Как измерить длину кривой

Как измерить длину кривой линии

КУРВИМЕТР — прибор для определения расстояний на карте по кривым линиям. В упрощенном виде его нетрудно сделать самим. Это вращающийся диск с ручкой. Ручка делается из деревянной планки, диск — из фанеры или стали. На диск наклеивают с обеих сторон бумажные шкалы с делениями, соответствующими масштабам карт. Для карт разных масштабов делают разные шкалы. На наших чертежах шкалы даны не в масштабе.
Установите иск курвиметра ручкой вверх, делением со стрелкой над пунктом карты, от которого вы хотите измерить расстояние. Прокатывая диск по измеряемому пути, заметьте, сколько раз прикоснулась стрелка к карте, сколько целых оборотов сделал диск и какую часть окружности круга сверх этого надо приложить к карте, чтобы пройти весь путь. Получить искомый ответ, как вы, очевидно, догадались, совсем нетрудно.

«ЮТ для умелых рук», середина 70-ых годов ХХ века

Related posts:

1. Как иметь линейку всегда под рукой
2. Как усовершенствовать ножовку
3. Куда девать механические часы
4. Как облегчить распиловку

Автор admin Опубликовано 24.01.2016 Рубрики Самодельщикам Метки Измерение

Как вычислить длину дуги кривой?

Помимо нахождения площади и объёма тела вращения, вездесущий определённый интеграл позволяет рассчитать и другие показатели, в частности длину дуги кривой.
И в данной статье мы узнаем, как вычислить данную величину, если линия задана функцией , либо параметрически , или же уравнением в полярной системе координат. Для каждого случая будут разобраны практические примеры с подробными комментариями о типичных особенностях решения этой задачи. Более того, по ходу изложения материала вас ждёт специальное предложение, которое должно понравиться 😉

Пусть некоторая функция непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой :

В предположении о непрерывности производной на , длина кривой выражается формулой:

Согласно геометрическому смыслу, длина не может быть отрицательной, и это заведомо гарантируется неотрицательностью подынтегральной функции (при разумеющемся условии ). Таким образом, в данной задаче не возникает дополнительных хлопот по поводу того, как и где «петляет» график (выше оси, ниже оси и т.д.).

Другой хорошей новостью является тот факт, что в практических примерах, как правило, не нужно строить чертежа. Это была единственная иллюстрация в статье, чтобы вы быстрее поняли, о чём вообще идёт речь. Впрочем, начнём с кривой, которую всем вбили в голову ещё в далёком детстве =)

Вычислить длину дуги параболы от точки до точки

Решение: принимая во внимание «иксовые» координаты точек, определяем пределы интегрирования и используем формулу:

А вот и первый камень преткновения. Интеграл данного вида детально разобран в Примере № 5 урока Сложные интегралы, он интегрируется по частям и сводится к себе. Сначала удобно найти первообразную:

Интегрируем по частям:

Открываем одиночной «звёздочкой» основное решение и используем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ:

Скрупулёзно не проверял, но если взглянуть на параболу, то очень и очень похоже на правду. Громоздких и страшных результатов бояться не нужно, рАвно, как и длинных решений!

Следующие разминочные задачи для самостоятельного решения

Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки до точки

Интеграл здесь будет значительно проще, чем в предыдущем примере. Однако за кажущейся простотой нередко скрывается коварство. Так, вроде бы похожее условие «Вычислить длину дуги полукубической параболы на промежутке » далеко не эквивалентно и приводит к совершенно другому ответу.

Да, в рассматриваемом типе задач обычно не требуется выполнять чертёж, но всегда полезно, а иногда и очень важно знать, что это за линия и КАК выглядит её график 😉

Вычислить длину дуги кривой ,

Это более распространённый вариант формулировки – когда промежуток интегрирования указан в виде двойного неравенства.

А что тут смущает? Люди без комплексов давно интегрируют по любой переменной, и я ещё в статье Объем тела вращения предлагал вам расширить свои взгляды =)

Обратная функция и её производная непрерывны на отрезке , поэтому применима зеркальная формула , где и , естественно, уже «игрековые» пределы интегрирования.

Кстати, в первом примере можно рассмотреть правую ветвь параболы с пределами интегрирования , правда, хрен редьки не слаще. Хотя любители оценят, интеграл получается трудный, но вполне реалистичный.

В следующем параграфе рассмотрим критически важную вещь, касающуюся всех задач урока:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана параметрически?

Если линия задана параметрическими уравнениями , то при выполнении некоторых условий, на которых я не буду останавливаться, длина дуги кривой , которая прочерчивается при изменении параметра в пределах , рассчитывается по формуле:

, где – значения, определяющие точки и .

В начале урока о площади и объёме при линиях, заданных параметрически, я обратил ваше внимание на тот факт, что параметрические уравнения могут «прорисовывать» кривую как слева направо, так и справа налево, из-за чего во втором случае «вылезает минус» и возникают небольшие технические затруднения. В рассматриваемой задаче мы от этого избавлены! Так как подынтегральная функция, как и в первом пункте, неотрицательна , то заранее можно утверждать, что результата со знаком «минус» получиться не должно (понятно, при условии ).

Однако вместо «вопроса прорисовки дуги» у нас появляется другая почётная обязанность – беречь неотрицательность подынтегральной функции, как зеницу ока:

Вычислить длину дуги кривой

Решение: аналитические условия задают левую верхнюю дугу астроиды. Причём параметрические уравнения «прорисовывают» эту кривую справа налево, но, как я только что отметил, сейчас нас это не волнует, и асфальтный каток едет дальше.

Сначала найдём производные:

и упростим сумму их квадратов:

Это оптимальная во многих случаях техника решения, позволяющая не «таскать за собой» значки корня и интеграла с пределами интегрирования. Тем самым минимизируется риск что-нибудь потерять в громоздкой записи.

Гораздо удобнее «зарядить» в формулу готовую сумму:

А вот теперь самый важный момент. Здесь нельзя «машинально» избавляться от корня и необходимо придерживаться следующего правила:

, если функция на промежутке ,
или , если на данном промежутке.

Эта «развилка» сохраняет неотрицательность подынтегральной функции, что соответствует геометрическому смыслу задачи.

На отрезке , следовательно, их произведение неположительное: и поэтому

Не понимаете, почему ? Посмотрите на их графики.

Продолжаем, а точнее, заканчиваем решение:

Ответ:

Приятно, когда знаешь график функции, но вдвойне приятнее, когда можно эффективно проверить или даже заранее узнать ответ. Длина астроиды равна . В нашей задаче и мы рассчитали длину «четвертинки»:

, что и требовалось проверить.

Вычислить длину дуги кривой с точностью до двух знаков после запятой

Примерный образец оформления задачи и в конце урока.

Продолжаем динамично закатывать асфальт:

Как найти длину дуги кривой, если линия задана в полярной системе координат?

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , где , и при этом значение определяет точку , а значение – точку . Если на промежутке функция имеет непрерывную производную , то длина кривой выражается следующей формулой:

Условие логично и незыблемо. Это третья, похожая на предыдущую формула, которую мы незамедлительно оприходуем:

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Порядок и принципы решения точно такие же.

Найдём производную по «фи»:

Составим и максимально упростим подкоренное выражение:

…мда, презабавно, всё время понижали-понижали степень, а теперь её надо повысить. Используем формулу двойного угла и основное тригонометрическое тождество , выцыганив тем самым заветный квадрат:

Теперь нужно разобраться с функцией на отрезке , чтобы правильно избавиться от корня. Я мысленно представляю график и вижу, что функция здесь положительна, но это очевидно далеко не всем, и в этой ситуации можно использовать нечто похожее на метод интервалов. Вычислим значение функции в какой-нибудь промежуточной точке, например, посерединке в точке :

, а значит, и в любой точке интервала . К слову, и на концах тоже.
Примечание: строго говоря, надо ещё добавить, что уравнение не имеет корней на данном интервале.

Таким образом, вынесение из-под корня проходит без всяких последствий. …Не хотел вам рассказывать об одном нехорошем методе решения, но таки поделюсь – всё равно догадаетесь, по себе знаю =) На черновике считаем интеграл и если получился отрицательный результат, то на чистовике ставим перед интегралом «минус». И никаких запарок с рассуждениями.

Ответ:

Я решил эту задачу много лет назад именно таким способом и недавно, подбирая примеры к уроку, нашёл более симпатичное решение, идея которого состоит в использовании формулы приведения и дальнейшего повышения степени по избитой формуле . Там получается ответ в другом виде, но численно результаты совпадают. Такое тоже бывает.

Затем я углубился в свой архив и нашёл ещё много чего знакомого. Такое впечатление, что сборник Кузнецова – очень популярный поставщик задач по приложениям определённого интеграла в контрольные работы. И в разделе IV-Интегралы вы можете найти порядка сотни прорешанных примеров по теме (Задачи 17-19), велика вероятность, что найдётся и ваш пример!

Успокоительная миниатюра для самостоятельного решения:

Вычислить длину дуги кривой, заданную в полярной системе координат
,

Хочется сказать ещё что-нибудь ласковое, но, к сожалению, я тороплюсь, сегодня пятница и мне тоже хочется погулять =)

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: пределы интегрирования: . Из условия следует, что требуется вычислить длину дуги верхней ветви .
Найдём производную: .
По формуле:

Ответ:

Пример 3: Решение: найдём производную:

Таким образом:

(1) Используем тригонометрическую формулу
(2) При вынесении из-под корня необходимо, чтобы подынтегральная функция осталась положительной:. Так как на отрезке интегрирования, то: .
(3) Данный интеграл разобран в Примере 18 статьи Сложные интегралы.
Ответ:

Пример 5: Решение: используем формулу .
Найдём производные:

Таким образом:

Примечание: при любом значении .
Ответ:

Пример 7: Решение: используем формулу:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено

Простой расчет длины кривых в редакторе Corel Draw

Чтобы самостоятельно рассчитать стоимость лазерной резки, нужно вычислить длину кривых. Узнайте, как это сделать в Corel Draw двумя способами.

Для заказа лазерной или фрезерной резки необходимо подготовить рабочий файл. Как правило, для этого используется редактор векторной графики Corel Draw. Программа позволяет создавать «с нуля» и редактировать готовые макеты, производить необходимые вычисления.

Расчет длины кривых

Чтобы рассчитать стоимость резки, необходимо знать протяженность линий. Это значение умножается на цену одного метра. Измерить длину реза в Corel Draw несложно. Для этого достаточно выполнить несколько простых действий:

1. Откройте в программе файл с объектом, для которого необходимо вычислить длину линий и выделяем его
2. .
3. Если файл содержит несколько отдельных объектов, их необходимо сначала объединить, чтобы узнать общую длину кривых. Для этого используется кнопка «Объединить», расположенная на панели с инструментами.
4. 
5. Нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Q, тем самым вы переведете текст в кривые. Это же действие можно выполнить другим способом: выделить текст, выбрать в меню «Объект» > «Преобразовать в кривую».
6. 
7. Выделите трансформированный объект и наведите на него курсор. Кликните правой клавишей мыши. В появившемся меню выберите пункт под названием «Свойства объекта» или нажмите комбинацию Alt+Enter. Свойства объекта отобразятся на панели справа.
8. 
9. Нажмите на кнопку «Перейти к свойствам кривых» (пятая в верхнем ряду).
10. 
11. 

Как узнать линию реза с помощью макроса «Периметр»

Перед установкой плагина распакуйте скачанный zip-архив, закройте графический редактор, если до этого вы использовали программу, и переместите файл Perimlength_ru_1_3.gms в папку с установленным Corel Draw. Добавить кнопку макроса на панель инструментов можно следующим образом:

1. Запустите Корел.
2. Зайдите в настройки: «Инструменты» > «Параметры» (или Ctrl+J).
3. Выберите «Рабочее пространство» > «Настройки» > «Команды».
4. В выпадающем списке макросов найдите Perimlength.perimeter_len.
5. Перетяните макрос за значок в любую область на панели инструментов.
6. Подтвердите действие в окне «Параметры» нажатием кнопки «Ок».

Теперь откройте любой макет, выделите все объекты и нажмите на добавленную кнопку макроса. Цвет линий поменяется на желтый, а в верхнем правом углу появится окно с расчетами.

Как измерить длину кривой в CorelDraw x7

23 апреля 2015

Данная статья наглядно объясняет как легко определить суммарную длину всех линий файла для резки.

Файлы для резки на лазерном или фрезерном оборудовании обычно разрабатывают в Corel Draw.

1. Открываем или рисуем произвольный векторный объект, или ряд объектов.

2. Объект должен быть переведен в кривые. Горячая клавиша для перевода в кривые (Ctrl+Q) либо выделив объект выбираем в главном меню вкладку (объект) далее (преобразовать в кривую)

3. Выделяем уже «закривленный» объект, наводим на него мышку, нажимаем правую кнопку мыши для вызова контекстного меню, в выпавшем контекстном меню выбираем пункт «свойства объекта«

либо нажимаем комбинацию горячих клавиш (Alt+Enter)

Справа у нас появляется окно «свойства объекта«

4. В верхней части этого окна нас интересует маленькая кнопочка «Кривая перейти к свойствам кривых«

5. Нажав на нее вы переходите в свойства кривых, где вам показана общая длина кривых выделенного объекта.

Если у вас сложный файл состоящий из множества разных объектов вам необходимо их все выделить и объединить в единый объект с помощью инструмента «объединить«

При этом в свойствах кривых вы сможете увидеть суммарную длину всех линий объекта.

Надеюсь данный метод будет вам полезен для расчета стоимости резки при размещении заказа в нашей компании.

Цены на лазерную и фрезерную резку размещены у нас на сайте по ссылкам ниже.

Одной из наиболее востребованных технологий изготовления рекламной продукции является широкоформатная печать. Давайте разберемся, чем же вызвана такая популярность данного вида печати, какая сфера и возможности ее использования?

Использование наружной рекламы в продвижении продукта, услуг не утеряло свою популярность среди цифровой эпохи. Существует несколько видов наружной рекламы, которая применяется в тех или иных условиях.