Как задать матрицу в maple

Как задать матрицу в maple

Лекция 10. Пакеты для математической обработки данных.Maple. Матрицы и графики

Использование пакета для решения задач экономического профиля.

Работа с массивами

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg. Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командойwith(linalg).

Способы задания векторов

Для определения вектора в Mapleиспользуется командаvector([x1,x2,…,xn]),где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора. Например:

Координату уже определенного вектора xможно получить в строке вывода, если ввести командуx[i], гдеi номер координаты. Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так:

Сложение векторов

Сложить два вектора aиbможно с помощью двух команд:

2) matadd(a,b).

Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами

Скалярное произведение двух векторов вычисляется командойdotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов вычисляется командойcrossprod(a,b).

Угол между двумя векторами aиbвычисляется с помощью командыangle(a,b).

Норма вектора

Норму (длину) вектора , которая равна, можно вычислить с помощью командыnorm(а,2).

Можно нормировать вектор ас помощью командыnormalize(a),в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины.

1. Даны два вектора: и. Найтии угол междуaиb. Для решения этой задачи наберите:

2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение, где,.

3. Найти норму вектора .

> restart; with(linalg):

Определение матрицы

Для определения матрицы в Maple можно использовать командуmatrix(n, m, [[a11,a12,…,a1n], [a21,a22,…,a2m],…, [an1,an2,…,anm]]),гдеn число строк,m– число столбцов в матрице. Эти числа задавать необязательно, а достаточно перечислить элементы матрицы построчно в квадратных скобках через запятую. Например:

В Maple матрицы специального вида можно генерировать с помощью дополнительных команд. В частности диагональную матрицу можно получить командой diag. Например:

> J:=diag(1,2,3);

Генерировать матрицу можно с помощью функции f(i, j) от переменных i, j – индексов матрицы: matrix(n, m, f), где где n — число строк, m – число столбцов. Например:

Число строк в матрице А можно определить с помощью команды rowdim(A), а число столбцов – с помощью команды coldim(A).

Арифметические операции с матрицами

Сложение двух матриц одинаковой размерности осуществляется теми же командами, что и сложение векторов: evalm(A+B) или matadd(A,B). Произведение двух матриц может быть найдено с помощью двух команд:

В качестве второго аргумента в командах, вычисляющих произведение, можно указывать вектор, например:

Команда evalm позволяет также прибавлять к матрице число и умножать матрицу на число. Например:

Определители, миноры и алгебраические дополнения. Ранг и след матрицы.

Определитель матрицы А вычисляется командой det(A). Команда minor(A,i,j) возвращает матрицу, полученную из исходной матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Минор M_ij элемента a_ij матрицы А можно вычислить командой minor(A,i,j). Ранг матрицы А вычисляется командой rank(A). След матрицы А, равный сумме ее диагональных элементов, вычисляется командой trace(A).

> trace(A);

Обратная и транспонированная матрицы

Обратную матрицу А 1 , такую что А 1 А=АА 1 =Е, где Е  единичная матрица, можно вычислить двумя способами:

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Maple, написание процедуры для вычисления инверсии матрицы

Итак, я работаю над проблемой, которая состоит из двух частей. Я закончил первую часть с помощью: этого полезного форума. Кто-то уже пытался решить первую часть проблемы, и я взял их код.

К проблеме:

1. Напишите процедуру (здесь я назвал ее «уменьшенный» ) в Maple, которая вычисляет уменьшенную форму эшелона матрицы.
2. Напишите процедуру, которая использует «уменьшенный» для вычисления обратной матрицы.

Код к первой части (Код протестирован, и я утверждаю, что он работает правильно)

И основная процедура:

Если вам нужна дополнительная информация о приведенном выше коде, я объясню подробнее.

Для второй части я думаю использовать алгоритм Гаусса Джордана, но у меня есть проблема : Я не могу использовать единичную матрицу в качестве параметра в «сокращенном». потому что у него 0 в строках и столбцах.

У вас есть идеи, как я могу реализовать алгоритм Гаусса Джордана с помощью моей процедуры: сокращено?

Exponenta.ru

Основные объекты и команды Maple. Решение математических задач в Maple Квадратный корень из матрицы в maple

В Maple имеется несколько способов представления функции.

Способ 1. Определение функции с помощью оператора присваивания (:= ): какому-то выражению присваивается имя, например:

Если задать конкретное значение переменной х , то получится значение функции f для этого х . Например, если продолжить предыдущий пример и вычислить значение f при , то следует записать:

После выполнения этих команд переменная х имеет заданное значение .

Чтобы насовсем не присваивать переменной конкретного значения, удобнее использовать команду подстановки subs( ,f), где в фигурных скобках указываются переменные хi и их новые значения аi (i =1,2,…), которые следует подставить в функцию f . Например:

Все вычисления в Maple по умолчанию производятся символьно, то есть результат будет содержать в явном виде иррациональные константы, такие как, и другие. Чтобы получить приближенное значение в виде числа с плавающей запятой, следует использовать команду evalf(expr,t), где expr – выражение, t – точность, выраженная в числах после запятой. Например, в продолжение предыдущего примера, вычислим полученное значение функции приближенно:

Здесь использован символ (% ) для вызова предыдущей команды.

Способ 2. Определение функции с помощью функционального оператора, который ставит в соответствие набору переменных (x1,x2,…) одно или несколько выражений (f1,f2,…) . Например, определение функции двух переменных с помощью функционального оператора выглядит следующим образом:

Обращение к этой функции осуществляется наиболее привычным в математике способом, когда в скобках вместо аргументов функции указываются конкретные значения переменных. В продолжение предыдущего примера вычисляется значение функции:

Способ 3. С помощью команды unapply(expr,x1,x2,…) , где expr – выражение, x1,x2,… – набор переменных, от которых оно зависит, можно преобразовать выражение expr в функциональный оператор. Например:

В Maple имеется возможность определения неэлементарных функций вида

> piecewise(cond_1,f1, cond_2, f2, …).

записывается следующим образом.

Кафедра: Информационные Технологии

Лабораторная Работа

На тему: «СИНТАКСИС, ОСНОВНЫЕ ОБЪЕКТЫ И КОМАНДЫ СИСТЕМЫ MAPLE «

Москва, 2008 год

· знать основные объекты и переменные системы Maple;

· знать и уметь применять команды, используемые при работе с объектами и переменными системы Maple;

· знать синтаксис основных математических функций системы Maple.

Система аналитических вычислений Maple – интерактивная система. В данном случае это означает, что пользователь вводит команду или оператор языка Maple в области ввода рабочего листа и, нажав клавишу , сразу же передает ее аналитическому анализатору системы, который выполняет ее. При правильном введении команды в области вывода появляется результат выполнения этой команды, если команда содержит синтаксические ошибки или ошибки выполнения, система печатает сообщение об этом. Если ошибку надо исправить, то следует вернуться к оператору, откорректировать его и снова выполнить. Выполнив введенную команду, система ожидает очередной команды от пользователя. Можно вернуться в любой момент к любой команде или оператору на рабочем листе, подкорректировать его и снова выполнить. Однако, если на рабочем листе есть команда, использующая результат вновь вычисленной, то ее следует также снова вычислить, установив на нее курсор, и, нажав клавишу , а если таких команд много, то можно выполнить команду графического интерфейсаEdit ® Execute ® Worksheet для повторного вычисления всех команд рабочего листа.

Каждый оператор или команда обязательно завершаются разделительным знаком. Таких знаков в системе Maple два – точка с запятой (;) и двоеточие (:). Если предложение завершается точкой с запятой, то оно вычисляется, а в области вывода отображается результат. При использовании двоеточия в качестве разделителя команда выполняется, но результаты ее работы не отображаются в области вывода рабочего листа. Это удобно, например, при программировании в Maple, когда нет необходимости в выводе каких-то промежуточных результатов, получаемых из операторов цикла, так как вывод этих результатов может занять много места на рабочем листе, да и может потребоваться значительное количество времени на их отображение.

Здесь и далее для команд Maple используется запись в форме синтаксиса языка Maple. Если при выполнении примеров возникает желание отображать команды в математической нотации, то следует командой Options ® Input Display ® Standard Math Notation установить соответствующий режим отображения.

В Maple реализован свой язык, с помощью которого происходит общение пользователя с системой. Базовыми понятиями являются объекты и переменные, из которых с помощью допустимых математических операций составляются выражения.

Простейшими объектами , с которыми может работать Maple , являются числа, константы и строки.

Числа в системе Maple могут быть следующих типов: целые, обыкновенные дроби, радикалы, числа с плавающей точкой и комплексные. Первые три типа чисел позволяют выполнять точные вычисления (без округлений) разнообразных математических выражений, реализуя точную арифметику. Числа с плавающей точкой являются приближенными, в которых число значащих цифр ограничено. Эти числа служат для приближения (или аппроксимации) точных чисел Maple. Комплексные числа могут быть как точными, если действительная и мнимая части представлены точными числами, так и приближенными, если при задании действительной и мнимой частей комплексного числа используются числа с плавающей точкой.

Целые числа задаются в виде последовательности цифр от 0 до 9. Отрицательные числа задаются со знаком минус (–) перед числом, нули перед первой ненулевой цифрой являются не значащими и не влияют на величину целого числа. Система Maple может работать с целыми числами произвольной величины, количество цифр практически ограничено числом 2 28 . Вычисления с целыми числами реализуют четыре арифметических действия (сложение +, вычитание –, умножение *, деление /) и вычисление факториала (!).

Maple представляет большое целое число, которое не помещается в строке области вывода используя символ обратного слэша (\) в качестве символа продолжения вывода на следующей строке. Последняя команда вычисляет количество цифр в результате предыдущего вычисления. В ней в качестве параметра используется операция%, которая является всего лишь удобной формой ссылки на результат выполнения предыдущей операции. В Maple имеются еще две подобные операции, которые идентифицируют результаты предпредыдущей и предпредпредыдущей команд.Их синтаксис выглядит, соответственно, следующим образом:

В Maple имеется достаточно большой набор команд, позволяющих выполнить действия, специфичные при обработке целых чисел: разложение на простые множители (ifactor), вычисление частного (iquo) и остатка (irem) при выполнении операции целого деления, нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел (igcd), выполнение проверки, является ли целое число простым (isprime) и многое другое.

Для проверки вычисления частного и остатка двух целых чисел использованы операции получения результата выполнения предыдущей (вычисление частного) и предпредыдущей (вычисление остатка) команд. Результатом команды isprime () является булева константа true (истина) или false (ложь).

Набрав в области ввода рабочего листа команду? integer, можно получить список всех команд для работы с целыми числами

Обыкновенные дроби задаются с помощью операции деления двух целых чисел. Заметим, что Maple автоматически производит операцию сокращения дробей. Над обыкновенными дробями можно выполнять все основные арифметические операции.

Если при задании дроби ее знаменатель сокращается (см. последнее вычисление в примере), то такая «дробь» трактуется системой Maple как целое число.

Часто представление результата в виде обыкновенной дроби не совсем удобно, и возникает задача преобразования ее в десятичную дробь. Для этого используется команда evalf(), которая аппроксимирует обыкновенную дробь числами с плавающей точкой, используя десять значащих цифр в мантиссе их представления. Если точность по умолчанию не достаточна, то ее можно задать вторым параметром указанной функции.

Дробь и ее десятичное представление не являются идентичными объектами Maple. Десятичное представление всего лишь аппроксимация точной величины, представленной обыкновенной дробью.

Радикалы задаются как результат возведения в дробную степень целых или дробных чисел, или вычисления из них же квадратного корня функцией sqrt(), или вычисления корня n ‑ой степени с помощью функции surd (число, n). Операция возведения в степень задается символом ^ или последовательностью из двух звездочек (**). При возведении в степень дробей их следует заключать в круглые скобки, как, впрочем, и дробный показатель степени. При задании радикалов также производятся возможные упрощения, связанные с вынесением из-под знака радикала максимально возможной величины.

Вычисления с целыми, дробями и радикалами являются абсолютно точными, поскольку при работе с этими типами данных программа Maple не производит никаких округлений в отличие от чисел с плавающей точкой.

Числа с плавающей точкой задаются в виде целой и дробной частей, разделенных десятичной точкой, с предшествующим знаком числа, например, 3.4567, -3.415. Числа с плавающей точкой можно задавать, используя так называемую экспоненциальную форму записи, в которой сразу же после вещественного числа с плавающей точкой или обычного целого, называемого мантиссой, ставится символ е или е, после которого задается целое число со знаком (показатель степени). Такая форма записи означает, что мантиссу следует умножить на десять в степени числа, соответствующего показателю степени, чтобы получить значение числа, записанного в такой экспоненциальной форме. Например, 2.345е4 соответствует числу 23450.0. Таким образом, можно представлять очень большие по абсолютному значению числа (показатель степени положительное число) или очень маленькие (показатель степени отрицательное число).

Из чисел составляются математические выражения с помощью арифметических операций. Символы арифметических операций в Maple перечислены в табл. 1.

Таблица 1. Арифметические операции

Последовательность выполнения арифметических операций соответствует стандартным правилам старшинства операций в математике: сначала производится возведение в степень, затем умножение и деление, а в конце – сложение и вычитание. Все действия выполняются слева направо. Операция вычисления факториала имеет наибольший приоритет. Для изменения последовательности арифметических операций следует использовать круглые скобки.

Если все числа в выражении являются целыми, дробями или радикалами, то результат представляется также с использованием этих типов данных, но если в выражении присутствует число с плавающей точкой, то результатом вычисления такого «смешанного» выражения будет также число с плавающей точкой, если только в выражении не присутствует радикал. В этом случае радикал вычисляется точно, а коэффициент при нем вычисляется либо точно, либо в виде числа с плавающей точкой в зависимости от типа сомножителей.

Система аналитических вычислений Maple всегда пытается произвести вычисления с абсолютной точностью. Если это не получается, тогда подключается арифметика с вещественными числами.

Maple умеет работать и с комплексными числами . Для мнимой единицы

в Maple используется константа I . Задание комплексного числа не отличается от его обычного задания в математике.

04. 01 Преобразование уравнений. Команды lhs и rhs

* Entering and Manipulating Equations: The lhs and rhs commands *

Напомним, что уравнению, точно так же как и выражению, можно присвоить имя. В следующей командной строке мы введём уравнение и присвоим ему имя » eq1 » :

Мы можем вывести на экран левую и правую части уравнения по-отдельности при помощи команд lhs и rhs :

Воспользуемся командами lhs и rhs для того, чтобы привести уравнение к стандартному виду, в котором все члены собраны слева, а справа остался только 0:

> eq2:=lhs(eq1)-rhs(eq1)=0;

04. 02 Нахождение точных корней. Команда solve

* Finding Exact Solutions: The solve command *

Рассмотрим вначале рациональные уравнения. Известно, что существуют алгоритмы определения точных корней рациональных корней вплоть до 4-го порядка включительно. В Maple-команду solve и заложены эти алгоритмы.

Воспользуемся командой solve для нахождения точных корней кубического уравнения :

Обратите внимание: в команде мы указываем, относительно какой переменной следует решать уравнение. Хотя в нашем конкретном случае это и не обязательно:

Maple нашел все 3 действительных корня и вывел их (в неупорядоченном виде ).

Иногда очень важно выбрать конкретный корень, чтобы потом использовать в дальнейших преобразованиях именно его. Для этого заранее следует присвоить имя результату исполнения команды solve . Назовём его X . Тогда конструкция X будет соответствовать первому корню из списка (подчеркнем: это не обязательно меньший корень! ), X — второму корню, и т.д. (Скобки — квадратные! ):

Посмотрите, однако, что будет выведено в результате выполнения похожей команды:

Ещё раз подчеркнём: практика показывает, что уравнению целесообразно присвоить имя. Традиционно в Maple такое имя начинается с букв eq :

(Не путать оператор присваивания » := » со знаком равенства » = » !)

Теперь решим уравнение при помощи команды solve . Множеству корней присвоим имя X :

Для убедительности проверим, нет ли среди найденных корней посторонних. Проверку выполним непосредственной подстановкой

Разумеется, частенько «точные» решения довольно громоздки, если не сказать иначе. Например, это касается уравнения :

Теперь Вам понятно, о чем речь? Для себя заметьте, что мнимая единица в Maple обозначается посредством прописной буквы I . Разумеется, в таких случаях не грех найти приближенные значения корней. Имея на руках точное решение, Вы и сами сообразите, как это сделать:

В подобных ситуациях хорошей альтернативой команде solve является fsolve , особенности которой будут рассмотрены в следующем параграфе.

Команда solve используется при отыскании точных решений не только рациональных уравнений. Ниже приведено несколько тому иллюстраций. Но для многих типов иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и даже рациональных уравнений точное решение искать бесполезно. На помощь призывается команда fsolve .

Иногда (а в тригонометрии — всегда ) Maple, по умолчанию , не выводит всё множество корней:

Но безвыходных ситуаций не бывает! Взяв за основу полученный результат, воспользуйтесь своими знаниями тригонометрических уравнений и запишите полное решение (как? ).

Упражнение 4.1

Решить уравнение Разберитесь, сколько различных корней имеет уравнение. Как Maple поступает при наличии равных корней?

Совет : разложите на множители левую часть уравнения.

> factor(x^3-11*x^2+7*x+147);

Корень х = 7 является двукратным, а потому у кубического уравнения только два различных корня. Разложение на множители левой части уравнения — тому подтверждение.

04. 03 Поиск приближенных корней. Команда fsolve

* Finding Approximate Solutions: The fsolve command *

Для приближенного решения уравнений используется Maple-команда fsolve . В случае рационального уравнения, fsolve выводит весь список действительных корней (см. Пример 01). Для трансцендентных уравнений эта команда, по умолчанию, выводит только один корень (см. Примеры 02 и 03).

При помощи fsolve найдём приближенные значения сразу всех четырёх действительных корней рационального уравнения :

Эти четыре корня и составляют исчерпывающее решение исходного рационального уравнения (хотя и приближенное ).

Используя команду fsolve , найти хотя бы один действительный корень уравнения :

Maple и вывел только один корень. На этот раз Maple не стал «живописать». Как теперь убедиться в том, что других действительных корней нет? Следующий пример даёт такой инструментарий.

Получить все действительные корни уравнения и убедиться в этом.

Шаг первый ( Основная идея ) : найдём графическое решение уравнения. Для этого построим график функции, стоящей в левой части уравнения. Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох и будут искомыми корнями.

Т.к. мы умело подобрали диапазоны изменений абсцисс и ординат точек графика, то легко обнаружим 4 точки пересечения линии с осью Ох. Одна из них соответствует корню, найденному в Примере 02 (какая именно? ).

Второй корень очевиден: х = 0. А как поточнее найти остальные?

Шаг второй ( Уточнение ) : применим команду fsolve более «зряче». В Maple предусмотрена возможность указания промежутка, на котором отыскиваются корни. В частности, для определения отрицательного корня нашего уравнения, укажем, что поиски следует вести в «районе» [-1;-0.2]. Об этом красноречиво свидетельствует графическое решение.

Оставшиеся корни явно принадлежат промежуткам и . Расскажем об этом команде fsolve :

Ну а что произойдёт, если мы подсунем Maple «пустой участок»? Например, отрезок для нашего уравнения. Там графического решения явно нет:

Maple выдаёт название команды, само уравнение, имя аргумента и отрезок. Т.е. ничего нового. Мол: «Ищите корни сами, а я не нашел».

Шаг третий ( Дополнительный анализ ) : Как теперь удостовериться в том, что найдены все корни , а не только в видимой области графического решения? Для этого следует расширить интервал поисков:

Новых точек пересечения нет. В конце концов мы понимаем, что экспоненциальное слагаемое на границах промежутка вносит самый существенный вклад в величину функции из левой части уравнения. Значения функции в этой области стремятся к , а потому дополнительных корней нам не найти.

Попробуем в других местах: справа и слева от области найденных корней.

И здесь ни одного дополнительного корня! Поняв, что с влиянием показательной части уравнения всё ясно, делаем окончательные выводы.

Исчерпывающее решение уравнения состоит из четырёх корней: -.8251554597 , 0 , 1.545007279 , 4.567036837 .

Применим команду fsolve для приближенного решения трансцендентного уравнения .

Как и в предыдущем случае, найдём вначале качественное графическое решение. Для этого ещё нужно угадать, как разбросать по обеим частям уравнения его члены. Но графические возможности Maple настолько великолепны, что почти всегда можно собирать все члены уравнения с одной стороны.

Рассмотрим уравнение, равносильное данному: . Абсциссы точек пересечения графика функции, стоящей в левой части уравнения, с осью Ох и будут искомыми корнями.

График указывает область поисков корней: промежуток . Настаёт черёд команды fsolve :

Корень найден. Но, очевидно, он — не единственный. Расширьте область поисков и ещё раз примените команду fsolve для отыскания второго корня.

Упражнение 4.2

Найти все действительные корни уравнения , начав с графического решения.

Построим график левой части уравнения:

В результате находим корни уравнения в первом приближении: -2 ; -1.5 ; 0 . Применим теперь команду fsolve без указания диапазона поиска (оценим возможности Maple ):

С удовлетворением отмечаем, что Maple выводит все три корня (Не будем забывать, что решали рациональное уравнение.)

Упражнение 4.3

Найти все корни уравнения . Воспользуйтесь графическим решением. Проверьте каждый корень непосредственной подстановкой.

Приведём уравнение к стандартному (для этого раздела) виду:

Теперь построим график левой части уравнения:

По всей видимости, существует два корня. Один примерно равен -2, а другой, похоже, 2.

Применим команду fsolve , ограничив диапазон поиска:

Непосредственной подстановкой проверим корни:

Обратите внимание: в обоих случаях истинного равенства нет. С учётом ошибок при округлении, разумное расхождение вполне допустимо.

Убедитесь в отсутствии других корней. Ответ обоснуйте.

Упражнение 4.4

Графики функций и дважды пересекаются на отрезке [-5;5].

а). Постройте в одной системе координат графики обеих функций и при помощи мыши найдите координаты точек пересечения.

b). Составьте уравнение, корнями которого являются абсциссы точек пересечения графиков.

c). Используйте команду fsolve для решения этого уравнения.

d). Используйте результаты из пункта с) для оценки ординат точек пересечения графиков.

e). У Вас не создалось впечатление, что линии могут пересекаться и в третьей точке с координатами (1;9)? Используйте fsolve и графические возможности Maple, чтобы убедиться в противном.

Теперь построим графики функций:

Приближенные координаты точек пересечения: (-1.8, 6.6) и (2.75, 2) .

b) Составим уравнение:

с) Команда fsolve поможет найти соответствующие корни:

d) Используем команду subs для определения соответствующих ординат точек пересечения:

Общие точки графиков: (-1.800,6.763) и (2.773,2.311) .

e) Графически исследуем окрестность точки х = 1:

Команда fsolve на этот раз позволит доказать отсутствие корней вблизи точки х = 1:

04. 04 Решение уравнений в общем виде

* Solving Literal Equations *

Во многих случаях Maple находит решение уравнения в общем (символьном) виде. Речь идёт об уравнении (а не системы!), содержащем несколько переменных. Решение состоит в том, что какая-то из переменных выражается через остальные.

Пусть необходимо решить уравнение относительно переменной g . По привычке, используем команду solve . И она оправдывает наши надежды:

А так решение можно оформить в привычном виде:

Упражнение 4.4

Решить последнее уравнение относительно других переменных: T, k и v.

Упражнение 4.5

Решить уравнение относительно у. Присвоить последовательности корней имя S. Как связаны корни S и S ?

Корни отличаются только знаком.

РЕШЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В MAPLE

ЧАСТЬ I

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего

«Нижегородский государственный университет им. »

МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В MAPLE

факультета для студентов, обучающихся по

направлению подготовки 010100 — «Математика».

Решение задач в MAPLE. Часть I. Составители: , : Учебно-методическая разработка. – Н. Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2007. – 35 с.

доцент кафедры ЧиФА факультета ВМК,

доцент кафедры ПиУОС Физического факультета,

Данная разработка представляет собой практическое руководство по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple . Последовательное изучение тем и выполнение заданий позволит шаг за шагом освоить основные приемы работы в математической системе Maple .

Учебно-методическая разработка предназначена для студентов 2 и 3 курсов механико-математического факультета .

университет им. , 2007

Системы компьютерной алгебры – это новые технологии в научных исследованиях и образовании. В последние годы получили широкое распространение такие системы общего назначения, как Maple, Mathematica.

Система Maple включена в интегрированную систему Scientific WorkPlace и применяется во многих ведущих университетах мира как в научных исследованиях, так и в учебном процессе. Ядро Maple входит в другие распространенные пакеты, такие как MathCad, MathLab.

Данная разработка позволит начинающему войти в технологию использования системы Maple, получить первые навыки, после чего он сможет уже самостоятельно разобраться в более тонких вопросах использования Maple. Хотелось бы отметить, что эта разработка ни в коей мере не является описанием системы Maple. Она предназначена в первую очередь для обучения студентов-математиков решению основных математических задач при помощи Maple.

1. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ. ТИПЫ ДАННЫХ

Диалог с системой протекает в стиле «вопрос-ответ». Команда начинается с символа > и заканчивается либо точкой запятой (; ), либо двоеточием (: ). Для выполнения команды необходимо нажать клавишу Enter . Если в конце команды стоит точка с запятой, то на экран будет выведен результат действия команды или сообщение об ошибке. Двоеточие в конце команды означает, что команда будет выполнена, но ее результат на экран не будет выводиться. Символ # используется для ввода текстовых комментариев. Также для ввода текста используется клавиша с символом T на панели инструментов. Для возвращения к вводу команд следует нажать клавишу с символом >. Для вызова результата действия предыдущих команд используются символы %, %% или %%%, соответственно. Команда restart отменяет результат действия всех предыдущих команд.

Переменные в Maple характеризуются именем и типом. Имя переменной в Maple может состоять из букв, цифр и некоторых специальных символов, но обязательно должно начинаться с буквы. Ограничений на длину имени нет. Кроме того, Maple различает строчные и прописные буквы. Для присваивания переменной конкретного значения применяется оператор := . Переменные могут использоваться в математических выражениях и функциях без предварительного определения.

Рассмотрим особенности записи в Maple данных числового, строкового и множественного типов.

Выражение принадлежит к целому типу (integer ), если оно состоит из последовательности цифр, не разделенных никакими знаками. Выражения вида a/b, где a, b – целые числа принадлежат к дробному типу (fraction ). К числам с плавающей точкой (float ) относятся выражения вида a. b, a. и. b. Также числа типа float можно записать в показательной форме a*10^b. Комплексные числа (complex ) в Maple записываются в алгебраической форме: a+I*b, где a, b – вещественные числа.

Строковое выражение типа string — это любая конечная последовательность символов, с обеих сторон заключенная в верхние двойные кавычки. Последовательность символов, взятая в обратные кавычки, считается символом (symbol ).

Множество (set ) в Maple задается перечислением в фигурных скобках элементов множества. Например,

https://pandia.ru/text/78/155/images/image003_72.gif» width=»197″ height=»26″>

Для создания массива используется команда array(i1..j1, i2..j2. M), которая возвращает массив с элементами из списка M.

Обращение к элементам множества, списка, массива происходит с указанием индексов элемента в квадратных скобках.

https://pandia.ru/text/78/155/images/image006_53.gif» width=»16 height=19″ height=»19″>

Массив также можно задать командой вида V:=array(1..2,1..2,1..2,); , переопределив затем значения V с помощью оператора присваивания.

В Maple можно записать буквы греческого алфавита в полиграфическом виде. Для этого в командной строке набирается название греческой буквы.

1. Задайте множество A, состоящее из целых чисел от 3 до 20, и множество B, состоящее из квадратов этих чисел. Найдите объединение, пересечение, разность множеств A и B. Найдите мощности всех полученных множеств.

2. Задайте произвольный список и четырехмерный массив.

2. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, ФУНКЦИИ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ

ВЫРАЖЕНИЙ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

2.1. Вычисления в Maple

Для записи математических выражений в Maple используются операторы сложения (+), вычитания (-), умножения (*), деления (/), возведения в степень (^), оператор присваивания (:=). Порядок выполнения математических операций является стандартным.

Основные константы в Maple обозначаются следующим образом: Pi — число π, I — мнимая единица i, exp(1) — основание натуральных логарифмов e, infinity – бесконечность, true — истина, false – ложь. Используются следующие знаки сравнения: , >=, , = .

Система Maple одинаково успешно справляется как с символьными вычислениями, так и с численными. По умолчанию расчеты проводятся символьно.

>1/2+123/100+ sqrt (3);

Часть выражения, в которой встречается число, записанное с плавающей запятой (float), будет вычислена приближенно.

>2+ sqrt (2.0)- Pi ;

Все вычисления по умолчанию проводятся с десятью значащими цифрами. Количество значащих цифр можно изменить, применив команду > Digits : = n .

Для того, чтобы получить значение выражения в численном виде используется функция

https://pandia.ru/text/78/155/images/image012_43.gif» width=»414″ height=»19″>

2.2. Задание функций

В Maple встроено большое количество функций. Перечислим обозначения для основных элементарных функций..gif» width=»83 height=57″ height=»57″>

Рассмотрим несколько способов определения новых функций:

1) присваивание переменной некоторого выражения

имя переменной:=выражение;

имя переменной(список параметров):=выражение;

> f (t ):= cos (t )^2+1;

> f (0);

При таком способе задания функции для того, чтобы вычислить значение функции в некоторой точке нужно определить с помощью оператора присваивания значения переменных (параметров), либо использовать оператор подстановки subs.

https://pandia.ru/text/78/155/images/image018_28.gif» width=»106″ height=»33″>

https://pandia.ru/text/78/155/images/image021_25.gif» width=»100″ height=»33″>

>x := Pi : y :=10: f ;

Команда value (выражение) используется для вычисления значения выражения.

Следует обратить внимание на то, что после присвоения переменной x конкретного значения x:=a, переменная x перестанет быть неопределенной. Вернуть x статус непределенной переменной можно командой > x := evaln (x ); или снять присваивание командой > x :=’ x ’ ; либо отменить все присваивания командой restart .

2) Определение функции с помощью функционального оператора

имя функции:=список параметров -> выражение;

Обращение к функции, заданной таким способом, происходит стандартным образом: имя функции(a, b, …), где a, b, … — конкретные значения переменных.

> f 1:=(x , y , z ) -> x ^(y ^ z );

https://pandia.ru/text/78/155/images/image024_25.gif» width=»25″ height=»26 src width=»189″ height=»107″> используется команда

https://pandia.ru/text/78/155/images/image028_21.gif» width=»248″ height=»77″>

> f1:=convert(f, piecewise);

> f 2(-1/2); f 2(-1);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image032_20.gif» width=»196″ height=»27″>.gif» width=»73″ height=»49″>. Упростите полученные выражения.

3. Найдите значение выражения . Для выполнения преобразований комплексного числа применяется функция evalc .

4. Запишите функцию без знака модуля.

5. Задайте и найдите f(-10)+3f(-1)+f(3).

6. Задайте функцию в виде функционального оператора и найдите ее значение при x=-1, y=.

2.3. Преобразование математических выражений

Maple обладает широкими возможностями для аналитических преобразований математических формул. К ним относятся такие операции, как приведение подобных, разложение на множители, раскрытие скобок, приведение рациональной дроби к нормальному виду и многие другие.

В Maple можно преобразовывать как все выражение в целом, так и отдельные его части.

Для выделения левой (правой) части в математическом выражении вида A=B используются команды

lhs (выражение);

rhs (выражение);

Для выделения числителя (знаменателя) используются команды

numer (выражение);

denom (выражение);

>denom (rhs (F ));

Для выделения некоторой части выражения, списка или множества служит команда

op (i ,выражение) , где i – число, определяющее позицию в выражении.

> x + y + z ; >op (2,%);

Gif» width=»12″ height=»12 src 54″ width=»266″ loading=lazy>

> isolate (R , sin (x ));

1) Приведение подобных членов в выражении по переменной осуществляется командой

https://pandia.ru/text/78/155/images/image047_14.gif» width=»439″ height=»28″>

2) Разложить на множители выражение можно с помощью команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image050_16.gif» width=»186″ height=»56″>

>alias(w=RootOf(x^3+2*x+1)); factor(x^3+2*x+1,w);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image055_15.gif» width=»504″ height=»26 src width=»303″ height=»57″>

> factor(x^2+x+1,complex);

Gif» width=»12″ height=»12 src 58″ width=»173″ loading=lazy>

4) Привести дробь к нормальному виду можно с помощью команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image063_16.gif» width=»60″ height=»54″>

>normal(sin(2*x+3+4/(x-1)+5/(x-2)), expanded);

5) Для преобразований выражений, содержащих радикалы, применяется команда

rationalized « для того, чтобы избавиться от иррациональностей в знаменателях, « expanded « для раскрытия всех скобок.

> (7+5* sqrt (2))^(1/3);

> radnormal ((7+5* sqrt (2))^(1/3));

> a := sqrt (3)/(3^(1/2)+6^(1/2));

rationalized «);

6) Упрощение выражений осуществляется командой

DIV_ADBLOCK515″>

>simplify((sqrt(2)+sqrt(3))*(sqrt(2)-sqrt(3)));

> f:=(1-cos(x)^2+sin(x)*cos(x))/(sin(x)*cos(x)+cos(x)^2); simplify(f, trig);

Также в опциях указываются предположения о значении аргумента. Для формальных символьных преобразований многозначных функций в опциях можно указать symbolic .

> simplify(g, assume=real);

> simplify(g, assume=positive);

>simplify(g, symbolic);

Команда simplify позволяет выполнить преобразования в выражении при заданных условиях (условия указываются в фигурных скобках).

В некоторых случаях бывает полезно предварительно преобразовать выражение при помощи команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image076_12.gif» width=»276″ height=»54″>

>simplify(B, trig);

>simplify (%);

7) Объединить части выражения по определенным правилам можно при помощи команды

https://pandia.ru/text/78/155/images/image079_12.gif» width=»94″ height=»25 src width=»12″ height=»12 src 22″ width=»125″ loading=lazy>

> solve(x^4-11*x^3+37*x^2-73*x+70);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image086_12.gif» width=»349″ height=»22 src >

> _EnvExplicit:=true:

Максимальное количество решений, которое может быть найдено с помощью команды solve, определяется значением глобальной переменной _MaxSols , имеющей по умолчанию значение равное 100. Если придать глобальной перменной _EnvAllSolutions значение true , то в случае бесконечного множества решений, команда solve для некоторых уравнений сможет оформить ответ в виде выражения, содержащего переменные определенного типа. Например, для тригонометрических уравнений ответ будет содержать целочисленные параметры вида _Z

> _EnvAllSolutions:= true:

>solve(sin(2*x)=cos(x), x);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image094_11.gif» width=»274″ height=»51 src width=»12″ height=»12 src width=»641″ height=»23″>

Для разрешения реккурентностей применяется команда

https://pandia.ru/text/78/155/images/image098_10.gif» width=»255″ height=»22 src width=»119″ height=»23 src width=»180″ height=»56″>.

2. Упростите выражение .

3. Упростите выражение .

4.Приведите подобные в выражении и вычислите его значение при a=-3, x=1.

5. Упростите выражение а) ; б) .

6. Избавьтесь от иррациональностей в знаменателе выражения .

7. Выразите , https://pandia.ru/text/78/155/images/image113_7.gif» width=»46″ height=»48 src width=»164″ height=»41″>;

б) https://pandia.ru/text/78/155/images/image120_7.gif» width=»88″ height=»47 src 27″ width=»153″ loading=lazy> на множители над полем вещественных чисел и над полем рациональных чисел. Найдите разложение в радикалах.

12. Разложите многочлен на множители над полем вещественных чисел и над полем комплексных чисел. Найдите разложение в радикалах.

13. Решите уравнение .

14. Решите систему уравнений .

15. Решите систему уравнений и упростите ответ.

16. Численно найти все решения уравнения .

17. Найти три численных решения уравнения .

18. Решите систему неравенств .

19. Решите неравенство .

3 . ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Эта часть посвящена возможностям системы Maple V в визуализации самых разнообразных вычислений.

3.1. Двумерные графики

Для построения графиков функции f(x) от одной переменной (в интервале https://pandia.ru/text/78/155/images/image132_6.gif» width=»69″ height=»24″> по оси Оу ) используется команда

plot(f(x), x=a..b, y=c..d, options),

где options – опция или набор опций, задающих стиль построения графика. Если их не указывать, то будут использованы установки по умолчанию. Настройка изображения также может осуществляться с панели инструментов. Для этого следует щелкнуть левой кнопкой мыши по изображению. После этого становятся активными кнопки в нижнем ряду панели. Также можно узнать координаты точки на графике. Для этого необходимо подвести курсор к нужной точке графика и щелкнуть левой кнопкой мыши. Слева в нижнем ряду кнопок на панели появятся координаты. Настройка изображения также может осуществляться с помощью контекстного меню. Оно вызывается правой кнопкой мыши.

Основные параметры команды plot :

title=”text”, где text- заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он не содержит пробелов).

coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

style = LINE – вывод линиями, style = POINT вывод точками.

numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=50 ).

сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т. д.

xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy , соответственно.

thickness=n, где n=1,2,3… — толщина линии (по умолчанию n=1 ).

linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т. д. (по умолчанию n=1 – непрерывная).

symbol=s — тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND .

font= – установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер шрифта в pt.

labels= – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy .

discont=true – указание для построения бесконечных разрывов, при этом на графике асимптоты не рисуются.

Пример. Построить график https://pandia.ru/text/78/155/images/image134_1.jpg» width=»292 height=292″ height=»292″>

Построение графика функции, заданной параметрически

С помощью команды plot можно строить также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t) :

plot(, parameters) .

Пример. Построить график параметрической кривой , https://pandia.ru/text/78/155/images/image138_2.jpg» width=»231 height=164″ height=»164″>

Построение графика функции, заданной неявно

Для построения графика неявной функции F(x, y)=0 используется команда https://pandia.ru/text/78/155/images/image139_5.gif» width=»80″ height=»27″>.

>with(plots):implicitplot(x^2+y^2=1, x=-1..1, y=-1..1);

Gif» width=»12 height=12″ height=»12″> textplot(, options), где x0, y0 – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’ .

Вывод нескольких графических объектов на один рисунок

Если на одном рисунке нужно совместить несколько графиков функций, то можно воспользоваться командой

Если необходимо нарисовать несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, то для этого результат действия команд присваивается некоторым переменным:

> p := plot (…): t := textplot (…):

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

display(, options) .

Пример . Построить графики функций https://pandia.ru/text/78/155/images/image142_6.gif» width=»73″ height=»20 src width=»59″ height=»24 src width=»297 height=24″ height=»24″> , то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots:

inequals( c1,…,fn(x, y)>cn>, x=x1…x2, y=y1..y2, options)

В фигурных скобках указывается система неравенств, задающих область, затем размеры координатных осей и параметры. С помощью параметров можно регулировать толщину линий границ, цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей:

.gif» width=»12″ height=»12 src width=»12″ height=»12 src width=»75″ height=»43″>.

3..gif» width=»72″ height=»20″>, в рамке.

4..gif» width=»83″ height=»23 src width=»75″ height=»20 src width=»321″ height=»198″>

График поверхности, заданной параметрически

Если требуется построить поверхность, заданную параметрически: x =x (u ,v ), y =y (u ,v ), z =z (u ,v ), то эти функции перечисляются в квадратных скобках в команде:

plot3d(, u=u1..u2, v=v1..v2) .

Пример . Построить тор.

> plot3d(, s=0..2*Pi, t=0..11*Pi/6, grid=, style=patch, axes=frame, scaling=constrained);

https://pandia.ru/text/78/155/images/image162_4.gif» width=»99″ height=»24″>, строится с помощью команды пакета plot s :

implicitplot3d(F(x, y,z)=c, x=x1..x2, y=y1..y2, z=z1..z2), где указывается уравнение поверхности и размеры рисунка по координатным осям.

График пространственных кривых

В пакете plot s имеется команда spacecurve для построения пространственной кривой, заданной параметрически: .

spacecurve ([ x (t ), y (t ), z (t )], t = t 1.. t 2) , где переменная t изменяется от t1 до t2 .

Построение нескольких трехмерных фигур на одном графике

Команда plot 3 d позволяет строить одновременно несколько фигур, пересекающихся в пространстве. Для этого достаточно вместо описания одной поверхности задать список описаний ряда поверхностей. При этом функция plot 3 d обладает уникальной возможностью – автоматически вычисляет точки пересечения фигур и показывает только видимые части поверхностей. Это создает изображения, выглядящие вполне естественно.

Пример. Выполнить построение двух поверхностей и в пределах https://pandia.ru/text/78/155/images/image168_4.gif» width=»39″ height=»19″>.

> plot 3 d ( , x =- Pi .. Pi , y =- Pi .. Pi , grid =, axes = FRAMED , color = x + y );

Maple позволяет выводить на экран движущиеся изображения с помощью команд animate (двумерные) и animate3d (трехмерные) из пакета plot s . Суть анимации при использовании данных функций заключается в построении серии кадров, причем каждый кадр связан со значением изменяемой во времени переменной t. Среди параметров команды animate3d есть

frames – число кадров анимации (по умолчанию frames=8 ).

Управлять движущимся изображением удобнее с помощью контекстного меню.

Задание 3 .2

Похожие публикации:

1. Как сделать дробь в mathcad
2. Как сделать смету в archicad
3. Как скачать archicad
4. Как скачать звук из telegram

Создание матрицы размера i,j cо случайными значениями в пределах 0,6-0,8

Помогите, пожалуйста, несчастной блондинко с синтаксисом Maple. Третий день ломаю голову. Нужно с помощью циклической функции задать матрицу размера i,j cо случайными значениями в пределах 0,6-0,8.

94731 / 64177 / 26122

Регистрация: 12.04.2006

Сообщений: 116,782

Ответы с готовыми решениями:

Создание и заполнение случайными значениями динамической матрицы
Привет всем. Подскажите пожалуйста, как создать динамическую матрицу размерностью, которая.

Массив char, случайного размера, заполнить случайными значениями
Как заполнить его я понял. Но создать рандомно не получается. Пишет, что обязательно нужна.

Заполнение матрицы случайными значениями
ребята нужна помощь с матрицами на Борланд Си Как их там правильно обьявить через рандом? .

Заполнить матрицы случайными значениями при помощи встроенных функций
Заполнить матрицы случайными значениями при помощи встроенных функций (не вручную). Размерность.

Python. Как создать матрицу?

Добрый день всем. Учусь на заочном отделении.Помогите одолеть задачу.Пытаюсь разобраться в языке Python.
Задача звучит так:
Создать целочисленную матрицу А размером МxN и заполнить ее однозначными случайными числами из диапазона от 0 до 9. Матрица должна иметь тип int[,]. Значения М и N вводятся с клавиатуры. Исходную матрицу построчно выдать на экран.
Исключить из матрицы первую строку, имеющую максимальную сумму ее элементов. Новую матрицу построчно выдать на экран. Определение номера первой строки, имеющей максимальную сумму ее элементов, оформить в виде функции.

Буду благодарна за любую подсказку

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 59987 просмотров

Комментировать
Решения вопроса 0
Ответы на вопрос 3

Владимир Куц @fox_12 Куратор тега Python
Расставляю биты, управляю заряженными частицами

>>> import random >>> M,N = 5,6 >>> matrix = [[random.randrange(0,10) for y in range(M)] for x in range(N)] >>> matrix [[0, 3, 1, 3, 5], [5, 8, 8, 0, 5], [8, 9, 8, 5, 2], [7, 7, 3, 9, 9], [0, 1, 1, 3, 8], [5, 1, 1, 4, 6]] >>> for im in range(N): . print matrix[im] . [0, 3, 1, 3, 5] [5, 8, 8, 0, 5] [8, 9, 8, 5, 2] [7, 7, 3, 9, 9] [0, 1, 1, 3, 8] [5, 1, 1, 4, 6] >>> def find_max(m): . max_sum = 0 . index = -1 . for x in range(N): . if sum(m[x])>max_sum: . max_sum=sum(m[x]) . index=x . return max_sum, index . >>> find_max(matrix) (35, 3) >>> max_value,index = find_max(matrix) >>> matrix.remove(matrix[index]) >>> for im in range(N): . print matrix[im] . [0, 3, 1, 3, 5] [5, 8, 8, 0, 5] [8, 9, 8, 5, 2] [0, 1, 1, 3, 8] [5, 1, 1, 4, 6]

ввод с клавиатуры и оформление в виде кода, надеюсь, сделаете сами

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 2 Комментировать

Алексей Перминов @alexsurfer
Программист Python, Django, PostgreSQL, Golang.
Переписал решение в ООП стиле:

import random class Matrix: def __init__(self, row, col): self.n = row self.matrix = [[random.randrange(0, 10) for a in range(col)] for b in range(row)] def print(self): matrix = self.matrix for im in range(len(matrix)): print(matrix[im]) def find_max(self): max_sum = 0 n = self.n m = self.matrix index = -1 for x in range(n): if sum(m[x]) > max_sum: max_sum = sum(m[x]) index = x print("максимум: %s, индекс: %s" % (max_sum, index)) return max_sum, index def remove_max_row(self): matrix = self.matrix n = self.n max_value, index = self.find_max() matrix.remove(matrix[index]) for im in range(n-1): print(matrix[im]) Matrix(5, 5).print() print('-'*100) Matrix(5, 5).find_max() print('='*100) Matrix(5, 5).remove_max_row()

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится 1 Комментировать
programmer1503 @programmer1503

вместо ошибок с созданием матрицы 3 раза при использовании класса
d=Matrix(5, 5);
d.print()
print(‘-‘*100)
#Matrix(5, 5).find_max()
print(‘=’*100)
d.remove_max_row()

Ответ написан более трёх лет назад
Комментировать
Нравится Комментировать
Ваш ответ на вопрос

Войдите, чтобы написать ответ

• Python
• +1 ещё

Как сделать форму с добавлением нескольких элементов на django?

• 1 подписчик
• 3 часа назад
• 24 просмотра

Линейная алгебра на Python. [Урок 1]. Создание Матрицы. Общие понятия

Эта статья открывает список уроков на тему “Линейная алгебра с примерами на Python“ . Мы постараемся рассказать о базовых понятиях линейной алгебры, которые могут быть полезны тем, кто занимается машинным обучением и анализом данных, и будем сопровождать все это примерами на языке Python .

• Матрицы
  • Виды матриц и способы их создания в Python
  • Вектор
    • Вектор-строка
    • Вектор-столбец

    Матрицы

    Матрицей в математике называют объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы, элементами которой являются числа (могут быть как действительные, так и комплексные). Пример матрицы приведен ниже.

    В общем виде матрица записывается так:

    Представленная выше матрица состоит из i-строк и j-столбцов. Каждый ее элемент имеет соответствующее позиционное обозначение, определяемое номером строки и столбца на пересечении которых он расположен: \(a_\)- находится на i-ой строке и j-м столбце.

    Важным элементом матрицы является главная диагональ , ее составляют элементы, у которых совпадают номера строк и столбцов.

    Виды матриц и способы их создания в Python

    Матрица в Python – это двумерный массив, поэтому задание матриц того или иного вида предполагает создание соответствующего массива. Для работы с массивами в Python используется тип данных список (англ. list ). Но с точки зрения представления матриц и проведения вычислений с ними списки – не очень удобный инструмент, для этих целей хорошо подходит библиотека Numpy , ее мы и будем использовать в дальнейшей работе.

    Напомним, для того, чтобы использовать библиотеку Numpy ее нужно предварительно установить, после этого можно импортировать в свой проект. По установке Numpy можно подробно прочитать в разделе “Установка библиотеки Numpy” из введения. Для того чтобы импортировать данный модуль, добавьте в самое начало программы следующую строку

    import numpy as np

    Если после импорта не было сообщений об ошибке, то значит все прошло удачно и можно начинать работу. Numpy содержит большое количество функций для работы с матрицами, которые мы будем активно использовать. Обязательно убедитесь в том, что библиотека установлена и импортируется в проект без ошибок.

    Рассмотрим, различные варианты матриц и способы их задания в Python .

    Вектор

    Вектором называется матрица, у которой есть только один столбец или одна строка. Более подробно свойства векторов, их геометрическая интерпретация и операции над ними будут рассмотрены в “ Главе 2 Векторная алгебра” .

    Вектор-строка

    Вектор-строка имеет следующую математическую запись.

    Такой вектор в Python можно задать следующим образом.

    >>> v_hor_np = np.array([1, 2]) >>> print(v_hor_np ) [1 2]

    Если необходимо создать нулевой или единичный вектор , то есть вектор, у которого все элементы нули либо единицы, то можно использовать специальные функции из библиотеки Numpy .

    Создадим нулевую вектор-строку размера 5 .

    >>> v_hor_zeros_v1 = np.zeros((5,)) >>> print(v_hor_zeros_v1 ) [0. 0. 0. 0. 0.]

    В случае, если требуется построить вектор-строку так, чтобы она сама являлась элементом какого-то массива, это нужно для возможности транспонирования матрицы (см. раздел “ 1.3 Транспонирование матрицы” ), то данную задачу можно решить так.

    >>> v_hor_zeros_v2 = np.zeros((1, 5)) >>> print(v_hor_zeros_v2 ) [[0. 0. 0. 0. 0.]]

    Построим единичную вектор-строку в обоих из представленных для нулевого вектора-строки форм.

    >>> v_hor_one_v1 = np.ones((5,)) >>> print(v_hor_one_v1) [1. 1. 1. 1. 1.]

    >>> v_hor_one_v2 = np.ones((1, 5)) >>> print(v_hor_one_v2) [[1. 1. 1. 1. 1.]]

    Вектор-столбец

    Вектор-столбец имеет следующую математическую запись.

    В общем виде вектор столбец можно задать следующим образом.

    >>> v_vert_np = np.array([[1], [2]]) >>> print(v_vert_np) [[1] [2]]

    Рассмотрим способы создания нулевых и единичных векторов-столбцов. Построим нулевой вектор-столбец .

    >>> v_vert_zeros = np.zeros((5, 1)) >>> print(v_vert_zeros) [[0.] [0.] [0.] [0.] [0.]]

    Единичный вектор-столбец можно создать с помощью функции ones() .

    >>> v_vert_ones = np.ones((5, 1)) >>> print(v_vert_ones) [[1.] [1.] [1.] [1.] [1.]]

    Квадратная матрица

    Довольно часто, на практике, приходится работать с квадратными матрицами . Квадратной называется матрица, у которой количество столбцов и строк совпадает. В общем виде они выглядят так.

    Создадим следующую матрицу.

    В Numpy можно создать квадратную матрицу с помощью метода array() .

    >>> m_sqr_arr = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) >>> print(m_sqr_arr) [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]

    Как вы уже наверное заметили, аргументом функции np.array() является список Python , его можно создать отдельно и передать в функцию.

    >>> m_sqr = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] >>> m_sqr_arr = np.array(m_sqr) >>> print(m_sqr_arr) [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]

    Но в Numpy есть еще одни способ создания матриц – это построение объекта типа matrix с помощью одноименного метода. Задать матрицу можно в виде списка.

    >>> m_sqr_mx = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) >>> print(m_sqr_mx) [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]

    Также доступен стиль Matlab , когда между элементами ставятся пробелы, а строки разделяются точкой с запятой, при этом такое описание должно быть передано в виде строки.

    >>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9') >>> print(m_sqr_mx) [[1 2 3] [4 5 6] [7 8 9]]

    Диагональная матрица

    Особым видом квадратной матрицы является диагональная – это такая матрица, у которой все элементы, кроме тех, что расположены на главной диагонали, равны нулю.

    Диагональную матрицу можно построить вручную, задав только значения элементам на главной диагонали.

    >>> m_diag = [[1, 0, 0], [0, 5, 0], [0, 0, 9]] >>> m_diag_np = np.matrix(m_diag) >>> print(m_diag_np) [[1 0 0] [0 5 0] [0 0 9]]

    Библиотека Numpy предоставляет инструменты, которые могут упростить построение такой матрицы.

    Первый вариант подойдет в том случае, если у вас уже есть матрица, и вы хотите сделать из нее диагональную. Создадим матрицу размера 3 3 .

    >>> m_sqr_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6; 7 8 9')

    Извлечем ее главную диагональ.

    >>> diag = np.diag(m_sqr_mx) >>> print(diag) [1 5 9]

    Построим диагональную матрицу на базе полученной диагонали.

    >>> m_diag_np = np.diag(np.diag(m_sqr_mx)) >>> print(m_diag_np) [[1 0 0] [0 5 0] [0 0 9]]

    Второй вариант подразумевает построение единичной матрицы, ей будет посвящен следующий параграф.

    Единичная матрица

    Единичной матрицей называют такую квадратную матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единицы, а все остальные нулю.

    Создадим единичную матрицу на базе списка, который передадим в качестве аргумента функции matrix() .

    >>> m_e = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] >>> m_e_np = np.matrix(m_e) >>> print(m_e_np) [[1 0 0] [0 1 0] [0 0 1]]

    Такой способ не очень удобен, к счастью для нас, для построения такого типа матриц в библиотеке Numpy есть специальная функция – eye() .

    >>> m_eye = np.eye(3) >>> print(m_eye) [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]]

    В качестве аргумента функции передается размерность матрицы, в нашем примере – это матрица 3 3 . Тот же результат можно получить с помощью функции identity() .

    >>> m_idnt = np.identity(3) >>> print(m_idnt) [[ 1. 0. 0.] [ 0. 1. 0.] [ 0. 0. 1.]]

    Нулевая матрица

    У нулевой матрицы все элементы равны нулю.

    Пример того, как создать такую матрицу с использованием списков, мы приводить не будем, он делается по аналогии с предыдущим разделом. Что касается Numpy , то в составе этой библиотеки есть функция zeros() , которая создает нужную нам матрицу.

    >>> m_zeros = np.zeros((3, 3)) >>> print(m_zeros) [[ 0. 0. 0.] [ 0. 0. 0.] [ 0. 0. 0.]]

    В качестве параметра функции zeros() передается размерность требуемой матрицы в виде кортежа из двух элементов, первый из которых – число строк, второй – столбцов. Если функции zeros() передать в качестве аргумента число, то будет построен нулевой вектор-строка, это мы делали в параграфе, посвященном векторам.

    Задание матрицы в общем виде

    Если у вас уже есть данные о содержимом матрицы, то создать ее можно используя списки Python или функцию matrix() из библиотеки Numpy .

    >>> m_mx = np.matrix('1 2 3; 4 5 6') >>> print(m_mx) [[1 2 3] [4 5 6]]

    Если же вы хотите создать матрицу заданного размера с произвольным содержимым, чтобы потом ее заполнить, проще всего для того использовать функцию zeros() , которая создаст матрицу заданного размера, заполненную нулями.

    >>> m_var = np.zeros((2, 5)) >>> print(m_var) [[ 0. 0. 0. 0. 0.] [ 0. 0. 0. 0. 0.]]

    P.S.

    Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта . Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

    Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas. Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.