Как в матлабе создать передаточную функцию

Как в матлабе создать передаточную функцию

5 -е занятие по MATLAB

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5

Применение функций операционного исчисления

для исследования линейных динамических систем

в системе MATLAB.

Преобразование Лапласа в MATLAB — функция laplace .

1.1. syms x y t ; % задание символьных переменных

f 1 = t ; % зададим функцию-оригинал;

L 1 = laplace ( f 1) % определение изображения по Лапласу от линейной функции;

f 2 = sym (’10’); % функцию f 2 = 10 выражаем в символьном виде;

L 2 = laplace ( f 2) % определение изображения от постоянной;

f 3 = sym (‘3’)* t + sym (‘7’); % оригинал линейной функции;

L 3 = laplace ( f 3) % изображение линейной функции;

f 4 = exp (- t ); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком минус);

L 4 = laplace ( f 4) % изображение экспоненциальной функции ;

f 5 = exp ( t ); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком плюс);

L 5 = laplace ( f 5) % изображение экспоненциальной функции ;

L6 = laplace(exp(t))

L 6 = laplace ( f 6) % изображение тригонометрической функции sin ( x );

L 7 = laplace ( cos ( x )) % изображение тригонометрической функции cos ( x );

Определение. Передаточной функцией линейной динамической системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция в общем случае является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

Условие m £ n отвечает условию реализуемости систем.

Создание передаточных функций — tf . % См. help tf ;

2 .1. Сформируем следующую передаточную функцию W1 :

2.2. В командной строке MATLAB набираем (или создаем М-сценарий):

W1=tf(12,[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

2.3. . Сформируем следующую передаточную функцию W2 :

В командной строке MATLAB набираем:

W2=tf([3 5 4],[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

3 s^2 + 5 s + 4

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

Формирование передаточных функций с разложением на множители числителя и знаменателя с заданным коэффициентом передачи — zpk ( zero — pole — gain ) , символ k отображает gain .

Нули передаточной функции — это корни числителя, полюса — корни знаменателя.

2.4. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, и с полюсами . Назовем ее передаточной функцией с выделенными нулями и полюсами.

В командной строке MATLAB набираем:

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

% Символ [] означает, что в числителе передаточной функции характеристический полином

2.5. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, с полюсами и с нулями .

В командной строке MATLAB набираем:

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

2.6. Взаимное преобразование форм передаточных функций.

2.6.1. Преобразуем полученную передаточную функцию W4 в рациональную форму:

% В командной строке MATLAB набираем:

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

7.7 s^2 + 7.7 s — 154

s^3 + 16.25 s^2 + 45.91 s + 10.48

2.6.2. Преобразуем рациональную передаточную функцию в форму с выделенными нулями и полюсами:

% В командной строке MATLAB сформируем простую передаточную функцию вида :

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

% Полученная передаточная функция соответствует описанию объекта, состоящего из двух последовательно соединенных инерционных звеньев с результирующим коэффициентом передачи, равным 10, и постоянными времени .

% Передаточная функция с выделенными нулями и полюсами w55 :

w55=zpk(W5) % Формат преобразования

Zero/pole/gain:

% Преобразуем рациональную передаточную функцию W2 в форму с выделенными нулями и полюсами:

w22=zpk(W2) % Формат преобразования

Zero/pole/gain:

3 (s^2 + 1.667s + 1.333)

(s+0.4302) (s^2 + 1.57s + 2.325)

% Рассмотренные передаточные функции типа (1) описывают объекты управления с одним входом и одним выходом — системы SISO (single input single output).

2.7. Оценка динамики объекта управления по заданной передаточной функции.

Динамика объекта управления определяется знаменателем передаточной функции, точнее корнями характеристического уравнения, составленного из знаменателя. Если корни характеристического уравнения «левые», то соответствующий переходный процесс будет установившимся, если же корни «правые», то переходный процесс будет неустановившимся, т.е. стремиться к бесконечности (по выходной координате объекта или по всем возможным координатам).

Для расчета корней характеристического уравнения можно использовать функцию eig .

2.7.1. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W5 и w55.

» eig(W5) % W5 — рациональная передаточная функция

» eig(w55) % w55 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами

% Результат получен один и тот же. Форма w55 позволяет сразу определить корни, если

2.7.2. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W2 и w22.

»eig(W2) % W2 — рациональная передаточная функция

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 — 1.3071i

»eig(w22) % w22 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами, получена из W2

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 — 1.3071i

% Получены два комплексных корня и один простой. Простой корень легко может быть определен из передаточной функции w22 .

2.7.3. Передаточные функции с кратными корнями.

Зададим простой корень, равный 6.78 тройной кратности и с помощью zpk сформируем следующую передаточную функцию w66:

% Рассчитаем корни соответствующего характеристического уравнения

% Получены три простых одинаковых корня

2.7.4. Передаточные функции с комплекными корнями.

Комплексные корни входят сопряженными парами.

Зададим один простой корень и два комплесно-сопряженных с помощью zpk .

Zero/pole/gain:

(s+5.7) (s^2 + 10s + 30.29)

% Имеем один простой корень, равный -5.7, и два комплесно-сопряженных: — 5 +2.3 i ; -5-2.3i, где

% i — символ мнимой единицы (можно использовать и j одновременно или совместно) .

Рациональная передаточная функция, соответствующая w77 , будет иметь вид:

Transfer function:

s^3 + 15.7 s^2 + 87.29 s + 172.7

Передаточные функции многомерных систем.

Формирование передаточных функций для многомерных систем ( MIMO — multiple input multiple output) основано на представлении числителя и знаменателя в виде передаточных функций одномерных систем.

1-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf .

— формирование массива ячеек, содержащих многочлены числителя — N;

— формирование массива ячеек, содержащих многочлены знаменателя — D.

Массивы числителя и знаменателя содержат векторы-строки, которые заключаются в фигурные скобки.

3.1. Формирование многомерной передаточной функции, которая описывает объект управления с двумя входами (два управляющих воздействия) для объекта третьего порядка.

% Формируем массив ячеек числителя N

% Формируем массив знаменателя D

% Формируем передаточную функцию многомерной системы М

% Результат возвращается в виде

Transfer function from input to output.

#1: ——- % По первому входу

#2: ————— % По второму входу

2 s^2 + 3 s + 5

2-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf .

Заключается в объединении предаточных функций одномерных систем.

3.2. Сформируем передаточную функцию системы MIMO по известным передаточным функциям систем SISO .

% Первая система SISO имеет передаточную функцию S11

» S11=tf([1 2],[1 3 2]) % Последовательное соединение двух инерционных звеньев

Transfer function:

% Вторая система SISO имеет передаточную функцию S21

» S21=tf([7],[2 1]) % Передаточная функция одного инерционного звена

Transfer function:

% Передаточная функция многомерной системы М2

Transfer function from input to output.

3-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk .

3 .3. Формирование передаточной функции системы MIMO по массиву ячеек.

% Формируем массив ячеек числителя передаточной функции MIMO

% Формируем массив ячеек знаменателя передаточной функции MIMO

% Формируем массив ячеек статического коэффициента передачи MIMO

% Формируем передаточную функцию М3 системы MIMO

» M3=zpk(Z1,P1,K)

% Результат формирования М3 по заданным ячейкам выдается по каждому управлению (которых два) к каждой выходной координате (которых две)

Zero/pole/gain from input 1 to output.

Zero/pole/gain from input 2 to output.

4-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk .

Основан на предварительном формировании с помощью zpk передаточных функций одномерных систем.

3.4. Формирование передаточной функции MIMO по заданным передаточным функциям SISO.

% Формируем первую передаточную функцию SISO

» z1=zpk([1],[-1 -2],2) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

% Формируем вторую передаточную функцию SISO

» z2=zpk([],[-3 -4],4) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

% Формируем третью передаточную функцию SISO

» p1=zpk(2,[-1.2 -2.3],5) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

% Формируем четвертую передаточную функцию SISO

» p2=zpk([],[-3 -5],6) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

% Формируем передаточную функцию MIMO с двумя входами и двумя выходами

» M4=[z1 z2;p1 p2;[]]

Zero/pole/gain from input 1 to output.

Zero/pole/gain from input 2 to output.

% Знак пустого множества [] относится к статическому коэффициенту K передачи системы MIMO . Заполнение коэффициента K должно происходить с учетом количества входов и ли количества входных воздействий. В рассматриваемо случае число столбцов K должно равняться двум.

3.5. Определение корней характеристического уравнения многомерной системы — eig , pole .

Для системы MIMO с заданной передаточной функцией М4 корни соответствующего характеристического уравнения можно определять с помощью функций eig,pole .

% Найдем корни в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

» eig(M4)’ % или можно определить как pole(M4)

-2.0000 -1.0000 -2.3000 -1.2000 -4.0000 -5.0000 -3.0000

3.6. Определение нулей передаточной функции многомерной системы — tzero .

% Найдем нули в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

3.3998 -1.9076 -0.8795 -5.8627

— Сформировать передаточную функцию 4-х последовательно соединенных инерционных звеньев и одного дифференцирующего звена на входе системы.

— Сформировать передаточную функцию 2-х последовательно соединенных колебательных звеньев.

— Сформировать передаточную функцию с последовательным соединением 2-х инерционных и 2-х колебательных звеньев.

— Сформировать передаточную функцию с последовательным соединением трех инерционных звеньев с тремя управлениями, приложенными в различных точках системы.

— Формирование провести с помощью tf,zpk и с произвольными числовыми параметрами звеньев (чтобы они были устойчивыми).

Построение переходных и импульсных характеристик систем, заданных передаточными функциями.

4.1. Переходные характеристики — step .

Определение. Переходной характеристикой (функцией) объекта (системы) управления называется его реакция во времени при воздействии на него единичной функции (единичного скачка) при нулевых начальных условиях.

%Форматы записи step рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» step(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» step(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» step(Z,13,’r*’),grid,hold on,step(W1,’g*’) % Совмещение двух графиков— 1сп.

» step(Z,13,’r*’,W1,’g*’),grid % Совмещение двух графиков — 2-й способ

— Построить переходные характеристики для всех ранее рассмотренных передаточных функций, как систем SISO , так и MIMO/

— Для систем MIMO построить переходные характеристики по каждой выходной координате с соответствующим управлением. Совместить отдельные характеристики в одной системе координат.

4.2. Импульсные характеристики — impulse .

Определение. Импульсной характеристикой (функцией) системы называется реакция системы во времени при воздействии на нее функции Дирака (с бесконечно большой амплитудой и бесконечной малой длительности).

%Форматы записи impulse рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» impulse (W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse (W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» impulse (Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse (Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» impulse (Z,13,’r*’),grid,hold on,step(W1,’g*’) % Совмещение графиков— 1сп.

» impulse (Z,13,’r*’,W1,’g*’),grid % Совмещение графиков — 2-й способ

— Построить импульсные характеристики для всех ранее рассмотренных передаточных функций, как систем SISO , так и MIMO/

— Для систем MIMO построить импульсные характеристики по каждой выходной координате с соответствующим управлением. Совместить отдельные характеристики в одной системе координат.

— Совместить графики соответствующих импульсных и переходных функций.

Документация

Используйте tf создать модели передаточной функции с комплексным знаком или с действительным знаком или преобразовать модели динамической системы в форму передаточной функции.

Передаточные функции являются представлением частотного диапазона линейных независимых от времени систем. Например, считайте непрерывное время динамической системой SISO представленный передаточной функцией sys(s) = N(s)/D(s) , где s = jw и N(s) и D(s) называются полиномом числителя и полиномом знаменателя, соответственно. tf объект модели может представлять SISO или передаточные функции MIMO в непрерывное время или дискретное время.

Можно создать объект модели передаточной функции или путем определения его коэффициентов непосредственно, или путем преобразования модели другого типа (таких как модель в пространстве состояний ss ) к форме передаточной функции. Для получения дополнительной информации смотрите Передаточные функции.

Можно также использовать tf создать обобщенное пространство состояний ( genss ) модели или неопределенное пространство состояний ( uss (Robust Control Toolbox) ) модели.

5. Передаточные функции и уравнения динамики замкнутых систем автоматического регулирования (САР)

Продолжаем публикацию лекций по курсу «Управление в Технических Системах» автор — Олег Степанович Козлов на кафедре Э7 МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Данные лекции готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется. В предыдущих сериях:

Будет как всегда позновательной увлекательно и жестко

5.1. Главная передаточная функция. Передаточные функции по возмущающему воздействию и для ошибки (рассогласования)

Используя структурные преобразования (см. раздел 4), структурную схему практически любой линейной или линеаризованной САР (САУ) можно привести к виду:

Где функции по времени:

– регулируемая величина (выходное воздействие);

Или в изображениях:

Определение: Если единичная обратная связь охватывает все элементы (звенья) САР – она называется главной.

Определение: Если главная обратная связь отсутствует — САР считается разомкнутой.

Передаточная функция может быть любой сложности (т.е. содержать местные обратные связи, параллельные и последовательные цепи и т.д.).

Возмущающих воздействий может быть несколько и приложены они могут быть в любом месте структурной схемы.

Передаточную функцию которую в Теории Управления называют передаточной функцией разомкнутой САР, будем представлять в следующем виде (для единообразия):

где – общий коэффициент усиления; – полиномы по степеням переменной , причем свободные члены в них равны 1 (единице).

Учитывая, что САР линейна или линеаризована, разделим на структурной схеме каналы прохождения управляющего и возмущающего воздействий. Выделим в отдельное звено (может быть и очень сложное) ту часть системы, через которую проходит возмущающее воздействие обозначим ее через Структурная схема САР принимает вид:

В Теории Управления используют 3 основных передаточных функций замкнутой САР:

• главная передаточная функция ;
• передаточная функция по возмущающему воздействию ;
• передаточная функция для ошибки (рассогласования)

Рассмотрим более подробно вышеупомянутые передаточные функции.

Главная передаточная функция

Главная передаточная функция -передаточная функция по управляющему воздействию математическое определение этой передаточной функции:

выведем формулу при условии если возмущеющие воздействие равно . «Обойдем» структурную схемв по контуру:

Примечание. Формула (5.3) совпадает с формулой для передаточной функции цепи с местной единичной обратной связью (см. раздел 4 – «Структурные преобразования»).

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и

Анализ выражения (5.4) показывает, что свойства главной передаточной функции замкнутой САР однозначно определяются свойствами разомкнутой САР, т.е. через полиномы и .

Передаточная функция замкнутой САР по внешнему возмущающему воздействию

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействи , а возмущеющие воздействие отличное от нуля . В этом случае (см. рисунок 5.1.2) получается:

Перрейдем к изображением и «обойдем» схему (см. рис. 5.1.2) по контуру

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

где: — вид данного полинома зависит от места приложения возмущающего воздействия;

Формулы 5.4 и 5.6 имеют общий занаменатель

Передаточная функция замкнутой САР для ошибки (рассогласования)

Дадим математическое определение рассматриваемой передаточной функции если управляющие воздействиt отлично от 0 , а возмущеющие воздействие равно 0 . В этом случае для передаточной функции получается (см. рис. 5.1.2):

Сделаем вывод соответствующих формул, выполнив «обход» по контуру схемы (см. рис. 5.1.2)

Учитывая формулу для главной передаточной функции можно записать выражения для передаточной функции рассоглаосвания:

Подставляя вместо ее выражение через полиномы и получаем:

Опять замечаем, что знаменатель передаточной функции равен полиному следовательно, характерным признаком передаточных функций замкнутой САР является общность знаменателей ! ! !

В Теории Управления выражение имеет «собственное» название: характеристический полином замкнутой САР.

5.2 Уравнения динамики замкнутой САР

Как указывалось в подразделе 5.1, любую замкнутую САР можно привести к виду представленному на рисунке 5.2.1:

Выведены соотношения для 3-х основных передаточных функций замкнутой САР позволяют записать выражения для регулируемой величины в изображениях:

Подставляя значения и через полиномы и разомкнутой САР получаем:

подставим значения для характеристического полинома получим выражение для динамического уравнения замкнутой САР в изображениях:

Переходя к оригиналам получаем символическую форму записи обыкновенного дифференциального уравнения замкнутой САР:

Решение диференциального уравнения состоит из двух частей:

где: — собственная часть, решение однородного дифференциального уравнения ;

— вынужденная часть решения (частное решение), определяемая правой частью уравнения ( 5.2.3 ).

Решения однородного уравнения замкнутой САР:

записываем соответствующее характеристическое уравнение:

находим корни степенного уравнения если все корни уравнения разные:

Обычно находят по виду правой части уравнения (5.2.3) или, используя другие методы (например, метод вариаций постоянных).

Необходимо отметить, что порядок дифференциального уравнения (5.2.3) равен «n», т.е. такой же, как и у разомкнутой САР

если нет возмущающего воздействия, т.к. порядок дифференциального оператора L(p) обычно значительно выше, чем N(p).

По аналогии с выводом уравнения (5.2.3) можно получить уравнение динамики для рассогласования :

подставляя значения и (см. 5.6 и 5.9) получаем:

Уравнение (5.2.5)- уравнение динамики замкнутой САР в ихображениях для рассогласования (ошибки) при наличии управляющего и возмущающего воздействий.

Особенностью данного уравнения (5.2.5) является то, что левая часть его практически совпадает с левой частью (5.2.2), в то время, как порядок правой части заметно выше , т.к. порядок многочленов D (s) и L (s) — одинаков, а порядок N(s) меньше L(s).

Это означает, что внешние воздействия и влияют на более сильным образом.

Дифференциальное уравнение замкнутой САР для ошибки:

Способы решения уравнения ( 5.2.6 ) такие же, как и для уравнения ( 5.2.3 ) .

5.3. Частотные характеристики замкнутой САР.

Наибольший интерес при анализе замкнутых САР имеет АФЧХ замкнутой САР по управляющему воздействию:

где передаточная функция:

Учитывая, что — комплексное число, по аналогии имеем:

Где — вещественная часть функции, — мнимая часть функиции.

На этих рисунках представлен «примерный» вид зависимостей P (w)и Q(w) для «какой-то» замкнутой САР причем P(w) — четная функция, т.е. P(w) = P(-w); Q(w) — нечетная функция, т.е. Q(w) = — Q(-w).

Если известны частотные свойства разомкнутой САР, то можно определить частотные свойства замкнутой САР. Воспользуемся показательной формой для АФЧХ

Где — амплитуда (модуль), — сдвиг фазы (фаза). Подставляя это в (5.3.1), имеем получаем:

Приравнивая чисто вещественные и чисто мнимые части, имеем

Для нахождения амплитуды и сдвига фазы замкнутой передаточной функции как функции от амплитуды и сдвига фазы разомкнутой системы. Разделив (2) на (1) получим:

Сдвиг фазы замкнутой системы через характеристики разомкнутой системы:

Для получения амплитуды замкнутоей системы возведем оба уравнения системы (5.3.5) в квадрат:

складываем эти два уравнения:

Аналогичным образом можно выразить, например, P(w) и Q(w) — характеристики замкнутой САР через u(w) и u(w) — характеристики разомкнутой САР.

Пример

В качестве примера на рисунке 5.4.1 приведена модель помещения, в котором с помощью интегрирующего звена обеспечивается подвод тепла для поддержания температуры. Температура задается в виде ступенчатой функции. В качестве внешнего воздействия используется внешняя температура.

Передаточные функции построены средтвами автоматического анализа. Видно, что знаменатель главной передаточной функции и знаменатель передаточной функции по возмущающиму воздействию одинаковы.

График справа показывает расхождение результаты модели (зеленая линия) и передаточных функций (синит линя) в начале расчета, но потом функции сходятся. Расхождение объясняются разными начальными условиями по производным. Слева тот же самый график, но в это случае начальное состояние определено с помощю загрузки стационарного состояния, полученного предварительным моделированием. В этом случае совпадение модели и передаточных функций полное.

Ссылку на модель примера можено взять здесь.

Как в матлабе создать передаточную функцию

2.4 Содержание отчета

2.4.1 Краткое описание ДНКУ.

2.4.2 Структурная схема модели ОУ с ДНКУ в MATLAB .

2.4.3 Графики переходных процессов, полученные в результате моделирования нескорректированной и скорректированной САУ.

2.4.4 Выводы о работе ДНКУ с разными фильтрами и коэффициентами

2.5 Контрольные вопросы

2.5.1 В чем заключается отличия ДНКУ от ЛКУ?

2.5.2 Как влияют на динамику САУ коэффициенты ?

2.5.3 Для чего предназначены амплитудный и фазовый фильтры ДНКУ?

2.54 Выводы о работе ДНКУ с различными фильтрами и коэффициентами ?

3 Лабораторная работа № 3. Синтез регуляторов с переменной структурой для управления нелинейной системой управления

Цель работы: синтез регуляторов с переменной структурой для управления нелинейной системой управления

3.1 Общие сведения

В последнее время существенно возрос интерес к исследованию систем с переменной структурой (СПС). Это связано с тем, что подобные системы обладают свойством нечувствительности к изменению параметров системы и инвариантности к внешним возмущениям. Задача синтеза в СПС обычно сводится к выбору гиперповерхностей в фазовом пространстве, на которых функции управления будут претерпевать разрывы. При выполнении определенных соотношений, о которых будет сказано ниже, в таких системах с необходимостью возникает специфический вид движения – так называемый скользящий режим (СР). СР – это особое движение САУ , при котором изображающая точка колеблется с бесконечно большой частотой в некоторой малой окрестности гиперповерхности разрыва ( или на пересечении гиперповерхностей). Следует отметить, что движение системы в скользящем режиме описывается дифференциальными уравнениями (ДУ) меньшего порядка, чем собственные движения системы. При этом качественные показатели синтезированной САУ обуславливаются только положением гиперповерхности переключения и не зависят от собственных параметров системы. Рассмотрим условия, при которых в СПС будет существовать скользящий режим.

есть уравнение гиперповерхности переключения.

В этом случае можно рассматривать как отклонение изображающей точки от этой гиперповерхности. Для того чтобы в системе существовал СР, необходимо сформировать управление таким образом, чтобы изображающая точка, один раз попав на гиперповерхность переключения, уже не могла сойти с неё и дальше двигалась только вдоль этой поверхности. Пусть в некоторый момент времени Тогда производная по времени ( скорость изменения ) должна быть отрицательна. В этом случае отклонение от гиперповерхности разрыва будет убывать до нуля, т.е. изображающая точка будет двигаться по направлению к . Пусть изображающая точка перескочила поверхность и теперь . Соответственно должно измениться и значение производной, т.е. должно выполняться условие . В этом случае изображающая точка будет двигаться по направлению к поверхности скольжения. Исходя из всего выше сказанного, можно записать уравнение существования СР

Таким образом, можно выделить 2 стадии в процессе синтеза СПС, работающих в скользящем режиме:

— определение закона управления и выбор поверхности (поверхностей) переключения, на которых функция будет претерпевать разрывы;

— анализ существования в системе СР.

Описанный подход обладает существенным недостатком – до сих пор не существует общих методов, позволяющих выбрать поверхность переключения для нелинейного объекта таким образом, чтобы синтезированная САУ работала в СР. Для преодоления этого недостатка предложено определять выражение для закона управления, исходя из выполнения условия существования СР. Это условие можно представить следующим образом

где — положительно – определенная функция фазовых переменных, такая, что

Уравнение гиперповерхности скольжения выбираем в виде линейной комбинации фазовых координат системы:

где некоторые коэффициенты, определяющие положение гиперповерхности переключения в пространстве.

При движении вдоль гиперповерхности переключения система будет описываться линейным дифференциальным уравнением, соответствующим выражению (3.4)

где производная -го порядка.

Можно заметить, что при движении в скользящем режиме вдоль гиперповерхности (3.4) будет происходить линеаризация нелинейной системы.

Для того чтобы система устойчиво двигалась в скользящем режиме, необходимо выбирать коэффициенты таким образом, чтобы линейное дифференциальное уравнение (3.5) имело устойчивое решение. Для проверки устойчивости можно использовать любой алгебраический критерий (Гурвица, Рауса и другие).

В качестве функции W можно принять норму вектора фазовых координат

Тогда выражение (3.3) с учетом (3.6) примет вид

Если помножить обе части (3.7) на , то можно заметить, что производная

постоянно будет менять знак, противоположный знаку . Таким образом, будет постоянно выполняться условие существования скользящего режима, т.е. система будет входить в СР при любых значениях начальных условий. Теперь рассмотрим синтез закона управления, обеспечивающего существование скользящего режима для существенно нелинейного объекта, описываемого системой дифференциальных уравнений вида

Гиперповерхность выбираем следующего вида

где коэффициент для простоты примем , а коэффициенты и выбираем из условия симметрирования в пространстве гиперплоскости скольжения:

В этом случае будет удовлетворяться условие устойчивости решения соответствующего дифференциального уравнения.

Уравнение гиперповерхности скольжения в этом случае запишется следующим образом:

Полная производная, по времени взятая в силу системы (3.9) и с учетом (3.11), будет иметь вид

Подставим полученное выражение для производной в (3.8), откуда найдем выражение для закона управления

Полученный алгоритм управления содержит в себе операции взятия модуля и присвоения знака, которые легко реализуются с помощью цифровой системы управления. Кроме этого, следует отметить, что нелинейности объекта управления входят в функцию управления непосредственно, т.е. от нас не требуется обращать или дифференцировать нелинейности, входящие в структуру объекта. Это является существенным преимуществом предложенного метода перед другими методами синтеза нелинейных САУ.

3.2 Программа работы

3.2.1 Создание структурной схемы модели системы с переменной

структурой в системе MATLAB

3.2.2 Расчет и набор параметров звеньев СПС.

3.2.3 Анализ переходных процессов на модели СПС.

3.3 Порядок и методика выполнения работы

Модель системы ((3.9) и (3.13)), в качестве примера, набранная в пакете прикладных программ Matlab , представлена на рисунке 3.1.

В соответствии с вариантом задания необходимо получить выражение для оптимального закона управления.

Исходя из полученного закона управления, составить структуру скорректированной замкнутой системы (объект управления и регулятор) и набрать её в пакете Matlab .

Цель моделирования заключается в сравнении динамики работы синтезированной САУ при различных значениях ( )

параметров синтезированного регулятора. Значения коэффициенто рекомендуется принимать следующие:

Для получения более полного представления о динамике процессов, происходящих в синтезированной системе, необходимо снять следующие зависимости: переходной процесс по координате фазовый портрет в плоскости координат и , функцию управления

Объект управления описывается системой дифференциальных уравнений следующего вида: