Как сделать единичную матрицу

Как сделать единичную матрицу

Трудно представить себе систему чисел, которая бы не содержала единичный элемент. В частности, именно единица является результатом умножения числа a на ему обратное. Алгебра любых объектов (вещественных или комплексных чисел, векторов и так далее) должна включать в себя единичный элемент. Не является исключением и матричная алгебра, в которой роль единицы играет диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице.

В качестве определения единичной матрицы могло бы выступать примерно такое.

Матрица E называется единичной, если при умножении на нее любой матрицы A (слева и справа) матрица A остается неизменной: AE = EA = A.

Оказывается, что элементы единичной матрицы описываются ранее введенным выражением δ _{i j} .
Разумеется, что такое утверждение о структуре единичной матрицы требует проверки. И следует позаботиться о соответствующем обобщении понятия единичного элемента в матричной алгебре — по сравнению с обычной единицей в системе чисел.

Связано это с тем, что операция умножения определена не для любых матриц и, следовательно, требуется определенное согласование размеров иатриц-сомножителей. В результате под единичной матрицей понимается матрица вышеуказанной структуры, порядок которой выбирается таким, чтобы соответствующее произведение было определено.

В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

.

(2)

Действительно, пусть – произвольная матрица размера m×n. Рассмотрим i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица n-го порядка.
Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов i,j и, следовательно, AE = A.

Рассмотрим теперь i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица m-го порядка:

(4)

Как сделать единичную матрицу

Решение

Заметим, что в качестве единичной матрицы в произведении EA должна быть выбрана матрица второго порядка, тогда как в произведении AE под единичной матрицей следует понимать матрицу третьего порядка.

Решение

где i – мнимая единица (i 2 = –1).
Показать, что квадрат любой из матриц Паули есть единичная матрица.

Решение

Решение. При переходе к матричной функции f(A), переменную x следует заменить матрицей A, а числовое слагаемое 5 – матрицей 5E, где E – единичная матрица.
Следовательно,

Создание матрицы с единичными элементами MatLab

Для создания матриц, все элементы которых — единицы, используется функция ones:

ones(n) — возвращает матрицу размера nхn, все элементы которой — единицы. Если п — не скаляр, то появится сообщение об ошибке;

ones(m.n) или ones([m п]) — возвращают матрицу размера mxn, состоящую из единиц;

ones(dl.d2,d3. ) или ones([dl1 d2 d3. ]) — возвращает массив из единиц с размером d1xd2xd3x. ;

ones(size(A)) — возвращает массив единиц той же размерности и размера, что и А. Матрица с единичными элементами в отличие от единичной матрицы в MATLAB определена и для многомерных массивов.

Как создать матрицу идентичности в R (с примерами)

В линейной алгебре единичная матрица представляет собой квадратную матрицу с единицами на главной диагонали и нулями повсюду.

Вы можете создать единичную матрицу в R, используя один из следующих трех методов:

#create identity matrix using diag() diag(5) #create identity matrix using diag() with explicit nrow argument diag(nrow= 5 ) #create identity matrix by creating matrix of zeros, then filling diagonal with ones mat  

#create 5x5 identity matrix ident  

#create 5x5 identity matrix ident  

#create 5x5 matrix with zeros in all positions ident