Какие бывают векторы в mathcad
Матрицы в Mathcad
Векторы и матрицы рассматриваются в программе Mathcad как одномерные и двумерные массивы данных.
Матрица создается с помощью диалогового окна Вставить матрицу (рис. 1.6), которое открывают командой Вставка > Матрица (Insert > Matrix) или первой кнопкой на панели «Матрица» (рис. 1.7). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец. В диалоговом окне задается число строк и столбцов, а после вставки на рабочий лист матрица содержит вместо элементов заполнители, вместо которых следует вставить число, переменную или выражение.
Для матриц определены сложение, умножение на число, перемножение и другие операции. Допустимо использование матриц вместо скалярных выражений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть применены к каждому элементу матрицы, и результат также представляется в виде матрицы:
Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля, что задается системной переменной ORIGIN, и может быть изменено пользователем (например, блок ORIGIN:=1 устанавливает начальный индекс равным единице). Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Индекс (Subscript, xn) на панели инструментов Mатрица (Matrix) или нажатием символа «[» после имени массива (см. приложение «Горячие клавиши»). Индексы двумерных матриц записываются через запятую.
Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки: . Для его ввода используется кнопка Столбец (Matrix Column) на панели инструментов Матрица или соответствующая «горячая» клавиша.
Для задания некоторой последовательности элементов матрицы используют диапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..). Диапазон можно использовать как значение переменной, например х:=0,0.01..1 . Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают.
На рис. 1.8 приведены примеры реализации некоторых операций с матрицами.
Какие бывают векторы в mathcad
• eigenvec(M, z) — возвращает одиночный нормированный собственный вектор, связанный с собственным значением z матрицы M . Собственный вектор приведен к единице длины. Функция eigenvec использует алгоритм обратной итерации.
• eigenvecs(M, [«L»]) — возвращает матрицу, содержащую все нормированные собственные векторы матрицы M . Столбец n результирующей матрицы является собственным вектором, соответствующим собственному значению c номером n, возвращаемому функцией eigenvals . По умолчанию возвращается правый собственный вектор. Функция eigenvecs также может вернуть и левый собственный вектор, удовлетворяющий условию v H · M = z · v H , где H означает транспонирование.
• genvals(M, N) — возвращает вектор вычисленных собственных значений, v i , каждое из которых удовлетворяет обобщенной проблеме собственных значений M · x = v i · N · x для связанных собственных векторов x i .
• genvecs(M, N, [«L»]) — возвращает матрицу, содержащую нормированные собственные векторы, соответствующие собственным значениям в векторе v , возвращаемом функцией genvals . Столбец i этой матрицы является собственным вектором x , удовлетворяющим обобщенной проблеме собственных значений.
• tr(M) — возвращает след матрицы M , т. е. сумму элементов на диагонали матрицы M . Это значение равняется сумме собственных значений.
• M , N — квадратные матрицы равного размера, содержащие вещественные или комплексные числа.
• «L» (необязателен) — строка. «L» означает левый собственный вектор, а «R» — правый. По умолчанию используется значение «R» .
• z — собственное значение матрицы M .
Дополнительные сведения
• Во всех этих функциях используются библиотеки Basic Linear Algebra Subprograms (базовые подпрограммы линейной алгебры, BLAS) и Linear Algebra Package (пакет линейной алгебры, LAPACK) компании Intel.
• Чтобы проверить, является ли матрица вырожденной или близкой к ней, используйте число обусловленности.
• Функция eigenvecs использует разные алгоритмы для симметричных матриц и для матриц общего вида. PTC Mathcad может возвращать непредсказуемые результаты, если к несимметричной матрице будут применены методы для симметричных матриц. Например, значение π не является точным, а следовательно sin( π ) не равняется точно нулю, что может привести к нарушению симметрии матрицы.
• Результаты, возвращенные eigenvals и genvals , сортируются в порядке убывания от самого большого до самого малого. Этот порядок сортировки применяется только к вещественным значениям. Если возвращенные значения являются чисто мнимыми, сортировка не имеет смысла.
• Результаты функций eigenvec и eigenvecs могут не совпадать. Для заданного собственного значения существует бесконечное количество собственных векторов, поэтому результирующий вектор зависит от использованного алгоритма. Каждый собственный вектор для конкретного собственного значения является произведением остальных векторов.
Какие бывают векторы в mathcad
2.2 Операторы и функции для работы с векторами и матрицами
Для работы с векторами и матрицами MathCAD содержит ряд операторов и функций. Введём обозначения: V — вектор; M — матрица; Z — скалярные величины. Ниже приведены операторы для работы с векторами и матрицами.
| Оператор | Набор на клавиатуре | Назначение |
| V1+V2 | V1+V2 | Сложение векторов V1и V2 |
| -V | -V | Смена знака у всех элементов вектора |
| -M | -M | Смена знака у всех элементов матрицы |
| V+Z | V+Z | Сложение вектора V со скаляром Z |
| Z*V,V*Z | Z*V,V*Z | Умножение вектора V на скаляр Z |
| Z*M,M*Z | Z*M,M*Z | Умножение Матрицы М на скаляр Z |
| V1*V2 | V1*V2 | Умножение двух векторов |
| M*V | M*V | Умножение матрицы М на вектор V |
| M1*M2 | M1*M2 | Умножение двух матриц М1 и М2 |
| V/Z | Деление вектора V на скаляр Z | |
| M/Z | Д Деление матрицы М на скаляр Z | |
| M^-1 | Обратная матрица М | |
| M^n | Возведение матрицы М в степень n | |
| \V | Вычисление квадратного корня из V | |
| |M | Вычисление определителя матрицы | |
| V Ctrl! | Транспонирование вектора V | |
| M Ctrl! | Транспонирование матрицы М | |
| V1*V2 | V1 Ctrl*V2 | Скал-умножение векторов V1и V2 |
| V” | Получение комплексно скалярного вектора | |
| M” | Получение комплексно скалярной матрицы | |
| Alt $ V | Вычисление суммы элементов вектора V | |
| V Ctrl — | Векторизация вектора V | |
| M Ctrl — | Векторизация матрицы М | |
| M Ctrl ^ n | Выделение n-го столбца матрицы М | |
| V[n | Выделение n-го элемента вектора V | |
| M[(m,n) | Выделение элементов (m,n) матрицы М |
Под необычным понятием “векторизация” понимается получение проведения математических операций в их скалярном значении над всеми элементами вектора ил матрицы. Векторизация может менять смысл математических выражений и даже превратить недоступное выражение во вполне допустимое. Например, если V-вектор, то выражение cos(V) недопустимо, т.к. аргументом функции cos может быть только скалярная величина однако со знаком векторизации функция cos(V) возвращает вектор, каждый элемент которого есть косинус значения элемента соответствующего исходного вектора V.
Если А и В- векторы, то А*В даёт скалярное произведение этих векторов. Но то же произведение со знаком векторизации создаёт новый вектор, имеющий j-й элемент которого есть произведение j-x элементов векторов А и В.
Существует ряд векторных и матричных функций.
Приведём некоторые из них.
Max(v)- возвращает максимальный элемент
Min(v)- возвращает минимальный элемент
Re(v) -возвращает вектор реальных частей вектора с комплексными переменными
Im(v)-то же для мнимых частей
Приведенные примеры расчёта электрических цепей матричными методами помогут изучить методы расчёта электрических цепей, сводящееся к составлению уравнений Кирхгофа в матричной форме и решение этих уравнений в системе MathCAD.