Что такое deg в математике

Список математических аббревиатур

Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов.

Аббревиатуры

Примечание. Обычно регистр буквы имеет значение.

Латиница

adj — союзная матрица;
Ai — функция Эйри;
arccos — функция арккосинуса;
arccosec — функция арккосеканса (в англоязычной традиции arccsc);
arcctg — функция арккотангенса (в англоязычной традиции arccot);
arcsch — функция гиперболического ареакосеканса (в англоязычной традиции arcosech);
arch — функция гиперболического ареакосинуса (в англоязычной традиции arcosh);
arcth — функция гиперболического ареакотангенса (в англоязычной традиции arcoth);
arcsec — функция арксеканса;
arcsin — функция арксинуса;
arctg — функция арктангенса (в англоязычной традиции arctan);
arg — аргумент комплексного числа;
arg max — аргумент максимизации;
arg min — аргумент минимизации;
arsch — функция гиперболического ареасеканса (в англоязычной традиции arsech);
arsh — функция гиперболического ареасинуса (в англоязычной традиции arsinh);
arth — функция гиперболического ареатагенса (в англоязычной традиции artanh);
Aut — группа автоморфизмов модели;
Bi — функция Эйри второго рода;
card — мощность множества;
ch — функция гиперболического косинуса (в англоязычной традиции cosh);
char — характеристика кольца;
Ci, ci, Cin — функции интегрального косинуса;
cl — топологическое замыкание;
cod — область значений функции;
const — константа;
cos — функция косинуса;
cosec — функция косеканса (в англоязычной традиции csc);
cov — ковариацияслучайных величин;
csch — функция гиперболического косеканса(в англоязычной традиции cosech);
ctg — функция котангенса (в англоязычной традиции cot);
cth — функция гиперболического котангенса (в англоязычной традиции coth);
D — дисперсия случайной величины (в англоязычной традиции var);
def — дефиниция;
deg — степень многочлена (также обозначается как ∂);
del — оператор набла (также обозначается как, однако обычно отдельно не употребляется);
det — определитель матрицы или линейного преобразования (также обозначается как $|\cdot|$ );
diag — диагональная матрица;
dim — размерностьвекторного пространства;
div — дивергенция векторного поля (также обозначается как $\nabla\cdot$ );
dom — область определения функции;
End — эндоморфизм модели;
Ei — интегральная показательная функция;
erf — функция ошибок;
erfc, Erf — дополнительная функция ошибок;
exp — экспоненциальная функция;
ext — внешность топологии;
Gal — группа Галуа (также обозначается как Γ);
НОД — наибольший общий делитель (в англоязычной традиции gcd, hcf);
grad — градиент поля (также обозначается как $\nabla$ );
id — тождественное отображение;
Im — мнимая часть комплексного числа или образ (также обозначается как $\Im$ );
inf — точная нижняя грань;
int — внутренняя точка множестваили внутренность множества;
Ker — ядро;
lb — двоичный логарифм (log₂);
НОК — наименьшее общее кратное (в англоязычной традиции lcm);
lg — десятичный логарифм (log₁₀) или двоичный логарифм (log₂);
Li, li — функция интегрального логарифма;
lim — предел последовательности или функции;
ln — натуральный логарифм, log_e;
log — логарифм;
logit — обратная к логистической функции;
max — максимум функции или множества;
min — минимум функции или множества;
QED — что и требовалось доказать или quod erat demonstrandum;
probit — нормальная квантильная функция;
Re — действительная часть комплексного числа (также обозначается как $\Re$ );
Rk — ранг матрицы (также обозначается как Rg, Rang, Rank);
rot — ротор векторного поля (также обозначается как $\nabla\times$ , только в англоязычной традиции curl);
sch — функция гиперболического секанса (в англоязычной традиции sech);
sec — функция секанса;
sgn — функция сигнум (также обозначается как sign);
Si, si — функция интегрального синуса;
sin — функция синуса;
sh — функция гиперболического синуса (в англоязычной традиции sinh);
Sp — см. Tr;
span — линейная оболочка;
sup — точная верхняя граница множества (в англоязычной традиции lub);
supp — носитель функции;
Sym — симметрическая группа;
tg — функция тангенса (в англоязычной традиции tan);
th — функция гиперболического тангенса (в англоязычной традиции tanh);
Tr — след поля или след матрицы или линейного преобразования (также обозначается как Sp);
WO — Вполне упорядоченное множество; [источник не указан 768 дней]
ZF — аксиомы Цермело — Френкеля теории множеств;
ZFC — аксиомы Цермело — Френкеля с аксиомой выбора теории множеств.

Греческий алфавит

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Готический алфавит

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Об одном классе неприводимых многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Галиева Л. И., Галяутдинов И. Г.

Работа посвящена нахождению неприводимых многочленов с рациональными коэффициентами, корнями которых являются числа вида coskn/π, где k,n взаимно простые натуральные числа.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ON ONE CLASS OF IRREDUCIBLE POLYNOMINALS

The article is devoted to finding irreducible polynominals with rational coefficients and roots coskn/π, where k,n are mutually prime natural numbers.

Текст научной работы на тему «Об одном классе неприводимых многочленов»

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ НЕПРИВОДИМЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Работа посвящена нахождению неприводимых многочленов с рациональными коэффициентами,

корнями которых являются числа вида cos , где k, n — взаимно простые натуральные числа.

Приведем основные определения и факты, которые будут использованы ниже [1].

Число t называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена f (x) с рациональными коэффициентами. Среди таких многочленов найдется единственный нормированный многочлен p (x) наименьшей степени, который называется минимальным многочленом алгебраического числа t. deg p (x) называется степенью алгебраичности числа t. Все корни минимального многочлена называются сопряженными числами к числу t.

Если для многочлена p(x)e □ [x] число п

cos— является корнем, то ему присвоим индекс n

n. По этому соглашению p1 (x) = x +1,

p2 (x) = x, p3 (x) = 2x -1.

Аналогично, qn (x) e □ [x] будет означать,

что qn ^cos—j = 0. В частности, q1 (x) = x -1,

Пусть Tn (x), n = 0,1,2. — многочлены Чебышева [2]. Как известно, они обладают свойством Tn (cosa) = cosna и вычисляются по рекуррентной формуле Tn+1 (x) = 2xTn (x) — Tn_1 ( x),

T0 (x) = 1, T1 (x) = x , n = 1,2,3. Приведем примеры нескольких таких многочленов:

T2 (x) = 2×2 -1, T3 (x) = 4×3 — 3x,

T4 (x) = 8×4 — 8×2 +1, T5 (x) = 16×5 — 20×3 + 5x,

T6 (x) = 32×6 — 48×4 + 18×2 -1,

T7 (x) = 64×7 -112×5 + 56×3 — 7x .

Для многочленов Чебышева, pn (x) и qn (x) справедливы соотношения

pk (Tn (x)) = pn (x), qk (Tn (x)) = qkn (x) (1)

Действительно, в силу свойств многочленов Tn (x) и pk (x) имеем

= pk I cos k I = 0 и в то же время

pn I cos— | = 0. Полученные равенства означа-

pk (Tn (x)) = pim (x) . Аналогично доказывается,

что q, (Tn (x)) = q,n (x) .

В силу формулы (1) многочлены pn (x) и qn (x) могут быть вычислены несколькими способами. Например, число cosiS является корнем

многочленов pi (Т18 (x)) , p2 (Т; (x)), p3 (тб (x)) с

различными степенями. Особый интерес среди них представляют многочлены наименьшей степени. Алгоритм нахождения таких многочленов следует из теорем 1, 2 и 3.

Теорема 1. Пусть n = 2k +1 — натуральное число и p — функция Эйлера. Тогда имеется многочлен pn (x) є □ [x] степени ip(n) с корнями sn

чения, взаимно простые с n.

Теорема 2. Пусть n = 2k +1 — натуральное число и p — функция Эйлера. Тогда имеется многочлен qn (x) є □ [x] степени ) с корнями

ния, взаимно простые с n.

Теорема 3. Пусть n = 2k — натуральное число и P — функция Эйлера. Тогда имеется многочлен

pn (x) є □ [x] степени p(n) с корнями cos — ,

Доказательство теорем 1 и 2 приведено в ра- Но в нашем случае НОД(2,к) = 1. Поэтому

боге [3]. Заметим, 1гго многочлены р(х) н р(„) = р(2к) = р(2)р(к) = р(к) . Тогда

д.(х), о которых говорися в зпта теорема, свя- р^ ^ (х)) = р( к ) = р( 2к) = р( п) = deg р, (х).

тт имеют одинаковые корни. Отсюда следует, что

Доказательство теоремы 3 проведем индук- ,-,ч

равенство (3) имеет место и в том случае, когда

цией по к . При к = 1 имеем р2 (х) = х, сое— — п = 2к и к — нечетное число.

2 Теорема 3 доказана.

его к°ренц deg р2 (х) = 1 = р(2). Если к = 2, то Справедлива также.

р4 (х) = 2х2 -1, deg р4 (х) = 2 = р(4). Корнями Теорема 4. Многочлены рп (х) и дп (х), поп 3п строенные в теоремах 1, 2 и 3, неприводимы над

р4(х) являются числа с08~ и со§_^. Предпо- полем □ рациональных чисел.

члены рт (х)є □ [х], deg рт (х) = р(т) и корня- п п

— первообразный корень п -ой степени из 1. Как

иґМТҐ \ 1 т а “ члена Ф„ (х) деления круга [2], степень которого

НОД ($, т ) = 1. Требуется найти многочлен п\ / « п 1 ^

/ \ ,, „ равна р(п), является алгебраическим числом

рп (х) с перечисленными в теореме 3 свойствами ґ п г

при п = 2к степени р(п) . Поэтому □ (ип) — расширение

индуктивному предположению имеется много- 2п ( 2п’\

член рк (х) такой, что аеврк (х) = р(к) и числа = 2со§— и расширение □ <Уп) = □ I со*— I •

Vn = un + un-1 п0лучаем un2 =Vnun — i, т.е. un — к0-

Построим многочлен рк (Т2 (х)) и покажем, что он является искомым многочленом. Действительно, аеврк (2 (х)) = 2аеврк (х) = 2р(к) = коэффициентами из расширения □ (уп) • Значит,

рень многочлена / (х) = х2 -Упх +1 степени 2, с

= р(2к) = р(п) = deg рп (х) . Здесь учтено, что ес-

тельно, поле и (ип) содержит комплексные числа, а в поле □ (уп ) нет комплексных чисел. Таким образом, ст (□ (ип): □ (уп)) = 2. Но

ст (□ (ип ) : 0 ) = р(п ) = ст (□ (ип ) (У ))Х

хст (□ (уп): □ ) = 2ст (□ (уп): □ ) . Значит,

, ч . /, ч т, Но эта степень не может быть меньше 2, так

ли к — четное число, то р(2к) = 2р(к). Кроме , ч , ч

как поля □ уп) и □ (ип) не совпадают. Действи-

того, многочлены рк (Т (х)) и рп (х) имеют од- _ / ч

^ ; тельно, поле и (ип) содержит

ни и те же корни. Это означает, что

рп (х) = рк (Т2 (х)) , п = 2к . (3)

Таким образом, в случае п = 2к, к — четное теорема 3 доказана. ст (□ (ип): □ ) = р( п) = ст (□ (ип): □ (уп))

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть теперь п = 2к и к — нечетное число.

Тогда, в силу теоремы 1, имеется многочлен

рк (х) с корнями со8^, где нечетное $ < к и ст (□ (уп): □ ) = -^р(п) .

НОД ($, к) = 1, причем deg рк (х) = ~Р(к). По- Итак, установлено, что уп = 2со8— — алгеб-

строим многочлен рк (т2(х)) и убедимся, что он раическое число степени -р(п) .

является искомым многочленом. 2

Имеем Рассмотрим многочлены дп (х), рп (х) при-

deg р„ (Г, (х )) = 2deg р, (х ) = 2±р(к ) = р(к). ве®»»ые в теоРе“ах ‘• 2’ 3‘

1. По теореме 2 имеем, что при . = 2k +1

многочлен qn(x) имеет корень cos—, причем

deg qn (x) = ^p(n) . Как показано выше,

—V. = cos— — алгебраическое число степени

ip(n) = deg qn (x) . Это означает, что многочлен

qn (x) — неприводим над полем □ .

2. По теореме 1, при n = 2k +1 многочлен

pn (x) имеет корень cos— = cos— и

degpn (x) = 1-p(n). Из сказанного выше имеем,

что степень числа cos— равняется

-2p(2n) = -2p(n) = degpn (x) . Значит, многочлен

pn (x) — неприводим над полем □ .

3. В силу теоремы 3 при n = 2k имеем, что deg pn (x) = p(n), а корнем многочлена pn (x)

является число cos— = cos—. Степень этого n 2n

числа равняется -^(2.) = p(n) = deg pn (x). Значит, многочлен pn (x) — неприводим над полем

Замечание. Если n — нечетное простое число,

то неприводимость многочленов p2n (x) и pn (x)

можно доказать и другим способом. Покажем это.

Из равенства p2 (Tn (x)) = Tn (x) следует, что корнями многочлена Т. (x) являются числа

tk = cos——п, где k = 1,2, к, n. Поэтому

Tn (x) = P2 (x)DP2n (x) = xP2n (x). Но при пр0ст0м n все коэффициенты многочлена Tn (x), за исключением старшего, делятся на n. Отсюда следует, что к многочлену p2n (x) можно применить

критерий Эйзенштейна. Значит, p2n (x) неприводим над полем □ и cos — — алгебраическое

число степени p(2n). Тогда, изучая степени расширений в последовательности

□ с □ I cos— I с □ [ cos—

□ I cos— I:□ =—p(2n) = — cp(n). В силу то-

го что степень расширения совпадает со степенью алгебраичности примитивного элемента,

t = cos — алгебраическое число степени 1p(n). В тоже время t — корень многочлена pn (x), причем deg pn (x) = 1p(n), т.е. степень алгебраичности числа t совпадает со deg pn (x). Это означает, что pn (x) неприводим над полем □ .

1. Найти неприводимый многочлен p12 (x) , корнем которого является число t = cos-—. Степень искомого многочлена p12 (x) равна

p(12) = 4. По формуле (3) имеем

p12 (x) = p6 (T2 (x)) . Но в силу формулы (1) многочлен p12 (x) может быть вычислен и другими способами. В частности, p12 (x) = p3 (T4 (x)) = = 2T4(x)-1 = 2(8×4 -8×2 +1)-1 = 16×4 -16×2 +1.

По теореме 4 этот многочлен является неприво-

димым, а его корни — cos—, cos—, cos— и

2. Найти неприводимый многочлен p14 (x) ,

корнем которого является число t = cos 14. При

к = 7 формула (3) принимает вид p7 (T2 (x)) = p14 (x). Учитывая, что

p7 (x) = 8 x3 — 4×2 — 4x +1, получаем

p14 (x) = 64×6 -112×4 + 56x — 7. Имеем

deg p14 (x) = 6 = p(14) и многочлен p14 (x) — неприводим по теореме 4, а его корнями являются

числа cos к—, к = 1,3,5,9,11,13.

Заметим, что в неприводимости многочлена p14 (x) можно убедиться и по критерию Эйзенштейна (при p = 7).

1. Математическая энциклопедия. М., 1977. Т.1.

2. Прасолов В.В. Многочлены. МЦИМО, 2003. зование в техническом вузе в XXI веке. Вып.2.

3. Галиева Л.И., Галяутдинов И.Г. Нахождение сте- Набережные Челны, 2008. пени одного класса алгебраических чисел // Обра-

ON ONE CLASS OF IRREDUCIBLE POLYNOMINALS

The article is devoted to finding irreducible polynominals with rational coefficients and roots cos —,

where k, n are mutually prime natural numbers.

высшая-алгебра — Степени многочленов

а вопрос-то в чем? Вы знаете определение deg? А как складывать и умножать многочлены, понимаете?

(24 Сен ’15 13:52) knop

Степень произведения равна сумме степеней сомножителей не выполняется для конечных колец. Более правильно Deg(PQ) не превышает degP +degQ

(24 Сен ’15 13:57) Lyudmyla

@knop знаю, но тождества не такие тривиальные если их строго доказывать

(24 Сен ’15 13:59) sapere aude

@Lyudmyla Уточню, что для меня актуально поле нулевой характеристики, точнее — R

(24 Сен ’15 14:02) sapere aude

@sapere aude: эти утверждения абсолютно тривиальные, на уровне школьной программы. Единственное, что надо заметить, это то, что второе равенство верно для многочленов над полем (в частности, в школьном случае). В более общей ситуации — для многочленов над кольцами без делителей нуля. Там используется тот факт, что старшие коэффициенты при перемножении не могут дать 0.

Если Вы видите в доказательствах какие-то трудности, то имеет смысл это понимание изложить, чтобы стала ясна суть проблемы.

(24 Сен ’15 14:07) falcao

@falcao Ну, потому что Вы предлагаете нестрогое доказательство, а я пытаюсь сделать через понятие несократимой записи и индукцией по степени Q для фиксированного P, так как хочется полной строгости.

(24 Сен ’15 22:10) sapere aude

@sapere aude: я не сторонник таких подходов. Здесь всё на самом деле очевидно. Конечно, можно как-то повысить требования, что с практической точки зрения интереса не представляет и не делает доказательства более убедительными. Но из чисто спортивного интереса такого рода подход возможен. Тогда должно быть дано точное описание «формальной системы», в рамках которой разрешается рассуждать. Пока его нет, говорить о строгости я считаю неуместным, потому что строгость подразумевает строгое соблюдение явно заданных правил, а не что-то иное.

(24 Сен ’15 22:35) falcao

@falcao не уверен насчет правил, но ведь можно как-то доказать именно через понятие несократимой записи многочлена

(24 Сен ’15 23:06) sapere aude

@sapere aude: конечно, можно! Хотя это далеко не единственный подход. Но именно в таком ракурсе всё очевидно: мы складываем все одночлены, и если их степени не превосходили n, то в результате приведения подобных членов ничего нового не появится (хотя что-то может исчезнуть). Разве это не есть очевидное (и при этом строгое на том же уровне, на котором строятся многочлены) соображение? А при перемножении мы ссылаемся на общий дистрибутивный закон, который доказывается ранее при помощи индукции.

Группа характеров и мультипликативные функции на торе Текст научной статьи по специальности «Математика»

В статье дается описание группы характеров и ее некоторых подгрупп, найдена связь с многообразием Якоби . Найдены размерности и построены базисы в пространстве голоморфных мультипликативных функций и голоморфных дифференциалов Прима для любого порядка на торе.

Читать:

Как вставить текст из пдф в ворд без форматирования

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

GROUP OF CHARACTERS AND MULTIPLICATIVE FUNCTIONS ON TORUS

In this article given a description for group of characters and her some subgroups. Connections their with Yacobi variety on torus are established. Dimensions and basics for space of holomorphic multiplicative functions and holomorphic Prymdifferentials for every orders on torus are obtained.

Текст научной работы на тему «Группа характеров и мультипликативные функции на торе»

ГРУППА ХАРАКТЕРОВ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТОРЕ

GROUP OF CHARACTERS AND MULTIPLICATIVE FUNCTIONS ON TORUS

Автор поддержан грантом ФЦП, №02.740.11.0457.

В статье дается описание группы характеров и ее некоторых подгрупп, найдена связь с многообразием Якоби. Найдены размерности и построены базисы в пространстве голоморфных мультипликативных функций и голоморфных дифференциалов Прима для любого порядка на торе.

In this article given a description for group of characters and her some subgroups. Connections their with Yaco-bi variety on torus are established. Dimensions and basics for space of holomorphic multiplicative functions and ho-lomorphic Prymdifferentials for every orders on torus are obtained.

Ключевые слова: группа характеров на торе, дифференциал Прима, дивизоры, многообразие Якоби.

Keywords: group of characters on torus, Prym differential, divisors, Yacobi variety.

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случая специальных характеров на компактной римановой поверхности нашла приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики. На торе такие функции изучались в работах П. Аппеля, Е. Лакруа, А. Форсайта [1 — 4], где были получены формулы разложения в сумму и произведение элементарных мультипликативных функций, а также найден общий вид таких функций. В дальнейшем, как правило, теория таких функций строилась на компактной римановой поверхности рода д > 2 (Ф. Прим, Г. Рост, П. Аппель, Х. Фаркаш, И. Кра, Р. Ганнинг [3; 4]). Гиперэллиптические поверхности и, в частности, тор, находят даже большее приложение в современной математике, чем в случае д > 2 . Это связано с тем, что на них можно строить явно такие функции и дифференциалы Прима, в отличие от общего случая, где в основном встречаются только теоремы существования.

Цель настоящей работы — опиисать группу характеров и ее некоторые подгруппы, связь с многообразием Якоби для тора. Найти размерности и построить базис в пространстве голоморфных мультипликативных функций и дифференциалов Прима для любого порядка на торе.

§ 1. Предварительные сведения

Пусть Е будет компактная риманова поверхность рода д = 1, Е = , где Г — группа с двумя

образующими: а1(г) = г + 1, Ь1(г) = г + т,

1т т > 0. Фундаментальная группа для поверхности Б имеет следующее алгебраическое представление: р1(Е) @ Г = (а1,Ь1 : [а^^] = .В дальней-

шем будем отождествлять а1, Ь1 с петлями канонического базиса в р1 (Е). Характер р на Б это произвольный голоморфизм Г в С* = С \ . Он одно-

значно определяется либо вектором

(p(a1),p(b1)) е [С*]2, либо через отображение

К : C2 ^ Hom(Y,С*) по правилу C2 э (x,y) ^ pxy е Hom(G,С*), где pxy (a1) = exp 2pix, pxy (b1) = exp2py. Характер p е Hom(G,С*) называется несущественным, если существует с е C, такая, что

p(a1) = exp2pic, p(b1) = exp2pic¡i, где для канонического базиса Z1 голоморфных абелевых дифференциалов на римановой поверхности F двойственного к имеем I z. = ‘, I z1 = m . Несуще-a1 b1

ственные характеры образуют подгруппу Lb которая биективно отображается на множество

Мультипликативной функцией f на F для p называется однозначная мероморфная функция w = f (z) на C, удовлетворяющая условиям:

f (z + 1) = p(a1)f (z), f (z + m) = p(b1)f (z).

Если f0 — мультипликативная функция на F без

нулей и полюсов, то dfl = d(logf0) — голоморфный

абелев дифференциал на F.

Отсюда — = d(log f0) = cZ1, а значит:

где с е С, Р, Р0 е Е, и Р0 — фиксированная точка. Эту функцию /0 назовем мультипликативной единицей на поверхности Б для р.

Определение. q — дифференциалом Прима Ф относительно группы Г для р, т. е. (р, д) — дифференциалом, называется дифференциал Ф(г)йгд, такой, что Ф(Тх) (Т’ г)д = Ф(х)р(Т), г Є С, Т Є Г.

Дивизором Б называется выражение вида Б = Р’^. Ра , где Р“1. Ра — точки на Р, а а1. ат являются целыми числами. Обозначим через гр(Б-1) и і -(Б) пространства функций для р кратных дивизору Б-1 и 1-дифференциалов для р-1 кратных дивизору Б соответственно. Также степень deg Б = а1 + . + ат.

Теорема (Римана-Роха для характеров) [1; 3]. Пусть Р — компактная риманова поверхность рода один. Тогда для любого характера р, р ^ 1 верно

равенство гр(Б ^ = degБ + ір_1(Б).

Теорема (Римана-Роха для д — дифференциалов и характеров) [1]. Для любого д Є Z верно

(D) = deg D + i((^Z~) = — deg D + r((f ^Z

Eaj ITPjPo -Eßj I TQjPo + 2pic11Z1

P al P a D = Pl » m

і , a-ß- Є N степени нуль на

торе F будет дивизором для мультипликативной функции:

для некоторого нормированного характера

р(а>1) = ехр2тс, р(Ь1) = ехр‘рі(ст + і), і , не принадлежит Z, и Ф( г) — эллиптическая функция для Г, а Н(г)а(г) — классические функции Вейер-штрасса на Р.

§ 2. Группа характеров для тора Теорема 1. Отображение

y(p) = — (logp(bi) — logp(ai)m) Є J(F) =

изоморфизм Hom(Г, СО/ @ j (F ).

при любом характере r на римановой поверхности

F рода g = 1, где f — любая мультипликативная функция для p, f ^ 0 и Z — канонический класс

дивизоров абелевых дифференциалов на F .

Многообразие Якоби для поверхности F есть

фактор пространство J (F ) = F/(i ), где L(1; m) —

целочисленная решетка, порожденная 1, m .

Теорема (Абеля для характеров на торе) [1; З]. Пусть [F ;] — отмеченная компактная римано-ва поверхность рода 1, p — характер на F и

D = ———-дивизор степени нуль на F. Тогда

существует мультипликативная функция f для p с

(f) = D & E ajzj- E ßkwk = j=1 к =1

= 7T~- (logp(bi) — logP(al)m),

где j(Pj ) = zj, j(Qk ) = Wk и j — отображение Якоби на F со значениями в J (F ). При этом

Доказательство. Докажем, что У будет корректно определенный групповой гомоморфизм из Нот(Г,С*) на J(Е). Если для р существует

fi, f2 ^ 0 мультипликативные функции, то f =

— однозначная мероморфная функция на компактной римановой поверхности F. Следовательно, дивизор (f) — линейно эквивалентен дивизору (f2), и по

теореме Абеля имеем: y(p) = j((f1)) = j((f2)),

y(PlP2) = jitflf)) = j(fl)) + ЧІШ) = y(Pl) + y(P2)

и ф(р)-1 = —y(p), p1,p2 и p î Hom(T,C*).

Покажем, что У отображение «на». По теореме Якоби для любого a î J (F ) существует Da î F , такой, что jP (Da ) = a. Таким образом,

= a и дивизор —- степени нуль является

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

дивизором мультипликативной функции f с некоторым pa . Отсюда:

где т0Р — нормированный абелев дифференциал

третьего рода на Е с простыми полюсами в Р,0 на Е.

Следствие. [1 — 3] Каждый дивизор

Из теоремы Абеля для характеров имеем, что р Е Квгф тогда и только тогда, когда р — несущественный характер, то есть р Е Ь1. Теорема доказана.

Известно, что Нот(Г,С*) @ [51] х Ь1 (прямое произведение групп), где Я1 = и

определены проекции: j0 : Hom(G,С*) ^ [51];

j0 : Hom(G,С*) ^ L1, где по теореме Фаркаша-Кра любой характер p = p0p1, p0 — нормированный, p1 — несущественный характеры и j0(p) = p0,

j1(p) = p1. Приведем формулировку и доказательство теоремы Фаркаша-Кра. Используемые при этом обозначения будут нужны нам в дальнейшем.

Теорема (Фаркаш-Кра) [3].Для любого

p е Hom(G,С*) существует и единственно представление в виде p = p0 p1 где p0 е [51]2, p1 е L1. Доказательство. Положим,

p(a1) = exp(s + it), s, t е M , p(b1) = exp(u + iv), u, v е M .

Построим несущественный характер r1 , такой, что | p1(T) = | p(T)|, T е G. Выберем константы с = a + ib, a, (3 е M, из представления несущественного характера

p1 (a1) = exp c, p1 b) = exp Wc, Wc = mc следующим образом:

I p^a^ |=| exp c1 |= exp a1 = exp S1 = | p(a^ | . Отсюда a = s + 2pin, n е Z . Но так как a, s е M, то n = 0 и a = s. Затем

I p1(b1) |=| exp(mc) |= expRe(mc) = exp u =| p(b1) |, или Re(mc) = u (1.2)

Покажем, что такой выбор c действительно возможен и единственный. Матрицу b — периодов W = (m), состоящую только из одного элемента, можем записать в виде W = X + iY, где Y — положительное число. Из (1.2) получаем Re[(X + iY)(a + ib)] = u , где a,b,u е M . Так как уже выбрали a = s, то требуется решить уравнение

Re[(X + iY )(a + i b)] = u или Y b = —u + Xs,

для которого b = Y—1 (—u + Xs) — единственное решение. Таким образом, несущественный характер r1 будет единственно определен. Теорема доказана.

Теорема 2. Проекции j0 и j1 являются комплексно-гармоническими, но не комплексноаналитическими отображениями относительно координатных карт на Hom(G,С*).

Доказательство. Возьмем терминологию из доказательства теоремы Фаркаша-Кра. Начнем с проекции j1 , так как ее явный вид найден в указанной

выше теореме. Пусть р — произвольный характер и

р(а1) = ехр(8 + гЬ) = ехр2ргс, р(Ь1) = ехр(и + гу) = ехр(2р%тс + 2тй),

В терминах отображения К : С2 ^ Нот(Г,С*) характер р имеет комплексные координаты с, (I,

или X = с, у = ( + тс . Построим р1 — единственный несущественный характер по разложению

р : р1(а1) = ехр2ргс, р^х) = ехр2ргтс,

где 2ргтс = а + г3, а, Ь Е М . Имеем: а = 8 ,

3 = Y-1 (-и + Х8), где а,8,и Е М , П = X + гY ; или 2ргтс = 8 + г(—Y-1и + Y-1Х8), с Е С. Число с есть координата р1 по отображению К. Последнее равенство можно переписать в виде:

2рг1с = 1п \ р(а1) \ +г(—^1(Ь \ р(Ь1) \) +

Положим, р(а1) = г1, р(Ь1) = т1. Компоненты вектора (г1, т1) представляют собой координаты характера р в карте У1 : Нот(Г,С*) ^ [С*]2. Поэтому равенство (1.3) дает вид функций ^ в указанных координатах:

где р Е Нот(Г,С*), р1 Е Ь1 и

2пгтс = 1п \ г1 \ +г(—Y-1(1n \ т1 \) + Y-1X(1п \ г1 \)).

Следовательно, координаты а и 3 будут вещественными гармоническими функциями от комплексных переменных г1 и т1. Таким образом,

2ргтс комплексно-гармонически зависит от г1, т1,

но не будет, очевидно, комплексно-аналитически зависеть от них. Утверждение теоремы относительно проекции 31 доказано.

Рассмотрим проекцию з0, найдя р0 = — в ко-

Р0(°\) = ^ = ехр(г(і + (У 1и) — (У 1Хз))) =

Л^+2-(У-1(1п IЧ |)) — 2-(У-Іх(іп 1211)) 2— 2— 2—

ехр(2—гтс) ехр((Х + гУ)(з + г(-У-1и + У-1Хй))) ехр[г(ХУ-1Хз + Уй — ХУ-1и]

+ — (ХУ-1(\п | ЩІ) — (ХУ-1Х + У)(1п I 21 |)) 2—

Из последних равенств следует, что вещественные координаты ху, у1 для р0 в картах К и ф1 будут вещественными гармоническими функциями от 21 и ч1 , но не будут комплексно-

аналитическими относительно этих координат. Теорема доказана.

Предложение 1. (і) Множество Ь1 П Ь1 есть

изоморфный образ при отображении К дискретной решетки в С, порожденной линейно независимыми

над Ж комплексными числами

21т ц 21т т (И) Ь1 П Ь1 @ Ъ2 и является подгруппой в группе Нот(Г,С*).

Доказательство. (1) Ясно, что 1 е Ь П Ь1. Найдем все пресечение Ь1 П Ь1. Пусть р е Ь1 П Ь1, то есть р = р1, где р1 — некоторый несущественный характер. Имеем

ехр(2ргс) = Ру(ау) = ехр2тс1 = ехр(—2те1),

ехр(2ттс) = р1(Ь1) = р1(Ь1) = ехр<—2р1су'т)-

Эти равенства эквивалентны двум равенствам с = —Су + к, Пс = — + п, к,п е Ъ. Из первого

следует, что су явно выражается через с е С и к е Ъ. Из второго найдем общий вид для с: По = П(с — к) + п, или

с = —(—У— Пк + У—1п) = -(к + г(У—1Хк — у-1п)). 2р 2

Координаты для (—У—1П; У—у) линейно неза-

висимы над Ж , так как У — положительное число и координаты (—П;I-) линейно независимы над Ж .

Последнее утверждение есть классический факт из теории компактных римановых поверхностей и их многообразий Якоби.

(И) Это утверждение следует из того, что К есть голоморфный изоморфизм из Ь0 в Ьу и из пункта (1) доказываемой теоремы. Так, если бы существовала последовательность различных р ^ 1, п ^ ж

в Ьу П Ьу, то существовала бы и последовательность различных (сп, Псп), сходящаяся к (0,0), но

это противоречит дискретности решетки из утверждения (1). Предложение доказано.

§ 3. Голоморфные мультипликативные

функции и дифференциалы Прима на торе

Если р — несущественный характер, то единица

/0 для р имеет вид /0(х) = М(г0)ехр2тсг на

. Если р — существенный характер, то нетривиальная мультипликативная функция /для р должна

иметь полюса на торе.

Теорема 3. Пусть р — любой характер на торе Е. Тогда для любого д е Ъ размерность пространства голоморфных (р, д) -дифференциалов на Е равна:

0, при р е Нот(Г, С*)\ Ь1.

Причем пространство Пд (1; Е) порождено дифференциалом вида М(х0)(ехр2тсг)(йх)д на торе Е.

Доказательство. Пусть сначала д = 0. В случае р = 1, д = 0 это утверждение является классическим фактом [3] и уже знаем, что г(1) = 1(1) = д = 1. По теореме Римана-Роха для характеров р ^ 1 имеем:

(1) = 1 гр—1 (1) = 1 ^ существует отличная от тождественного нуля мультипликативная голоморфная функция /0 е Ьр—1 (1). Здесь /0 не может быть постоянной, так как постоянные функции не принадлежат нетривиальному характеру. Затем /0

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

не имеет нулей из-за того, что deg(/0) = 0 и /0 не

имеет полюсов. Следовательно, /0 — единица (т.е. мультипликативная функция для несущественного характера р—). Поэтому гр (1) = 1, если и только если — несущественный характер.

Пусть — несущественный характер на Е, р ^ 1. Тогда по теореме Римана-Роха для дифференциалов имеем:

1. Если д > 1, то грд (1) = г(Ид—^ .

2. Если д = 1, то гр, д (1) = г(1) = 1.

3. Если д = 0, то гр0(1) = г(И—1′) = 1(1) = д = 1.

г(И—) = гр л(1) = (д — 1)(2д — 1) + г(Ид~1) = г(Ид—1),

а значит, г(И—д) = г(Ид—^ . Затем на торе есть голоморфный, отличный от нулевого, абелев дифференциал, например, йх, где (йх) = 1 на Е. Умножение на него дает равенство гр (1) = гр +1(1; Е). Из

г(1) = 1 следует г(Ид—^ = 1 для любого д .

Пусть р — существенный характер на торе Е.

Тогда при д > 1 имеем г рд(1) = г((/)Ид ^ < 1 , так

как deg((/)Zд—1) = 0. Но, если существует ф — голоморфный т — дифференциал Прима (ф ^ 0) для существенного характера р на торе Е, т. е.

ф = /(х)йхд для р на Е, то функция = / бу-

дет голоморфной мультипликативной на торе для существенного характера р, где йх — голоморфный

абелев дифференциал на Е = . У этой функции

нет полюсов, так как йх не имеет нулей на торе, а значит, нет нулей, ввиду того, что deg(/) = 0. Следовательно, / будет единицей для существенного характера р. Противоречие. Поэтому гр (1) = 0 при д > 1 и существенном характере р .

Рассмотрим случай д < 0 . Если существует нетривиальный голоморфный дифференциал Прима ф = /(х)йх—т, т = —д >0 для существенного характера р на компактной римановой поверхности

Е , то умножая на йхт — нетривиальный голоморфный абелев дифференциал, получим, что /(х) единица для . Противоречие.

Следствие 1. Для любого существенного характера р на торе Е существует мультипликативная функция / для , имеющая точно один простой полюс в любой точке на Е . При этом:

5 p — 5 tqp + iogp(ai)5 zi

Теорема 4. Для любого несущественного характера р и любой точки Q1 на торе Е не существует мультипликативной функции для с единственным простым полюсом Q1 на Е.

Доказательство 1. Для р = 1 это утверждение есть известный классический факт [3].

Пусть р — любой несущественный характер на торе Е и р ^ 1. Предположим, что существует

функция к0 для р, такая, что (к) = — = Б, где

deg Б = 0. Для такого дивизора Б существует функция 1 для некоторого нормированного характера р1 на торе Е и (1) = Б. Рассмотрим функцию д = —. Так как (д) = 1, то д будет мультип-

ликативной единицей для некоторого несущественного характера р0 = -Р- . Отсюда р1 = -Р-, а зна-

чит, — = р1 = 1 на F [3]. Следовательно, f1 бу-

дет однозначной функцией с единственным и простым полюсом в Q1 на F . Противоречие.

Доказательство 2. Докажем от противного. Ес-

ли существует функция f для р с (f) = — на торе

F, то для дивизора Б = — имеем два условия:

deg Б = О. и j(D) = y(р) = О в J(F). По классической теореме Абеля [3] существует fi — однозначная функция на торе F с единственным простым полюсом в Qi на F . Противоречие.

1. Чуешев, В. В. Мультипликативные функции дифференциала Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч. 2. / В. В. Чуешев. — Кемерово: Кузбассвузиздат, 2003.

2. Appell, P. Principes de la theorie des fonction-selliptiqueset applications / P. Appell, E. Lacour. -Paris: Gauthier-Villars, 1897.

3. Farkas, H. M. Riemann surfaces, Grad. Texts in Math., 71 /H. M. Farkas, I. Kra. — New-York: Springer-Verlag, 1992.

4. Gunning, R. C. On the period classes of Prym differentials / R. C. Gunning // J. ReineAngew. Math. -1980. — № 319. — 153 — 171.

Список математических аббревиатур

Аббревиатуры

Латиница

Греческий алфавит

Готический алфавит

Об одном классе неприводимых многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Галиева Л. И., Галяутдинов И. Г.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Галиева Л. И., Галяутдинов И. Г.

ON ONE CLASS OF IRREDUCIBLE POLYNOMINALS

Текст научной работы на тему «Об одном классе неприводимых многочленов»

высшая-алгебра — Степени многочленов

Группа характеров и мультипликативные функции на торе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Крепицина Татьяна Сергеевна

GROUP OF CHARACTERS AND MULTIPLICATIVE FUNCTIONS ON TORUS

Текст научной работы на тему «Группа характеров и мультипликативные функции на торе»

Похожие записи