Вынесение общего множителя за скобку
Например, выражение \(5x+xy\) можно представить как \(x(5+y)\). Это и в самом деле одинаковые выражения, мы можем в этом убедиться если раскроем скобки: \(x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy\). Как видите, в результате мы получаем исходное выражение. Значит, \(5x+xy\) действительно равно \(x(5+y)\). Кстати, это надежный способ проверки правильности вынесения общих множителей – раскрыть полученную скобку и сравнить результат с исходным выражением.
Главное правило вынесения за скобку:
Выносить за скобку можно только те множители, которые есть во всех слагаемых (одночленах).
К примеру, в выражении \(3ab+5bc-abc\) за скобку можно вынести только \(b\), потому что лишь оно есть во всех трех слагаемых. Процесс вынесения общих множителей за скобку представлен на схеме ниже:
Правила вынесения за скобки
- В математике принято выносить сразу все общие множители.Пример: \(3xy-3xz=3x(y-z)\)
Обратите внимание, здесь мы могли бы разложить и вот так: \(3(xy-xz)\) или так: \(x(3y-3z)\). Однако это были бы неполные разложения. Выносить надо и тройку, и икс. - Иногда общие члены сразу не видны.
Пример: \(10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)\)
В этом случае общий член (пятерка) была скрыта. Однако разложив \(10\) как \(2\) умножить на \(5\), а \(15\) как \(3\) умножить на \(5\) – мы «вытащили пятерку на свет Божий», после чего легко смогли вынести ее за скобку. - Если одночлен выносится полностью – от него остается единица.Пример: \(5xy+axy-x=x(5y+ay-1)\)
Мы за скобку выносим \(x\), а третий одночлен и состоит только из икса. Почему же от него остается единица? Потому что если любое выражение умножить на единицу – оно не изменится. То есть этот самый \(x\) можно представить как \(1\cdot x\). Тогда имеем следующую цепочку преобразований: \(5xy+axy-\) \(x\) \(=5xy+axy-\) \(1 \cdot x\) \(=\) \(x\) \((5y+ay-\) \(1\) \()\) Более того – это единственно правильный способ вынесения, потому что если мы единицу не оставим, то при раскрытии скобок мы не вернемся к исходному выражению. Действительно, если сделать вынесение вот так \(5xy+axy-x=x(5y+ay)\), то при раскрытии мы получим \(x(5y+ay)=5xy+axy\). Третий член – пропал. Значит, такое вынесение некорректно. - За скобку можно выносить знак «минус», при этом знаки членов с скобке меняются на противоположные.
Пример: \(x-y=-(-x+y)=-(y-x)\)
По сути здесь мы выносим за скобку «минус единицу», которая может быть «выделена» перед любым одночленом, даже если минуса перед ним не было. Мы здесь используем тот факт, что единицу можно записать как \((-1) \cdot (-1)\). Вот тот же пример, расписанный подробно: \(x-y=\)
\(=1·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=\)
\(=(-1)·((-1)·x+y)=\)
\(=-(-x+y)=\)
\(-(y-x)\) - Скобка тоже может быть общим множителем.
Пример: \(3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)\)
С такой ситуацией (вынесением за скобку скобки) чаще всего мы сталкиваемся при разложении на множители методом группировки или решении уравнений методом расщепления. - Степеньтакже может выноситься за скобку как общий множитель.Пример: \(x^5-x^3+x^2=x^2 (x^3-x+1)\)
Действительно, ведь \(x^5\) — это тоже самое, что \(x·x·x·x·x\),
\(x^3\) — это тоже самое, что \(x·x·x\),
\(x^2\) — это тоже самое, что \(x·x\). Таким образом, получаем: \(x^5-x^3+x^2= x·x·x·x·x- x·x·x+x·x= …\) Теперь у нас в каждом члене есть общие множители \(x·x\) — их и выносим: \(…= x·x(x·x·x- x+1)=x^2 (x^3-x+1)\)
1. Вынесение общего множителя за скобки
Вынесение общего множителя за скобки основано на распределительном законе.
Обрати внимание!
nk + mk = k ( n + m ) .
n ⋅ k ¯ + m ⋅ k = k ⋅ ( n + m ) .
Чтобы найти общий множитель, необходимо :
1) определить коэффициент общего множителя, то есть число, на которое делятся все коэффициенты одночленов;
2) определить общую буквенную часть для всех членов многочлена;
3) общий множитель получится путём произведения коэффициента и общей буквенной части, полученных в первом и втором пунктах, его выносим за скобки.
разложить на множители: 25 t 4 n − 20 t 2 .
Решение.
1. Определим коэффициент общего множителя, найдя НОД коэффициентов \(25\) и \(20\) : \(5\).
2. Найдём общую буквенную часть с минимальным показателем степени: t 2 .
3. Общий множитель получим, вычислив произведение коэффициента и общей буквенной части, т. е. 5 t 2 — общий множитель, его выносим за скобки.
25 t 4 n − 20 t 2 = 5 t 2 5t 2 n − 4 .
Вынесение множителя за скобки: объяснение и примеры
Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в мночлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот мночлен можно представить так:
Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки:
Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему:
Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах.
Пример 1. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
Общим множителем является 7a . Выносим его за скобки и получаем:
Пример 2. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
Общим множителем является −5a . Выносим его за скобки и получаем:
Пример 3. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
Общим множителем является 3ax . Выносим его за скобки и получаем:
Пример 4. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
Общим множителем является x . Выносим его за скобки и получаем:
Пример 5. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:
Общим множителем является a . Выносим его за скобки и получаем:
Пример 6. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. Чтобы во вторых скобках получить a−c , умножаем y на −1 и получим
Общим множителем является x−y . Выносим его за скобки и получаем:
Способ группировки при вынесении множителя за скобки
Законы сложения позволяют группировать слагаемые в выражении любым способом. Иногда удается получить такую группировку, которая позволяет вынести за скобки общие множители.
Пример 7. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. Произведем группировку следующим образом:
В первой группе вынесем за скобку общий множитель , во второй — множитель 5. Получим:
Теперь многочлен x−3 как общий множитель вынесем за скобку. Итак:
Пример 8. Вынести множитель за скобки в выражении
Решение. Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какое-то слагаемое в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В нашем примере целесообразно представить −5x в виде суммы −2x−3x и разнести её слагаемые по разным скобкам:
В каждой скобке можно заметить общий множитель x−2 :
Выносим его за скобки и получаем
Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 9. Вынести множитель за скобки в выражении
Пример 10. Вынести множитель за скобки в выражении
Пример 11. Вынести множитель за скобки в выражении
Пример 12. Вынести множитель за скобки в выражении
Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры
В контексте изучения тождественных преобразований очень важен вопрос о вынесении общего знаменателя за скобки.
В этой статье мы объясним, что именно представляет собой это преобразование, выведем основное правило и проанализируем типичные проблемные случаи. Вспомним урок 7 класса!
Для того, чтобы успешно применить преобразование, нужно знать, к каким выражениям оно будет применяться и какой результат вы хотите получить. Поясним эти моменты. Вы можете взять общий множитель из скобок в выражениях, представляющих собой суммы, где каждый член является произведением, а в каждом произведении есть общий (один и тот же) множитель для всех. Это называется общим фактором. Вынесем его за скобки.
Важно! Если у нас есть произведения \[6 \times 4\] и \[6 \times 3\], то мы можем вынести общий множитель 6. Что это за трансформация?
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Нужна помощь
- В ходе нее мы представим изначальное выражение в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех первоначальных членов, кроме общего множителя. Возьмем образец выше. Выделим общее число 6 в \[6 \times 4 \] и \[6 \times 3\] и вынесем его за скобки.
- Получим \[6 \times(4+3)\]. Окончательный вид выражения представляет собой произведение общего множителя 6 и выражения в скобках, представляющего собой сумму исходных членов без 6.
- Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали ранее.
- В буквальном виде это можно записать как \[n \times(m+6)=n \times m+n \times 6\].
- Изменив правую часть на левую, мы увидим схему вынесения общего множителя в скобках.
- Используя все вышеизложенное, выводим основную формулу такого преобразования: \[a(b+c)=a b+a c\].
Для вынесения общего множителя за скобки необходимо исходное выражение записать в виде произведения общего множителя и скобок, в которые входит исходная сумма без общего множителя.
Примеры 1 — 5
Рассмотрим простой пример. У нас есть числовое выражение \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7\], которое представляет собой сумму трех слагаемых \[5 \times 6,5 \times 3\] и \[5 \times 7\] и общего множителя 5. На основании полученного нами правила, произведение запишем в виде \[5 \times(6+3-7)\]. Это результат нашей трансформации. Вся запись решения выглядит так: \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7=5 \times(6+3-7)\].
\[3 \times 9+3 \times 5+3 \times 6=3 \times(9+5+6)\]
Мы можем убрать множитель из скобок не только в числовых выражениях, но и в буквенных выражениях. Например, в \[5 x-8 x+6\] можно удалить переменную x и получить \[5 x-8 x+6=x \times(5-8)+6\] в выражении \[\left(x^-y\right) \cdot x y+\left(x^-y\right) \cdot x^\] – общий множитель \[\left(x^-y\right)\] и результат \[\left(x^-y\right) \cdot x y+\left(x^-y\right) \cdot x^=\left(x^-y\right) \cdot\left(x y+x^\right)\]. Не всегда можно сразу определить, какой множитель является общим. Иногда выражение необходимо предварительно преобразовать, заменив числа и выражения произведениями, идентичными им.
В выражении 9 ⋅ x — 6 ⋅ y можно выделить общий множитель 3, который явно неопределен. Чтобы найти его, нам нужно преобразовать исходное выражение (путем разложения множителей), которое представляет девять как \[3 \times 3\] и шесть как \[3 \times 2\]. То есть \[9 x-6 y=3 \times 3 x-3 \times 2 y=3 \times(3 x-2 y)\]. Или в выражении \[x^-x^-5\] можно поставить общий множитель в скобках. Это преобразование возможно благодаря основным свойствам степеней. Следовательно, получаем выражение \[x \cdot\left(x^-x-5\right)\].
\[5 a+30 a b-45 a c=5 a(1+6 b-9 c)\]
Другой случай, который следует рассматривать отдельно — это минус за скобками. Так мы устраняем не сам знак, а минус 1. Например, преобразуем выражение \[-8+14 x-5 x y\] таким образом. Перепишите выражение в виде \[(-1) \times 8-(-1) \times 14 x+(-1) \times 5 \times y\], чтобы общий коэффициент был виден более четко. Вынесем его за скобки и получим \[-(8-14 x+5 x y)\]. Этот пример показывает, что в скобках получается одна и та же сумма, но с противоположными знаками.
\[-4 x-5 x y+2 x=x(4+5 y-2)\]
В итоге отметим, что преображение путем выноса общего сомножителя за скобки чрезвычайно часто применяется на практике, к примеру, для исчисления значения иррациональных выражений. Также этот метод продуктивен, когда нужно показать выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные сомножители.