Как вычислить критерий мощности в spss пример

Оценка мощности и объема выборки для независимых выборок, t-критерий

Поставим задачу: определить мощность t-критерия (критерия Стьюдента) и необходимый для него объем выборки. И решим эту задачу с помощью STATISTICA, а именно в модуле Анализ мощности.

Выбор типа анализа. В этом примере мы проведем оценку мощности для t -критерия с независимыми выборками. Выберите Анализ мощности в меню Анализ для вызова стартовой панели диалога Анализ мощности/Интервальное оценивание.

В левой части Стартовой панели находится поле Анализ . Существует четыре основных типа анализа: Оценка мощности , Оценка объема выборки , Интервальное оценивание и Функции распределения .

В правой части Стартовой панели находится список видов анализов, доступных в соответствии с выбранным типом анализа. Выберите Оценка мощности , а затем дважды нажмите на Два средних, t-критерий, независимые выборки для вызова диалога Независимые выборки, t-критерий: Параметры оценки мощности.

Диалоги подобного вида, в которых вы можете задать фиксированные параметры для анализа, появляются всегда при начале процедуры оценки мощности критерия.

Выбор основных параметров. На вкладке Быстрый в диалоге Параметры оценки мощности (в данном случае в диалоге Независимые выборки, t-критерий: Параметры оценки мощности — вкладка Быстрый ), в поля группы Параметры введите основные параметры для анализа мощности критерия.

t -критерий с двумя независимыми выборками является одним из классических критериев в статистике. В случае «двустороннего» критерия, нулевая гипотеза H 0 проверяется вместе с альтернативной гипотезой H 1 , где

m 1 является значением среднего в первой группе, а m 2 есть значение среднего во второй группе. В t -критерии с двумя выборками предполагается, что сравниваемые группы имеют нормальное распределение, а стандартные отклонения в обеих совокупностях совпадают. Для анализа мощности критерия в этом случае вам необходимо ввести «основные» параметры в этом диалоге.

Предположим, например, что вы находитесь на стадии планирования эксперимента, в котором вам необходимо сравнить две группы, в каждой из которых стандартное отклонение равно 15.

Проведение многочисленных наблюдений в вашем исследовании затруднено по различным причинам, поэтому вы хотели бы ограничиться исследованием 25 наблюдений в каждой группе.

В контрольной группе 3 предполагается, что среднее равно 100. По сравнению с этим, в экспериментальной группе среднее значение равно 107.5. Предположим, что уровень ошибки I рода ( a ) = .05. Введите соответствующие значения в поля на вкладке Быстрый .

После этого нажмите кнопку OK , чтобы перейти к следующему этапу анализа.

Оценка мощности. Диалог Независимые выборки, t-критерий: Результаты оценки мощности используется для исследования зависимости мощности критерия от параметров, заданных в диалоге Независимые выборки, t-критерий: Параметры оценки мощности.

В верхней части диалога отображаются основные параметры, на основе которых проводится анализ. В дополнении к ним, STATISTICA также отображает значение Стандартизованного эффекта (E s ) , соответствующего значениям m 1 , m 2 и s.

E s , стандартизованный эффект, вычисляется как:

E s = (m 1 — m 2 ) / s

то есть является стандартизованной разницей между двумя средними.

Основные параметры можно изменить в любой момент, вернувшись в диалог Параметры оценки мощности (в данном случае Независимые выборки, t-критерий: Параметры оценки мощности ).

Существует два способа вернуться в предыдущий диалог. Нажмите кнопку Назад в диалоге Результаты или нажмите клавишу ESC для того, чтобы вернуться в предыдущий диалог без сохранения изменений в полях Параметры оси Х на вкладке Результаты оценки мощности — вкладка Быстрый . Нажмите кнопку Параметры для того, чтобы вернуться в предыдущий диалог, сохранив значения в полях Параметры оси Х .

Для вычисления статистической мощности критерия с заданными параметрами нажмите кнопку Вычислить P . Итоговая таблица данных будет содержать результаты оценки мощности критерия, как показано на рисунке.

В таблице данных выводится, что для заданной комбинации параметров Мощность должна быть равна .4101 . Если вы хотите привести (в статье или книге) результаты оценки мощности критерия, вы можете воспользоваться результатами анализа, которые сразу выводятся в Отчет, из которого вы можете скопировать информацию в Буфер обмена.

Замечание: итоги анализа будут направлены в Отчет только в том случае, если в диалоге Диспетчер вывода Анализа/Графика была установлена соответствующая опция. (Для вызова этого диалога нажмите кнопку Параметры в диалоге Результаты, а затем выберите команду Диспетчер вывода .)

Обе опции, Направлять также в окно Отчетов и Отображать информацию полностью , должны быть отмечены. Протокол результатов анализа будет автоматически создан после того, как вы нажмете кнопку Вычислить P .

В данном случае значение мощности критерия является неадекватной. Для анализа причин мы сначала кратко рассмотрим теорию. Выше мы уже обсуждали понятие Стандартизованного эффекта (E s ). Для того чтобы полностью понять важность этого определения возвратимся к рассмотренному примеру. Мы представили ситуацию, в которой исследователь при вычислении мощности критерия рассматривает частный эффект (то есть разницу m 1 — m 2 между средними в двух случаях) и предполагает, что известно значение стандартного отклонения совокупности s. В большинстве случаев шансов, что исследователь знает значение s не больше, чем шансов, что исследователь знает само значение m 1 или m 2 . Другими словами, оценка мощности критерия основываться на предположении, что исследователь каким-нибудь образом может узнать значение s. В некоторых примерах возможны случаи, когда значение s может быть известно с некоторой степенью точности.

Много примеров использует понятие коэффициента IQ, у которого стандартное отклонение равно 15, поскольку это является хорошо известной нормой. На самом деле, вам нет необходимости знать s, m 1 или m 2 для оценки мощности критерия. Вместо этого вы просто можете указать гипотетический экспериментальный эффект, как стандартизованный эффект, который объединяет величины m 1 , m 2 и s в одно число, E s . E s имеет ряд преимуществ, одно из которых заключается в том, что это значение инвариантно относительно линейных преобразований шкалы. Например, стандартизованный эффект, вычисленный для значений роста в дюймах, останется таким же для значений роста в сантиметрах. Авторы книг по анализу мощности придерживаются некоторых «соглашений» о значении E s . Например, Cohen (1983) в классическом труде Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences предложил следующие соглашения:

1. Малый эффект (E s = .20)

2. Средний эффект (E s = .50)

3. Большой эффект ( E s = .80)

Таким образом, вам не нужно знать точные значения m 1 , m 2 и s для оценки мощности критерия. В данном случае, стандартизованный эффект соответствует «среднему эффекту».

Предполагается, что объем выборки слишком мал для того, чтобы напрямую определить средний эффект в данной ситуации. Для исследования того, насколько большая выборка необходима для достижения подходящего уровня мощности критерия, вы должны воспользоваться несколькими функциями, описанными в следующем разделе.

Графический анализ статистической мощности. Поскольку при наличии 25 наблюдений в обеих группах достигается недостаточная мощность критерия .4101, вы должны определить, как возможно достигнуть подходящего уровня мощности критерия. Одним из способов решения этой проблемы является выявление связи между мощностью и объемов выборки.

Нажмите кнопку P от N в группе Графики мощности в диалоге Независимые выборки, t-критерий: Результаты оценки мощности — вкладка Быстрый для построения графика зависимости мощности от объема выборки.

На этом графике видно, что для того, чтобы достигнуть мощности .80 (обычно минимальный допустимый уровень), объем выборки должен быть равен 64 в каждой группе. Для достижения лучшей мощности .90, объем выборки должен быть увеличен приблизительно до 86 наблюдений.

Эти результаты получены в предположении, что уровень ошибки I рода равен .05, что часто используется в данном контексте. Связь между мощностью и уровнем ошибки I рода (a) можно проследить на графике, нажав кнопку P от Alpha .

График для альфа

На этом графике видно, что мощность увеличивается, когда значение a также увеличивается. В данном примере даже значительные изменения величины a не позволят достичь подходящего уровня мощности критерия.

В случае среднего эффекта объем выборки должен быть увеличен более чем в два раза для достижения подходящего уровня мощности критерия. Насколько зависимы эти утверждения от размера стандартизованного эффекта? Нажмите кнопку P от Es для построения графика зависимости мощности критерия от стандартизованного эффекта.

График для станартизированного эффекта

Построение нескольких подобных графиков часто позволяет достичь понимания зависимости между размером эффекта, размером выборки и мощностью.

Сравнение количественных данных двух независимых выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А.

В настоящей работе представлены общие сведения об использовании параметрического непарного критерия Стьюдента и непараметрического критерия Манна-Уитни для сравнения количественных признаков в независимых выборках. Описан алгоритм расчета критериев с использованием программного обеспечения Statistica 10 и SPSS 20, а также представлена интерпретация результатов расчетов. Настоящая статья призвана дать общие сведения об использовании критериев Стьюдента и Манна-Уитни, и не заменяет прочтения специализированной литературы по статистике и клинической эпидемиологии.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ANALYSIS OF QUANTITATIVE DATA IN TWO INDEPENDENT SAMPLES USING STATISTICA AND SPSS SOFTWARE: PARAMETRIC AND NON-PARAMETRIC TESTS

This is the second paper of the series of articles where we present basic principles of statistical data analysis using Statistica and SPSS software for beginners. Step-be-step algorithms for Student’s unpaired t-test and Mann-Whitney test for independent samples are presented. The main aim of this paper is to provide basic knowledge on ho to compare continuous variables in two independent samples with practical examples using commonly used software. The article complements, but does not substitute specialized literature on biostatistics and clinical epidemiology.

Текст научной работы на тему «Сравнение количественных данных двух независимых выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии»

Получена: 3 марта 2015 / Принята: 15 марта 2016 / Опубликована online: 6 мая 2016 УДК 614.2 + 303.4

СРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ДАННЫХ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ВЫБОРОК С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ STATISTICA И SPSS: ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ

Андрей М. Гржибовский 1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498, Сергей В. Иванов 5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Мария А. Горбатова 2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595

1 Национальный Институт Общественного Здравоохранения, г. Осло, Норвегия;

2 Северный Государственный Медицинский Университет, г. Архангельск, Россия;

3 Международный Казахско-Турецкий Университет им. Х.А. Ясави, г. Туркестан, Казахстан;

4 Северо-Восточный Федеральный Университет, г. Якутск, Россия;

5 Северо-Западный Государственный Медицинский Университет им. И.И. Мечникова, г. Санкт-Петербург, Россия.

Ключевые слова: Statistica, SPSS, критерии Стьюдента, критерий Манна-Уитни, независимые группы.

ANALYSIS OF QUANTITATIVE DATA IN TWO INDEPENDENT SAMPLES USING STATISTICA AND SPSS SOFTWARE: PARAMETRIC AND NON-PARAMETRIC TESTS

Andrej M. Grjibovski 1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498, Sergej V. Ivanov 5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Maria A. Gorbatova 2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595

1Norwegian Institute of Public Health, Oslo, Norway;

2Northern State Medical University, Arkhangelsk, Russia;

3North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia;

international Kazakh-Turkish University, Turkestan, Kazakhstan;

5North-Western State Medical University n.a. I.I. Mechnikov, St. Petersburg, Russia.

paper is to provide basic knowledge on ho to compare continuous variables in two independent samples with practical examples using commonly used software. The article complements, but does not substitute specialized literature on biostatistics and clinical epidemiology.

Keywords: Statistica, SPSS, t-test, Mann-Whitney test, independent samples.

STATISTICA И SPSS БАГДАРЛАМАЛЫК КДМТАМАСЫЗ ЕТУД1 КОЛДАНУМЕН ЕК1 ТЭУЕЛС1З 1Р1КТЕМЕЛЕРД1Н САНДЫК МЭЛ1МЕТТЕР1Н САЛЫСТЫРУ: ПАРАМЕТРЛ1К ЖЭНЕ ПАРАМЕТРЛ1К ЕМЕС КРИТЕРИЛЕР

Андрей М. Гржибовский1-4, http://orcid.org/0000-0002-5464-0498, Сергей В. Иванов5, http://orcid.org/0000-0003-0254-3941 Мария А. Горбатова2, http://orcid.org/0000-0002-6363-9595

1 Когамдьщ Денсаулык сактау ¥лттык Институты, Осло к., Норвегия;

2 СолтYCтiк Мемлекетлк Медициналык Университетi, Архангельск к., Ресей;

3 Х.А. Ясави ат. Халыкаралык Казак — ТYрiк Университетi, Туркестан, Казакстан;

4 СолтYCтiк — Шыгыс Федералдык Университетi, Якутск к-, Ресей;

5 И. И. Мечников атынд. Солтуслк — Батыс мемлекеттiк медициналык университетi, Санкт-Петербург к., Ресей.

Осы жумыста тэуелсiз iрiктемелердH сандык белгтерш салыстыру Yшiн Стьюдент nараметрлiк косарлы емес критерилерiн жэне Манна-Уитни параметрлт емес критерилерiн колдану туралы жалпы мэлiметтер берiлген. Statistica 10 жэне SPSS 20 багдарламалык камтамасыз ету^ пайдаланумен критерилер мэлiметтерi есебшН алгоритмi суреттелген жэне есептер нэтижелершН интерпретациясы берiлген. Осы макала Стьюдент жэне Манна-Уитни критерилерш колдану туралы жалпы мэлiметтер беруге талап етiлген жэне статистика жэне клиникалык эпидемиология бойынша мамандандырылган эдебиеттi окудыц орнын баспайды.

Heri3ri сездер: Statistica, SPSS, Стьюдент критерилерш Манна-Уитни критериi, тэуелсiз топтар.

Гржибовский А. М., Иванов С. В., Горбатова М. А. Сравнение количественных данных двух независимых выборок с использованием программного обеспечения Statistica и SPSS: параметрические и непараметрические критерии / / Наука и Здравоохранение. 2016. №2. С. 5-28.

Grjibovski A. M., Ivanov S. V., Gorbatova M. A. Analysis of quantitative data in two independent samples using Statistica and SPSS software: parametric and non-parametric tests. Nauka i Zdravookhranenie [Science & Healthcare]. 2016, 2, pp. 5-28.

Гржибовский А. М., Иванов С. В., Горбатова М. А. Statistica и SPSS багдарламалы; камтамасыз етуд1 колданумен ек1 тэуелаз ¡рктемелердщ сандык мэл1меттер1н салыстыру: параметрлк жэне параметрлк емес критерилер / / Гылым жэне Денсаулык сактау. 2016. №2. Б. 5-28.

Настоящая статья продолжает серию публикаций [11], посвященных статистическому анализу данных биомедицинских исследований. Цель данной серии статей -формирование у начинающего исследователя

базисных представлений о статистическом анализе данных, приобретение читателем практического опыта использования современного статистического программного обеспечения и предупреждение типичных

ошибок, возникающих в процессе статистической обработки данных.

Для более полного понимания представленного материала, авторы настоящей статьи настоятельно рекомендуют читателю предварительно ознакомиться с литературой по эпидемиологии [25, 16, 29]. Практические аспекты организации и анализа результатов различных типов научных исследований в здравоохранении (одномоментных, когортных, экологических, экспериментальных исследований и «случай-контроль») представлены в серии статей, опубликованной в журнале «Наука и Здравоохранение» в 2015 году [8, 9, 10, 12, 13].

Вопросы корректной статистической обработки данных исследований в здравоохранении актуальны не только в Казахстане, но и в странах СНГ, Европы и США, и высокое качество статистического анализа является обязательным условием востребованности научных результатов и транспарентности научных достижений отдельных исследователей и

исследовательских коллективов в международном научном сообществе [20, 1].

Настоящая статья посвящена вопросу сравнения количественных данных двух независимых групп с использованием программного обеспечения Statistica 10 и SPSS 20.

Любое хорошо организованное научное исследование имеет определенный план, и еще на этапе планирования формулируется исследовательская гипотеза. Примерами исследовательских гипотез служат утверждения «препарат A эффективнее препарата B», «в городе С заболеваемость туберкулезом выше, чем в городе D», «курение повышает риск развития артериальной гипертензии» и т.п. Целью любого исследования является проверка данной гипотезы, и в результате сбора и обработки исследовательских данных гипотеза будет либо принята, либо отклонена.

Ключевую роль в проверке исследовательской гипотезы играет статистический анализ данных. На этапе статистической обработки также формулируются 2 гипотезы — нулевая (Hq) и

альтернативная (Н1) [4, 24, 28]. Нулевая статистическая гипотеза предполагает, что различия между сравниваемыми группами отсутствуют. Альтернативная статистическая гипотеза, напротив, предполагает, что сравниваемые группы различаются.

Для принятия решения об отклонении нулевой гипотезы ориентируются на уровень статистической значимости (р).

Общепринятым в биомедицинских исследованиях критическим уровнем значимости является значение 0,05. Если р < 0,05, это говорит о том, что вероятность нахождения различий там, где их фактически нет, составляет не более 5%, и в этом случае нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза. Если р >0,05, то принимается нулевая гипотеза, которая говорит о том, что сравниваемые группы не отличаются друг от друга. В ряде случаев за критический уровень значимости принимают значение 0,01 или 0,001, которые допускают вероятность зафиксировать различия там, где их нет, не превышающую 1% и 0,1% соответственно.

Для проверки статистических гипотез используются параметрические и непараметрические критерии.

Параметрические критерии оперируют понятиями нормального (гауссовского) распределения — средним арифметическим значением и стандартным отклонением. Нормальное распределение имеет симметричную колоколообразную форму и может быть описана с помощью среднего арифметического значения, стандартного отклонения, либо доверительных интервалов [7, 24, 6]. Именно по этой причине, прежде чем использовать параметрические методы статистики, исследователь должен убедиться в том, что распределение имеющихся в его распоряжении данных не отличается от нормального (способы проверки распределения подробно описаны в предыдущем выпуске журнала «Наука и Здравоохранение» и включают в себя построенние гистограммы распределения, квантильной диаграммы, расчет критериев Шапиро-Уилка и Колмогорова-Смирнова).

Параметрическим критерием для сравнения двух независимых групп является

критерий Стьюдента. В данной статье будет рассмотрен его наиболее широко используемый вариант — непарный критерий Стьюдента для сравнения двух независимых групп. Также существует одновыборочный критерий Стьюдента, который используется для сравнения количественного признака, характеризующего группу наблюдения, с определенным количественным значением [27], и парный критерий Стьюдента, использующийся для сравнения парных групп (например, в исследованиях «до-после») который будет рассмотрен в последующих выпусках.

Для того, чтобы использовать непарный критерий Стьюдента, необходимо соблюдение следующих условий [6, 26]:

1. Количественный тип данных (желательно, чтобы данные были непрерывными, а не дискретными).

2. Наличие не более чем двух выборок.

3. Выборки должны быть независимыми друг от друга (например, нельзя использовать непарный критерий Стьюдента для сравнения «до-после»).

4. Нормальное распределение изучаемого признака в популяции, из которой взяты выборки (как правило, сведения о распределении признака в популяции отсутствуют, и поэтому распределение оценивают в каждой из сравниваемых групп по-отдельности).

5. Равенство дисперсий изучаемого признака в популяциях, из которых взяты

выборки (дисперсии также оцениваются в каждой из сравниваемых групп по-отдельности). Современное программное обеспечение позволяет рассчитывать значение критерия Стьюдента и уровень статистической значимости, даже если дисперсии не равны.

Рассчитывается критерий Стьюдента по формуле:

где М1 и М2 — средние арифметические значения количественного признака группы 1 и группы 2;

Э1 и Э2 — стандартные отклонения признака для группы 1 и группы 2;

П1 и П2 — количество наблюдений в группе 1 и в группе 2 соответственно.

Расчет среднего арифметического значения для каждой из выборок производится по формуле:

Xi + X2 + X3 + . + X,

где Х1 . X — значения количественного признака в группе, для которой рассчитывается стандартное отклонение, п -количество наблюдений в данной группе.

Расчет значения стандартного отклонения для каждой из групп производится по формуле:

(Xi — М)2 + (X2 — М)2 + (X3 — М)2 + . + (X — М)2

После расчета значения критерия Стьюдента также потребуется рассчитать количество степеней свободы:

¿г = (П1 — 1) + (П2 — 1)

Далее используется таблица 1-распределения, в которой, с учетом количества степеней свободы, сравниваются эмпирическое и критическое значение 1: если эмпирическое значение превышает критическое для заданного уровня значимости (0,05, 0,01 или 0,001), то нулевая гипотеза

отклоняется и принимается альтернативная гипотеза, согласно которой сравниваемые группы различаются. Таблицы значений 1 для различных уровней статистической значимости приведены во многих руководствах по статистике, например, в [23, 4, 17].

Для наглядного представления о ручном методе расчета критерия Стьюдента приведем гипотетический пример.

Допустим, сравниваются две схемы лечения (базисная и новая), и конечной точкой, по которой судят об эффективности

одной или другой схемы терапии, является а группа 2 (п = 24) — новую схему терапии. срок госпитализации. Пациенты были Сведения о сроках госпитализации пациентов рандомизированы на две группы, из которых обеих групп представлены в таблице 1. группа 1 (п = 23) получала базисную терапию,

Сроки госпитализации пациентов, получавших базисную и новую схему терапии.

Группа 1 (базисная терапия) Группа 2 (новая схема терапии)

№ пациента Срок лечения, дней № пациента Срок лечения, дней № пациента Срок лечения, дней № пациента Срок лечения, дней

1 8 13 10 1 4 13 7

2 6 14 8 2 6 14 7

3 5 15 7 3 3 15 7

4 6 16 8 4 5 16 8

5 7 17 9 5 5 17 7

6 6 18 9 6 5 18 9

7 7 19 11 7 6 19 9

8 7 20 9 8 6 20 8

9 10 21 9 9 5 21 8

10 5 22 9 10 6 22 8

11 8 23 11 11 7 23 10

12 10 — — 12 7 24 9

На основании имеющихся данных по вышеприведенным формулам рассчитываем среднее арифметическое значение для каждой из групп: М1 = 8,04 дня, М2 = 6,75 дня (разница средних значений составляет 1,29 дня).

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Далее рассчитываем значение стандартного отклонения для каждой из групп: Э1 = 1,77 дня, Э2 = 1,72 дня.

Подставляем полученные значения в формулу расчета критерия Стьюдента:

1 ^(1,772/23 + 1,722/24) 2,53

Количество степеней свободы: df = (23 — 1) + (24 — 1) = 45.

Согласно табличным данным [23, 4, 17], для критического уровня статистической значимости, равного 0,05, и количества степеней свободы, равного 45, критическое

значение 1 составляет 2,014, ниже значения 1, полученного в результате расчетов, поэтому нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза: длительность госпитализации пациентов группы 2, получающих новую схему терапии в среднем на 1,29 дня меньше, чем у пациентов группы 1, получающих базисную терапию (1 = 2,53, df = 45, р < 0,05).

Отметим, что в данном примере соблюдены все требования, необходимые для использования критерия Стьюдента: анализируются количественные данные, сравниваются две независимые выборки (независимость наблюдений определена тем, что пациенты получали либо базисную, либо альтернативную терапию), признаки имеют распределение, близкое к нормальному (о способах проверки типа распределения будет сказано ниже) и дисперсии сравниваемого признака близки друг к другу по значению (так как близки значения стандартных отклонений в сравниваемых выборках, а дисперсия

является квадратом стандартного отклонения).

Если полученные в результате исследования данные не соответствуют, необходимым условиям применения критерия Стьюдента, для сравнения двух несвязанных выборок следует использовать методы непараметрической статистики, которые не требуют наличия нормального распределения данных. Непараметрические методы не используют параметры распределения, а осуществляют ранжирование абсолютных значений признака, что позволяет нивелировать эффект выскакивающих величин («выбросов») и скошенности распределения.

Конечно, методы непараметрической статистики могут быть использованы и при наличии нормального распределения количественного признака, но в таком случае они будут иметь меньшую мощность по сравнению с параметрическими методами, то есть могут не уловить имеющиеся различия между группами там, где различия фактически присутствуют.

Для сравнения двух независимых выборок из непараметрических методов наиболее часто используется критерий Манна-Уитни. Помимо данного критерия, для сравнения несвязанных выборок могут быть использованы и другие непараметрические критерии — непарный критерий Вилкоксона, критерий Колмогорова-Смирнова, критерий знаков и другие критерии, описанные в литературе по статистике [26, 5, 4, 19].

Критерий Манна-Уитни, как и критерий Стьюдента, имеет свои особенности применения:

1. Количественный или порядковый тип анализируемых данных.

2. Выборки должны быть независимыми друг от друга.

3. Не требуется нормальное распределение данных.

Алгоритм расчета критерия Манна-Уитни:

1. Значения переменных обеих групп объединяются в единый вариационный ряд и ранжируются в порядке возрастания или убывания.

2. Абсолютные значения переменных заменяются рангами. В случае, если несколько значений равны между собой, им присваивается средний ранг из тех, которые они получили бы, если бы не были равны (пример приведен ниже).

3. Сумма рангов подсчитывается отдельно для каждой группы.

4. Значение критерия Манна-Уитни рассчитывается по формуле:

П1 и П2 — количество наблюдений в сравниваемых группах,

Тх — большая из двух ранговых сумм, Пх — количество наблюдений в группе, имеющей большую из двух ранговых сумм.

5. По специальным таблицам, представленным в руководствах по статистике [23, 4, 17], определяется критическое значение и для определенных значений П1 и П2 и критического уровня р. Если рассчитанное значение и меньше или равно критическому, то нулевая статистическая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза, свидетельствующая о существовании различий между группами.

Для наглядного представления о ручном методе расчета критерия Манна-Уитни приведем еще один пример, в котором будут представлены результаты гипотетического плацебо-контролируемого исследования, направленного на оценку эффективности препарата для снижения артериального давления у пациентов с артериальной гипертензией I степени. Пациенты группы 1 (п = 7) получали исследуемый препарат, а пациенты группы 2 (п = 9) — плацебо. Эффективность препарата оценивалась на основании динамики значения

систолического артериального давления (САД) после курса терапии препаратом/плацебо.

Исходные и ранжированные данные о динамике САД пациентов группы 1 и группы 2 представлены в Таблице 2.

Исходные и ранжированные значения динамики уровня САД пациентов с артериальной гипертензией I степени._

Группа Группа 1 (препарат) Группа 2 (плацебо)

№ пациента 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Динамика САД, мм рт. ст -7 -8 -11 -15 0 -21 -17 -5 -8 -14 -3 -6 -3 +5 -16 -9

Ранжированные д анные

Динамика САД, мм рт. ст -21 -17 -16 -15 -14 -11 -9 -8 -8 -7 -6 -5 -3 -3 0 +5

Ранг 1 2 3 4 5 6 7 8,5 8,5 10 11 12 13 14 15 16

Группа 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2

Следует заметить, что если бы исследуемый препарат снижал САД пациентов заведомо сильнее, чем плацебо, то все значения, соответствующие группе 1, расположились бы в левой части строки «Ранг», в соответствующие группе 2 — в правой части, но подобного распределения рангов фактически не наблюдается. Расчет критерия Манна-Уитни позволяет оценить вероятность того, что распределение рангов случайно, или они расположены определенным образом, что является следствием действия определенного фактора (в данном случае — исследуемого препарата).

На основании таблицы 1 рассчитывается сумма рангов для каждой из групп: для группы 1 — 46,5, для группы 2 — 89,5. В группе 2 ранговая сумма оказалась больше, поэтому используем ее для расчета значения критерия Манна-Уитни:

Критическое значение и для П1 = 7 и П2 = 9 составляет 12 [23, 4, 17]. Рассчитанное значение и превышает критическое, следовательно, принимается нулевая гипотеза, свидетельствующая об отсутствии различий между группами (р > 0,05).

Таким образом, возвращаясь к особенностям использования

параметрических и непараметрических критериев, можно выделить три этапа

проведения сравнения двух независимых групп:

1. Убеждаемся в том, что анализируемые данные являются количественными, а группы — независимыми.

2. Оцениваем распределение переменной в обеих группах: если оно близко к нормальному распределению, то следует использовать параметрические методы, если нет — методы непараметрической статистики.

3. Используем параметрический критерий, если в обеих группах близко к нормальному, или непараметрический критерий, если распределение переменной отличается от нормального.

Возможна ситуация, когда распределение данных похоже на нормальное, но скошено (пик колоколообразного распределения смещен влево относительно центра гистограммы при правосторонней асимметрии или вправо при левосторонней асимметрии). В таком случае возможно проведение трансформации данных таким образом, чтобы распределение стало похожим на нормальное, чтобы обеспечить возможность использования методов параметрической статистики, обладающих большей мощностью по сравнению с непараметрическими методами. При правосторонней асимметрии извлекают квадратный корень из значений признака, проводят логарифмическое преобразование с использованием натурального или десятичного логарифма, или осуществляют гармоническое преобразование по формуле

х’ = — 1/х. При левосторонней симметрии данные возводят во вторую или третью степень [7]. Подбор того или иного способа «нормализации» распределения, как правило, проводят эмпирически. При этом следует учитывать, что преобразование данных должно быть произведено одним и тем же способом одновременно в обеих группах.

Также возможны ситуации, когда для сравнения данных используются методы непараметрической статистики, а для их представления требуется использовать параметры нормального распределения, хотя фактическое распределение отличается от нормального. В качестве примера подобной ситуации можно привести результаты исследования, посвященного проблеме кариеса у детей и подростков СевероЗападного региона России, опубликованные в 2011-2012 гг. [31, 32, 33]. В результатах исследования представлены значения индекса КПУ («кариес-пломбы-удаленные»). Данный индекс используется Всемирной организацией здравоохранения (ВОЗ) для оценки интенсивности кариозного поражения зубов у различных контингентов населения. Для представления описательной статистики индекса КПУ для различных категорий детского и подросткового населения в публикациях было использовано среднее арифметическое значение и его 95% доверительный интервал, а для статистического сравнения различных категорий детского и подросткового населения — непараметрический критерий Манна-Уитни. В данном случае использование непараметрического критерия обусловлено обнаруженным отличием фактического распределения значений индекса КПУ от нормального, а представление данных в виде среднего арифметического значения продиктовано требованиями ВОЗ описывать индекс КПУ как признак, имеющий нормальное распределение. Подобное требование имеет важное практическое значение, так как проведение сравнительной оценки состояния общественного здоровья в различных странах требует использования единых статистических подходов, а показатели нормального распределения в данном случае являются наиболее предпочтительными.

Для приобретения читателем практических навыков проведения статистического сравнения двух независимых выборок количественных переменных, в качестве практического примера будет рассмотрен фрагмент данных, которые были собраны в процессе крупного исследования, направленного на изучение метаболического синдрома и его детерминант в условиях неблагополучной социально-экологической ситуации в Южном Казахстане [15, 18, 14, 22]. В ходе данного исследования получены значения индекса массы тела (ИМТ) и уровня холестерина крови (непрерывные количественные признаки) 68 мужчин и 230 женщин (всего 298 пациентов).

В практическом разделе настоящей публикации будет проведено сравнение значений ИМТ и уровня холестерина крови у включенных в исследование мужчин и женщин (независимые группы) с использованием программного обеспечения Statistica 10 [21, 2] и SPSS 20 [3]. Данные пакеты статистических программ являются инструментами анализа данных, удобных в использовании начинающими исследователями, не требуют специального образования и приобрели заслуженную популярность среди исследователей стран СНГ, работающих в области медицины. Демо-версии программ Statistica и SPSS можно загрузить с официальных сайтов разработчиков (www.stаstsoft.com и www.ibm.com соответственно).

Следует отметить, что представленные ниже алгоритмы действий являются только инструментом анализа данных, так как корректная интерпретация полученных результатов требует наличия базисных знаний в области биомедицинской статистики, которые могут быть получены только путем изучения специализированной литературы [4, 30, 18, 17, 28].

Сравнение 2-х независимых групп с использованием программы Statistica 10.

Для начала работы необходимо открыть файл 2_BMI_chol_STAT.sta, который следует загрузить с сайта журнала «Наука и Здравоохранение». В данном файле представлены следующие вариационные ряды:

1. Пол пациента (переменная «Gender»): значение «1» соответствует мужчинам, значение «2» — женщинам (переменная является номинальной дихотомической).

2. ИМТ пациентов (переменная «BMI»): непрерывная количественная переменная.

3. Уровень холестерина крови (переменная «Cholesterol»): непрерывная количественная переменная.

Задача статистического анализа данных -выяснить, различаются ли включенные в исследование мужчины и женщины по значению ИМТ и уровню холестерина. Таким образом, сравниваемыми переменными являются ИМТ и уровень холестерина, а пол является группирующей дихотомической переменной.

На первом этапе обработки данных следует выбрать метод статистического анализа, и для этого необходимо определить тип распределения (алгоритм проверки типа распределения подробно описан в предыдущей статье настоящей серии [11]).

Краткое описание действий:

1. Вход в раздел описательной статистики.

Выбираем меню «Statistics» и входим в раздел «Basic Statistics/Tables», в появившемся окне выбираем раздел «Descriptive Statistics» и подтверждаем выбор нажатием на кнопку «ОК».

2. Выбор вариационных рядов для анализа.

В окне «Descriptive Statistics» нажимаем на кнопку «Variables» (в левом верхнем углу окна), после чего наводим мышь на название вариационного ряда «BMI», выделяем его нажатием на левую кнопку мыши, затем наводим мышь на «Cholesterol», и, удерживая на клавиатуре кнопку «Ctrl», снова нажимаем на левую кнопку мыши, после чего подтверждаем выбор вариационных рядов нажатием на кнопку «ОК».

3. Настройка расчета статистических критериев для проверки распределения на «нормальность».

В окне «Descriptive Statistics» нажимаем на вкладку «Normality» и проставляем галочки напротив позиций, соответствующих расчету значений критериев Колмогорова-Смирнова (Kolmogorov-Smirnov & Lilliefors test for normality) и Шапиро-Уилка (Shapiro-Wilk’s W test).

4. Настройка параметров вывода показателей описательной статистики.

Нажимаем на вкладку «Advanced» и проставляем галочки, соответствующие выводу показателей описательной статистики: среднего арифметического значения (Mean), медианы (Median), стандартного отклонения (Standard Deviation), степени асимметрии (Skewness) и эксцесса (островершинности) распределения (Kurtosis), верхнего и нижнего квартилей (Lower & upper quartiles).

5. Настройка вывода вышеперечисленных статистических критериев, графиков и показателей описательной статистики для группы мужчин и женщин по-отдельности.

В окне «Descriptive Statistics» нажимаем на кнопку «By Group», в появившемся окне нажимаем на кнопку «Grouping Variable(s)», выбираем вариационный ряд «Gender» и подтверждаем выбор нажатием на кнопку «OK». Далее в окне «By Group» отмечаем галочкой единственную позицию «Enabled», с остальных позиций галочки убираем, после чего нажимаем на кнопку «OK».

6. Запуск анализа данных.

Возвращаемся на вкладку «Advanced» и

нажимаем на кнопку «G1», которая запускает анализ распределения и вывод показателей описательной статистики для переменных «BMI» и «Cholesterol» по-отдельности для мужчин и женщин.

Если все действия были выполнены, верно, то программа представит результаты, которые можно просматривать, переключаясь между окнами с помощью дерева каталогов (рисунок 1). Например, наведение курсора на раздел «Summary: BMI» в каталоге «Gender=2» откроет окно вывода результатов для переменной «BMI» в группе женщин.

Л1 STATISTICA — [Workbook!* — Summary: BMI]

^H File Edit View ¡nsert Format Statistics

S Normal Graph J Workbookl*

ВBasic Statistics/Tables (BMI_chol_STAT) рЬ-н I? Descriptive statistics dialog Gender=2

¿p Summary: Cholesterol E)-0 Gender=l

¿£¡3 Summary: BMI ¿¡p Summary: Cholesterol

Рис. 1. Дерево каталогов программы Statistica 10.

В результате программа представила четыре окна вывода результатов анализа, которые представлены на рисунках 2, 3, 4 и 5.

Согласно представленным результатам, в пользу нормального распределения переменной «BMI» как в группе мужчин, так и в группе женщин свидетельствуют следующие факты:

— Гистограмма распределения переменной «BMI» близка к колоколообразной (в группе мужчин и группе женщин по-отдельности).

— На квантильной диаграмме точки группируются по прямой (в группе мужчин и группе женщин по-отдельности).

— Среднее арифметическое значение и медиана имеют близкие значения (в группе мужчин и группе женщин по-отдельности).

— Статистическая значимость критерия Колмогорова-Смирнова превышает значение 0,05 (в группе мужчин и группе женщин по-отдельности).

— Статистическая значимость критерия Шапиро-Уилка превышает значение 0,05 (в группе мужчин).

— Значения асимметрии не превышает 1,0 (в группе мужчин и группе женщин по-отдельности).

— Значение эксцесса не превышает 1,0 (в группе женщин).

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В пользу отличия имеющегося распределения от нормального свидетельствуют статистическая значимость

критерия Шапиро-Уилка в группе женщин, имеющая значение меньше 0,05, и значение эксцесса в группе мужчин, превышающее значение 1,0. Тем не менее, совокупная оценка всех результатов проверки на «нормальность» все же склоняет чашу весов в пользу соответствия фактического распределения переменной «BMI» нормальному как в группе мужчин, так и в группе женщин.

В отношении переменной «Cholesterol» форма гистограммы, имеющая

правостороннюю асимметрию, квантильная диаграмма, статистическая значимость критериев Колмогорова-Смирнова и Шапиро-Уилка и значения асимметрии и эксцесса создают достаточно оснований считать распределение переменной «Cholesterol» отличным от нормального.

Таким образом, на первом этапе обработки данных установлено, что для сравнения группы мужчин с группой женщин по значению ИМТ необходимо использовать параметрические критерии, а для сравнения группы мужчин с группой женщин по уровню холестерина крови — непараметрические критерии.

Задачей второго этапа исследования является ответ на вопрос — отличается ли ИМТ мужчин от ИМТ женщин и отличается ли уровень холестерина крови у мужчин от уровня холестерина крови у женщин.

Рис. 2. Результаты анализа переменной «BMI» (в группе мужчин) в программе Statistica 10.

11.3. Расчет непараметрических критериев в статистических пакетах

В подпараграфе 11.1.1 мы рассматривали результаты гипотетического тренинга оптимизма. Проведем теперь анализ с помощью пакета SPSS. В файле OptimismTraining.sav содержатся результаты оценки оптимизма участников тренинга до (переменная First) и после (переменная Second) тренинга.

Нужная процедура в SPSS вызывается следующим образом: Анализ — Непараметрические критерии — Устаревшие диалоговые окна — Для двух связанных выборок (Analyze — Nonparametric Tests — Legacy Dialogs — 2 Related Tests). По умолчанию предусмотрен расчет критерия Вилкоксона (галочка в соответствующем квадратике). Окно ввода параметров анализа в данном случае устроено практически аналогично описанному выше диалоговому окну задания параметров Т-критерия Стьюдента (см. параграф 5.3). Зададим пару сравниваемых переменных Second — First (для этого в первое поле пары надо ввести имя First, а во второе Second — в отличие от Т-критерия, где порядок должен быть обратным) и нажмем кнопку ОК.

Результаты расчета критерия Вилкоксона представлены двумя таблицами: таблицей рангов разностей первой и второй выборки и собственно статистикой критерия.

Ранги
N	Средний ранг	Сумма рангов
Second — First	Отрицательные ранги	2 a	2.00	4.00
	Положительные ранги	8 b	6.38	51.00
	Связи	0 c
	Всего	10
a. Second < First
b. Second > First
c. Second = First

Статистики критерия a
Second — First
Z	-2.395 b
Асимпт. знч. (двухсторонняя)	0.017
a. Критерий знаковых рангов Уилкоксона.
b. Используются отрицательные ранги.

Читать:

Как узнать код магнитолы мерседес атего 1222

Мы видим, что результаты совпадают с полученными ручным расчетом: в первой таблице приведены суммы рангов, а во второй двухсторонняя значимость. Если вы тестируете одностороннюю альтернативу, значимость надо поделить на два.

Упражнение 11.3.1(1)j. Расчет критерия Вилкоксона в статистическом пакете Jamovi

В подпараграфе 11.1.1 мы рассматривали результаты гипотетического тренинга оптимизма. Проведем теперь анализ с помощью пакета Jamovi. В файле OptimismTraining.sav содержатся результаты оценки оптимизма участников тренинга до (переменная First) и после (переменная Second) тренинга.

Расчет непараметрического критерия для сравнения парных выборок в Jamovi проводится параллельно с параметрическим t-критерием Стьюдента для парных выборок. Соответственно, для его расчета нужно зайти в меню Analysis — T-tests — Paired Samples T-test. Затем надо задать пару сравниваемых переменных аналогично описанному выше диалоговому окну задания параметров Т-критерия Стьюдента (см. параграф 5.3). Зададим пару сравниваемых переменных Second — First (для этого в первое поле пары надо ввести имя First, а во второе Second), после чего по умолчанию программа рассчитывает только t-критерий, но если в разделе Tests дополнительных настроек отметить пункт Wilcoxon rank, то в таблице статистики критериев появится и результат расчета критериев.

Paired Samples T-Test
First	Second	Student’s t	-3.182	9.000	0.011
Wilcoxon W	4.000	0.014

Мы видим, что статистика критерия Вилкоксона в данном случае равна 4, а его значимость оценивается как p=0.014. Эта значимость близка к оценке различий средних с помощью t-критерия, то есть мы получаем согласованный результат с помощью двух критериев и можем достаточно уверенно сделать о различии между группами: так как в обоих случаях значимость достаточно близка к нулю, мы не можем принять нулевую гипотезу об отсутствии различий между двумя срезами. Заметим, что строго говоря, t-критерий проверяет гипотезу о равенстве средних, а Вилкоксон — о равенстве медиан, и при публикации наиболее корректно привести соответствующую выборочную статистику (а лучше обе).

Упражнение 11.3.1(1). Расчет критерия Вилкоксона в Rstudio

В подпараграфе 11.1.1 мы рассматривали результаты гипотетического тренинга оптимизма. Проведем теперь анализ с помощью R, оценив изменение оптимизма с помощью непараметрического критерия Вилкоксона для парных выборок. В файле OptimismTraining.sav содержатся результаты оценки оптимизма участников тренинга до (переменная First) и после (переменная Second) тренинга.

Загрузив данные, сначала выведем диаграмму, отражающщую распределение интересующего нас признака (уже обсуждавшующся ранее ящичную диаграмму):

library(foreign) data_optimism

Рис. 11.3.1(2)r. Распределение уровня оптимизма до и после тренинга.

Из графика видно, что уровень оптимизма в целом несколько увеличился, об этом можно судить по жирной средней линии, соответствующей медиане. Также обращает на себя внимание изменение разброса данных – после тренинга наблюдается заметное увеличение межквартильного размаха, его отражает высота «ящика». Насколько изменения медианы значимы – можно оценить с помощью критерия Вилкоксона, который в R рассчитывается с помощью функции wilcox.test . В качестве аргументов надо указать две сравниваемые выборки (в нашем случае это переменные First и Second), а также установить значение параметра paired равным TRUE, так как по умолчанию функция оценивает выборки как независимые.

wilcox.test(data_optimism$First, data_optimism$Second, paired = T) Wilcoxon signed rank exact test data: data_optimism$First and data_optimism$Second V = 4, p-value = 0.01367 alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Мы видим, что статистика критерия Вилкоксона в данном случае равна 4, а его значимость оценивается как p=0.014. Результат совпадает с полученным в результате ручного расчёта в подпараграфе 11.1.1.

Рассчитаем также и t-критерий для проверки согласованности результатов непараметрического и параметрического критериев:

t.test(data_optimism$First, data_optimism$Second, paired = T) Paired t-test data: data_optimism$First and data_optimism$Second t = -3.1824, df = 9, p-value = 0.01114 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -10.607177 -1.792823 sample estimates: mean of the differences -6.2

Можно увидеть, что значимость критерии Вилкоксона близка к оценке различий средних с помощью t-критерия, то есть мы получаем согласованный результат с помощью двух критериев и можем достаточно уверенно сделать о различии между группами: так как в обоих случаях значимость достаточно близка к нулю, мы не можем принять нулевую гипотезу об отсутствии различий между двумя срезами. Заметим, что, строго говоря, t-критерий проверяет гипотезу о равенстве средних, а Вилкоксон — о равенстве медиан, и при публикации наиболее корректно привести соответствующую выборочную статистику (а лучше обе).

Критерий Вилкоксона реализован только как парный, т.е. на «вход» необходимо подать две переменные (в нашем случае результаты двух замеров). Если у вас по каким-то причинам введены разности замеров, а исходные результаты недоступны, можно выйти из положения, введя в качестве пары переменную, тождественно равную нулю. Как легко получить такую переменную, оставляем в качестве упражнения читателю.

Условия применимости критерия Вилкоксона слабее условий применимости Т-критерия — требуется, чтобы распределение разности было симметричным (подробнее см. 11.2). Если распределение разности сильно отличается от нормального, но остается симметричным, большего доверия заслуживает значимость, определенная по Вилкоксону. Чаще всего значимости, полученные двумя методами, различаются мало.

Рекомендация. Если различие велико, то наша рекомендация — постараться найти причины большого различия, проанализировав распределения каждой переменной и их разностей. Это касается всех непараметрических методов и их параметрических аналогов.

11.3.2. Критерий Манна-Уитни

Пример 11.3.2(1). В подпараграфе 11.1.2 мы разобрали пример исследования искажений мышления у родственников шизофреников. Данные хранятся в файле Distort.sav (версия для SPSS, версия для Jamovi). Откройте его и произведите обработку методом Манна-Уитни. Первая переменная group содержит номер группы (1 — экспериментальная группа (родственники больных). 1 — контрольная группа (норма)), вторая, distort —количество ошибок.

Расчет критерия Манна-Уитни в SPSS

Для расчета в SPSS надо выбрать в главном меню Анализ — Непараметрические критерии — Устаревшие диалоговые окна — Для двух независимых выборок (Analize — Nonparametric Tests — Legacy Dialogs — 2 Independent Samples). Появившееся окно устроено таким же образом, как и диалоговое окно параметров проведения Т-критерия. В поле Список проверяемых переменных (Test Variable List) следует указать сравниваемую переменную (число ошибок в нашем примере), в поле Группирующая переменная (Grouping Variable) — переменную, обозначающую принадлежность испытуемого к группе (переменная group в нашем примере). Также необходимо задать номера сравниваемых групп (1 и 2).

После нажатия кнопки ОК в окне вывода появляются результаты расчет критерия Манна-Уитни. Первая таблица содержит информацию о рангах сравниваемых переменных в двух экспериментальных группах:

Ранги
group	N	Средний ранг	Сумма рангов
distort	1.00	10	11.90	119.00
	2.00	8	6.50	52.00
	Всего	18

Суммы рангов совпадают с рассчитанными вручную в подпараграфе 11.1.2. Как можно заметить, средний ранг в экспериментальной группе (1) больше, чем в контрольной (2) [1] . Насколько это различие значимо, можно заключить, рассмотрев следующую таблицу, содержащую результат расчета критерия Манна-Уитни.

Статистики критерия a
mistakes
Статистика U Манна-Уитни	16.000
Статистика W Уилкоксона	52.000
Z	-2.132
Асимпт. знч. (двухсторонняя)	0.033
Точная знч. [2*(1-сторонняя Знач.)]	0.034 b
a. Группирующая переменная: group
b. Не скорректировано на наличие связей.

В первой строке статистика, рассчитанная способом, описанным в Замечании 11.1.2(2). Во второй строке всегда ставится меньшая из сумм рангов предыдущей таблицы. О том, у кого большие показатели, надо судить по средним рангам из предыдущей таблицы. Значимость можно найти в последней строке таблицы. Для не слишком больших выборок приводится точная значимость, если выборки велики, в последней строке оказывается асимптотическая значимость, а точная не рассчитывается.

Расчет критерия Манна-Уитни в Jamovi

Расчет критерия Манна-Уитни в Jamovi возможно в рамках сравнения двух несвязанных выборок, для этого нужно зайти в раздел Analysis — T-tests — Independent Samples T-test. Далее, в поле Dependent Variable следует указать сравниваемую переменную (число ошибок в нашем примере), в поле Grouping Variable — переменную, обозначающую принадлежность испытуемого к группе (переменная group в нашем примере).

По умолчанию в окне результатов появляется расчет t-критерия Стьюдента, а чтобы рассчитать критерий Манна-Уитни надо отметить в разделе Tests пункт Mann-Whitney U. После этого в окне вывода появляются результаты расчет критерия Манна-Уитни:

Independent Samples T-Test
distort	Student’s t	2.421	16.000	0.028
Mann-Whitney U	16.000	0.034

Статистика U в данном рассчитана способом, описанным в Замечании 11.1.2(2).

Оценить, как именно различаются группы, можно, рассчитав описательную статистику, которая включает медиану в двух группах. Для этого в Jamovi надо отметить пункт Descriptives в разделе Additional Statistics. После этого в результатах появится таблица описательной статистики:

Group Descriptives
Group		N		Mean		Median	SD	SE
distort	1	10	18.400	18.500	5.441	1.720
2	8	12.500	12.000	4.721	1.669

Как видно, медианное значение числа ошибок выше в первой, экспериментальной группе, таким образом, можно заключить, что в этой группе обнаружено значимо больше ошибок мышления.

Расчет критерия Манна-Уитни в Rstudio

Как и в предыдущем примере прежде, чем рассчитывать статистику критерия Манна-Уитни, после загрузки данных выведем график соотношения распределений искажений мышления в двух группах. Так как это несвязанные выборки, это можно сделать, используя формулу в качестве аргумента функции boxplot :

library(foreign) data_distort

Рис. 11.3.1(2)r. Распределение числа искажений мышления в двух экспериментальных группах.

Видно, что медиана анализируемого показателя ниже во второй (контрольной) группе. Насколько значимо это различие между двумя группами можно оценить с помощью критерия Манна-Уитни, который рассчитывается в R с помощью с уже использовавшейся в предыдущем примере функции wilcox.test , но с значением аргумента paired = FALSE (это значение по умолчанию, поэтому явно его указывать необязательно).

wilcox.test(distort ~ group, data = data_distort) Wilcoxon rank sum exact test data: distort by group W = 64, p-value = 0.03428 alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Статистика W в данном рассчитана способом, описанным в Замечании 11.1.2(2), причём по наибольшей сумме рангов, которая в примере равна 119 для группы 1, состоящей из 10 человек (см. пример 11.1.2). Оценка значимости при этом совпадает с симметричной оценкой по меньшей сумме рангов. Таким образом, в итоге можно сказать, что при статистике W=64 p=0.034. Как видно, медианное значение числа ошибок выше в первой, экспериментальной группе, таким образом, можно заключить, что в этой группе обнаружено значимо (при границе решения p<0.05) больше ошибок мышления.

Аналогичное сравнение средних в группах с помощью t-критерия Стьюдента дают сходный результат:

t.test(distort ~ group, data = data_distort) Welch Two Sample t-test data: distort by group t = 2.4614, df = 15.856, p-value = 0.0257 alternative hypothesis: true difference in means between group 1 and group 2 is not equal to 0 95 percent confidence interval: 0.814778 10.985222 sample estimates: mean in group 1 mean in group 2 18.4 12.5

Условия применимости Т-критерия и критерия Манна-Уитни обсуждались в подпараграфе 11.2.1. Практические рекомендации даны в конце подпараграфа 11.3.1.

11.3.3. Критерии Краскелла-Уоллиса и Джонкхиера

Расчет критериев Краскелла-Уоллиса и Джонкхиера в SPSS

Упражнение 11.3.3(1). В подпараграфах 11.1.3 и 11.1.4. мы разбирали пример, описывающий исследование изменения уровня статистических знаний у студентов университета. Данные содержатся в файле StatKnowledge.sav. Обе статистики будем рассчитывать одновременно. Для этого выберем последовательность пунктов меню Анализ — Непараметрические критерии — Устаревшие диалоговые окна — Для К независимых выборок (Analize — Nonparametric Tests — Legacy Dialogs — K Independent Samples).

В отличие от дисперсионного анализа для группирующей переменной (class) здесь требуется задать диапазон изменения (от 1 до 3 в нашем случае). По умолчанию в окне задания параметров помечен квадратик H Крускала-Уоллеса (Kruskal—Wallis H). Поставьте галочку также в пункте Джонкхиера-Терпстры (Jonckheere—Terpstra). Это и есть наш критерий Джонкхиера.

Результаты расчета критерия Краскелла-Уоллиса размещаются в двух таблицах. В первой приведены суммы рангов по группам, во второй нормированная сумма квадратов отклонений от среднего ранга, имеющая распределение Хи-квадрат при условии отсутствия систематического сдвига групповых средних. Асимптотическая значимость результата приводится в последней строке второй таблицы:

Ранги
class	N	Средний ранг
Knowledge	1.00	5	5.60
	2.00	5	8.40
	3.00	5	10.00
	Всего	15

Статистики критерия a,b
Knowledge
Хи-квадрат	2.480
ст.св.	2
Асимпт. знч.	0.289
a. Критерий Краскела-Уоллеса
b. Группирующая переменная: class

Результаты расчета статистики Джонкхиера приводятся в единственной таблице:

Критерий Джонкхиера-Терпстра a
Knowledge
Число уровней в class	3
N	15
Наблюденная статистика Джонкхиера-Терпстра	52.000
Среднее статистики Джонкхиера-Терпстра	37.500
Стд. отклонение статистики Джонкхиера-Терпстра	9.465
Нормир. статистика Джонкхиера-Терпстра	1.532
Асимпт. знч. (двухсторонняя)	0.126
a. Группирующая переменная: class

В отличие от таблицы результатов Манна-Уитни, о направлении изменения показателя надо судить по строкам Наблюденная статистика и Среднее статистики. Если первая больше второй, то групповые средние растут с возрастанием номера группы, если меньше, то, наоборот, убывают. Значимость оценивается асимптотически, поскольку распределение статистики похоже на нормальное с параметрами (мы приводим формулы для равных по объему групп)

где $ n $ — объем групп, а $ K $ — их количество.

В нашем случае $ MJ=3*2*5*5/4=37.5 $ , а дисперсия равна $ ((15*15)*(33)-3*(5*5)(13))/72=(7425-975)/72=89.58 $ .

Стандартное отклонение получаем, извлекая из этого числа корень. Оно равно 9.465. Нормированная статистика получается делением разности наблюденного значения и среднего на стандартное отклонение, после чего по нормальному распределению вычисляется значимость.

Как мы и ожидали, на наших данных критерий Джонкхиера оказывается более мощным, чем критерий Краскелла-Уоллиса, для гипотезы о монотонном изменении знаний студентов.

Расчет критериев Краскелла-Уоллиса в Jamovi

Упражнение 11.3.3(1)j. В подпараграфах 11.1.3 и 11.1.4. мы разбирали пример, описывающий исследование изменения уровня статистических знаний у студентов университета. Данные содержатся в файле StatKnowledge.sav. Jamovi Позволяет рассчитать только критерий Краскелла-Уоллиса. Для этого выберем последовательность пунктов меню Analises — ANOVA — Non-Parametric — One-Way ANOVA (Kruskal-Wallis).

Для проведения анализа в данном случае надо указать группирующую переменную в окне Grouping variable (class), а в окне Dependent Variable — зависимую переменную (Knowledge).

Результаты расчета критерия Краскелла-Уоллиса размещаются в таблице:

Kruskal-Wallis
χ²		df		p
Knowledge	2.480	2	0.289

Таблица показывает, что различия между группами в данном случае незначима. Для оценки направлений этих различий (что становится важно при получении значимого результата) можно рассчитать медианы зависимой переменной в разделе Descriptives.

Расчет критериев Краскелла-Уоллиса и Джонкхиера в Rstudio

Упражнение 11.3.3(1)r. В подпараграфах 11.1.3 и 11.1.4. мы разбирали пример, описывающий исследование изменения уровня статистических знаний у студентов университета, учащихся на разных курсах. Данные содержатся в файле StatKnowledge.sav. Для оценки различий в уровне знаний у студентов из разных групп (т.е. курсов) рассчитаем два непараметрических критерия — Крускала-Уоллеса и Джонкхиера-Терпстры (для краткости будем далее её называть статистикой Джонкхиера). Загрузим данные, а также конвертируем группирующую переменную class, которая в исходном файле считывается как числовая, в упорядоченный фактор (это необходимо для расчёта критерия Джонкхиера):

library(foreign) data_statKnow

Прежде, чем рассчитывать критерии, рассмотрим график распределения уровня знаний в трех группах:

Рис. 11.3.3(2)r. Распределение уровня знаний в трех группах студентов.

Из полученного графика видно, что уровень знаний несколько увеличивается от первого ко второму и от второго к третьему курсу. То есть, в данном случае можно говорить об ожидаемом монотонном росте уровня знаний от младших куров к старшим. Однако, насколько это значимый рост из рисунка неочевидно, проверим гипотезу о неравенстве медиан уровня знаний в трех курсах с помощью критерия Крускалла-Уоллиса. В R это можно сделать с помощью функции kruskal.test , указав как аргументы формулу соотношения зависимой и независимой переменной и имя таблицы анализируемых данных:

kruskal.test(Knowledge ~ class, data = data_statKnow) Kruskal-Wallis rank sum test data: Knowledge by class Kruskal-Wallis chi-squared = 2.48, df = 2, p-value = 0.2894

Статистика критерия Краскелла-Уоллиса представляет собой нормированную сумму квадратов отклонений от среднего ранга, имеющая распределение Хи-квадрат при условии отсутствия систематического сдвига групповых средних. Асимптотическая значимость этого результата приводится в конце. Как видно, в данном случае результат таков: χ2(2) = 2.48, p = 0.289. Значимость достаточно далека от нуля, что не позволяет нам отклонить гипотезу о равенстве медиан зависимой переменной в трех сравниваемых группах.

Попробуем рассчитать статистику Джонкхиера. В R она не входит в базовый набор тестов и её расчет требует подключения дополнительных пакетов (существует несколько вариантов), мы воспользуемся одним из них – DescTools . В нем есть функция JonckheereTerpstraTest , которая рассчитывает нужный нам критерий, формат аргументов – аналогичен используемому выше:

library(DescTools) JonckheereTerpstraTest(Knowledge ~ class, data = data_statKnow) Jonckheere-Terpstra test data: Knowledge by class JT = 52, p-value = 0.1416 alternative hypothesis: two.sided

Как мы видели из рисунка Рис. 11.3.3(2)r, уровень знаний от младшего к старшим курсам растёт. В силу этого, как мы и ожидали, на наших данных критерий Джонкхиера оказывается более мощным, чем критерий Краскелла-Уоллиса, для гипотезы о монотонном изменении знаний студентов.

Ещё более «сильный» с точки зрения оценки значимости результат мы можем получить, если будем проверять направленную гипотезу о возрастании уровня знания. По умолчанию функция JonckheereTerpstraTest оценивает двухстороннюю гипотезу, которая допускает как монотонное возрастание, так и убывание зависимой переменной. Если мы, исходя из содержательных соображений, уверены в том, что изменения в уровне студентов при обучении могут быть только положительными, то мы можем проверять направленную гипотезу. В этом случае аргументами функции нужно указать сначала зависимую переменную, затем независимую (группирующую), а затем – параметр , alternative = «increasing»:

JonckheereTerpstraTest(data_statKnow$Knowledge, data_statKnow$class, alternative = "increasing") Jonckheere-Terpstra test data: data_statKnow$Knowledge and data_statKnow$class JT = 52, p-value = 0.07079 alternative hypothesis: increasing.

Как мы видим, в этом случае значимость критерия уменьшается в 2 раза и становится ближе к нулю.

11.3.4. Коэффициент корреляции Спирмена

Упражнение 11.3.4(1). Как мы разъясняли в подпараграфа 11.3.2, непараметрические критерии работают на порядковых шкалах, в отличие от параметрических, которые требуют интервальности шкал. С этим связано их преимущество в ситуациях, когда мы сталкиваемся с выбросами, т.е. значениями показателя, аномально отличающимися от среднего по генеральной совокупности значения. Мы разберем сейчас пример, когда выброс меняет результат исследования кардинально. Предположим, школьникам предложили выполнить сразу два задания ЕГЭ в ограниченное время. В файле CorrelationPS.sav (версия для SPSS, версия для Jamovi) даны результаты. Переменная RL представляет оценку по русскому языку, а GG — по географии. Один из учеников почти все время потратил на sms-переписку, поэтому показал плохой результат по обоим предметам, однако его истинное занятие не было замечено преподавателем.

Рассчитайте коэффициенты корреляции Пирсона и Спирмена и сравните их.

Напомним, что для этого в SPSS надо выбрать пункты меню Анализ — Корреляции — Парные (Analyze — Correlation — Bivariate). Чтобы рассчитать обе корреляции, отметьте галочкой квадраты, подписанные Пирсон (Pearson) и Спирман (Spearman). В Jamovi, аналогично, надо вызвать анализ корреляций в меню Analyses — Regression — Correlation Matrix. Для добавления к корреляции Пирсона расчет коэффициента Спирмена надо выбрать пункт Spearman в разделе Correlation Coefficients. В R можно использовать любую из рассмотренных ранее функций – cor , cor.test из базового набора или corr.test из пакета psych (см. пример 9.3(3)r) , указав дополнительный аргумент method = «spearman».

В результате получаем корреляции разных знаков — положительную по Пирсону и отрицательную по Спирмену. В данном случае у нас нет оснований удалить выброс, однако его влияние корреляция по Спирмену минимизирует.

Упражнение 11.3.4(2). Постройте график рассеяния и скажите, в каких пределах можно изменять данные последнего испытуемого, чтобы корреляция по Спирмену не менялась. Сделайте какие-то из этих изменений и посмотрите, как ведет себя корреляция по Пирсону.

11.3.5. Таблицы сопряженности

Разбор примеров в SPSS

Упражнение 11.3.5(1)s. Проведем расчеты подпараграфа 11.1.6 о решении творческих задач. Откройте файл PolyakovExp.sav. Переменная Diagnosis кодирует принадлежность группе больных или здоровых, переменная TaskSolving содержит информацию о решении задачи.

Для того чтобы построить таблицы сопряженности и рассчитать критерий Хи-квадрат Пирсона, выберем пункт меню Анализ — Описательные статистики — Таблицы сопряженности (Analysis — Descriptive statistics — Crosstabs). В появившемся окне одну из переменных нужно указать в поле Строки (Rows), другую — в поле Столбцы (Columns). Для того чтобы ориентация таблицы совпадала с приведенной в предыдущем параграфе, перенесите переменную Diagnosis в окно Строки, вторую переменную — в Столбцы. Для того чтобы рассчитать ожидаемые частоты, нажмите на кнопку Ячейки (Cells) справа и поставьте галочку на Ожидаемые частоты (Expected Frequencies). Чтобы рассчитать Хи-квадрат Пирсона нажмите на кнопку Статистики (Statistics) справа и поставьте галочку в клетке Хи-квадрат (Chi—square). Обратите внимание, что, если этот пункт не выбран, в выводе не будет оцениваться значимость.

Первая таблица результатов — «Сводка обработки наблюдений» — содержит вспомогательную информацию о количестве испытуемых и пропущенных результатов. Вторая таблица приведена ниже:

*Таблица сопряженности Контрольная группа / шизофрения Решение задачи**
Решение задачи		Итого
Не решил	Решил	Итого
Контрольная группа / шизофрения	Норма	Частота	30	25	55
	Норма	Ожидаемая частота	22.0	33.0	55,0
	Шизофрения	Частота	10	35	45
	Шизофрения	Ожидаемая частота	18.0	27.0	45.0
Итого		Частота	40	60	100
Итого		Ожидаемая частота	40.0	60.0	100.0

Она повторяет нашу таблицы наблюдаемых и ожидаемых частот подпараграфа 11.1.6. Наконец, третья таблица предоставляет нам оценки значимости результата.

Критерии хи-квадрат
Значение	ст.св.	Асимпт. значимость (2-стор.)	Точная значимость (2-стор.)	Точная значимость (1-стор.)
Хи-квадрат Пирсона	10.774 a	1	0.001
Поправка на непрерывность b	9.470	1	0.002
Отношение правдоподобия	11.138	1	0.001
Точный критерий Фишера	0.001	0.001
Линейно-линейная связь	10.667	1	0.001
Кол-во валидных наблюдений	100
a . В 0 (0,0%) ячейках ожидаемая частота меньше 5. Минимальная ожидаемая частота равна 18,00.
b . Вычисляется только для таблицы 2×2.

Для небольших выборок рассчитывается точная значимость результата по соответствующему (так называемому гипергеометрическому) распределению. В данном случае это двухсторонняя значимость 0.001. Вверху слева значение статистики Хи-квадрат, отличающееся от полученного нами ошибкой округления. Однако значимость по критерию Хи-квадрат (если выборка велика и нет точной значимости) надо брать из второй строки, где вводится необходимая для таблиц только размера 2×2 поправка.

Значимость близка к нулю, гипотеза исследования довольно надежно подтверждается.

Упражнение 11.3.5(2)s. Проведем расчеты примера 11.1.7(1) о стрессе сотрудников банка. Данные записаны в файл BankStress.sav. Переменная Period кодирует начало, середину и конец недели, переменная StressGroup кодирует уровень стресса. Расставьте самостоятельно переменные в соответствующих полях в окне задания таблицы сопряженности так, чтобы ориентация таблицы совпадала с таблицами из примера 11.1.7(1). Поставьте также необходимые знаки, чтобы получить ожидаемые значения и статистику.

Таблица вывода, касающаяся значимости, в данном случае проще, чем в предыдущем: нужная нам значимость проставлена в первой строке, альтернатив нет.

Упражнение 11.3.5(3)s. На самом деле данные о стрессе получены первоначально в виде показателя, изменяющегося от 1 до 60 (переменная StressScore в том же файле BankStress.sav). Переменная StressGroup представляет собой некоторое «огрубление» балла. Разберитесь, как именно перекодированы данные StressScore в StressGroup.

Технически такую перекодировку можно выполнить только почти вручную. Мы предложим вам сделать похожую, но требующую минимум усилий перекодировку. Выберите пункты меню Преобразовать — Ранжировать (Transform — Rank cases). В полученном окне переведите в поле Переменные (Variables) имя StressScore, а затем нажмите кнопку Типы рангов (Rank types). В полученном окне выберите N-разбиение (Ntiles) на 3 группы. Другие галочки можно убрать. В результате получается переменная NStressS, в которой кодируется, к какой из третей выборки принадлежит результат данного испытуемого.

Проделайте анализ с помощью таблицы сопряженности и сопоставьте результаты с предыдущим анализом.

Упражнение 11.3.5(4). Проведите дисперсионный анализ с зависимой переменной StressScore и фактором Period. Сравните результаты. Корректен ли такой вид анализа для таких данных?

Разбор примеров в Jamovi

Упражнение 11.3.5(1)j. Проведем расчеты подпараграфа 11.1.6 о решении творческих задач. Откройте файл PolyakovExp.sav. Переменная Diagnosis кодирует принадлежность группе больных или здоровых, переменная TaskSolving содержит информацию о решении задачи.

Для того чтобы построить таблицы сопряженности и рассчитать критерий Хи-квадрат Пирсона, выберем пункт меню Frequencies – Independent Samples ( test of association) В появившемся окне одну из переменных нужно указать в поле Rows, другую — в поле Columns. В принципе, не важно, какая переменная будет отображаться по строкам, а какая — по столбцам, но для того, чтобы ориентация таблицы совпадала с приведенной в предыдущем параграфе, перенесите переменную Diagnosis в окно Rows, вторую переменную — в Columns. Для того чтобы рассчитать ожидаемые частоты, откройте раздел Cells и поставьте галочку на Expected counts. Если размерность вашей таблицы 2*2, то в подменю Statistics надо поставить галочку на continuity correction.

В окне результатов вы увидите две таблицы. Первая:

Contingency Tables
TaskSolving
Diagnosis		Не решил		Решил	Total
Норма	Observed	30	25	55
Expected	22.0	33.0	55.0
Шизофрения	Observed	10	35	45
Expected	18.0	27.0	45.0
Total	Observed	40	60	100
Expected	40.0	60.0	100.0

Она повторяет нашу таблицы наблюдаемых и ожидаемых частот подпараграфа 11.1.6. Вторая таблица предоставляет нам оценки значимости результата.

χ² Tests
Value		df		p
χ²	10.8	1	0.001
χ² continuity correction	9.47	1	0.002
N	100

Для небольших выборок рассчитывается точная значимость результата по соответствующему (так называемому гипергеометрическому) распределению. В данном случае это двухсторонняя значимость 0.001. Вверху слева значение статистики Хи-квадрат, отличающееся от полученного нами ошибкой округления. Однако значимость по критерию Хи-квадрат (если выборка велика и нет точной значимости) надо брать из второй строки, где вводится необходимая только для таблиц размера 2×2 поправка.

Значимость близка к нулю, гипотеза исследования довольно надежно подтверждается.

Упражнение 11.3.5(2)j. Проведем расчеты примера 11.1.7(1) о стрессе сотрудников банка. Данные записаны в файл BankStress.sav. Переменная Period кодирует начало, середину и конец недели, переменная StressGroup кодирует уровень стресса. Расставьте самостоятельно переменные в соответствующих полях в окне задания таблицы сопряженности так, чтобы ориентация таблицы совпадала с таблицами из примера 11.1.7(1). Поставьте также необходимые знаки, чтобы получить ожидаемые значения и статистику.

Таблица вывода, касающаяся значимости, в данном случае проще, чем в предыдущем: таблица имеет размерность 3*3 и поправку вводить не надо.

Упражнение 11.3.5(3)j. На самом деле данные о стрессе получены первоначально в виде показателя, изменяющегося от 1 до 60 (переменная StressScore в том же файле BankStress.sav). Переменная StressGroup представляет собой некоторое «огрубление» балла. Разберитесь, как именно перекодированы данные StressScore в StressGroup.

Технически такую перекодировку можно выполнить только почти вручную. Мы предложим вам сделать похожую, но требующую минимум усилий перекодировку. Выберите переменную StressScore и во вкладке Data нажмите пункт меню Transform. В полученном окне в подменю using transform выберите Create New Transform и, добавляя условия перекодирования (add recode condition), введите необходимые условия. Не забудьте выставить правильный тип шкалы в выпадающем списке Measure type.

Проделайте анализ с помощью таблицы сопряженности и сопоставьте результаты с предыдущим анализом (он должен быть идентичным).

Упражнение 11.3.5(4)j. Проведите дисперсионный анализ с зависимой переменной StressScore и фактором Period. Сравните результаты. Корректен ли такой вид анализа для таких данных?

Разбор примеров в Rstudio

Упражнение 11.3.5(1)s. Проведем расчеты подпараграфа 11.1.6 о решении творческих задач. Откройте файл PolyakovExp.sav. Переменная Diagnosis кодирует принадлежность группе больных или здоровых, переменная TaskSolving содержит информацию о решении задачи.

Для того чтобы построить таблицы сопряженности в R есть много различных инструментов, мы предлагаем читателю использовать один из наиболее удобных – это функция crosstab из пакета descr . У этой функции много различных параметров, которые можно изучить в описании, здесь мы остановимся на наиболее важных для нас. Минимально, для получения таблицы нужно указать две переменные, одну – в аргументе dep (от dependent, она будет выведена в таблице по строкам), а вторую – в аргументе indep (от independent, она будет выведена по столбцам). Также в качестве дополнительных параметров можно установить значение параметра expected = TRUE (для отображения ожидаемых частот), а для расчета статистики Хи-квадрат Пирсона также нужно установить значение параметра chisq = TRUE:

library(foreign) library(descr) data_PolyakovExp

В результате функция выводит таблиу сопряженности, значение критерия хи-квадрат Пирсона и графическое отображение результата:

Cell Contents |-------------------------| | Count | | Expected Values | |-------------------------| ========================================================== data_PolyakovExp$Diagnosis data_PolyakovExp$TaskSolving Норма Шизофрения Total ---------------------------------------------------------- Не решил 30 10 40 22 18 ---------------------------------------------------------- Решил 25 35 60 33 27 ---------------------------------------------------------- Total 55 45 100 ========================================================== Statistics for All Table Factors Pearson's Chi-squared test ------------------------------------------------------------ Chi^2 = 10.77441 d.f. = 1 p = 0.00103 Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction ------------------------------------------------------------ Chi^2 = 9.469697 d.f. = 1 p = 0.00209 Minimum expected frequency: 18

Как можно заметить, таблица сопряженности с точностью до поворота повторяет нашу таблицы наблюдаемых и ожидаемых частот подпараграфа 11.1.6. Графическое отображение может быть удобно для лучшего понимая результата – на ней достаточно хорошо видно, что среди больных шизофренией доля решивших задачу заметно больше, чем в группе контрольной группе.

Для небольших выборок рассчитывается точная значимость результата по соответствующему (так называемому гипергеометрическому) распределению, которая содержится в строке Pearson’s Chi-squared test. В данном случае это двухсторонняя значимость 0.001. Значение этой статистики Хи-квадрат совпадает с полученным при ручном расчете с точностью до округления. Однако при увеличении выборки в случае таблиц 2×2 более точно значимость оценивается по критерию Хи-квадрат с поправкой на непрерывность (строка Pearson’s Chi-squared test with Yates’ continuity correction).

Значимость близка к нулю, гипотеза исследования довольно надежно подтверждается.

Упражнение 11.3.5(2)s. Проведем расчеты примера 11.1.7(1) о стрессе сотрудников банка. Данные записаны в файл BankStress.sav. Переменная Period кодирует начало, середину и конец недели, переменная StressGroup кодирует уровень стресса. Распределите самостоятельно переменные в аргументы функции crosstab (не забудьте загрузить пакет descry при необходимости) так, чтобы ориентация таблицы совпадала с таблицами из примера 11.1.7(1). Укажите также дополнительные параметры, чтобы получить ожидаемые значения и статистику.

Решим задачу разделения выборки на три равные части по параметру StressScore.Технически такую перекодировку можно выполнить в R можно провести различными способами. Мы прилагаем сделать это с помощью функции ntile из пакета dplyr . При этом предлагаем сразу конвертировать полученную переменную в упорядоченный фактор:

library(dplyr) data_BankStress$StressGroup_3

В результате в таблицу добавляется переменная StressGroup_3, в которой кодируется, к какой из третей выборки принадлежит результат данного испытуемого.

Проделайте анализ с помощью таблицы сопряженности и сопоставьте результаты с предыдущим анализом.

Заключительное упражнение 11.3.5(5). Это последнее упражнение нашего учебника можно считать итоговым тестом. Откройте файл LastExersize.sav. Данные описывают динамику результативности юных спортсменов, тренирующихся в школе, ориентированной на высокие спортивные достижения и практикующей очень жесткий режим поощрений и наказаний, однако без отчисления за плохие показатели. Переменная Year кодирует год тренировки (оценивались разные учащиеся первого, второго и третьего года тренировок, по 60 человек каждого года). Переменная Results кодирует отнесенные к возрастным нормам спортивные результаты учеников, т.е. рост результатов означает прогресс более быстрый, чем средний прогресс в спортивных школах данного профиля.

Нарисуйте график рассеяния, примените уместные известные вам методы и опишите результаты. После завершения самостоятельной работы наше описание вы можете найти в файле LastExersizeDescription.pdf.

>> следующий параграф>>

[1] Обратите внимание, что сумма рангов зависит от количества испытуемых в группах. Если в группах разное количество испытуемых, делать содержательные выводы о различии между группами по этому показателю нельзя и следует анализировать показатель «средний ранг».

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

Критерий Краскела-Уоллиса

Критерий Краскела-Уоллиса - это непараметрическая альтернатива одномерному (межгрупповому) дисперсионному анализу. Он используется для сравнения трех или более выборок, и проверяет нулевые гипотезы, согласно которым различные выборки были взяты из одного и того же распределения, или из распределений с одинаковыми медианами.

Таким образом, интерпретация критерия Краскела-Уоллиса в основном сходна с параметрическим одномерным дисперсионным анализом, за исключением того, что этот критерий основан скорее на рангах, чем на средних. Для дополнительных деталей, см. Siegel & Castellan, 1988.

Этот непараметрический критерий — расширение двухвыборочного критерия Вилкоксона ранговых сумм. При нулевой гипотезе отсутствия различий в распределениях между группами суммы рангов в каждой из k групп должны быть сравнимы после учета любых различий в размере выборки.

Определить нулевую и альтернативную гипотезы. : каждая группа имеет одинаковое распределение величин в популяции. : каждая группа не имеет одинакового распределения величин в популяции.
Отобрать необходимые данные из двух взаимосвязанных выборок.
Вычислить величину статистики критерия, отвечающую , Проранжируйте все n значений и рассчитайте сумму рангов в каждой из групп: эти суммы — . Статистика критерия (которая должна быть модифицирована, если имеется много связанных значений) выражается формулой:
Сравнить значение статистики F-критерия со значением из известного распределения вероятности.
Интерпретировать величину р и результаты. Интерпретируйте величину р, и если результат статистически значим, используйте двухвыборочные непараметрические критерии, корректируя их для множественного тестирования. Рассчитайте ДИ для медианы в каждой группе. Однофакторный ANOVA применяют тогда, когда группы соотносятся с одним фактором и независимы. Можно использовать другие виды ANOVA, если план исследования более сложен.

Пример

Так, допустим, в ходе исследований изучали влияние препарата X на пациентов, разделенных по какому-то признаку Y на 3 группы равного объема (A, B, C). Результаты такого выдуманного исследования приведены в таблице:

Рис. 1. Пример исходных данных.

Выбираем команду Непараметрическая статистика из меню Анализ для отображения стартовой панели модуля Непараметрическая статистика. Далее выбираем Сравнение нескольких независимых групп и нажимаем кнопку OK для отображения диалогового окна ДА Краскела-Уоллиса. Нажимаем кнопку Переменные для отображения диалогового окна Выбор переменных. Выбираем переменную Влияние как зависимую и переменную Группа как группирующую. Нажимаем кнопку Коды, отобразится диалоговое окно Выбираем коды для группирующей переменной; в этом диалоге выберите все коды (нажав кнопку Все и затем кнопку OK). Диалоговое окно ДА Краскела-Уоллиса появится на экране:

Рис. 2. Диалоговое окно.

В диалоговом окне нажимаем ОК и начинаем анализ.

Рис. 3. Анализ.

Мы видим, что критерий Краскела-Уоллиса высоко значим (p = .001).Таким образом, характеристики различных экспериментальных групп значимо отличаются друг от друга. Напомним, что процедура Краскела-Уоллиса, по существу, является дисперсионным анализом, основанным на рангах. Суммы рангов (для каждой группы) показаны в правом столбце таблицы результатов. Наибольшая ранговая сумма (самое эффективное влияние препарата) относится к группе C. Наименьшая ранговая сумма (самое худшее влияние препарата) относится к группе A.

Пример: Дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса и медианный тест

Эти тесты - альтернативны однофакторной межгрупповой ANOVA. Пример основан на (искусственных) данных, представленных в Hays (1981, стр. 592).

Рис. 4. Пример исходных данных.

Эти данные получены в исследовании маленьких детей, которые случайным образом приписывались к одной из трех экспериментальных групп. Каждому ребенку предлагалась серия парных тестов. Задача ребенка состояла в том, чтобы сделать правильный выбор и получить вознаграждение. В первой группе тестом была форма (группа 1 - Форма - 1 - Form), во второй - цвет (группа 2 - Цвет - 2 Color), в третьей - размер 3 - Размер - 3 - Size) предмета. Зависимая переменная - число испытаний, которые требовались каждому ребенку, чтобы получить вознаграждение.

Результаты критерия Краскела-Уоллиса.

Результаты ранговой ДА Краскела-Уоллиса будут показаны в первой таблице результатов, результаты медианного теста - во второй.

Рис. 5. Результаты критерия Краскела-Уоллиса.

Вы видите, что критерий Краскела-Уоллиса высоко значим.Таким образом, характеристики различных экспериментальных групп значимо отличаются друг от друга. Напомним, что процедура Краскела-Уоллиса, по существу, является дисперсионным анализом, основанным на рангах. Суммы рангов (для каждой группы) показаны в правом столбце таблицы результатов. Наибольшая ранговая сумма (самое худшее выполнение теста) относится к Размеру - Size (это тот параметр, который надо различить, чтобы получить вознаграждение). Наименьшая ранговая сумма (лучшее выполнение) относится к Форме - Form.

Результаты медианного теста.

Медианный критерий также значим, однако, в меньшей степени.

Рис. 6. Результаты медианного теста.

Напомним, что медианный критерий более "грубый" и менее чувствительный, чем критерий Краскела-Уоллиса. В таблице результатов показано число наблюдений (детей) в каждой экспериментальной группе, которые лежат ниже (или равны) общей медианы и число наблюдений, лежащих выше общей медианы . Снова, наибольшее число испытуемых с числом попыток (до получения вознаграждения) выше общей медианы относятся к группе Размер - Size. Больше всего испытуемых с числом попыток ниже медианы относятся к группе Форма - Form. Таким образом, медианный тест подтверждает, что форма предмета наиболее легко различается детьми, тогда как размер различается хуже всего.

Графическое представление результатов.

Рис. 7. График результатов медианного теста в виде диаграммы.

Снова ясно видно, выполнение теста Форма - Form было лучше любого другого; медиана числа испытаний при этом условии ниже, чем при любом другом.

Рис. 8. Категоризованная гистограмма.

Этот график снова подтверждает, что в группе Форма - Form выполнение "лучше" (распределение слегка скошено влево), чем при других условиях. Самое худшее выполнение, как отчетливо видно из графиков, для группы Размер - Size. Отсюда также можно заключить, что наиболее легко дети различают Форму - Form.

Оценка мощности и объема выборки для независимых выборок, t-критерий

Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А.

Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Гржибовский А.М., Иванов С.В., Горбатова М.А.

ANALYSIS OF QUANTITATIVE DATA IN TWO INDEPENDENT SAMPLES USING STATISTICA AND SPSS SOFTWARE: PARAMETRIC AND NON-PARAMETRIC TESTS

11.3. Расчет непараметрических критериев в статистических пакетах

>> следующий параграф>>

Критерий Краскела-Уоллиса

Пример

Пример: Дисперсионный анализ Краскела-Уоллиса и медианный тест

Результаты критерия Краскела-Уоллиса.

Результаты медианного теста.

Графическое представление результатов.

Похожие записи