Как определить какое число больше

Как узнать на сколько одно число больше или меньше другого

Чтобы узнать на сколько одно число больше или меньше другого, необходимо сначала сравнить эти числа, определить, какое больше, а затем из большего вычесть меньшее. Например, есть два числа 10 и 100. Определяем, что 100 > 10. 100 — 10 = 90. Значит, 100 больше 10 на 90, а 10 меньше 100 на 90.

Коля 6 лет назад

В математике числа могут сравниваться разными способами, которые зависят от того, какими являются эти числа:

• Если необходимо сравнить два положительных числа, то надо из большего числа вычесть меньшее, результат и будет той разницей, на которую одно число больше другого.
• Если необходимо сравнить два отрицательных числа, то в таком случае надо взять эти числа по модулю, затем из большего модуля числа вычесть меньший модуль, результат будет той разницей, на которое одно число больше другого.
• Если необходимо сравнить отрицательное число с положительным, то к модулю отрицательного числа прибавляют положительное, результат и будет той разницей, на которое положительно число больше отрицательного.

Разбёрем все три случая на конкретных примерах.

Сравниваем два положительных числа

Пусть даны числа: 2 и 3. Чтобы их сравнить, надо из большего числа вычесть меньшее, то есть: (3 — 2) = 1. Значит число 3 больше числа 2 на 1 (или число 2 меньше числа 3 на 1).

Сравниваем два отрицательных числа

Пусть даны числа: -2 и -3. Чтобы сравнить данные числа, надо взять эти числа по модулю (заменить знак числа на противоположный). Получаем числа: 2 и 3. Теперь делаем действие: (3 — 2) = 1. Значит число -3 меньше числа -2 на 1 (или число -2 больше числа -3 на 1). Важно помнить, что среди отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Сравниваем положительное число с отрицательным

Пусть даны числа: -2 и 3. Чтобы их сравнить, возьмем число -2 по модулю. Затем сделаем действие: (3 + 2) = 5. Значит число 3 больше числа -2 на 5 (или число -2 меньше числа 3 на 5).

1. На сколько больше? На сколько меньше?

на сколько квадратов меньше, чем треугольников?

Рис. \(2\). Геометрические фигуры

Считаем квадраты. Получаем, что у нас три квадрата.
Считаем треугольники. Треугольников у нас пять.
Пять больше трёх, значит, от пяти отнимаем три: 5 − 3 .
Вычисляем и получаем: 5 − 3 = 2 .
Квадратов на \(2\) меньше, чем треугольников.
Ответ: квадратов меньше на \(2\), чем треугольников.

Сравнение отрицательных чисел: правило, примеры

В статье ниже озвучим принцип сравнения отрицательных чисел: сформулируем правило и применим его в решении практических задач.

Правило сравнения отрицательных чисел

В основе правила – сравнение модулей исходных данных. По сути, сравнить два отрицательных числа – значит сравнить положительные числа, равные модулям сравниваемых отрицательных чисел.

При сравнении двух отрицательных чисел меньшим является то число, модуль которого больше; бОльшим является то число, модуль которого меньше. Заданные отрицательные числа являются равными, если их модули равны.

Сформулированное правило применимо как к отрицательным целым числам, так и к рациональным и действительным.

Геометрическое толкование подтверждает принцип, озвученный в указанном правиле: на координатной прямой отрицательное число, которое является меньшим, находится левее, чем большее отрицательное. Это утверждение, в общем, верно для любых чисел.

Примеры сравнения отрицательных чисел

Самым простым примером сравнения отрицательных чисел является сравнение целых чисел. С подобной задачи и начнем.

Необходимо сравнить отрицательные числа — 65 и — 23 .

Решение

Согласно правилу, для осуществления действия сравнения отрицательных чисел сначала необходимо определить их модули. | — 65 | = 65 и | — 23 | = 23 . Теперь сравним положительные числа, равные модулям заданных: 65 > 23 . Применим вновь правило, гласящее, что больше то отрицательное число, модуль которого меньше. Таким образом, получим: — 65 < - 23 .

Ответ: — 65 < - 23 .

Чуть сложнее сравнивать отрицательные рациональные числа: действие в конечном счете приводит к сравнению обыкновенных или десятичных дробей.

Необходимо определить, какое из заданных чисел больше: — 4 3 14 или — 4 , 7 .

Решение

Определим модули сравниваемых чисел. — 4 3 14 = 4 3 14 и | — 4 , 7 | = 4 , 7 . Теперь сравним полученные модули. Целые части дробей равны, так что приступим к сравнению дробных частей: 3 14 и 0 , 7 . Осуществим перевод десятичной дроби 0 , 7 в обыкновенную: 7 10 , найдем общие знаменатели сравниваемых дробей, получим: 15 70 и 49 70 . Тогда результатом сравнения станет: 15 70 < 49 70 или 3 14 4 3 14 . fff Применив правило сравнения отрицательных чисел, имеем: — 4 3 14 < - 4 , 7

Также можно было осуществить сравнение путем перевода обыкновенной дроби в десятичную. Разница – лишь в удобстве вычисления.

Ответ: — 4 3 14 < - 4 , 7

Сравнение отрицательных действительных чисел производится согласно тому же правилу.

Сравнение чисел — больше, меньше

Свойства числовых неравенств:

Свойство 1: если $a > b$ и $b > c$ $\Rightarrow$ $a > c$ свойство транзитивности;

Свойство 2: если $a > b$ $\Rightarrow$ $a+c > b+c$ добавление слагаемого к обеим частям не меняет знак неравенства;

это свойство позволяет выполнить операцию «перенос слагаемого».

Свойство 3: если $a > b$ и $m > 0$ $\Rightarrow$ $am > bm$,

после умножения обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства не меняется.

после умножения обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется.

Свойство 4: если $a > b$ и $c > d$ $\Rightarrow$ $a+c > b+d$ одноименные неравенства можно почленно складывать.

Свойство 5: если $a$, $b$, $c$, $d$ — положительные числа и $a > b$, $c > d$, $\Rightarrow$ $a\cdot c > b\cdot d$

одноименные неравенства можно почленно умножать.

Свойство 6: если $a$ и $b$ — неотрицательные числа и $a > b$ $\Rightarrow$ $a^n > b^n$, где $n$ — любое натуральное число

при возведении в натуральную степень знак неравенства не меняется.

Сравнение чисел:

Сравнение чисел: Из двух чисел меньше то, которому на координатной оси соответствует точка левее, а больше то, которому на координатной оси соответствует точка, расположенная правее.

Свойства сравнений: любое отрицательное число меньше нуля. любое положительное число больше нуля. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Изображение числа : Каждое число изображается в виде точки на оси координат. Числа на числовой оси выглядят точками. У каждого числа своя точка. У каждой точки свое число. Для того чтобы построить точку, соответствующую некоторому числу $a$ , нужно: 1) определить знак этого числа ; 2) от начала координат отложить отрезок , равный $∣a∣$ вправо , если знак «+» и влево , если знак «-» . Число $a$ в таком случае называют координатой построенной точки . Числа — это «адреса» точек на числовой прямой. Точки — это «фотографии» чисел.

Пример 1: На рисунке числа $3$, $\frac$ , $−0,9$ изображены точками $B$, $C$ , $D$ . При этом только $B$ левее нуля, а точка $D$ самая правая. Какая буква какому числу соответствует?

• Если $B$ левее нуля, то число какого знака она изображает? А точки справа от 0 какими знаками представлены.
• $D$ самая правая — значит ли это, что ее число должно быть самым большим. Чем правее, тем больше?

Пример 2: Сравнить десятичные числа

• $15,34$ и $12,1$ ? Целая часть 1-го $15$ больше, чем у 2-го, $12$. Значит, $15,34>12,1$
• $-15,34$ и $-12,1$ ? $15$ больше $12$ . 1-ое на числовой оси левее, чем 2-ое: $-15,34
• $15,34$ и $-12,1$ ? Положительное число правее $0$, отрицательное левее $0$. Значит, всяко 1-ое правее 2-го: $15,34>-12,1$
• $7,65337819$ и $7,65327819$ ? Смотрим и сравниваем цифры слева направо. В какой цифре различие? $7,65337819>7,65327819$

Пример 3: Сравнить дробные числа

• $\frac$ и $ \frac$ ? При одинаковых знаменателях: надо сравнить числители . $\frac<\frac$
• $\frac$ и $\frac$ ? При разных знаменателях «подведем» к общему $30$: $\frac>\frac$ и сравним: $\frac>\frac$
• $\frac$ и $-\frac$ ? Отрицательно всяко меньше положительного. Левее . $\frac>-\frac$
• $0,51$ и $\frac$ ? Приближенно, через деление $\frac\approx0,53$ . Очевидный вывод: $0,51<\frac$

Пример 4: Расположить числа в порядке возрастания $\left(-3\right)^2$, $-(-2)^3=8$, $10\cdot\left(-1,11\right)^2$, $-3^2$ , $3\cdot2^2$

• Вычислим аккуратно каждое число, чтоб понять их «размер»: $\left(-3\right)^2=9$ $-3^2=-9$
• $-(-2)^3=8$ $3\cdot2^2=12$ $10\cdot\left(-1,11\right)^2=12,321$
• Ясен порядок возрастания: $-3^2 <-(-2)^3<\left(-3\right)^2<3\cdot2^2<10\cdot\left(-1,11\right)^2$

Замечание : Есть ученики, которые думают что $-5^2=25$ . «Что слышу, то и вижу». Но здесь вижу, что в квадрате $5$ , а не $-5$ . Если Вы хотите, чтоб $-a$ в квадрат возводился , то надо писать основание в скобке $\left(-a\right)^2$. Так что $-5^2=-25$, $(-5)^2=+25$ . Хороший вопрос для проверки синтаксиса: что под квадратом?

Пример 5: Сравнить числовые выражения $0,1\cdot0,77\cdot0,121$ и $2,5\cdot \frac>>$

• Стратегия «как сравнить два числовых выражений»: предположим, что первое меньше второго ,
• затем по свойствам числовых неравенств преобразуем нашу гипотезу до «очевидного».
• Если придем к верному неравенству, значит наше предположение оправдалось , .
• . в противном случае, исходное неравенство выполняется «ровно наоборот».
• «Сравнить числа» = составить с ними неравенство, которое нужно доказать или опровергнуть.
• «рабочая гипотеза»: $0,1\cdot0.77\cdot0.121 < 2,5\cdot\frac>>$
• эквивалентные преобразования числового неравенства : $\frac\cdot11\cdot121 < 5\cdot\frac\cdot\frac$ $\Leftrightarrow$
• $\frac\cdot11\cdot121 < \frac\cdot\frac$ $\Leftrightarrow$ $7\cdot1331\cdot3 < 2\cdot10000$ $\Leftrightarrow$ $27951 < 20000$ , что "очевидно неверно" ,
• значит $\Rightarrow$ $0,7\cdot0.77\cdot0.777 > 2,5\cdot\frac>>$

• Возьмем из интервала приближенное $a\approx-2,4$ . посмотрим, чему будет равно каждое из выражений:
• $a-1\approx-2,4-1\approx-3,4$ ; $2+a\approx-0,4$ ; $-a^2\approx-5,76$ ; $-\frac\approx0,41$
• сравним получившиеся значения и выстроим убывающую последовательность.
• Ответ : $-\frac>2+a>a-1>-a^2$

Интерактивная Доска: