Как в wolfram mathematica вынести общий множитель за скобки

Как перемножать скобки: правила, примеры

Умножение — операция над аргументами в математике: множимым и множителем.

Множимое — повторяемое слагаемое — компонент, который умножается.

Множитель — показывает, сколько раз множимое слагаемое повторяется в выражении.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Результатом умножения является произведение.

При упрощении алгебраических выражений необходимо раскрывать скобки.

Раскрыть скобки можно с помощью:

1. Распределительного закона умножения:

1. Формул сокращенного умножения:

Если выражение в скобках содержит сумму или разность переменных, то такое выражение называют многочленом. Каждый компонент многочлена является одночленом. Число перед одночленом — коэффициент. Если перед одночленом не указано число, то подразумевают один или минус один — зависит от знака.

Как вынести общий множитель за скобки

Общий множитель — наибольший общий делитель.

Операцию вынесения общего множителя за скобки используют при разложении многочлена на множители. Разложение многочлена на множители подразумевает его преобразование в равное этому многочлену произведение.

Правило вынесения общего множителя за скобки:

Чтобы вынести общий множитель, записывают исходное выражение в виде произведения общего множителя и суммы, заключенной в скобки, без общего множителя.

Для вынесения общего множителя за скобки используют распределительный закон или распределительное свойство умножения справа налево:

\(ab\pm ac=a(b\pm c)\) — сумма преобразуется в произведение.

Алгоритм нахождения общего множителя для членов многочлена:

1. Найти для каждого коэффициента делители.
2. Выбрать делитель, на который делится каждый коэффициент одночленов в многочлене.
3. Вынести этот делитель за скобки.
4. Найти переменные, которые встречаются в каждом члене многочлена.
5. Вынести за скобки эти переменные в наименьшей степени из встречающихся.
6. Разделить каждый член многочлена на полученный за скобками одночлен.

В многочлене в скобках должно остаться столько членов, сколько было в исходном.

Метод вынесения общего множителя за скобки на примере числового выражения:

В этом выражении выносят за скобки общий множитель 3. Исходное выражение записывается как произведение общего множителя и суммы всех исходных слагаемых, кроме

Дано числовое выражение \(5\ast2-4\ast2+2\ast3\) . Это сумма трех слагаемых.

Есть общий множитель 2. По правилу получают: \(2\ast(5-4+3)\) .

Полная запись решения: \(5\ast2-4\ast2+2\ast3=2\ast(5-4+3)\) .

Примеры вынесения общего множителя за скобки

Вынести общий множитель: \(abc-ab\) .

1. Раскладываем каждый одночлен на множители:

\(abc=a\times b\times c; ab=a\times b\) .

1. Находим одинаковые множители: \( abc+ab=a\times b\times c+a\times b=\boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b\) .
2. Одинаковые множители выносим за скобку и перемножаем, а каждый компонент в скобках делим на это произведение: \( \boldsymbol a\times\boldsymbol b\times c+\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac+\frac).\)
3. Упрощаем полученное выражение: \(\boldsymbol a\boldsymbol b(\frac+\frac)=ab(c+1)\) .

Вынесите общий множитель многочлена за скобки: \(25kp-15k^2p\) .

Чтобы вынести общий множитель за скобку:

1. Находим общие делители одночленов.

\(25kp=5\times5\times k\times p\)

\(15k^2p=3\times5\times k\times k\times p\)

Общими делителями будут 5, k, p.

1. Перемножаем общие делители и выносим их за скобку. В скобках каждый компонент делим на получившийся общий делитель:

\(25kp-15k^2p=\mathbf5\times5\times\boldsymbol k\times\boldsymbol p-3\times\mathbf5\times\boldsymbol k\times k\times\boldsymbol p=5kp(\frac-\frac)=5kp(5-3k).\)

Раскрытие скобок при умножении числа на скобку, выражения на скобку

Раскрытие скобок — умножение переменной или числа на выражение в скобках.

Чтобы умножить число или переменную на скобку, нужно число или переменную умножить на каждый компонент в скобках и упростить выражение.

Упростите выражение: \(4(3ab+2c^2)\) .

1. Умножаем 4 на каждое слагаемое в скобках: \(4(3ab+2c^2)=4\times3ab+4\times2c^2\) .
2. Перемножаем: \(4\times3ab+4\times2c^2=12ab+8c^2\) .
3. Ищем подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью. Подобные слагаемых нет, значит, мы упростили выражение.

При умножении выражения на скобку действует то же правило.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно одночлен умножить на каждый член многочлена.

Раскройте скобки: \(3ab(5ac+2b-4a^2)\) .

\(3ab(5ac+2b-4a^2)=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3ab\ast5ac+3ab\ast2b-3ab\ast4a^2=3\ast5a\ast abc+3\ast2ab\ast b-3\ast4a\ast a^2b=15a^2bc+6ab^2-12a^3b\)

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена.

Раскройте скобки: \( (a-6b)(3ab+a^2)\) .

1. Сначала рассмотрим первую скобку: \(a-6b\) . Выражение представляем как сумму: \(a-6b=a+(-6b)\) . Мы получили два множителя: a и \((-6b)\) .
2. Умножаем каждый множитель на каждый компонент в скобках: \(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit)\mathit=a>\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit\ast>a>\mathit-\mathit6>b>\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6>b>\mathit\ast a^<\mathit2>.\)

При умножении на отрицательный компонент знак меняется.

\(\mathit(a\mathit-\mathit6b\mathit)\mathit(\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit)\mathit=a\mathit\ast\mathit3ab\mathit+a^<\mathit2>\mathit\ast a\mathit-\mathit6b\mathit\ast\mathit3ab\mathit-\mathit6b\mathit\ast a^<\mathit2>\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit=\mathit3a^<\mathit2>b\mathit-\mathit6a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>\mathit=\mathit-\mathit3a^<\mathit2>b\mathit+a^<\mathit3>\mathit-\mathitab^<\mathit2>.\)

Решите уравнение: \(3(x-4x)=0\) .

Чтобы решить уравнение, нужно найти все его корни или доказать, что корней нет.

Корень уравнения — значение переменной, при которой получается верное равенство.

1. Раскрываем скобки: умножаем 3 на каждый компонент в скобках.

1. Перемножаем: \( \begin3\ast x-3\ast4x=0\\3x-12x=0\\\end.\)
2. В выражении есть подобные слагаемые \( ‒ 3x и (-12x)\) .
3. Упрощаем: \( \begin3x-12x=0\\-9x=0\\\end.\)
4. Осталось найти икс:

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель:

1. Выполняем проверку. Для этого найденное значение подставляем в исходное выражение и сравниваем правую и левую части: \(\begin3(0-4\ast0)=0\\0=0\end.\)
2. Получаем верное равенство, значит, \(x=0\) — корень уравнения.
3. Записываем ответ: 0.

Вынесение общего множителя за скобки

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Запомните!

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

1. Работаем с числовыми коэффициентами.
   Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
2. Работаем с буквенными множителями.
   Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
3. Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Одночлен	Числовой коэффициент	Вывод
6a 2	6	Все числовые коэффициенты делятся без остатка на число « 3 ».
−3a	−3
12ab	12

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

В многочлене « 6a 2 − 3a + 12ab » — только буквенный множитель « a » присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя « a » среди всех одночленов — первая.

Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим « 3a » и вынесем его за скобки.

Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить « 3а », чтобы получить данный одночлен?»

Вопрос	Полученный одночлен
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 6а 2 »?	На « 2а ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « −3a »?	На « −1 ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 12ab »?	На « 4b ».

Запишем полученный ответ.

Важно!

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Важно!

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

• a 4 + 2a 2 = a 2 (a 2 + 2)
  Проверка: a 2 (a 2 + 2) = a 2 · a 2 + 2a 2 = a 2 + 2 + 2a 2 = a 4 + 2a 2

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

a 2 (x + y) + b 3 (x + y) = (x + y)(a 2 + b 3 ) — выносим многочлен (x + y) за скобки.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

16 апреля 2023 в 19:19

Марина Воробьева Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Марина Воробьева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Алгебра

Можно проводить факторизацию или раскрывать алгебраические выражения:

(Используйте CTRL + 6 для ввода степени.)

Factor[x^2 + 2 x + 1]

В Языке Wolfram символ == (два знака равенства) используется для проверки равенства:

2 + 2 == 4

Объединим алгебраические выражения с помощью == для формирования уравнения:

Как вынести за скобки общий множитель

Разложение многочлена на множители — важный шаг в решении многих алгебраических заданий, а вынесение общего множителя за скобки используется с этой целью чаще всего.

Как вынести за скобки общий множитель?

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо сначала его определить.

Начинаем с коэффициентов. Для чисел общим множителем является наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел (это НОД — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена).

Если первый коэффициент — отрицательное число, то чаще всего знак «минус» выносят за скобки. При этом знак каждого слагаемого в скобках меняется на противоположный.

Далее ищем общий множитель для каждой переменной (по очереди). Для степеней общий множитель — степень с наименьшим показателем.

Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое, стоящее в скобках, разделить на этот множитель.

Деление удобно проводить последовательно: отдельно — числа, отдельно — степени с одинаковым основанием.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели — вычитаем.

Следует помнить: сколько было слагаемых до вынесения общего множителя за скобки, ровно столько же должно остаться после вынесения. Это значит, если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, на его месте в скобках остается единица.

Это — теоретическая часть материала. Как выносить общий множитель за скобки на конкретных примерах рассмотрим в следующий раз.