачи явно говорят, что комплексные корни нас тоже интересуют). Два варианта ответа возникает не при извлечении корня и не при решении иррациональных уравнений, а при решении квадратных уравнений, то есть тех, где неизвестная была в квадрате, а не под корнем. Дима
  19 июня 2019
  Спасибо огромное за помощь в математике Александр (админ)
  20 июня 2019
  Дима, рады, что смогли помочь. Удачи на всех экзаменах! Ирина
  19 июня 2019
  Можете пожалуйста на вопрос. Вот корень из х^2+1 можно разложить на 2 корня? Корень из х^2 + корень из 1? Александр (админ)
  20 июня 2019
  Нет, Ирина, так нельзя делать. Смотри, как только ты видишь «икс в квадрате» перед тобой квадратное уравнение. Твое уравнение квадратное. Но оно неполное, потому что нет еще одного икса… Вот как решаются неполные квадратные уравнения. Посмотри это видео вдумчиво,. с паузами и ты все поймешь. https://www.youtube.com/watch?v=CtgP34y-uOI Вадик 5,5лет детский садик нумер 8
  03 июля 2019
  Очинь панравился Александр (пдмин)
  03 июля 2019
  Какой молодец, Вадик! Такие взрослые книги читаешь в 5,5 лет! Я
  16 июля 2019
  Посмотрим-посмотрим Ирина
  16 августа 2019
  В какой последовательности решается 8÷3√5 Алексей Шевчук
  17 августа 2019
  Ирина, а что именно нужно решить? Предположу, что избавиться от иррациональности в знаменателе, тогда нужно числитель и знаменатель домножить на √5. Тогда два корня в знаменателе дадут просто 5, и останется 8√5÷15 (корень переехал в числитель). Огрызок Яблока
  21 октября 2019
  Нормальный такой сайт. Не, ну реально бОмБа)))0), а админи какие добрые. Даже такой овощь как я понял, моё увожение Александр (админ)
  21 октября 2019
  Круто, уважаемый Огрызок Яблока. Я, например, очень жалею, что в мое время такого сайта не было. Спасибо и удачи! Сергей
  09 ноября 2019
  Почему в блоке Возведение в степень, у вас в 1 задании √(−3)^2 а должно же быть неотрицательным. Алексей Шевчук
  09 ноября 2019
  Сергей, (−3)^2=9 — число положительное. Квадрат всё делает положительным. Но нужно быть внимательным: если квадрат за пределами корня, то его магия уже не работает: (√(−3))^2 — здесь мы сначала пытаемся извлечь корень из (-3) и всё ломается. Диля
  10 ноября 2019
  Спасибо большое, всё понятно и простым языком. Александр (админ)
  10 ноября 2019
  Спасибо, Диля, от меня и Алексея Шевчука. Рады, что понравился текст. Хадижат
  26 ноября 2019
  Спасибо, всё объяснили всё поняла Александр (admin)
  26 ноября 2019
  Пожалуйста, Хадижат! Успехов! Ася
  26 ноября 2019
  Спасибо большое! Вы ОЧЕНЬ помогли! Я на больничном, поэтому такую важную тему пропустила, а догонять как-то надо и вот случайно зашла на ваш сайт! Александр (админ)
  26 ноября 2019
  Ася, выздоравливай скорее! И спасибо тебе за теплые слова. Нам очень всем приятно. Надеемся, что эта тема в нашем учебнике улучшила тебе самочувствие во время болезни. Удачи на экзаменах! Юрий
  26 ноября 2019
  Объясните пожалуйста. Уравнение в школьной программе x²-12x-24=0. корни получаются 6+2√15 и 6+2√15, подставляю корни в уравнение, но 0 ни как не получается, про теорему Виета вообще молчу. во всех уравнениях сумма корней x1 и x2 никак не сходится с произведением х1 и х2? Сейчас смотрю в учебник. Сумма -9, произведение -22 или сумма 1, произведение -72… как это, ни одного примера чтоб эта теорема работала. Алексей Шевчук
  27 ноября 2019
  Юрий, корни получаются 6+2√15 и 6-2√15 — то есть один из корней с минусом. Не знаю, была это опечатка, или один из корней получился неверным, но какой из них ни подставь в уравнение, всё равно получится 0, например: (6+2√15)^2-12*(6+2√15)-24=6^2+2*6*2√15+(2√15)^2 — 12*6 — 12*2√15 — 24 = 0. Что касается теоремы Виета, мне кажется, ты её неправильно понял: x1+x2 не должно быть равно x1*x2. Сумма корней должна равняться коэффициенту перед х в первой степени с обратным знаком (то есть в данном случае коэффициент равен -12, тогда x1+x2=12), а произведение корней — свободному члену, то есть слагаемому без х (в нашем случае это x1*x2=-24). Проверь ещё раз: и сумма, и произведение корней дают нужные числа. Ирина
  02 декабря 2019
  все хорошо, но не написали как решать такие примеры: 9-корень из 21 (нет знака корень на клавиатуре) Алексей Шевчук
  03 декабря 2019
  Ирина, это тема «Квадратный корень» — то есть (по определению) корень степени 2. Если Вам нужны корни более высокой степени, добро пожаловать в тему «Степень и её свойства»: https://youclever.org/book/stepen-i-ee-svojstva-1 — ищите там раздел «степень с рациональным показателем». Максим
  15 декабря 2019
  Спасибо вам огромное! Я в 6 классе, но мне очень интересно как вычислить корень у того или иного числа! Срасибо еще раз! Вы для меня прямо открыли целый мир алгебры!) Александр (админ)
  15 декабря 2019
  Очень приятно слышать, Максим! Ты большой молодец, что в 6-и классе читаешь учебники, предназначенные для 8-го — 11-го класса! лера
  17 декабря 2019
  статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения? Александр (админ)
  17 декабря 2019
  Конечно, есть, Лера. Все темы математики для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ есть. В сокращенном варианте бесплатно и в полном варианте для учеников YouClever. Но я советую тебе зарегистрироваться на сайте, через пункт меню «Войти» и у тебя будет доступ к 5 темам математики в полном варианте бесплатно. Одна из тем — темы сокращенного умножения. Там есть все что нужно, чтобы разобраться. Даже примеры для тренировки. Кирилл
  20 марта 2020
  Спасибо очень помогли! Александр (админ)
  20 марта 2020
  Пожалуйста, Кирилл! Удачи на экзамене! Матвей
  26 марта 2020
  Спасибо,но хотелось бы увидеть по больше примеров,а так,информация довольно понятна даже таким как я. Александр (админ)
  26 марта 2020
  Пожалуйста, Матвей. Хорошо, что во всем разобрался. Приходи еще) Ильнара
  04 апреля 2020
  Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа Александр (админ)
  04 апреля 2020
  Ильнара, ты умница! Удачи тебе на всех жизненных экзаменах! даня
  16 апреля 2020
  спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась Александр (админ)
  16 апреля 2020
  Спасибо, Даня! Рады, что ты справился с экзаменом. Тоха
  16 июня 2020
  сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо))))))))))))))))) админыч)
  23 июня 2020
  неплохо объяснили , осталось вспомнить , как решать квадратные выражения типа 0,5 корней из 1600-1/3 умноженное на корень из 36 Алексей Шевчук
  23 июня 2020
  Ну а что там вспоминать. 1) Чему равен корень из 1600? Умножаем это на 0,5. 2) Чему равен корень из 36? Умножаем на 1/3. Потом вычитаем из первого второе.

  Александр Кель :

  В этом комментарии я собрал отзывы о нашей работе за разные годы: Люба, 13 ноября 2017
  спасибо огромное очень помогли илгар
  21 августа 2019
  спасибо очень понравилось отличная я сам с нуля изучаю физику физика самый классный предмет Анна
  13 ноября 2017
  Спасибо. Я начала понимать алгебру благодаря вашему сайту ! Алевтина
  15 ноября 2017
  я работаю достаточно долго. а работа -ах как мне понравилась! спасибо! Александр (админ)
  15 ноября 2017
  Отлично, Алевтина! Спасибо! кыса
  15 ноября 2017
  шыкарнае обясненее. я сразу всё понила. БезгрАмАдный Оркадий
  22 ноября 2017
  шЫкарнА длА пАвтАрения перИт кАнтрольнАй))) А если нормально, но действительно годная теория)) Ирина
  23 ноября 2017
  СПАСИИИИБОО. 10 лет назад закончила учебу, а сейчас понадобилась математика вновь. Очень доходчиво и легко пишете. Огромное спасибо! Ксения
  23 ноября 2017
  Супер! Спасибо ! 28 ноября 2017
  Благодарю:3 Очень помогло! Я не поняла корни на уроке, а тут просто и четко объяснили! Спасибо огромное) Нина
  30 ноября 2017
  Спасибо огромное! Думала репетитора придётся нанимать. Молодцы всё очень понятно. Арсений
  01 декабря 2017
  Очень помогла теория и тут же закрепила практикой. Спасибо за понятную теорию! Алик
  10 декабря 2017
  Спасибо! За 10 минут я понял всю тему чем за 45 минут урока…. Полина
  12 декабря 2017
  Очень доходчиво! Буду надеяться что сдам конторошку… Александр
  11 февраля 2018
  Здравствуйте! Очень много полезной информации! СПАСИБО! RedTea01
  20 февраля 2018
  Админ, спасибо за помощь))) Егор
  21 февраля 2018
  В школе ничего не понял, зашел на сайт и разобрал темы на 3 урока вперед. Спасибо вам, доходчиво и с подробными объяснениями. Светлана
  12 марта 2018
  Мне 72 , внучка задала вопрос по возведению в степень корня. Подзабыла. с удовольствием вспомнила. Спасибо з!амечательно Семён
  13 мая 2018
  А мне 77 лет. С удовольствием заполняю досуг, благо свободного времени хватает. И такое удовольствие получаю. Вот бы так учили в мои школьные годы. Израиль Александр
  14 марта 2018
  Ребята Огромное спасибо, я после армии, нужно сдать экзамен)) вы очень помогли. Евгения
  04 мая 2018
  Спасибо огромное! Всё очень понятно и даже увлекательно) Кажется я начинаю любить математику Сергей.
  05 ноября 2018
  Спасибо Вашей программе. Мне 72 , решил помочь внуку и чтобы не выглядеть неучем , вошел в вашу программу освежить немножко то что забыл. Объяснение очень доходчиво . СПАСИБО! Рам
  02 декабря 2018
  Вообще клево , инфа не теряет свойств со временем �� Надо глянуть , что у вас тут еще есть по корням и теме , к ним прилежащей ! лол
  17 января 2019
  Спосыба аграмнае, очинь панятна SpaceJumpsuit
  03 февраля 2019
  Я уже 2 года учусь только по вашему сайту, ибо школа нормально ничего не объясняет. Снимаю шляпу перед YouClever… Спасибо, спасибо, спасибо. Алина
  11 февраля 2019
  Сайт-офигенный, вот реально, всё понятно, мне оч нравится, спасибо Вам большое от души Сергей
  19 февраля 2019
  Ваш сайт единственный который смог достучаться до меня (в плане алгебры). Викп
  20 февраля 2019
  Спасибо огромное за теорию. Очень понятно и доходчиво написано, разобрала все за минут 40-50~ Игорь
  17 марта 2019
  Спасибо коллективу авторов и участникам проекта! Понятное объяснение на примерах! Даня
  30 мая 2019
  спасибо за информацию. без нее я бы не написал реферат и не получил бы итоговую Дима
  19 июня 2019
  Спасибо огромное за помощь в математике Огрызок Яблока
  21 октября 2019
  Нормальный такой сайт. Не, ну реально бОмБа)))0), а админи какие добрые. Даже такой овощь как я понял, моё увожение Диля
  10 ноября 2019
  Спасибо большое, всё понятно и простым языком. Хадижат
  26 ноября 2019
  Спасибо, всё объяснили всё поняла Ася
  26 ноября 2019
  Спасибо большое! Вы ОЧЕНЬ помогли! Я на больничном, поэтому такую важную тему пропустила, а догонять как-то надо и вот случайно зашла на ваш сайт! Максим
  15 декабря 2019
  Спасибо вам огромное! Я в 6 классе, но мне очень интересно как вычислить корень у того или иного числа! Срасибо еще раз! Вы для меня прямо открыли целый мир алгебры!) лера
  17 декабря 2019
  статья чупер алгебра легко дается спасибо)))) а у вас есть формулы сокращенного умножения? Кирилл
  20 марта 2020
  Спасибо очень помогли! Ильнара
  04 апреля 2020
  Спасибо вам, наконец я поняла эту тему. Ураа даня
  16 апреля 2020
  спасибо хорошее объяснениие у меня во фторник был экзамен и мне эта тема пригадилась Тоха
  16 июня 2020
  сайт просто топ) спасибо)))))))))))))))))))))))))) сдал еге на чистую 5)))))))))))))))))) спасибо)))))))))))))))))

  Читать:

  Как переназначить клавиши на клавиатуре mac os