Как перемножать матрицы 2×2

Умножение матриц.

Результатом умножения матриц A _{m × n} и B _{n × k} будет матрица C _{m × k} такая, что элемент матрицы C, стоящий в i -той строке и j -том столбце ( c _ij ), равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы A на соответствующие элементы j -того столбца матрицы B:

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства умножения матриц

• (A · B) · C= A · (B · C) — произведение матриц ассоциативно;
• ( z · A) · B= z · (A · B), где z — число;
• A · (B + C) = A · B + A · C — произведение матриц дистрибутивно;
• E _n · A _nm = A _nm · E _m = A _nm — умножение на единичную матрицу;
• A · B ≠ B · A — в общем случае произведение матриц не коммутативно.
• Произведением двух матриц есть матрица, у которой столько строк, сколько их у левого сомножителя, и столько столбцов, сколько их у правого сомножителя.

Примеры задач на умножение матриц

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 4 2 9 0 и B = 3 1 -3 4

С = A · B = 4 2 9 0 · 3 1 -3 4 = 6 12 27 9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

Найти матрицу C равную произведению матриц A = 2 1 -3 0 4 -1 и B = 5 -1 6 -3 0 7 .

C = A · B = 2 1 -3 0 4 -1 · 5 -1 6 -3 0 7 = 7 -2 19 -15 3 -18 23 -4 17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

Как перемножать матрицы 2×2

Предположим, что нам нужно умножить матрицу A на матрицу B.

Чтобы свести эту проблему к уже известной («Умножение строки на столбец»), матрицу A будем рассматривать как набор строк, тогда как матрицу B — как набор столбцов.

Тогда все, что нам предстоит проделать — это умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B. При этом номера перемножаемых строк и столбцов сохраняют свою силу — в том смысле, что результат умножения, например, пятой строки на третий столбец записывается в пятую строку на третий столбец.

Пример:

Правило умножения строки на столбец:

Если обозначить строки матрицы A символами , а столбцы матрицы B – символами , то правило (1) матричного умножения можно представить в следующем блочном виде:

Таким образом, если матрица A содержит m строк, а матрица B содержит n-столбцов, то произведение AB представляет собой матрицу С размера m × n. Элемент , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы AB, вычисляется по правилу умножения строки на столбец: i-ая строка матрицы A умножается на j-ый столбец матрицы B.

• Произведение AB определено, если число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. (Другими словами, число элементов в строке матрицы A должно совпадать с числом элементов в столбце матрицы B.)
• Произведение BA определено, если число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A.

• Существование одного из произведений (AB или BA) не влечет за собой существование другого.
• Если определено каждое из таких произведений, то размеры матриц AB и BA не обязательно совпадают друг с другом. Например, результатом умножения матрицы A размера 1×n на матрицу B размера n×1 является число (то есть матрица размера 1×1), тогда как произведение BA представляет собой квадратную матрицу n-го порядка.
• Если матрицы A и B являются квадратными маирицами n-го, то и их произведения AB и BA являются матрицами такого же порядка. Однако даже для таких матриц их произведения в одном и другом порядках равны только в некоторых частных случаях.
• Произведение нескольких матриц, расположенных в определенном порядке, однозначно определено, если число столбцов каждой матрицы равно числу строк соседней матрицы справа. В этом случае для нахождения произведения матриц можно использоать произвольный порядок расстановки скобок (см Свойства матричных операций).

Символическая запись означает произведение двух одинаковых квадратных матриц:
Аналогичным образом определяются другие целые положительные степени квадратной матрицы:

Правило (1) матричного умножения сохраняет свой вид и в том случае, когда элементами матриц A и B являются другие матрицы. Пусть, например, матрицы A и B представлены в виде

(4)

где A _{i j} и B _{i j} – некоторые матрицы, размеры которых таковы, что соответствующие матричные произведения определены.
Тогда

(5)

Как перемножать матрицы 2×2

Главная > Самоучители > Высшая алгебра > Операции сложения матриц, умножения матриц, умножения матриц на число.

Операции сложения матриц, умножения матриц, умножения матриц на число.

Матрицы – объект-новинка для человека, поступившего в высшее учебное заведение. В школе учителя оперируют лишь такими объектами как число и вектор. А тут вон оно чего. Оказывается все это матрицы.

Определение: матрицей называется множество чисел, записанных в виде таблицы, причем каждому элементу этого множества (элементу матрицы) ставится в соответствие пара чисел, первое из которых обозначает номер строки, а второе — номер столбца, в которых расположен этот элемент.

Да, все это матрицы, просто число это, с определенным допуском, матрица размера 1 на 1, вектор трехмерного пространства, например — матрица размера 1 на 3. И т.д. Мы живем в мире матриц.

Конечно же, к этим элементам можно применять основные математические операции – сложение, умножение и умножение матрицы на число. Определим эти операции.

Сложение матриц.

Складывать можно только матрицы одного размера. При сложении двух матрицы складываются соответствующие их элементы, т.е.

2) Умножение матрицы на число.

При умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на этой число.

3) Умножение матриц.

Тут нужно запомнить два факта:
А) Произведение матрица определено, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Б) Вообще говоря, операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности ( ), т.е. может быть равно только в исключительных случаях.

Матрицы, для которых верно равенство называются перестановочными.

Еще надо запомнить одну фразу, в которой и сокрыт принцип умножения матриц:
«Строка на столбец».

Покажем умножение на примере двух матриц размера 2х2

А теперь общий принцип: если требуется перемножить две матрицы, то для того, чтобы вычислить элемент с номером требуется из первой матрицы взять строку с номером , из второй матрицы – столбец с номером , и записать сумму произведений соответствующих координат.

Для матриц еще определены операции вычисления обратной матрицы и вычисления определителя, но о них рассказано в других статьях этого раздела.
Вычисление определителей.
О том, как найти обратную матрицу.

Умножение матриц

Инструкция . Выберите размерность матриц A и B . Нажмите Далее .

Классификация операций с умножением матрицы

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Правила ввода данных

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Поиск

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus .
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).