Найти решение системы дифференциальных уравнений
В данной статье рассмотрим линейные системы дифференциальные уравнений, которые делятся на два вида: однородные и неоднородные. В общем виде они записываются следующим образом $$\begin \frac = a_1 x(t) + b_1 y(t) + f_1(t) \\ \frac = a_2 x(t) + b_2 y(t) + f_2(t) \end,$$где $a_1, b_1, c_1, a_2$ коэффициенты, функции $f_1(t)$ и $f_2(t)$ могут отсутствовать, либо быть константами, $x(t),y(t)$ неизвестные функции, которые требуется найти в качестве решения системы ДУ. Напоминаем, что аналогичная запись $\frac = x'(t)$ и $\frac = y'(t)$.
Если хотя бы один из коэффициентов $f_1(t)$ или $f_2(t)$ не равен нулю, то система называется неоднородной. Если $f_1(t) = f_2(t) = 0$, то система однородная.
Решением системы дифференциальных уравнений называется пара функций $y(t), x(t)$, подстановка которых в систему обращает её в тождество.
Разберём два основных способа решения линейных систем дифференциальных уравнений: метод исключения и метод Эйлера.
Метод исключения
Суть метода в том, что два уравнения сводятся к одному линейному дифференциальному уравнению. Для этого есть примерный алгоритм:
- Находим производную одного из уравнений системы, например, $y»_t$
- В получившейся производной исключаем всё что связано с $x$
- Решаем линейное дифференциальное уравнение относительно $y(t)$
- Подставляем получившийся $y(t)$ в одно из уравнений системы, чтобы найти $x(t)$
Применим метод исключения, чтобы из двух уравнений получить одно. Берем первое уравнение и дифференцируем его по $t$. $$\frac = \frac$$ В получившееся уравнения вместо $\frac$ подставим второе уравнение системы. $$\frac = -2x — 3y$$ Теперь нужно избавиться от $y$, чтобы остались только $x$, и тогда можно будет решить дифференциальное уравнение относительно $x(t)$. Для этого берём первое уравнение системы и получаем из него $$y = \frac+7.$$ Продолжаем решение с учётом полученного $y$ $$\frac = -2x — 3 (\frac+7).$$ После раскрытия скобок и преобразований получаем уравнение $$\frac + 3\frac + 2x = 21.$$ Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его будем искать в виде $x_\text = x_\text + x_\text$.
Сначала находим общее решение однородного уравнения $x_\text$. Для этого отбрасываем правую часть уравнения и составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<-3\pm \sqrt<9-4\cdot 1 \cdot 2>> = \frac<-3\pm 1>,$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = -2.$$ Итак, записываем $$x_\text = C_1 e^ + C_2 e^.$$
Искать частное решение $x_\text$ будем искать методом подбора правой части исходного неоднородного линейного дифференциального уравнения. В данном случае в правой части стоит константа, значит подбор будет в виде $x_\text = A$. Находим первую и вторую производную и подставляем в исходное решаемое уравнение. $$x’_\text = 0, x»_\text = 0$$ $$0 + 3 \cdot 0 + 2 A = 21 \Rightarrow A = \frac.$$ Значит, $x_\text = \frac$.
Записываем окончательно, что $$x(t) = x_\text = x_\text + x_\text = C_1 e^ + C_2 e^ + \frac$$
Теперь зная $x(t)$ можно получить $y(t)$. Для этого нужно вернуться к началу решения и вспомнить, что мы выражали $y = \frac+7$. Таким образом осталось в него подставить полученное решение $x(t)$ $$y(t) = (C_1 e^ + C_2 e^ + \frac)’ + 7 = -C_1 e^ — 2C_2 e^ + 7$$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Решаем методом исключения, то есть два уравнения приводим к одному. Берем производную первого уравнения по $t$. $$x» = (-2y+3t)’_t = -2y’+3$$ Знаем чему равен $y’$ из второго уравнения системы и поэтому его подставляем в получившееся последнее уравнение. $$x» = -2(2x+4)+3 = -4x — 8 + 3 = -4x — 5$$
Переписываем последнее получившееся уравнение в форме линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. $$x» + 4x = -5$$
Общее решение этого уравнения найдем в качестве суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного $x_\text = x_\text + x_\text$. Итак, составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 + 4 = 0$$ $$\lambda_1 = -2i, \lambda_2 = 2i.$$ Так как получились комплексные корни, то общее решение записывается следующим образом $$x_\text = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t.$$ Осталось найти $x_\text$. Для этого воспользуемся методом подбора правой части. Так как она представляет собой константу, то значит $x_\text = A$. Отсюда следует, что $x»_\text = 0$. Подставляя эти данные в дифференциальное уравнение получаем значение $A$. $$0 + 4A = -5,$$ $$A = -\frac.$$
Таким образом можно записать, что $$x(t) = x_\text + x_\text = C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac.$$
Осталось найти функцию $y(t)$. Для этого выразим её из первого уравнения и подставим ранее полученный $x(t)$. $$y = \fract — \frac,$$ $$y = \fract — \frac(C_1\cos 2t + C_2 \sin 2t -\frac)’ = $$ $$ = \frac + C_1 \sin 2t — C_2 \cos 2t.$$
Берем второе уравнение и находим его производную по $t$. $$\frac = \frac+2\frac$$ В полученное равенство вместо \frac подставим первое уравнение системы. $$\frac = 2x+y + 2\frac$$ Осталось избавиться от $x$. Для этого выразим его из второго уравнения системы и подставим в последнее полученное уравнение. $$\frac = 2(\frac — 2y) + y + 2\frac$$ Раскроем скобки и перенесем всё в левую сторону. Затем запишем для удобства $\frac = y’$. $$y» — 4y’ + 3y = 0$$
Получившееся дифференциальное уравнение называется однородным линейным ду второго порядка. Для его решения составляем характеристический многочлен и находим его корни. $$\lambda^2 — 4\lambda + 3 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<4\pm \sqrt<16 - 4 \cdot 1 \cdot 3>> = \frac<4\pm 2>,$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3.$$ Общее решение такого уравнения записывается в виде $$y = C_1 e^ + C_2e^.$$
Так как мы нашли $y(t)$, то теперь можем найти $x(t)$. Для этого подставляем $y(t)$ во второе уравнение системы и выражаем $x(t)$. $$x(t) = \frac — 2y = (C_1 e^ + C_2e^)’ — 2(C_1 e^ + C_2e^)$$ После раскрытия скобок и упрощения остаётся $$x(t) = 3C_1 e^ + C_2 e^t — 2C_1 e^ — 2C_2 e^t = C_1 e^ — C_2 e^t.$$ Вот таким образом находится общее решение системы дифференциальных уравнений $$\begin x(t) = C_1 e^ — C_2 e^t \\ y(t) = C_1 e^ + C_2e^ \end.$$
По условию задания необходимо кроме общего найти частное решение. Для этого берем дополнительные условия из задачи $x(0)=1, y(0)=3$ и подставляем в полученное общее решение, чтобы вычислить константы $C_1$ и $C_2$. $$\begin x(0) = C_1e^-C_2e^0 = 1 \\ y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = 3 \end,$$ $$ \begin C_1-C_2 = 1 \\ C_1 + C_2 = 3 \end \Rightarrow \begin C_1 = 2 \\ C_2 = 1 \end.$$ Теперь зная постоянные можно записать частное решение системы дифференциальных уравнений $$\begin x(t) = 2e^ — e^t \\ y(t) = 2e^ + e^t \end.$$
Метод Эйлера
Примерный алгоритм решения по данному методу следующий:
- Построить матрицу $A$ из коэффициентов дифференциальных уравнений
- Найти собственные значения $\lambda$ и векторы матрицы $\overline$
- Записать общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 $$
Рассмотрим данный метод решения на конкретном примере, так как практика учит лучше, чем теория.
Первым делом нужно составить матрицу, элементы которой равны коэффициентам из правой части системы дифференциальных уравнений. $$A = \begin 2&1 \\ 3&4 \end$$
Далее нужно найти собственные значения матрицы. Для этого необходимо составить характеристический многочлен и вычислить его корни. $$|A-\lambda E| = 0 \Rightarrow \begin 2 — \lambda & 1 \\ 3 & 4-\lambda \end = 0$$
Раскрываем определитель два на два и решаем квадратное уравнение. $$(2-\lambda)(4-\lambda)-3 = 0,$$ $$8-2\lambda -4\lambda+\lambda^2 — 3 = 0,$$ $$\lambda^2 — 6\lambda + 5 = 0,$$ $$\lambda_ = \frac<6\pm \sqrt<36-4 \cdot 5>> = \frac<6\pm 4>,$$ $$\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 5.$$ Зная собственные значения матрицы получим собственные векторы матрицы по формуле $(A-\lambda E)\overline = 0$.
1) Для $\lambda_1 = 1$ имеем $$(A-\lambda_1 E)\overline_1 = 0 \Rightarrow \begin x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 + 3x_2 = 0 \end$$ Видим, что после сокращения второго уравнения на 3 получится, что первое уравнение равно второму. $$x_1 + x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$$ Так как $x_2$ свободный, то положим его $x_2 = 1$. Тогда $x_1 = -1$. Отсюда следует, что первый собственный вектор равен $$\overline_1 = \begin -1 \\ 1 \end.$$
2) Для $\lambda_2 = 5$ имеем $$(A-\lambda_2 E)\overline_2 = 0 \Rightarrow \begin -3x_1 + x_2 = 0 \\ 3x_1 — x_2 = 0 \end$$ Замечаем, что первое уравнение одно и тоже что второе, если домножить на (-1) одно из них. $$3x_1 — x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = \frac$$ Так как $x_2$ свободный, то зададим его $x_2 = 3$. Таким образом $x_1 = 1$. Из этих значений получаем второй собственный вектор $$\overline_2 = \begin 1 \\ 3 \end.$$
Находим общее решение системы дифференциальных уравнений по формуле $$\begin x(t) \\ y(t) \end = C_1 e^ <\lambda_1 t>\overline_1 + C_2 e^ <\lambda_2 t>\overline_2 = $$ $$ = C_1 e^t \begin -1 \\ 1 \end + C_2 e^ \begin 1\\3 \end = \begin -C_1 e^t \\ C_1e^t \end + \begin C_2 e^ \\ 3C_2 e^ \end = $$ $$ = \begin -C_1 e^t + C_2 e^ \\ C_1 e^t + 3C_2 e^ \end \Rightarrow \begin x(t) = -C_1 e^t + C_2 e^ \\ y(t) = C_1 e^t + 3C_2 e^ \end$$
Как решить систему дифференциальных уравнений?
Системы дифференциальных уравнений – традиционный «хедлайнер» темы диффуров, то есть системы ДУ обычно изучаются в последнюю очередь. Всё начинается и всё заканчивается. Первый урок по теме назывался Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений, и вот настала пора заключительной статьи. Слава те Даже прослезился. …Впрочем, это, конечно же, оказалось неправдой – через некоторое время я просто не смог себя сдержать и разобрал задачи с диффурами, а также некоторые методы приближённых вычислений =)
Предполагается, что читатель уже неплохо умеет решать дифференциальные уравнения, в частности, однородные уравнения второго порядка и неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. В системах дифференциальных уравнений нет ничего сложного, и если вы уверенно расправляетесь с вышеуказанными типами уравнений, то освоение систем не составит особого труда.
Существуют два основных типа систем дифференциальных уравнений:
– линейные однородные системы дифференциальных уравнений;
– линейные НЕоднородные системы дифференциальных уравнений.
И два основных способа решения этих систем:
1) Метод исключения. Суть метода состоит в том, что в ходе решения система ДУ сводится к одному дифференциальному уравнению.
2) С помощью характеристического уравнения (так называемый метод Эйлера).
В подавляющем большинстве случаев систему дифференциальных уравнений требуется решить первым способом. Второй способ в условиях задач встречается значительно реже, за всю мою практику я решил им от силы 10-20 систем. Но и его тоже коротко рассмотрим в последнем параграфе данной статьи.
Сразу прошу прощения за теоретическую неполноту материала, но зато я включил в урок только те задания, которые реально могут встретиться на практике. То, что выпадает метеоритным дождем раз в пятилетку, вы вряд ли здесь найдете, и с такими нежданчиками следует обратиться к специализированным кирпичам по диффурам.
Линейные однородные системы дифференциальных уравнений
Простейшая однородная система дифференциальных уравнений имеет следующий вид:
Собственно, почти все практические примеры такой системой и ограничиваются =)
– это числа (числовые коэффициенты). Самые обычные числа. В частности, один, несколько или даже все коэффициенты могут быть нулевыми. Но такие подарки подкидывают редко, поэтому числа чаще всего не равны нулю.
и – это неизвестные функции. В качестве независимой переменной выступает переменная – это «как бы икс в обычном дифференциальном уравнении».
и – первые производные неизвестных функций и соответственно.
Что значит решить систему дифференциальных уравнений?
Это значит, найти такие функции и , которые удовлетворяют и первому и второму уравнению системы. Как видите, принцип очень похож на обычные системы линейных уравнений. Только там корнями являются числа, а здесь – функции.
Найденный ответ записывают в виде общего решения системы дифференциальных уравнений:
В фигурных скобках! Эти функции находятся «в одной упряжке».
Для системы ДУ можно решить задачу Коши, то есть найти частное решение системы, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Частное решение системы тоже записывают с фигурными скобками.
Более компактно систему можно переписать так:
Но в ходу традиционно более распространен вариант решения с производными, расписанными в дифференциалах, поэтому, пожалуйста, сразу привыкайте к следующим обозначениям:
и – производные первого порядка;
и – производные второго порядка.
Решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений с начальными условиями , .
Решение: в задачах чаще всего система встречается с начальными условиями, поэтому почти все примеры данного урока будут с задачей Коши. Но это не важно, поскольку общее решение по ходу дела все равно придется найти.
Решим систему методом исключения. Напоминаю, что суть метода – свести систему к одному дифференциальному уравнению. А уж дифференциальные уравнения, надеюсь, вы решаете хорошо.
Алгоритм решения стандартен:
1) Берем второе уравнение системы и выражаем из него :
Данное уравнение нам потребуется ближе к концу решения, и я помечу его звёздочкой. В учебниках, бывает, натыкают 500 обозначений, а потом ссылаются: «по формуле (253)…», и ищи эту формулу где-нибудь через 50 страниц сзади. Я же ограничусь одной единственной пометкой (*).
2) Дифференцируем по обе части полученного уравнения :
Со «штрихами» процесс выглядит так:
Важно, чтобы этот простой момент был понятен, далее я не буду на нём останавливаться.
3) Подставим и в первое уравнение системы :
И проведём максимальные упрощения:
Получено самое что ни на есть обычное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Со «штрихами» оно записывается так: .
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены различные действительные корни, поэтому:
.
Одна из функций найдена, пол пути позади.
Да, обратите внимание, что у нас получилось характеристическое уравнение с «хорошим» дискриминантом, а значит, мы ничего не напутали в подстановке и упрощениях.
4) Идём за функцией . Для этого берём уже найденную функцию и находим её производную. Дифференцируем по :
Подставим и в уравнение (*):
5) Обе функции найдены, запишем общее решение системы:
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям , :
Здесь из первого уравнения я почленно вычел второе уравнение, более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему линейных уравнений?
Ответ: частное решение:
Полученный ответ достаточно легко проверить, проверку осуществим в три шага:
1) Проверяем, действительно ли выполняются начальные условия , :
Оба начальных условия выполняются.
2) Проверим, удовлетворяет ли найденный ответ первому уравнению системы .
Берём из ответа функцию и находим её производную:
Подставим , и в первое уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет первому уравнению системы.
3) Проверим, удовлетворяет ли ответ второму уравнению системы
Берём из ответа функцию и находим её производную:
Подставим , и во второе уравнение системы:
Получено верное равенство, значит, найденный ответ удовлетворяет второму уравнению системы.
Проверка завершена. Что проверено? Проверено выполнение начальных условий. И, самое главное, показан тот факт, что найденное частное решение удовлетворяет каждому уравнению исходной системы .
Аналогично можно проверить и общее решение , проверка будет даже еще короче, так как не надо проверять выполнение начальных условий.
Теперь вернемся к прорешанной системе и зададимся парой вопросов. Решение начиналось так: мы взяли второе уравнение системы и выразили из него . А можно ли было выразить не «икс», а «игрек»? Если мы выразим , то это нам ничего не даст – в данном выражении справа есть и «игрек» и «икс», поэтому нам не удастся избавиться от переменной и свести решение системы к решению одного дифференциального уравнения.
Вопрос второй. Можно ли было начать решение не со второго, а с первого уравнения системы? Можно. Смотрим на первое уравнение системы: . В нём у нас два «икса» и один «игрек», поэтому необходимо выразить строго «игрек» через «иксы»: . Далее находится первая производная: . Потом следует подставить и во второе уравнение системы. Решение будет полностью равноценным, с тем отличием, что сначала мы найдем функцию , а затем .
И как раз на второй способ будет пример для самостоятельного решения:
Найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
В образце решения, который приведен в конце урока, из первого уравнения выражен и вся пляска начинается от этого выражения. Попытайтесь самостоятельно по пунктам провести зеркальное решение, не заглядывая в образец.
Можно пойти и путём Примера № 1 – из второго уравнения выразить (заметьте, что выразить следует именно «икс»). Но этот способ менее рационален, по той причине, что у нас получилась дробь, что не совсем удобно.
Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений
Практически то же самое, только решение будет несколько длиннее.
Неоднородная система дифференциальных уравнений, которая в большинстве случаев может встретиться вам в задачах, имеет следующий вид:
По сравнению с однородной системой в каждом уравнении дополнительно добавляется некоторая функция, зависящая от «тэ». Функции могут быть константами (причем, по крайне мере одна из них не равна нулю), экспонентами, синусами, косинусами и т. д.
Найти частное решение системы линейных ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
Решение: дана линейная неоднородная система дифференциальных уравнений, в качестве «добавок» выступают константы. Используем метод исключения, при этом сам алгоритм решения полностью сохраняется. Для разнообразия я начну как раз с первого уравнения.
1) Из первого уравнения системы выражаем:
Это важная штуковина, поэтому я её снова замаркирую звёздочкой. Скобки лучше не раскрывать, зачем лишние дроби?
И еще раз заметьте, что из первого уравнения выражается именно «игрек» – через два «икса» и константу.
2) Дифференцируем по обе части:
Константа (тройка) исчезла, ввиду того, что производная константы равна нулю.
3) Подставим и во второе уравнение системы :
Сразу после подстановки целесообразно избавиться от дробей, для этого каждую часть уравнения умножаем на 5:
Теперь проводим упрощения:
В результате получено линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Вот, по сути, и всё отличие от решения однородной системы уравнений, разобранного в предыдущем параграфе.
Примечание: тем не менее, в неоднородной системе иногда может получиться и однородное уравнение.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому:
.
Корни характеристического уравнения опять получились «хорошими», значит, мы на верном пути.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде .
Найдем первую и вторую производную:
Подставим в левую часть неоднородного уравнения:
Следует отметить, что частное решение легко подбирается устно, и вполне допустимо вместо длинных выкладок написать: «Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения: ».
4) Ищем функцию . Сначала находим производную от уже найденной функции :
Не особо приятно, но подобные производные в диффурах приходится находить часто.
Шторм в самом разгаре, и сейчас будет девятый вал. Привяжите себя канатом к палубе.
Подставим
и в уравнение (*):
5) Общее решение системы:
6) Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям :
Окончательно, частное решение:
Вот видите, какая история со счастливым концом, теперь можно безбоязненно плавать на шлюпках по безмятежному морю под ласковым солнцем.
Ответ: частное решение:
Кстати, если начать решать эту систему со второго уравнения, то вычисления получатся заметно проще (можете попробовать), но многие посетители сайта просили разбирать и более трудные вещи. Как тут откажешь? =) Пусть будут и более серьезные примеры.
Пример проще для самостоятельного решения:
Найти частное решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям
Данная задача решена мной по образцу Примера № 1, то есть из второго уравнения выражен «икс». Решение и ответ в конце урока.
В рассмотренных примерах я не случайно использовал различные обозначения, применял разные пути решения. Так, например, производные в одном и том же задании записывались тремя способами: . В высшей математике не нужно бояться всяких закорючек, главное, понимать алгоритм решения.
Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)
Как уже отмечалось в начале статьи, с помощью характеристического уравнения систему дифференциальных уравнений требуют решить довольно редко, поэтому в заключительном параграфе я рассмотрю всего лишь один пример.
Дана линейная однородная система дифференциальных уравнений
Найти общее решение системы уравнений с помощью характеристического уравнения
Решение: смотрим на систему уравнений и составляем определитель второго порядка:
По какому принципу составлен определитель, думаю, всем видно.
Составим характеристическое уравнение, для этого из каждого числа, которое располагается на главной диагонали, вычитаем некоторый параметр :
На чистовике, естественно, сразу следует записать характеристическое уравнение, я объясняю подробно, по шагам, чтобы было понятно, что откуда взялось.
И находим корни квадратного уравнения:
Если характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, то общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид:
Коэффициенты в показателях экспонент нам уже известны, осталось найти коэффициенты
1) Рассмотрим корень и подставим его в характеристическое уравнение:
(эти два определителя на чистовике тоже можно не записывать, а сразу устно составить нижеприведенную систему)
Из чисел определителя составим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
Из обоих уравнений следует одно и то же равенство:
Теперь нужно подобрать наименьшее значение , такое, чтобы значение было целым. Очевидно, что следует задать . А если , то
2) Всё аналогично. Рассмотрим корень и устно подставим его в характеристическое уравнение:
Из чисел определителя составим систему:
Из обоих уравнений следует равенство:
Подбираем наименьшее значение , таким образом, чтобы значение было целым. Очевидно, что .
Все четыре коэффициента найдены, осталось их подставить в общую формулу
Ответ: общее решение:
Для тренировки можете с помощью характеристического уравнения решить Пример 1 (подходит только он) данного урока, тем более, есть известный ответ.
Что делать, когда корни характеристического уравнения являются кратными или сопряженными комплексными? В своей коллекции искал-искал примеры, да так и не нашел. Потом стал вспоминать, а встречались ли мне такие уравнения вообще? Да, встречалось. Один раз много лет назад.
Но что делать, если вам таки попался раритет? Порекомендую неплохую, вполне доступную книгу по диффурам: М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко Дифференциальные уравнения. Можно прямо выделить мышкой авторов, название книги и скопировать их в поисковик. Лично не закачивал (у меня есть бумажная версия книги), но весь серп забит бесплатными предложениями о закачке. В разделе про системы дифференциальных уравнений рассмотрены все случаи решения системы методом характеристического уравнения (методом Эйлера).
Учитывая крайне низкую вероятность встречи с такими уравнениями, не считаю нужным включать их в урок, при необходимости юзайте рекомендованную мной книгу.
Так же редко встречаются системы из трех дифференциальных уравнений с тремя переменными (вспомнил от силы 2-3 примера из личной практики). Поэтому они тоже здесь отсутствуют, переписывать же единичные примеры из каких-то сторонних источников, смысла вообще не вижу.
Надеюсь, ваше плавание в дифференциальных уравнениях было успешным!
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: выразим из первого уравнения системы :
Дифференцируем по :
.
Подставим и во второе уравнение системы:
Характеристическое уравнение:
– кратные действительные корни, поэтому .
Дифференцируем по :
Подставим и в уравнение (*):
Общее решение системы:
Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:
Ответ: частное решение:
Пример 4. Решение: выразим их второго уравнения системы:
Дифференцируем по :
.
Подставим и в первое уравнение:
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:
Характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Очевидно, что частное решение неоднородного уравнения:
Таким образом: .
Дифференцируем по :
Подставим и в уравнение (*):
Общее решение системы:
Найдем частное решение, соответствующее заданным начальным условиям:
Ответ: частное решение:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Как решить систему дифференциальных уравнений
операционным методом?
На дворе знойная пора, летает тополиный пух, и такая погода располагает к отдыху. За учебный год у всех накопилась усталость, но ожидание летних отпусков/каникул должно воодушевлять на успешную сдачу экзаменов и зачетов. По сезону тупят, кстати, и преподаватели, поэтому скоро тоже возьму тайм-аут для разгрузки мозга. А сейчас кофе, мерный гул системного блока, несколько дохлых комаров на подоконнике и вполне рабочее состояние… …эх, блин,… поэт хренов.
К делу. У кого как, а у меня сегодня 1 июня, и мы рассмотрим ещё одну типовую задачу комплексного анализа – нахождение частного решения системы дифференциальных уравнений методом операционного исчисления. Что необходимо знать и уметь, чтобы научиться её решать? Прежде всего, настоятельно рекомендую обратиться к уроку Как решить ДУ операционным методом. Пожалуйста, прочитайте вводную часть, разберитесь с общей постановкой темы, терминологией, обозначениями и хотя бы с двумя-тремя примерами. Дело в том, что с системами диффуров всё будет почти так же и даже проще!
Само собой, вы должны понимать, что такое система дифференциальных уравнений, что значит найти общее решение системы и частное решение системы.
Напоминаю, что систему дифференциальных уравнений можно решить «традиционным» путём: методом исключения или с помощью характеристического уравнения. Способ же операционного исчисления, о котором пойдет речь, применим к системе ДУ, когда задание сформулировано следующим образом:
Найти частное решение однородной системы дифференциальных уравнений , соответствующее начальным условиям .
Как вариант, система может быть и неоднородной – с «довесками» в виде функций и в правых частях:
Но, и в том, и в другом случае нужно обратить внимание на два принципиальных момента условия:
1) Речь идёт только о частном решении.
2) В скобочках начальных условий находятся строго нули, и ничто другое.
Общий ход и алгоритм будет очень похож на решение дифференциального уравнения операционным методом. Из справочных материалов потребуется та же таблица оригиналов и изображений.
С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Решение: Начало тривиально: с помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. В задаче с системами ДУ данный переход обычно прост:
Используя табличные формулы № 1, 2, учитывая начальное условие , получаем:
Что делать с «игреками»? Мысленно меняем в таблице «иксы» на «игреки». Используя те же преобразования № 1, 2, учитывая начальное условие , находим:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение :
Теперь в левых частях уравнений нужно собрать все слагаемые, в которых присутствует или . В правые части уравнений необходимо «оформить» все остальные слагаемые:
Далее в левой части каждого уравнения проводим вынесение за скобки:
При этом на первых позициях следует разместить , а на вторых позициях :
Полученную систему уравнений с двумя неизвестными обычно решают по формулам Крамера. Вычислим главный определитель системы:
В результате расчёта определителя получен многочлен .
Важный технический приём! Данный многочлен лучше сразу же попытаться разложить на множители. В этих целях следовало бы попробовать решить квадратное уравнение , но, у многих читателей намётанный ко второму курсу глаз заметит, что .
Таким образом, наш главный определитель системы:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшая разборка с системой, слава Крамеру, стандартна:
В итоге получаем операторное решение системы:
Преимуществом рассматриваемого задания является та особенность, что дроби обычно получаются несложными, и разбираться с ними значительно проще, нежели с дробями в задачах нахождения частного решения ДУ операционным методом. Предчувствие вас не обмануло – в дело вступает старый добрый метод неопределённых коэффициентов, с помощью которого раскладываем каждую дробь на элементарные дроби:
1) Разбираемся с первой дробью:
2) Вторую дробь разваливаем по аналогичной схеме, при этом корректнее использовать другие константы (неопределенные коэффициенты):
В результате операторное решение системы:
Чайникам советую записывать разложенное операторное решение в следующем виде:
– так будет понятней завершающий этап – обратное преобразование Лапласа.
Используя правый столбец таблицы, перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Подставим полученные изображения в операторное решение системы:
Согласно правилам хорошего математического тона, результат немного причешем:
Ответ:
Проверка ответа осуществляется по стандартной схеме, которая детально разобрана на уроке Как решить систему дифференциальных уравнений? Всегда старайтесь её выполнять, чтобы забить большой плюс в задание.
С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления задачи и ответ в конце урока.
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений алгоритмически ничем не отличается, разве что технически будет чуть сложнее:
С помощью операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, соответствующее заданным начальным условиям.
, ,
Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа, учитывая начальные условия , перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:
Но это ещё не всё, в правых частях уравнений есть одинокие константы. Что делать в тех случаях, когда константа находится сама по себе в полном одиночестве? Об этом уже шла речь на уроке Как решить ДУ операционным методом. Повторим: одиночные константы следует мысленно домножить на единицу , и к единицам применить следующее преобразование Лапласа:
Подставим найденные изображения в исходную систему:
Налево перенесём слагаемые, в которых присутствуют , в правых частях разместим остальные слагаемые:
В левых частях проведём вынесение за скобки, кроме того, приведём к общему знаменателю правую часть второго уравнения:
Систему решим по формулам Крамера.
Вычислим главный определитель системы, не забывая, что результат целесообразно сразу же попытаться разложить на множители:
, значит, система имеет единственное решение.
Таким образом, операторное решение системы:
Иногда одну или даже обе дроби можно сократить, причём, бывает, так удачно, что и раскладывать практически ничего не нужно! А в ряде случаев сразу получается халява, к слову, следующий пример урока будет показательным образцом.
Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей.
Сокрушаем первую дробь:
И добиваем вторую:
В результате операторное решение принимает нужный нам вид:
С помощью правого столбца таблицы оригиналов и изображений осуществляем обратное преобразование Лапласа:
Подставим полученные изображения в операторное решение системы:
Ответ: частное решение:
Как видите, в неоднородной системе приходится проводить более трудоёмкие вычисления по сравнению с однородной системой. Разберём еще пару примеров с синусами, косинусами, и хватит, поскольку будут рассмотрены практически все разновидности задачи и большинство нюансов решения.
Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,
Решение: Данный пример я тоже разберу сам, но комментарии будут касаться только особенных моментов. Предполагаю, вы уже хорошо ориентируетесь в алгоритме решения.
Перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:
Подставим найденные изображения в исходную систему ДУ:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Полученный многочлен не раскладывается на множители. Что делать в таких случаях? Ровным счётом ничего. Сойдёт и такой.
В результате операторное решение системы:
А вот и счастливый билет! Метод неопределённых коэффициентов использовать не нужно вообще! Единственное, в целях применения табличных преобразований перепишем решение в следующем виде:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Подставим полученные изображения в операторное решение системы:
Ответ: частное решение:
Один из немногих случаев, когда я согласен с тем, что метод операционного исчисления действительно проще, чем «обычный» способ решения.
Заключительный, более трудный пример – для самостоятельного изучения:
Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями ,
В данной задаче может возникнуть трудность у финишной ленты – при переходе от изображений к оригиналам. Смотрите концовку Примера 7 статьи Как решить ДУ операционным методом, там подробно закомментировано, что нужно сделать в аналогичной ситуации. Полное решение и ответ уже рядом.
Желающие потренироваться дополнительно, могут решить операционным методом примеры № 1-4 урока Как решить систему дифференциальных уравнений, тем более, там известны правильные ответы. Ну а я отойду заварить еще кофе, перед тем как сверстать эту веб страницу. Действительно усталость накопилась…
Успешной сдачи зачётов и экзаменов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:
Подставим найденные изображения в исходное уравнение:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Примечание: многочлен раскладывается на множители устно, на черновике или прямо в тексте работы. В общем случае требуется решить квадратное уравнение .
Таким образом, операторное решение системы:
Методом неопределенных коэффициентов получим суммы элементарных дробей:
В результате:
Прейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Ответ: частное решение:
Пример 5: Решение: С помощью таблицы преобразования Лапласа перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям:
Подставим найденные изображения в исходную систему:
Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.
Таким образом, операторное решение системы:
Методом неопределенных коэффициентов получим сумму элементарных дробей:
В результате:
Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам:
Частное решение:
Ответ:
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB. Часть 1
В среде MATLAB можно решать системы диффуров с начальными условиями, краевые задачи, а также решать дифференциальные уравнения в частных производных с помощью инструмента PDE toolbox.
В данном обзоре речь пойдет лишь о системах дифференциальных уравнений с начальными условиями, то есть о задаче Коши. В англоязычной литературе это называется Initial Value Problem.
- каким образом записывать системы диффуров
- как задать начальные условия
- временной интервал
- какой получать результат решения для дальнего использования
Решать системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно как в MATLAB, так и в Simulink.
В первую очередь, следует определиться, использовать для решения Matlab и его текстовый редактор, или Simulink, где те же системы дифференциальных уравнений могут быть записаны в виде функциональных блоков.
Выбор ваш должен зависеть от задачи. Если Вы, например, хотите смоделировать какой-либо объект управления, описываемый системой диффуров, то в данном случае имеет смысл использовать именно Simulink, так как Вам, впоследствии, понадобиться синтез, например, системы управления, и Simulink подойдет здесь как нельзя лучше.
А вот если у Вас, например, есть необходимость решать системы диффуров с большим количеством уравнений и неизвестных, или специфика Вашей задачи требует особой и специальной настройки численного метода, а также если вы хотите использовать решение диффура в составе других скриптов MATLAB, то Вам имеет смысл решать дифференциальные уравнения способом, о котором пойдёт речь в этом обзоре.
Рассмотрим синтаксис решателей matlab.В качестве аргументов следует подать правую часть системы в виде MATLAB-функции.
На рисунке показан требуемый вид системы, когда выражены старшие производные.
Системы, чей вид отличается от требуемого, следует преобразовать к таковому.
Если функция простая, то её можно записать прямо в поле аргумента, однако, когда речь идёт о системах уравнений, имеет смысл записывать систему уравнений в виде отдельной функции, в том числе и в виде отдельного м-файла. Об этом мы поговорим чуть позже и на конкретном примере.
Также подается интервал времени, на котором будет найдено решение. Интервал задаётся строкой из двух чисел: начальной величины независимого аргумента t и его конечного значения.
Далее задаются начальные условия. Значения всех неизвестных искомых переменных в начале расчёта задаются в виде столбца соответствующей размерности.
Далее, при необходимости, задаются опции. Вот тут и раскрываются широкие возможности MATLAB по настройке решателя. Помимо управления точностью и величиной шага, имеется возможность обрабатывать данные в процессе вычисления, а также выполнять скрипты по завершению вычисления. Но ещё более полезным является опция отслеживания событий по условию, более подробно поговорим об этом дальше. Также есть другие специальные опции, которые могут быть использованы при решении определённых типов систем.
Вы могли заметить, что название функции — odeXY – это обозначение для всех решателей, которых всего 8 штук. В данном ролике мы пользоваться решателем ode45, соответствующего численному по методу Дормана-Принса 4(5). Этого решателя достаточно для подавляющего большинства задач. Остальные решатели будут подробно рассмотрены в приложении к задачам соответствующих типов позже.
Перейдем к примерам.
Рассмотрим 2 примера:
- решение дифференциального уравнения первого порядка.
- решение системы двух дифференциальных уравнений второго порядка.
В качестве уравнение первого порядка рассмотрим логистическое уравнение Ферхюльста, которое описывает динамику численности популяции. Суть уравнения такова: скорость прироста населения y пропорциональна количеству населения, однако лимитирована максимальной численностью популяции.
Забавный факт: Ферхюльст назвал это уравнение логистическим, и никто до сих пор не знает почему, ибо сам Ферхюльст об этом никому не рассказал.
Решение этого дифференциального уравнения выглядит следующим образом.
Пишем функцию в явном виде, задаём интервал расчёта и записываем начальное условие. Пару слов о записи функции подобным образом. Знак собаки в матлабе является оператором создания функции соответствующих переменных. Вы задаёте аргументы функции и саму функцию через пробел, как показано на рисунке.
Перейдем в окно MATLABа и посмотрим, как это выглядит.
Так выглядит скрипт:
Так выглядит график решения дифференциального уравнения:
В качестве примера решения системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрим шарик, подвешенный на пружине, который ещё и тормозит о воздух.
Уравнения показаны на рисунке. Но вид системы отличается от требуемого, в том числе потому, что в нём присутствуют вторые производные. Для приведения системы в требуемый вид выполним 2 простых шага:
Первое: следует заменить переменные соответствующим образом. Теперь у нас 4 неизвестных. Далее следует преобразовать уравнение с учетом замены. Таким образом, мы имеем систему из четырёх дифференциальных уравнений первого порядка.
Настало время её записать.
Итак, мы имеем систему, параметры, интервал времени и начальные условия. Решим же эту задачу скорее.
В отличие от предыдущего примера, систему четырех уравнений проблематично записать в поле аргумента. Поэтому всю систему будем записывать в отдельную функцию.
Эту функцию можно располагать как в самом скрипте решения в самом его конце, так и в виде отдельного m-файла.
На выходе функция должна представлять собой вектор-столбец, который записывается перечислением компонент через точку запятой как показано на рисунке.
Теперь рассмотрим скрипт самого решения.
На этот раз запишем интервал и начальные условия в виде переменных MATLAB. Интервал, соответственно, в виде строки, а начальные условия – в виде столбца длинной 4.
Сообразно с уже разобранным ранее синтаксисом укажем функцию pendulum_np, интервал времени и начальные условия.
Перейдем теперь в окно MATLAB и посмотрим решение.
Так выглядит скрипт:
Запускаем скрипт и получаем графики:
Зачастую хочется, чтобы одну и ту же систему можно было бы решать с разными параметрами, и при этом не менять их в теле самой функции. И это можно, и даже нужно осуществлять.
На рисунке показана функция MATLAB, которая соответствует движению подвешенного на пружине шара, однако можно заметить, что эта функция теперь имеет на 5 аргументов больше.
Параметры задаются в скрипте, а при вызове функции мы обращаемся к уже известному оператору-собаке, которая превращает функцию семи переменных pendulum_n в функцию двух переменных t и X. Вот и всё.
Я вам очень рекомендую разобраться с тем, как работает оператор-собака. В хелпе он называется function-handle. Разобравшись с ним Вам будет работать в среде MATLAB ещё проще и ещё приятнее.
Вывод: не так страшно решать диффуры
Под конец стоит сказать какие вообще системы дифференциальных уравнений матлаб может решать, а может он решать системы практически любых типов.
Их можно, с одной стороны, разделить по степени жёсткости, а с другой стороны, по структуре самой системы.
Когда уравнения представляют поведение системы, которая содержит ряд быстрых и медленных реакций, то такую систему уравнения можно назвать жесткой. Для жестких задач явные численные методы работают плохо, или не работают вовсе. Примером жесткой задачи может являться протекание тока через клеточную мембрану. На самом деле, чёткого разделения между жесткими и нежёсткими системами не существует. Степень жесткости системы формально определяется через собственные значения матрицы Якоби, но давайте не будем закапываться.
Видеообзор по теме решения систем Д/У доступен по ссылке.