Как выполнить критерий согласия хи-квадрат в Excel
Хи-квадрат критерий согласия используется для определения того, следует ли категориальная переменная гипотетическому распределению.
В этом руководстве объясняется, как выполнить критерий согласия Хи-квадрат в Excel.
Пример: критерий согласия хи-квадрат в Excel
Владелец магазина утверждает, что каждый будний день в его магазин приходит одинаковое количество покупателей. Чтобы проверить эту гипотезу, независимый исследователь записывает количество покупателей, которые заходят в магазин на определенной неделе, и обнаруживает следующее:
Мы будем использовать следующие шаги, чтобы выполнить критерий согласия Хи-квадрат, чтобы определить, согласуются ли данные с заявлением владельца магазина.
Шаг 1: Введите данные.
Во-первых, мы будем вводить значения данных для ожидаемого количества клиентов каждый день в одном столбце и наблюдаемое количество клиентов каждый день в другом столбце:
Примечание. Всего было 250 клиентов. Таким образом, если владелец магазина ожидает, что каждый день в магазин будет приходить такое же количество покупателей, то он ожидает 50 покупателей в день.
Шаг 2: Найдите разницу между наблюдаемыми и ожидаемыми значениями.
Статистика критерия хи-квадрат для теста согласия равна X 2 = Σ(OE) 2 / E
- Σ: причудливый символ, означающий «сумма».
- O: наблюдаемое значение
- E: ожидаемое значение
Следующая формула показывает, как рассчитать (OE) 2 / E для каждой строки:
Шаг 3: Рассчитайте статистику теста хи-квадрат и соответствующее значение p.
Наконец, мы рассчитаем статистику теста хи-квадрат вместе с соответствующим значением p, используя следующие формулы:
Примечание. Функция Excel ХИ.РАСП.ВР(x, степень_свободы) возвращает правостороннюю вероятность распределения хи-квадрат, связанную с тестовой статистикой x и определенными степенями свободы. Степени свободы рассчитываются как n-1. В этом случае deg_freedom = 5 – 1 = 4.
Шаг 4: Интерпретируйте результаты.
Статистика теста X 2 для теста составляет 4,36 , а соответствующее значение p равно 0,3595.Поскольку это p-значение не меньше 0,05, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу. Это означает, что у нас нет достаточных доказательств того, что истинное распределение покупателей отличается от распределения, о котором заявил владелец магазина.
Функция ХИ2.ТЕСТ
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel 2010 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
Возвращает критерий независимости. Функция ХИ2.ТЕСТ возвращает значение статистики для распределения хи-квадрат (χ2) и соответствующее число степеней свободы. Критерий χ2 можно использовать для определения того, подтверждается ли гипотеза экспериментом.
Синтаксис
Аргументы функции ХИ2.ТЕСТ описаны ниже.
- Фактический_интервал — обязательный аргумент. Интервал данных, который содержит результаты наблюдений, подлежащие сравнению с ожидаемыми значениями.
- Ожидаемый_интервал — обязательный аргумент. Интервал данных, который содержит отношение произведений итогов по строкам и столбцам к общему итогу.
Замечания
- Если фактический интервал и ожидаемый интервал имеют различное количество точек данных, функция ХИ2.ТЕСТ возвращает значение ошибки #Н/Д.
- Критерий χ2 сначала вычисляет статистику χ2 по формуле: где Aij — фактическая частота в i-й строке, j-м столбце; Eij — ожидаемая частота в i-й строке, j-м столбце; r — число строк; c — число столбцов.
- Нижнее значение критерия χ2 является признаком независимости. Как видно из формулы, критерий χ2 всегда положительный или равен 0, а последнее возможно только в том случае, если Aij = Eij при любых значениях i, j.
- Функция ХИ2.ТЕСТ возвращает вероятность того, что при условии независимости может быть получено такое значение статистики χ2, которое будет по крайней мере не меньше значения, рассчитанного по приведенной выше формуле. Для вычисления этой вероятности функция ХИ2.ТЕСТ использует распределение χ2 с соответствующим числом степеней свободы (df). Если r > 1, а c > 1, то df = (r — 1)(c — 1). Если r = 1, а c > 1, то df = c — 1; если же r > 1, а c = 1, то df = r — 1. Равенство, где r = c = 1, недопустимо, поэтому в этом случае появляется сообщение об ошибке #Н/Д.
- Использовать функцию ХИ2.ТЕСТ лучше всего при не слишком малых значениях Eij. Некоторые специалисты по статистике полагают, что значение Eij должно быть больше или равно 5.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Мужчины (фактически)
Женщины (фактически)
Функция ХИ2.РАСП
Excel для Microsoft 365 Excel для Microsoft 365 для Mac Excel для Интернета Excel 2021 Excel 2021 для Mac Excel 2019 Excel 2019 для Mac Excel 2016 Excel 2016 для Mac Excel 2013 Excel Web App Excel 2010 Excel для Mac 2011 Excel Starter 2010 Еще. Меньше
В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции ХИ2.РАСП в Microsoft Excel.
Описание
Возвращает распределение хи-квадрат.
Функция распределения хи-квадрат обычно используется для изучения вариации в процентах какой-либо величины между выборками — например, части дня, которую люди проводят у телевизора.
Синтаксис
Аргументы функции ХИ2.РАСП описаны ниже.
- X — обязательный аргумент. Значение, для которого требуется вычислить распределение.
- Степени_свободы — обязательный аргумент. Число степеней свободы.
- Интегральная — обязательный аргумент. Логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция ХИ2.РАСП возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения.
Замечания
- Если какой-либо из аргументов не является числом, ХИ2. DIST возвращает #VALUE! значение ошибки #ЗНАЧ!.
- Если x имеет отрицательное отношение, ХИ2. DIST возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
- Если значение степени_свободы не целое, оно усекается.
- Если deg_freedom < 1 или deg_freedom >10^10, ХИ2. DIST возвращает #NUM! значение ошибки #ЗНАЧ!.
Пример
Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.
Распределение хи-квадрат для 0,5, возвращаемое как интегральная функция распределения с 1 степенью свободы.
Распределение хи-квадрат для 2, возвращаемое как интегральная функция распределения с 3 степенями свободы.
Проверка простых гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в EXCEL
После получения экспериментальных данных (т.е. когда имеется некая выборка ) обычно производится выбор закона распределения, наиболее хорошо описывающего случайную величину, представленную данной выборкой . Проверка того, насколько хорошо экспериментальные данные описываются выбранным теоретическим законом распределения, осуществляется с использованием критериев согласия . Нулевой гипотезой , обычно выступает гипотеза о равенстве распределения случайной величины некоторому теоретическому закону.
Сначала рассмотрим применение критерия согласия Пирсона Х 2 (хи-квадрат) в отношении простых гипотез (параметры теоретического распределения считаются известными). Затем — применение критерияв случае сложных гипотез , когда задается только форма распределения, а параметры этого распределения и значение статистики Х 2 оцениваются/рассчитываются на основании одной и той же выборки .
Примечание : Применение критерия согласия Пирсона Х 2 в отношении сложных гипотез см. статью Проверка сложных гипотез критерием хи-квадрат Пирсона в MS EXCEL .
Примечание : В англоязычной литературе процедура применения критерия согласия Пирсона Х 2 имеет название The chi-square goodness of fit test .
Напомним процедуру проверки гипотез:
- на основе выборки вычисляется значение статистики , которая соответствует типу проверяемой гипотезы. Например, для проверки гипотезы о равенстве среднего μ некоторому заданному значению μ 0 используется t-статистика (если стандартное отклонение не известно);
- при условии истинности нулевой гипотезы , распределение этой статистики известно и может быть использовано для вычисления вероятностей (например, для t-статистики это распределение Стьюдента );
- вычисленное на основе выборки значение статистики сравнивается с критическим для заданного уровня значимости значением ( α-квантилем );
- нулевую гипотезу отвергают, если значение статистики больше критического (или если вероятность получить это значение статистики ( p-значение ) меньше уровня значимости , что является эквивалентным подходом).
Проведем проверку гипотез для различных распределений.
Дискретный случай
Предположим, что два человека играют в кости. У каждого игрока свой набор костей. Игроки по очереди кидают сразу по 3 кубика. Каждый раунд выигрывает тот, кто выкинет за раз больше шестерок. Результаты записываются. У одного из игроков после 100 раундов возникло подозрение, что кости его соперника – несимметричные, т.к. тот часто выигрывает (часто выбрасывает шестерки). Он решил проанализировать насколько вероятно такое количество исходов противника.
Примечание : Т.к. кубиков 3, то за раз можно выкинуть 0; 1; 2 или 3 шестерки, т.е. случайная величина может принимать 4 значения.
Из теории вероятности нам известно, что если кубики симметричные, то вероятность выпадения шестерок подчиняется биномиальному закону . Поэтому, после 100 раундов частоты выпадения шестерок могут быть вычислены с помощью формулы =БИНОМ.РАСП(A7;3;1/6;ЛОЖЬ)*100
В формуле предполагается, что в ячейке А7 содержится соответствующее количество выпавших шестерок в одном раунде.
Примечание : Расчеты приведены в файле примера на листе Дискретное .
Для сравнения наблюденных (Observed) и теоретических частот (Expected) удобно пользоваться гистограммой .
При значительном отклонении наблюденных частот от теоретического распределения, нулевая гипотеза о распределении случайной величины по теоретическому закону, должна быть отклонена. Т.е., если игральные кости соперника несимметричны, то наблюденные частоты будут «существенно отличаться» от биномиального распределения .
В нашем случае на первый взгляд частоты достаточно близки и без вычислений сложно сделать однозначный вывод. Применим критерий согласия Пирсона Х 2 , чтобы вместо субъективного высказывания «существенно отличаться», которое можно сделать на основании сравнения гистограмм , использовать математически корректное утверждение.
Используем тот факт, что в силу закона больших чисел наблюденная частота (Observed) с ростом объема выборки n стремится к вероятности, соответствующей теоретическому закону (в нашем случае, биномиальному закону ). В нашем случае объем выборки n равен 100.
Введем тестовую статистику , которую обозначим Х 2 :
где O l – это наблюденная частота событий, что случайная величина приняла определенные допустимые значения, E l – это соответствующая теоретическая частота (Expected). L – это количество значений, которые может принимать случайная величина (в нашем случае равна 4).
Примечание : Вышеуказанная статистика является частным случаем статистики используемой для вычисления критерия независимости хи-квадрат (см. статью Критерий независимости хи-квадрат в MS EXCEL ).
Как видно из формулы, эта статистика является мерой близости наблюденных частот к теоретическим, т.е. с помощью нее можно оценить «расстояния» между этими частотами. Если сумма этих «расстояний» «слишком велика», то эти частоты «существенно отличаются». Понятно, что если наш кубик симметричный (т.е. применим биномиальный закон ), то вероятность того, что сумма «расстояний» будет «слишком велика» будет малой. Чтобы вычислить эту вероятность нам необходимо знать распределение статистики Х 2 ( статистика Х 2 вычислена на основе случайной выборки , поэтому она является случайной величиной и, следовательно, имеет свое распределение вероятностей ).
Из многомерного аналога интегральной теоремы Муавра-Лапласа известно, что при n—>∞ наша случайная величина Х 2 асимптотически распределена по закону Х 2 с L — 1 степенями свободы.
Итак, если вычисленное значение статистики Х 2 (сумма «расстояний» между частотами) будет больше чем некое предельное значение, то у нас будет основание отвергнуть нулевую гипотезу . Как и при проверке параметрических гипотез , предельное значение задается через уровень значимости . Если вероятность того, что статистика Х 2 примет значение меньше или равное вычисленному ( p -значение ), будет меньше уровня значимости , то нулевую гипотезу можно отвергнуть.
В нашем случае, значение статистики равно 22,757. Вероятность, что статистика Х 2 примет значение больше или равное 22,757 очень мала (0,000045) и может быть вычислена по формулам =ХИ2.РАСП.ПХ(22,757;4-1) или =ХИ2.ТЕСТ(Observed; Expected)
Примечание : Функция ХИ2.ТЕСТ() специально создана для проверки связи между двумя категориальными переменными (см. статью про критерий независимости ).
Вероятность 0,000045 существенно меньше обычного уровня значимости 0,05. Так что, у игрока есть все основания подозревать своего противника в нечестности ( нулевая гипотеза о его честности отвергается).
При применении критерия Х 2 необходимо следить за тем, чтобы объем выборки n был достаточно большой, иначе будет неправомочна аппроксимация Х 2 -распределением распределения статистики Х 2 . Обычно считается, что для этого достаточно, чтобы наблюденные частоты (Observed) были больше 5. Если это не так, то малые частоты объединяются в одно или присоединяются к другим частотам, причем объединенному значению приписывается суммарная вероятность и, соответственно, уменьшается число степеней свободы Х 2 -распределения .
Для того чтобы улучшить качество применения критерия Х 2 ( увеличить его мощность ), необходимо уменьшать интервалы разбиения (увеличивать L и, соответственно, увеличивать количество степеней свободы ), однако этому препятствует ограничение на количество попавших в каждый интервал наблюдений (д.б.>5).
Примечание : Рассмотренный выше пример является частным случаем применения критерия независимости хи-квадрат (chi-square test), который позволяет определить есть ли связь между двумя категориальными переменными (см. статью Критерий независимости хи-квадрат в MS EXCEL ).
СОВЕТ : О проверке других видов гипотез см. статью Проверка статистических гипотез в MS EXCEL .
Непрерывный случай
Критерий согласия Пирсона Х 2 можно применить так же в случае непрерывного распределения .
Рассмотрим некую выборку , состоящую из 200 значений. Нулевая гипотеза утверждает, что выборка сделана из стандартного нормального распределения .
Примечание : Cлучайные величины в файле примера на листе Непрерывное сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) . Поэтому, новые значения выборки генерируются при каждом пересчете листа.
Как видно из диаграммы, значения выборки довольно хорошо укладываются вдоль прямой. Однако, как и в дискретном случае для проверки гипотезы применим Критерий согласия Пирсона Х 2 .
Для этого разобьем диапазон изменения случайной величины на интервалы с шагом 0,5 стандартных отклонений . Вычислим наблюденные и теоретические частоты. Наблюденные частоты вычислим с помощью функции ЧАСТОТА() , а теоретические – с помощью функции НОРМ.СТ.РАСП() .
Примечание : Как и для дискретного случая , необходимо следить, чтобы выборка была достаточно большая, а в интервал попадало >5 значений.
Вычислим статистику Х 2 и сравним ее с критическим значением для заданного уровня значимости (0,05). Т.к. мы разбили диапазон изменения случайной величины на 10 интервалов, то число степеней свободы равно 9. Критическое значение можно вычислить по формуле =ХИ2.ОБР.ПХ(0,05;9) или =ХИ2.ОБР(1-0,05;9)
На диаграмме выше видно, что значение статистики равно 8,19, что существенно выше критического значения – нулевая гипотеза не отвергается.
Ниже приведена диаграмма , на которой выборка приняла маловероятное значение и на основании критерия согласия Пирсона Х 2 нулевая гипотеза была отклонена (не смотря на то, что случайные значения были сгенерированы с помощью формулы =НОРМ.СТ.ОБР(СЛЧИС()) , обеспечивающей выборку из стандартного нормального распределения ).
Нулевая гипотеза отклонена, хотя визуально данные располагаются довольно близко к прямой линии.
В качестве примера также возьмем выборку из непрерывного равномерного распределения U(-3; 3). В этом случае, даже из графика очевидно, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.
Критерий согласия Пирсона Х 2 также подтверждает, что нулевая гипотеза должна быть отклонена.