Известно что после разложения на множители

6. Общий множитель, сумма (разность) кубов

один из множителей равен \((c\) + \(d)\). Чему равны другие (другой) множители?

Выбери все возможные варианты:

• c − d
• c 2 − cd + d 2
• 30
• c 2 + cd + d 2
• c 2 − 2cd + d 2
• c 2 + cd − d 2
• c 2 + 2cd + d 2

Нашёл ошибку?

Вы должны авторизоваться, чтобы ответить на задание. Пожалуйста, войдите в свой профиль на сайте или зарегистрируйтесь.

Разложение многочленов на множители

Выражения вида называются многочленами от x степени n (a_n ≠ 0) с действительными коэффициентами, если a_i, i = 0,1,2. n — действительные числа.

Как известно, если комплексное число – корень многочлена, то обязательно и комплексно сопряженное ему число является корнем многочлена. Поэтому их произведение

представляет собой квадратичное выражение.

Таким образом, любой многочлен с действительными коэффициентами всегда можно представить в виде произведения линейных и квадратичных множителей

где , а x₁, . x_s — действительные корни многочлена. То есть, если известны все корни многочлена с действительными коэффициентами, то можно сразу написать его разложение на множители.

Подбор корней многочлена.

В общем случае найти корни многочлена степени n довольно сложная задача, но можно попытаться найти хотя бы один корень x₀. Разделив исходный многочлен на одночлен x-x₀, мы получим многочлен степени n-1. Тем самым мы упростили исходную задачу, так как раскладывать на множители теперь надо многочлен степени n-1. Например, для многочлена третьей степени после деления на x₀ мы получим многочлен второй степени, корни которого найдем, просто решив квадратное уравнение. Существенную помощь в подборе рациональных корней многочлена может оказать следующая теорема.

Теорема. Если многочлен a(x)= a_n*x n + a_n-1*x n-1 + a_n-2*x n-2 + . + a₁*x + a₀, a_n ≠ 0 c целыми коэффициентами имеет рациональный корень x₀ =

(причем эта дробь несократима), то p – делитель свободного члена a₀, а q – делитель старшего коэффициента a_n. Из этой теоремы следует, что если старший коэффициент равен единице, то целые корни многочлена следует искать только среди делителей свободного члена.

Попробуем применить эту теорему для разложения многочлена на множители.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

МНОГО БАЛЛОВ. РЕШИТЕ СРОЧНО. Известно, что после разложения на множители выражения 30c3 − 30d3, один из множителей равен (c − d). Чему равны другие (другой) множители?

точно правильно.А чтобы написать степень,когда пишешь внизу таблички есть знаки,сначала пи,потом еще один значок,нажми на него и выйдет табличка,там написано-математические и справа стрелочка ,нажми и посмотри какие символы там еще есть.

Спасибо)) А точно правильно? И как ты пишешь степень тут в ШЗ?

5 способов разложения многочлена на множители

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты это сделаешь, выражение станет намного проще и ты легко сможешь с ним «разобраться»!

Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

Как этому научиться?

Прочитай эту статью. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова.

Потом объясним все пять способов разложения многочлена на множители.

И затем разберем на примерах как это делать.

Let’s dive right in… (Поехали!) ��

Существует 5 основных способов разложения многочлена на множители:

• вынесение общего множителя за скобки;
• использование формул сокращенного умножения;
• метод группировки;
• метод выделения полного квадрата;
• разложение квадратного трехчлена на множители.

Основные определения (разбираемся со «сложными» словами)

Одночлены

Одночленами могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства»)

Все это – одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлены

Многочлен – это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Множители

Так, ну давай по порядку. Как нетрудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число \( 12\), разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей.

Так \( 12\) мы можем получить, умножив \( 2\) на \( 6\).

А \( 6\), в свою очередь, можно представить как произведение \( 2\) и \( 3\).

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители, те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя.

То есть их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, \( 12=2\cdot 6\), а \( 6=2\cdot 3\)?

Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, \( 2\cdot 2\cdot 3=12\).

Тут \( 2\), еще раз \( 2\) и \( 3\) – это и есть множители, на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил – чтобы облегчить тебе жизнь.

Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них…

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

\( \displaystyle ac+bc=c(a+b)\)

2. Формулы сокращенного умножения

3. Метод группировки

Применяется если преобразование не очевидно. Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

Группируем члены парами, получаем:

4. Выделение полного квадрата

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение \( a^>+bx+c=0\) имеет корни \( _>,\text< >_>\), то его можно записать в виде:

Подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Иначе говоря, \( a\left( b\text< >+\text< >c \right)\text< >=\text< >ab\text< >+\text< >ac\).

Так же можно проделать и обратную операцию, \( ab\text< >+\text< >ac\text< >=\text< >a\left( b\text< >+\text< >c \right)\).

Вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как \( x\) и \( y\), например, так и с числами: \( 6\text< >+\text< >8\text< >=\text< >2\left( 3\text< >+\text< >4 \right)\).

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа \( 12\), ведь все знают, что числа \( 6\), \( 8\) и \( 12\) делятся на \( 2\).

А как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число \( 123\).

Нееет! С калькулятором-то любой сможет, а без него слабо?

А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится на:	Признак делимости числа на данный делитель
2	Оканчивается на: 0, 2, 4, 6, 8
3	Сумма цифр делится на 3
4	Две последние цифры делятся на 4
5	Последняя цифра 5 или 0
7	Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь
9	Сумма цифр делится на 9
10	Последняя цифра – ноль
11	Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Что ж, вернемся к выражению \( 3xy+123y\), может вынести за скобку \( y\) да и хватит с него?

Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ, что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на \( 2\) разделить не удастся.

Можно воспользоваться признаком делимости на \( 3\), сумма цифр \( 1\), \( 2\) и \( 3\), из которых состоит число \( 123\), равна \( 6\), а \( 6\) делится на \( 3\), значит и \( 123\) делится на \( 3\).

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления \( 123\) на \( 3\) получаем \( 41\) (признаки делимости пригодились!).

Таким образом, число \( 3\) мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

\( 3xy\text< >+\text< >123y\text< >=\text< >3y\cdot \left( x\text< >+\text< >41 \right)\).

Чтобы удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях.

Вот тут, например, \( 2^>-16^>+4x\), видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на \( 2\) – снова выносим, смотрим что получилось: \( 2^>-16^>+4x=2x(^>-8x+2)\).

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

А вот здесь можно решить вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком 119 задач на формулы сокращенного умножения!

А вот здесь наше видео о том, какой навык, относящийся к формулам сокращенного умножения является самым сложным и самым важным — выделение полного кавдрата!

Справка.

Эти видео — часть нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике. Можно провести бесплатный «тест-драйв» этого курса. Например, посетить наши пробные вебинары.

В чем суть разложения на множители с помощью формул сокращенного умножения?

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение.

Формулы сокращенного умножения (таблица)

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

• \( \displaystyle 16^>-8b+1\)
• \( \displaystyle -42c+9^>+49\)
• \( \displaystyle <<\left( 5\text\right)>^>-3\)
• \( \displaystyle \frac<\left( 4\text+2\text \right)\cdot \left( 4\text-2\text \right)>^>+4<<\text>^>-16\text>\)
• \( \displaystyle <<\left( 3\text\right)>^>-1\)

Вот что должно было получиться:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

3. Метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

Ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на \( \displaystyle 3\) что-то делится и на \( \displaystyle 5\), а что-то на \( \displaystyle x\) и на \( \displaystyle y\)

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене \( \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>\)­­ ставим член – \( \displaystyle 3xy\) после члена – \( \displaystyle 5x2y\) получаем:

Группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки \( \displaystyle ^>\), а из второй \( \displaystyle 3y\), получаем:

Но это же не разложение!

После разложения должно остаться только умножение, а пока у нас многочлен просто поделен на две части…

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это \( \displaystyle (x-5y)\)

\( \displaystyle (x-5y)\)за скобку и получаем финальное произведение \( \displaystyle (^>-3y)(x-5y)\)

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения \( \displaystyle (x-5y)\), которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: \( \displaystyle ^>-3xy-5^>y+15^>=(^>-3y)(x-5y)\).

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен, представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен \( \displaystyle ^>-4x+2\) в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать.

Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будешь довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно \( \displaystyle 4\) вместо \( \displaystyle 2\).

Представим третий член \( \displaystyle 2\) как разность \( \displaystyle 4-2\), получим: \( \displaystyle ^>-4x+4-2=(^>-4x+4)-2\)

К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ), имеем: \( \displaystyle <<\left( x-2 \right)>^>-2\), к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ), представив \( \displaystyle 2\), как \( \displaystyle \sqrt\), получим: \( \displaystyle (x-2-\sqrt)(x-2+\sqrt)\).

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду.

Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Примеры:

• \( \displaystyle 25^>-49^>;\)
• \( \displaystyle ^>-^>;\)
• \( \displaystyle ^>-^>;\)
• \( \displaystyle ^>+2-3\)
• \( \displaystyle ^>+6x+5;\)

Решения:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

5. Разложение квадратного трехчлена на множители

О разложении квадратного трехчлена на множители смотри далее в примерах разложения.

Примеры 5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки. Примеры

Помнишь, что такое распределительный закон? Это такое правило: \( \displaystyle ac+bc=c\left( a+b \right)\)

Пример 1:

Разложить многочлен на множители \( \displaystyle 10^>-15^>\).

Пример 2:

Разложи на множители \( \displaystyle 12^>-2y\).

Решения двух примеров:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

2. Формулы сокращенного умножения. Примеры

Чаще всего используем формулы разность квадратов, разность кубов и сумма кубов. Помнишь эти формулы? Если нет, срочно повтори тему «Формулы сокращенного умножения»!

Пример 1:

Разложите на множители выражение \( \displaystyle ^>-8^>\).

Пример 2:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>-1\).

Решение примеров 1 и 2:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

3. Метод группировки. Примеры

Иногда можно поменять слагаемые местами таким образом, чтобы из каждой пары соседних слагаемых можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен превратится в произведение.

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle 2^>+^>y-6xy-3^>\).

Решение:

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Регистрация

4. Метод выделения полного квадрата. Примеры

Если многочлен удастся представить в виде разности квадратов двух выражений, останется только применить формулу сокращенного умножения (разность квадратов).

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>+6-7\).

Решение:

Пример:

Разложите на множители многочлен \( \displaystyle ^>-4^>-1\).

Решение:

5. Разложение квадратного трехчлена на множители. Пример

Квадратный трехчлен – многочлен вида \( \displaystyle a^>+bx+c=0\), где \( \displaystyle x\) – неизвестное, \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) – некоторые числа, причем \( \displaystyle a\ne 0\).

Значения переменной \( \displaystyle x\), которые обращают квадратный трехчлен в ноль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена – это корни квадратного уравнения \( \displaystyle a^>+bx+c=0\).

Если не помнишь, как находить эти корни, читай тему «Квадратные уравнения».

Теорема.

Если квадратное уравнение \( \displaystyle a^>+bx+c=0\) имеет корни \( \displaystyle _>,\text< >_>\), то его можно записать в виде: \( \displaystyle a^>+bx+c=a\left( x-_> \right)\left( x-_> \right)\).

Пример:

Разложим на множители квадратный трехчлен: \( \displaystyle 2^>+5x-3\).

Сначала решим квадратное уравнение: Теперь можно записать разложение данного квадратного трехчлена на множители:

\( \displaystyle 2^>+5x-3=2\left( x-\frac \right)\left( x+3 \right)\).

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Добавить комментарий Отменить ответ

17 комментариев

Татьяна Федоровна Архипова :
Разложить на множители x^4+2x+1
Сергей :
Аб+а^2? Разложить
Здравствуйте!
Помогите разложить на множители 128a⁷+b⁷.
Алексей Шевчук :
Света, (2a)⁷+b⁷ = (2a+b)((2a)⁶ — (2a)⁵*b + (2a)⁴ * b² — (2a)³ * b³ + (2a)² * b⁴ — (2a) * b⁵ + b⁶)
Ирина Лаговская :
Все замечательно. Но не могу разложить такое 15а^2 +14ab — 8b^2.
Александр Кель :

Ответ Алексея Шевчука: Ирина, один из вариантов раскладывать подобные выражения — приравнять к нулю и решить квадратное уравнение относительно одной из переменных. Например, если за переменную считать a, то получится: D = 196b^2 + 480b^2 = 676b^2 = (26b)^2 => a = 2b/5 или a = -4b/3. Это даёт нам разложение 15(a — 2b/5)(a + 4b/3) = (5a — 2b)(3a + 4b).

Марьяна :
Прекрасное изложение, спасибо! Успехов и продвижения вам!
Александр Кель :
Спасибо, Марьяна. Очень приятно слышать. И вам успехов и удачи!
1 из 100 сайтов нормальных
Александр Кель :
Спасибо, Захар. Заходите )
Татьяна :
t^2*(t+12)^3-t*(t+12)^12*(t-6)^2 подскажите, пожалуйста, как разложить на множители
Александра Купцова :

Здравствуйте, Татьяна!
Сначала давайте вынесем (t+12)^3, получим:
(t+12)^3(t^2 — t(t+12)^9(t-6)^2)
Смотрим на вторую скобку. Там у обеих частей есть t, вынесем:
t(t+12)^3(t — (t+12)^9(t-6)^2)
Я думаю, вторую скобку разложить больше не получится.

Спасибо за материал, а то везде дальше перечня и формул и примитивных примеров ничего нет. Подскажите, если можно, что делать с числителем.
5х^2-х-4/х^3-1 .

Александр Кель :

Ирина, спасибо за отзыв. Я перешлю Алексею Шевчуку ваш вопрос, но он может не ответить. Сейчас очень загружены ((

Александра Купцова :

Здравствуй, Ирина!
Давай начнем со знаменателя: внизу у тебя разность кубов, распиши ее по формуле (x^3-1^3=(x-1)(x^2+1*x*1^2))
Теперь посмотрим на числитель. Главная хитрость в том, что любой квадратный многочлен ax^2+bx+c (у тебя это 5x^2-x-4) можно представить в виде a(x-x1)(x-x2), где x1, x2 – решения квадратного уравнения.
То есть ты решаешь 5x^2-x-4=0, находишь его корни. Это -0.8 и 1, значит, ты можешь написать, что 5x^2-x-4=5(x-1)(x+0.8)

Александр Кель :

Как круто! Куб в знаменателе я тоже увидел конечно, а вот что делать с числителем не догадался ) Спасибо, Саша!