Калькулятор преобразования формы комплексного числа
Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т.д. Для правильного использования калькулятора, Вам необходимо выбрать форму записи Вашего комплексного числа и ввести данные. В калькулятор можно вводить не только числа и дроби, но и символы (параметры). Ниже представлены необходимые теоретические сведения для правильного использования калькулятора.
где — произвольные действительные числа, называется алгебраической формой записи комплексного числа.
называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Наконец, воспользовавшись формулой Эйлера:
можно получить экпоненциальную (показательную) форму записи комплексного числа:
Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа
Тригонометрической формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|(\cos \varphi + i\sin \varphi),$$где $|z|$ — модуль и $\varphi$ — аргумент комплексного числа.
Показательной формой комплексного числа $z = x+iy$ называется выражение вида $$z = |z|e^,$$ где $|z|$ — модуль и $\varphi$ — аргумент.
В условии задачи дано комплексное число в алгебраической форме. Чтобы его перевести в тригонометрическую форму нужно найти модуль и аргумент.
Вычисляем модуль по формуле корень квадратный из суммы квадратов действительной и мнимой части комплексного числа $$|z| = \sqrt = \sqrt)^2> = 2.$$
Для нахождения аргумента нужно учитывать, что в данном комплексном числе $x = 1 > 0$, поэтому формула $\varphi = \arctg \frac$. Более подробнее о формуле можно прочитать в статье аргумент комплексного числа. $$\varphi = \arctg \frac = \arctg \frac> = \frac<\pi>$$
Теперь можно записать тригонометрическую форму $$z = 2(\cos (\frac<\pi>)+i\sin(\frac<\pi>)),$$и показательную $$z = 2e^<\frac<\pi>i>.$$
Находим модуль $$|z| = \sqrt<(-\sqrt<3>)^2 + 1^2> = \sqrt = 2.$$
Вычисляем аргумент по формуле $\varphi = \pi + \arctg\frac$, так как $x0$ $$\varphi = \pi + \arctg \frac> = \pi — \frac<\pi> = \frac<5\pi>$$
И наконец, записываем тригонометрическую форму на основании полученных значений $$z = 2(\cos \frac<5\pi> + i\sin \frac<5\pi>),$$и теперь показательную форму $$z = 2e^< \frac<5\pi>i>.$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Показательная форма комплексного числа, онлайн калькулятор
Показательная форма комплексного числа, онлайн калькулятор поможет перевести комплексное число из алгебраической формы в показательную и наоборот.
Калькулятор комплексных чисел
Аргумент комплексного числа, онлайн калькулятор
Модуль комплексного числа, онлайн калькулятор
Тригонометрическая форма комплексного числа, онлайн калькулятор
Извлечение корня из комплексного числа онлайн
Числа. Комплексные (мнимые) числа.
Мы в соцсетях Присоединяйтесь!
Нашли ошибку? Есть предложения? Сообщите нам
Этот калькулятор можно вставить на сайт, в блог
Код для вставки без рекламы с прямой ссылкой на сайт
Код для вставки с рекламой без прямой ссылки на сайт
Скопируйте и вставьте этот код на свою страничку в то место, где хотите, чтобы отобразился калькулятор.
Показательная форма комплексного числа
Следовательно, любое комплексное число можно представить в так называемой показательной форме:
Задание. Записать комплексное число $z=3-4 i$ в показательной форме.
Операции с комплексными числами в показательной форме
Такая форма представления позволяет дать наглядную интерпретацию операциям умножения комплексных чисел, их деления и возведения комплексного числа в степень. Например, умножение комплексного числа $z_=\left|z_\right| e^$ на комплексное число $z_=\left|z_\right| e^$ выглядит следующим образом:
То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы.
Аналогично можно довольно легко найти частное от деления комплексного числа $z_=\left|z_\right| e^$ на комплексное число $z_=\left|z_\right| e^$ :
Отсюда получаем правило, что для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, надо поделить их модули и отнять аргументы.
Для возведения комплексного числа $z$ в целую степень $n$ нужно представить это число в показательной форме $z=|z| e^$, модуль возвести в степень, а аргумент увеличить в $n$ раз: