Определение транспонированной матрицы
Транспонированной матрицей называют такую матричную форму представления данных \(A^\) , которая образована из начальной A с помощью замещения строк столбцами.
С теоретической точки зрения, транспонированная матрица в случае с некоторой матричной формой А, обладающей размерностью \(m\times n\) , сформирована как матрица под названием \(A^\) со следующими габаритами: \(n \times m\) , соответствующая такому выражению, которое можно вычислить:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Исходя из данного определения и принципа построения матричных форм, можно прийти к выводу, что при записи транспонированной матрицы из начального массива данных, выстроенных в определенном порядке, строки нужно составить как колонки в аналогичной последовательности. Тогда получится необходимая матричная форма, которую далее можно решать при необходимости.
Свойства транспонированной матрицы, как найти
Задачи с матрицами обладают разной степенью сложности. Когда предстоит в процессе решения выполнить подобного рода преобразования такие, как транспонирование строчек и колонок матричной формы, можно воспользоваться простым алгоритмом операций. Данная последовательность действий позволит исключить ошибки при формировании обозначения нужной матрицы:
- проанализировать исходную запись данных;
- определить расположение строк и столбцов;
- изменить места колонок и строчек с помощью ранее записанной формулы \(A_ ^T = A_\) ;
- сформулировать ответ в соответствии с заданием.
Значительно упростить расчеты при работе с матричными формами помогут справедливые закономерности. Запишем ряд полезных свойств, применимых к примерам с транспонированием матрицы:
- Предположим, что у некоторой матрицы АА имеются следующие размеры: \(m \times n\) . В таком случае при транспонировании этих записей с данными получится матрица \(A^T\) , которая обладает размерами \(n \times m\) .
- Если выполнить рассматриваемое действие два раза подряд, то конечный результат не поменяется, а матрица останется в прежней форме.
- Допустимо переносить множитель за пределы транспонированной матричной формы. При этом целесообразно воспользоваться следующим соотношением: \((\lambda \cdot A)^T = \lambda \cdot A^T\) .
- Если пару матриц сложить, то их также можно транспонировать. С этой целью допустимо применить следующую закономерность: \((A+B)^T = A^T + B^T\) .
- Транспонирование выражения, в котором умножают матрицы, подразумевает умножение данных транспонированных матричных форм, то есть: \((A \times B)^T = A^T \times B^T.\)
Рассмотрим процесс транспонирования пары матриц, которые имеют следующий вид:
В процессе решения нужно воспользоваться определением данной математической операции и закономерностями, которые перечислены выше. В результате получим, что:
Как транспонировать матрицу в Excel
Многим знаком редактор MS Excel. Это функциональный компонент пакета Microsoft Office. Программа позволяет работать с разнообразными табличными формами. В числе полезных опций возможность выполнить транспонирование матрицы. Подобное действие целесообразно реализовать по средствам особой функции ТРАНСП(). Рассмотрим наглядный пример:
Заметим, что компоненты начальной матричной формы 2 на 2 размещены в поле от А7 до В8. В таком случае, чтобы транспонировать матрицу следует последовательно выполнить ряд простых действий, а именно:
- выделить ячейки площадью 2 на 2, которые не должны иметь какие-либо пересечения с начальным диапазоном А7:В8;
- в строке для ввода формул напечатать выражение: =ТРАНСП(A7:B8);
- нажать одновременно сочетание клавиш на клавиатуре CTRL+SHIFT+ENTER, то есть выполнить ввод выражения для массива.
Как транспонировать матрицу в Python
В распространенных случаях программирование начинают осваивать с высокоуровневого языка под названием Python. На его базе создаются разнообразные приложения, в том числе, для смартфонов, планшетов и других гаджетов, разрабатывают функциональные версии программного обеспечения, обучают машины определенным командам и алгоритмам. Разработчики оценивают Python с точки зрения достойной эффективности, простоте освоения, возможностей работы на разнообразных платформах. В нем также есть опции транспонирования матричных форм. Рассмотрим основные из таких методик.
Первым способом является применение NumPy transpose(). Данная библиотека предназначена для работы с массивами данных. Соответствующий метод по вызову реализует нужное действие:
Следующий способ транспонирования матричных форм заключается в применении метода numpy.transpose(). В процессе осуществляется передача матрицы как аргумента:
Если заранее импортировать в Python библиотеку SymPy, то можно достаточно просто выполнить транспонирование матричной формы. Последовательность операций:
- вызов transpose (T) с помощью точечного оператора;
- внесение итогов в новую переменную sympy_transpose;
- печать начальной матрицы matrix в следующей строке;
- запись транспонированной матричной формы в sympy_transpose.
Транспонировать матрицу через вложенный список
Транспонирование матрицы – это замена столбцов матрицы строками с такими же номерами, а строк столбцами.
Вводится число строк матрицы n и число столбцов матрицы m. Затем n раз вводится по m элементов-строк.
Выведите построчно через точку с запятой и пробел элементы исходной матрицы, затем через пустую строку транспонированной матрицы.
Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:
Транспонировать матрицу через цикл по строкам и столбцам
Здравствуйте! Помогите выполнить действия с матрицами в Маткаде: Найти матрицу В, равной.
Дана матрица А. Транспонировать матрицу. Вывести на экран исходную и результирующую матрицу
Дана матрица А(10х10). Транспонировать матрицу. Вывести на экран исходную и результирующую матрицу.
Сформировать квадратную матрицу; транспонировать матрицу и инвертировать порядок элементов каждой ее строки
Заданы два одномерных массива одинаковой длины: R и S.Сформировать квадратную матрицу A, каждый.
Преобразовать массив в матрицу, после чего матрицу транспонировать.
привет, нужна помощь у меня есть код для преобразования массива в матрицу и эту матрицу нужно.
1090 / 679 / 303
Регистрация: 05.09.2021
Сообщений: 1,161
mathus,
1 2 3 4 5 6 7 8
n = int(input('n = ')) m = int(input('m = ')) a = [[int(i) for i in input(f'Введите элементы строки через пробел').split()] for i in range(n)] for i in a: print(*i, sep='; ') print() for i in range(m): print(*(a[j][i] for j in range(n)), sep='; ')
Добавлено через 53 секунды
n = 2 m = 3 Введите элементы строки 0 через пробел 1 2 3 Введите элементы строки 1 через пробел 4 5 6 1; 2; 3 4; 5; 6 1; 4; 2; 5; 3; 6;
Линейная алгебра на Python. [Урок 2]. Транспонирование Матрицы
В этом уроке мы рассмотрим операцию “транспонирование матрицы” и как она выполняется на Python. Также разберем на примерах свойства этой операции.
Транспонирование матрицы
Транспонирование матрицы – это процесс замены строк матрицы на ее столбцы, а столбцов соответственно на строки. Полученная в результате матрица называется транспонированной. Символ операции транспонирования – буква T .
➣ Численный пример
Для исходной матрицы:
Транспонированная будет выглядеть так:
➤ Пример на Python
Решим задачу транспонирования матрицы на Python . Создадим матрицу A:
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> print(A) [[1 2 3] [4 5 6]]
Транспонируем матрицу с помощью метода transpose():
>>> A_t = A.transpose() >>> print(A_t) [[1 4] [2 5] [3 6]]
Существует сокращенный вариант получения транспонированной матрицы, он очень удобен в практическом применении:
>>> print(A.T) [[1 4] [2 5] [3 6]]
Рассмотрим на примерах свойства транспонированных матриц. Операции сложения и умножение матриц, а также расчет определителя более подробно будут рассмотрены в последующих уроках.
Свойство 1 . Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> print(A) [[1 2 3] [4 5 6]] >>> R = (A.T).T >>> print(R) [[1 2 3] [4 5 6]]
Свойство 2 . Транспонирование суммы матриц равно сумме транспонированных матриц:
➣ Численный пример
➤Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> B = np.matrix('7 8 9; 0 7 5') >>> L = (A + B).T >>> R = A.T + B.T >>> print(L) [[ 8 4] [10 12] [12 11]] >>> print(R) [[ 8 4] [10 12] [12 11]]
Свойство 3 . Транспонирование произведения матриц равно произведению транспонированных матриц расставленных в обратном порядке:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> B = np.matrix('5 6; 7 8') >>> L = (A.dot(B)).T >>> R = (B.T).dot(A.T) >>> print(L) [[19 43] [22 50]] >>> print(R) [[19 43] [22 50]]
В данном примере, для умножения матриц, использовалась функция dot() из библиотеки Numpy.
Свойство 4 . Транспонирование произведения матрицы на число равно произведению этого числа на транспонированную матрицу:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> k = 3 >>> L = (k * A).T >>> R = k * (A.T) >>> print(L) [[ 3 12] [ 6 15] [ 9 18]] >>> print(R) [[ 3 12] [ 6 15] [ 9 18]]
Свойство 5 . Определители исходной и транспонированной матрицы совпадают:
➣ Численный пример
➤ Пример на Python
>>> A = np.matrix('1 2; 3 4') >>> A_det = np.linalg.det(A) >>> A_T_det = np.linalg.det(A.T) >>> print(format(A_det, '.9g')) -2 >>> print(format(A_T_det, '.9g')) -2
Ввиду особенностей Python при работе с числами с плавающей точкой, в данном примере вычисления определителя рассматриваются только первые девять значащих цифр после запятой (за это отвечает параметр ‘.9g’ ).
P.S.
Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта . Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.
Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.
Как транспонировать матрицу в Python
Сегодня мы хотим разобрать, как транспонировать матрицу в Python. Однако сначала давайте рассмотрим, что представляет из себя матрица сама по себе и в чём заключается процесс транспонирования.
Итак, матрица состоит из строк и столбцов. Создать матрицу можно по-разному, но самый простой способ – использовать вложенные списки, как показано ниже:
matrix = [[1, 2, 4], [31, 17, 15]]
Внутренние списки представляют собой строки, а каждый элемент внутри списка называется столбцом. Итак, в приведенном выше примере у нас есть две строки и три столбца, т.е. мы имеем дело с матрицей 2 на 3. Стоит помнить, что индексация Python начинается с нуля.
Транспонирование матрицы означает, что мы меняем строки на столбцы или столбцы на строки. Теперь давайте обсудим различные методы транспонирования матрицы.
Метод 1. Транспонирование матрицы с помощью NumPy transpose()
Первый метод, который мы разберем, — это использование библиотеки NumPy. NumPy в основном работает с массивами в Python, а для транспонирования мы можем вызвать метод transpose() .
Давайте разберем всё по порядку. Для начала нам нужно импортировать модуль NumPy как np .
Дальше, в ячейке номер [25] мы создаем массив NumPy с именем arr_matrix .
В ячейке номер [26] мы вызываем метод transpose() для нашей матрицы – объекта arr_matrix , который мы создали ранее.
В ячейке номер [27] мы выводим на экран исходную матрицу arr_matrix .
А в ячейке номер [28] – транспонированную матрицу arr_transpose . Можем заметить, что в результате мы получили именно то, что нам было нужно – транспонированную матрицу.
Метод 2. Использование метода numpy.transpose()
Мы также можем транспонировать матрицу в Python с помощью numpy.transpose() . При этом мы передаем матрицу в метод transpose() в качестве аргумента.
В ячейке номер [29] мы создаем матрицу, используя массив NumPy, с именем arr_matrix .
Далее мы передаем arr_matrix в метод transpose() и сохраняем результат в новую переменную arr_transpose .
В ячейке номер [31] мы печатаем исходную матрицу arr_matrix .
А дальше мы выводим на экран транспонированную матрицу arr_transpose . Получаем результат аналогичный тому, что получили в первом примере.
Метод 3. Транспонирование матрицы с использованием библиотеки SymPy
Применение библиотеки SymPy – это еще один подход к транспонированию матрицы. Эта библиотека использует символьную математику для решения алгебраических задач.
Сначала нам, конечно же, нужно импортировать библиотеку SymPy. Она не поставляется вместе с Python по умолчанию, поэтому вы должны установить её в своей системе, иначе код не будет работать.
В ячейке номер [34] мы создаем матрицу с помощью библиотеки sympy.
Дальше, в ячейке [35], мы вызываем transpose (T) при помощи точечного оператора и сохраняем результаты в новую переменную sympy_transpose .
В ячейке номер [36] мы печатаем исходную матрицу matrix . А в ячейке номер [37] – транспонированную матрицу sympy_transpose . Как видим, у нас получилась транспонированная матрица.
Метод 4. Транспонирование матрицы с использованием вложенного цикла
В Python матрицу можно транспонировать и без применения каких-либо библиотек. Для этого нам придется использовать вложенные циклы.
Мы создаем одну матрицу, а затем вторую (того же размера, что и первая) — для сохранения результатов после транспонирования. При этом важно отметить, что мы далеко не всегда знаем размерность исходной матрицы. Поэтому матрицу для результата мы создаем не напрямую, а используя размер исходной.
В ячейке номер [38] мы создаем матрицу и выводим ее на экран.
В следующей ячейке мы применяем «питонический» способ узнать размерность транспонированной матрицы, используя исходную. А именно — используем генератор списков со вложенными циклами for .
В ячейке [40] мы запускаем два цикла for . Внешний цикл предназначен для строк, а вложенный – для столбцов.
В ячейке номер [41] мы выводим исходную матрицу Matrix . А в ячейке [42] — транспонированную матрицу trans_Matrix .
Метод 5. Использование генератора списка
Следующий метод, который мы разберем, — это использование генератора списка. Этот метод похож на предыдущий с использованием вложенных циклов, но он более «питонический». Можно сказать, что это более продвинутый способ транспонирования матрицы в одной строке кода без использования библиотек.
Сначала мы создаем матрицу m , используя вложенные списки.
Затем в ячейке номер [44] мы используем вложенные циклы, как и в предыдущем примере. Однако здесь мы делаем это в одну строчку, используя генератор списков. Более того, тут нет никакой необходимости менять индексы [j] [i] местами, как мы это делали в предыдущий раз.
В следующей ячейке мы выводим исходную матрицу m . После этого в ячейке номер [42] выводим транспонированную матрицу trans_m . Как видим, желаемый результат получен.
Метод 6. Транспонирование матрицы с помощью pymatrix
Pymatrix – ещё одна облегченная библиотека для матричных операций в Python. Мы можем выполнить транспонирование и с её помощью.
В ячейке номер [43] мы импортируем библиотеку pymatrix. Она не поставляется вместе с Python по умолчанию, поэтому, чтобы код работал корректно, нужно установить ее в своей системе перед использованием.
Затем при помощи библиотеки pymatrix мы создаем матрицу (в ячейке [44]).
В ячейке номер [45] вызываем метод trans() для нашей матрицы и сохраняем результаты в новую переменную pymatrix_transpose.
Потом мы выводим на экран исходную матрицу matrix . А в ячейке номер [47] выводим уже транспонированную матрицу pymatrix_transpose . Как видим, код отработал правильно.
Метод 7. Использование метода zip
Zip – еще один метод транспонирования матрицы.
В ячейке номер [63] мы создаем новую матрицу, используя вложенные списки.
В ячейке номер [64] мы передаем матрицу в zip с помощью оператора * . Мы вызываем каждую строку, а затем преобразуем эту строку в новый список, который становится транспонированной матрицей.
Заключение
Итак, сегодня мы рассмотрели, как транспонировать матрицу в Python. Мы разобрали различные методы, которые могут помочь нам в транспонировании матрицы (с использованием библиотек и без них).
Мы также познакомились с несколькими новыми библиотеками, такими как pymatrix и sympy.
Надеемся, теперь у вас не осталось вопросов о том, как транспонировать матрицу. Более того, вы можете выбрать наиболее подходящий способ для решения этой задачи.