ЛЕНТА ФЕДОРЕНКО – УСЛОВНАЯ РАЗВЕРТКА СФЕРЫ
В технике, термином «развертка» называют плоскую заготовку, из которой получают объёмную форму детали или конструкции путём гибки. В современной промышленности развертки поверхностей широко применяются в различных видах производства, но особенно в тех, которые связаны с листовыми материалами: нефтехимическая и газовая промышленности (резервуары и трубопроводы), судостроение, авиастроение, легкая промышленность (швейная и кожевенная).
В данной работе под термином «развертка» будет пониматься плоская фигура, полученная при совмещении элемента развертываемой поверхности с плоскостью без разрывов и складок, при этом развертываемая поверхность рассматривается как гибкая, нерастяжимая пленка [1].
Прежде всего, необходимо определить основные термины и алгоритмы, поскольку в разных литературных источниках они различаются.
Все поверхности можно разделить на развертываемые и неразвертываемые. К первым относятся гранные поверхности и линейчатые поверхности, которые называются торсовыми. К торсовым поверхностям относятся цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата. Все остальные поверхности являются неразвертываемыми (например, сфера или тор).
Различают следующие виды разверток: точные, приближенные и условные.
Точные развертки можно получить только для многогранных поверхностей, поскольку такая развёртка есть совокупность многоугольников, конгруэнтных граням разворачиваемой поверхности и расположенных в одной плоскости [2].
Приближенные развертки используются при развертывании торсовых поверхностей. При этом криволинейные поверхности заменяются аппроксимирующей многогранной поверхностью. Например, цилиндрическая поверхность заменяется призмой. Однако, точная развертка такой призмы будет только приблизительно соответствовать развертке цилиндрической поверхности.
Для оставшихся неразвертываемых поверхностей производится построение условных разверток. Для этого применяется метод двойной аппроксимации. Сначала неразвертываемая поверхность разбивается на ряд отсеков. Каждый из этих отсеков заменяется (аппроксимируется) отсеком криволинейной развертываемой (торсовой) поверхности. Каждый отсек развертываемой поверхности аппроксимируется соответствующей ей многогранной поверхностью. И только после этого получают точную развертку многогранной поверхности, которая является условной разверткой неразвертываемой поверхности [3].
В литературе показано несколько стандартных способов создания разверток неразвертываемых поверхностей [4]. Например, поверхность сферы аппроксимируется отсеками цилиндрических поверхностей, которые потом заменяются призмами. В этом случае развертка будет выглядеть как набор двухдуговых «лепестков». Или сферическую поверхность заменяют элементами цилиндрических и конических поверхностей.
Иногда при создании развертки неразвертываемой поверхности аппроксимацию отсека элементом многогранника, заменяют на вырезание элемента самой криволинейной поверхности, как если бы материал поверхности был тканью.
Кроме этого, существуют и другие методы создания поверхностей, основанные на изгибании плоских заготовок [5, 6].
В промышленности же развертки больших сферических резервуаров состоят из меридианальных лепестков и купола с днищем в виде двух сферических сегментов. Купол и днище резервуара получают из металлического диска путем обжатия на оправке с помощью молота или пресса. Лепестки изготавливаются на многовалковом стенде методом холодного вальцевания, то есть гибки металла до нужной формы или используется метод горячей штамповки, то есть изгибают в двух плоскостях.
Таким образом, можно сделать вывод, что создать неразвертываемую поверхность из плоской развертки очень сложно. Повышение геометрической точности такой поверхности ведет к увеличению количества элементов (отсеков) поверхности, что отрицательно скажется на экономической составляющей процесса изготовления и прочностных характеристиках объекта. Поэтому создание новых способов развертывания сложных поверхностей является актуальной задачей.
Постановка задачи
Задача исследования — найти вариант построения условной развертки сферы без разбиения ее на отсеки.
Для решения поставленной задачи необходимо заменить (аппроксимировать) поверхность сферы некой развертываемой поверхностью. Из курса начертательной геометрии известно, что любая поверхность может быть задана как множество последовательных положений некоторой движущейся в пространстве линии. Такая линия называется образующей. Закон перемещения образующей в пространстве и изменения её формы задаются направляющими линиями.
В нашем варианте построения образующая линия должна быть отрезком прямой (иначе аппроксимирующая поверхность не будет развертываемой), а направляющая — лежать на поверхности сферы. При этом направляющая линия, во-первых, должна начинаться на одном из полюсов сферы и заканчиваться на противоположном, а, во-вторых, охватывать всю сферу по возможности равномерно. Такими свойствами обладает сферическая спираль Клелия (рис.1а), хотя можно применить и другие кривые спиралевидного типа.
Образующие линии торсовой поверхности удобнее всего расположить в меридиональных плоскостях сферы (рис.1б). Необходимо отметить, что длина образующей линии получаемой торсовой поверхности постоянна, кроме двух околополюсных оборотов направляющей линии, где длина образующей будет переменна (это если применять спираль Клелия).
На втором этапе заменяем (аппроксимируем) торсовую поверхность многогранником. Для этого необходимо заменить направляющую кривую ломаной линией (рис.2). Однако, возможности компьютерных графических пакетов позволяют обратно “скривить” такие ломаные линии, достаточно задать на каждой скрутке (обороте) спирали несколько тысяч опорных точек.
На третьем этапе произведем точное построение развертки многогранника.
Для построения развертки многогранной поверхности нужно совместить все грани этой поверхности с одной плоскостью так, чтобы образовалась плоская фигура. При этом смежными будут две грани, имеющие общее ребро.
Для одной и той же поверхности вид ее развертки может быть различным в зависимости от избранной последовательности расположения граней на развертке.
При этом самая красивая условная развертка сферы получается, если мысленный “разрез” многогранника произвести по бывшей направляющей спирали (криволинейной или ломаной).
Процедура построения развертки построена на применении способа триангуляции. Построение начинается с самой маленькой грани, расположенной около полюса сферы, и раскручивается по спирали до аналогичной грани на другом полюсе. Расположение граней и их форма наглядно показаны на рис. 2.
Построение развертки сферы производилось в графическом пакете AutoCAD с использованием программы написанной на языке AutoLISP [7]. Результат построения развертки показан на рис. 3.
Первый опытный образец сферы из ленточной развертки показан на рис.4.
По аналогичному алгоритму были построены условные развертки торовой и параболической поверхностей.
Результаты работы применяются автором при чтении лекций по курсу «Начертательная геометрия» в разделе «Развертки поверхностей», а опытный образец из металла, изготавливается в настоящее время на заводе фирмы «Соединительные детали трубопроводов» в г. Таганроге для последующей проверки на прочность.
Ещё один результат данной работы – при задании в программе большого числа витков направляющей спирали, лента развертки утончается и фактически преобразуется в спираль Корню.
Список литературы
- Фролов С.А. Начертательная геометрия. Учебник для ВТУЗов. 2-е изд. – М.: Машиностроение, 1983. 240 с.
- Иванов Г.С., Начертательная геометрия: учебник. – 3-е изд. – М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. – 340 с.
- Жирных Б.Г., Серёгин В.И., Шарикян Ю.Э. Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И. Серегина – 1-е изд. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 176 с.: ил.
- Высоцкая Н.Н., Иерусалимский А.М., Невельсон Р.А., Федоренко В.А. Технические развертки изделий из листового металла. 2-е изд. исправл. – М.: Машиностроение, 1968. – С. 272
- Пилипака С.Ф. Конструирование поверхностей и их непрерывное изгибание в конечные формы на основании управления натуральными параметрами : автореферат дис. . доктора технических наук : 05.01.01. — Киев, 2000. — 38 c. : ил.
- Кривошапко С.Н. Торсовые поверхности и оболочки: Справочник. – М. Изд-во УДН, 1991.- 287 с., ил.
- Хювёнен Э., Сеппянен Й. Мир Лиспа. В 2-х т. Т.1: Введение в язык Лисп и функциональное программирование. Т.2: Методы и системы программирования. Пер. с финск. – М.: Мир, 1990.
Рисунки к докладу
Рис. 1
Спираль Клелия (а) и аппроксимация сферы торсовой поверхностью (б)
Рис. 2
Аппроксимация торсовой поверхности многогранником
Рис. 3
Условная развертка сферической поверхности
Рис. 4
Вопросы и комментарии к выступлению:
Владимир Игоревич и Ваши соавторы, здравствуйте ! Если бы среди вариантов оценки публикации и, соответственно её сути, было бы предложение «очень понравилось» — оценил бы так! К тому же Вашу ленту в материале скоро свернут в сферу! Планируете ли Вы далее ( наверно сместе с технологами ) анализировать оптимальное сочетание числа витков и технолого — экономические показатели . Зависит ли оптимальное число витков от диаметра сферы ?
Раз Вы пишите «Лента Федоренко», надо ли понимать, что это решение оригинально и этот приоритет за Вами закреплен? Или я тут что то не так понял? Это интересно еще с той точки зрения , что даже трудно оценить сколько раз подобную ленту человечество наблюдало очищая круглую картофелену!
И еще, уже совсем интуитивно чувствую ( может и ошибаюсь) , что подобные задачи близки «Проектографии» ( автор проф. Гамаюнов В), о которой говорил на прошлой конференции уважаемый В.А. Наместников. Мы хотели в этом разобраться, но руки пока не дошли . Может Вам это будет интересно и разобравшись, попонятней бы изложили для всех. Спасибо. С уважением, А.О.
Владимир Игоревич, здравствуйте! Какие у Вас замечательные, красивые и действительно полезные исследования! Интересно будет почитать результаты после испытаний.
С уважением, Кокарева Я.А.
Владимир Игоревич, решение красивое, современное, все так. Но ….
Наберите в поисковике Сфера Эшера и познакомьтесь с искусством этого дизайнера с мировым именем. Конкретно по данной работе можно набрать:
Увидите практически Вашу развертку.
Более того,извините, но есть и моя работа на эту тему: А.Л. Хейфец. Инженерная компьютерная графика. AutoCAD. – СПб., БХВ, 2005. – 336 с.
В этой давно и большим тиражом изданной книге, которая есть во всех библиотеках, имеется раздел “Сфера Эшера”, стр. 284. На рис. 12.3 Вы увидите практически все свое решение. Там нет развертки, но все до нее доведено. Последний шаг сделали Вы. Но ссылки делать необходимо. И на классика Эшера, и, извините , хотелось бы и на меня в этой работе.
С уважением. А.Л. Хейфец.
Нельзя не согласиться с Александром Олеговичем, что работа очень интересная и, одновременно, с его вполне резонным вопросом о защите авторства.
Лента очень похожа на сферу Эшера, наверное, и на работу Александра Львовича, но можно заметить, что есть и отличия, причем с точки зрения технического осуществления, их можно даже назвать существенными.
Владимир Игоревич не приводит информации о правовой защите названия, но обычно имя автора принято давать, если есть патент на изобретение, полезную модель, промышленный образец. На сайте ФИПС есть информация о 3214 изобретениях со словом лента в названии, но ленты Федоренко поиск не дает. Если заявка не подавалась, то надо подавать срочно, данная публикация может помешать получению охранного документа.
Конечно, в научном труде надо приводить ссылки на аналогичные работы, но умышленного нарушения ведь здесь нет. Поэтому хочется поддержать и поблагодарить Владимира Игоревича за информацию, особенно приятно, что лента воплощается в металле, что само по себе уникальный случай.
С уважением Головнин А.А.
Уважаемый Александ Олегович!
Во-первых , представлю своих соавторов. Кучеров Кирилл — студент 4-го курса факультета ИУ, Христофоров Павел — студент 2-го курса факультета РК МГТУ им.Баумана. Обоим я преподавал, а Павлу еще продолжаю, черчение и НГ.
Статью я опубликовал по просьбе коллеги по работе Полубинской Людмилы Георгиевны. Да и самому очень хотелось показать работу специалистам. Может чуть рано, зато познакомился (пусть заочно) с замечательными учеными.
Что касается Имени. Этой работе около года, и я просто влюбился в красоту линий. Но , я честно проштутдировал десятки , если не сотню, источников. И облазил Интернет. Больше отдавал внимание геометрам, особенно прикладным.
До некоторых источников 70-х годов дотянуться не смог. Просто уже подумал, что результат , если бы был достигнут не пропал втуне. И всегда отслеживал получение развертки.
По поводу изготовления. Я преподавал «Технологию металлов» 25 лет в Московском автомеханическом институте. Количество витков подбиралось , чтобы длина сварного шва была меньше длины швов у аналогичных изделий.
По поводу картошки. Мы создали ролик и планируем показать его в Интернете , но несколько позже.
Заявка на изобретение подана, но Фамилию с ленты могут снять, как сняли ее когда-то с роторно-волнового компрессора
Извинете, что кратко. С уважением, Федоренко В.И.
Уважаемый Александр Львович!
Спасибо, что назвали решение красивым. После Вашей анимации, это дорогого стоит.
С творчеством Эшера знаком достаточно хорошо, и даже когда-то давно пытался ему подражать в разработке рисунка паркета и мозаики. «Мы все учились понемногу. «
Попробую определить наиболее удобный источник.
Вашу книгу не читал, и даже не встречал во время поиска аналогов. Как уже я написал Александру Олеговичу, искал больше в стане геометров. Двух представителей я в ссылках указал. Мне казалось, что те , кто занимаются геликоидами ближе.
Я обязательно буду делать ссылку на Ваши работы
Я в сферу (каламбур получился) НГ перешел недавно, спасибо, что поправили.
И .. Ваши чувства тоже хорошо понимаю.
С уважением, Федоренко В.И.
Владимир Игоревич, спасибо! Успехов Вам и вашим ученикам. Интересны, конечно, сравнительные характеристики с другими технологиями получения, например. газгольдеров. На глаз допустимые давления, при прочих равных, должны быть больше. Геометрия сварных швов технологически вроде удобней. ( но тут спец. Александр Львович ). Раскрой. видимо, не так экономичен? . Ждем сообщений о выдачи патента ! А.О. .
Владимир Игоревич, не обижайтесь, но я насчитал в Вашей литературе 11 геометров, а не 2. То есть, 11 фамилий ученых, занимавшихся или занимающихся геометрией.
А развертка получилась прикольная,я такой еще не встречал.
С уважением, Н. Сальков.
Уважаемый Алексей Алексеевич!
Возможно я несколько поторопился с названием. Но когда месяц за месяцем нет результата поиска — сживаешься с мыслью что у тебя получилось. Работа стала жечься, вот я ее и показал.
Ссылки на аналогичные работы я привел. Кривошапко С.Н. и Пилипака С.Ф. — авторы работ по торсовым поверхностям.
Другой вопрос, что мало. Но у меня список был большой, только односторонний.
С уважением, Федоренко В.И.
Уважаемый Николай Андреевич!
Я не обижаюсь. Совсем. Меня учили так — «если у тебя проблемы — посмотри в зеркало».
Вот и здесь, не сумел правильно выразить мысль. Не все ученые, фамилии которых я указал, занимаются вопросами построения и исследования торсовых поверхностей.
Кстати, есть более прикольная развертка и Вы ее тоже еще не видели. Но, формат доклада ограничен 4-мя рисунками.
А мы люди законопослушные.
С уважением, Федоренко В.И.
Добрый день, Яна Андреевна!
Спасибо за добрые слова о моей работе. Если два разных человека говорят, что результат работы красивый, то значит он правильный.
С уважением, В.И. Федоренко
кака сделать развертку шара?
3) заменить элемент сферы частью цилиндрической поверхности. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента окажется треугольник А1В1О1, а фронтальной – контур сферы (дуга окружности) .
4) для построения развертки цилиндрического элемента (лепестка) разделить его фронтальную проекцию на восемь равных частей;
5) построить горизонтальные проекции образующих, соответствующих точкам деления. Истинные длины отрезков образующих для построения развертки взять с горизонтальной проекции (отрезки А1 В1, С1 D1, E1 F1, G1 H1) а расстояния между ними измерить на фронтальной проекции (расстояния между точками 1222, и 2232);
6) при построении цилиндрического элемента (лепестка) через середину отрезка АВ = А1В1 провести вертикальную ось симметрии лепестка на которой отложить вверх и вниз четыре отрезка 10 –20 = 1222, 20 – 30 = 2232, 30 – 40 = 3242, 40 – 50 = 4252.
7) через точки 20, 30, 40 провести отрезки C0D0 = C1D1, E0F0, G0H0 = G1H1.
8) соединить плавной кривой концы отрезков, в результате чего получится развертка верхней половины лепестка.
Источник: http://www.rae.ru/monographs/51-1937
Ринат ХаликовУченик (39) 12 лет назад
спасибо!но мне надо именно шар я и развертка не на бумаге а из бумаги шар сделать.
Waclaw Shuminski Гуру (4319) шар — это объем, состоящий из всех точек, ограниченный сферой. Могу только пожелать удачи в попытке сделать развертку объема плоской бумагой
Развертка поверхностей
Развёртка поверхности это фигура, получающаяся в плоскости при таком совмещении точек данной поверхности с этой плоскостью, при котором длины линий остаются неизменными. При этом каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развёртке.
Примеры построения линий перехода и положения темы:
1). При изготовлении различных изделий из листового материала имеет большое значение построение разверток поверхностей. Если представить себе поверхность как гибкую нерастяжимую пленку, то некоторые из них путем изгиба можно совместить с плоскостью без разрывов и деформаций. Такие поверхности относятся к развертываемым. Полученную в результате развертывания (раскатки) поверхности плоскую фигуру называют разверткой этой фигуры. Те поверхности, которые нельзя совместить без разрывов и деформаций, относятся к неразвертываемым, но в практике возникает необходимость изготовления из листового железа не только развертывающихся фигур.
Теоретически точно развертываются только гранные поверхности, торсы, конические или цилиндрические поверхности. При развертывании сложных поверхностей их аппроксимируют (заменяют) вписанными гранными поверхностями, и чем больше граней содержит вписанная поверхность, тем точнее ее развертка. Построенные таким образом развертки поверхностей называют приближенными. Чтобы построить развертки неразвертывающихся поверхностей, эти поверхности разбивают на части, которые можно приближенно заменить развертывающимися поверхностями. После этого строят развертки этих частей, которые в сумме дают условную развертку неразвертывающейся поверхности.
2). Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.
Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций.
3). Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестигранная призма (рис. 56). Все боковые грани призмы прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы правильные шестиугольники со стороной, равной а.
Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на произвольной горизонтальной прямой последовательно откладываем шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек проводим перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и конечные точки перпендикуляров соединяют
второй горизонтальной прямой. Полученный прямоугольник (Н х 6а)
Рисунок 56 Развертка шестигранной призмы
является разверткой боковой поверхности призмы. Затем пристраиваем фигуры оснований два шестиугольника со сторонами, равными а.
Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба штрихпунктирной с двумя точками. Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любым многоугольником в основании.
4). На рисунке 57 изображена развертка трехгранной призмы правильной формы. Ребра ее АА, ВВ, СС параллельны фронтальной плоскости П2 проекций и проецируются на нее в натуральную величину, а нижнее ABC и верхнее А’В’С’ основания параллельны горизонтальной плоскости проекций П1 и проецируются на нее в натуральную величину. Точка М на развертке
трехгранной призмы строится обычным способом.
Рисунок 57 Развертка трехгранной призмы
5). Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания.
Для примера взята правильная четырехугольная (четырехгранная) пирамида (рис. 58). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинаем с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения истинную длину наклонного ребра SA, равную s’а1′, из произвольной точки О, как из центра, проводим дугу радиусом s’а1′. На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Полученные точки соединяем прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраиваем квадрат, равный
Рисунок 58 Развертка четырехугольной пирамиды
6). На рисунке 59 приведен еще один вариант построения развертки четырехгранной прямой пирамиды. Построение ее упрощается тем, что образующие пирамиды AS и CS параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее спроецировались в натуральную величину. Основание же пирамиды ABCD лежит в плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций, и на нее проецируется в натуральную величину. Для построения развертки достаточно построить сторону AS и сделать засечки
радиусом дуги, равным BS и АВ из точек S и А, соответственно получим точку В и т. д..
Основание же в натуральную величину можно построить на базе одной из его сторон, например, на базе стороны АВ. Положение точки на поверхности развертки пирамиды определим в следующем порядке: через фронтальную проекцию точки М (М2) проведем горизонтальную линию до пересечения с ребрами A2S2 и B2S2. Получим фронтальные проекции точек 1 и 2, далее определим их горизонтальные проекции. На линии AS развертки от точки А отложим отрезок h и из полученной точки 1 проведем линию 1, 2 параллельно AD на которой нанесем точку М в том положении, которое она
занимает на горизонтальной проекции линии 12.
Рисунок 59 Нахождение точки на развертке
7). Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 60). Чтобы ее построить, проводим осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом равным образующей конуса, очерчивают дугу
окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме
Пифагора, равна приблизительно 38 мм (L = √l52 + 352 = √l450 ≈ 38 мм).
Рисунок 60 Развертка прямого конуса
Затем подсчитываем угол сектора по формуле:
где R радиус окружности основания конуса; L длина образующей боковой поверхности конуса. В данном примере α = 360° х 15/38 ≈ 142,2°. Этот угол строят симметрично относительно осевой линии с вершиной в точке S. К полученному сектору пристраиваем круг с центром на осевой линии и диаметром, равным диаметру основания конуса.
8). На рисунке 61 приведен еще один вариант построения развертки прямого кругового конуса. Для построения ее используем то, что очерковая образующая конуса на фронтальной плоскости изобразилась в натуральную величину. Выбрав положение вершины развертки точку S, радиусом, равным величине образующей, проводим дугу и откладываем на ней 12 равных частей, на которые предварительно разделили окружность основания конуса, изображенного на горизонтальной плоскости проекции в натуральную величину. Чем на большее количество равных участков разделим окружность, тем точнее построим развертку.
Положение точки М на развертке поверхности конуса определим следующим образом: через фронтальную проекцию точки проведем образующую и построим горизонтальную ее проекцию. Найдем, что образующая пересекла основание конуса между точками 5 и 6. Точку К переносим на дугу развертки, расположив ее между точками 5 и 6, и соединим с вершиной конуса развертки S. Из проекции точки M2 проведем горизонтальную линию до пересечения с очерковой образующей и получим новое положение фронтальной проекции точки М. Расстояние от основания конуса до этой проекции по образующей является высотой точки h, которую откладываем на развертке от точки К на линии KS это истинное положение точки M на развертке. Таким образом, развертку конической поверхности построим с помощью соседних точек окружности основания, в которую мысленно вписан правильный двенадцатиугольник. Коническая поверхность условно заменена поверхностью, а именно, правильной двенадцатиугольной пирамидой, а для построения развертки применен
Рисунок 61 Нахождение точки на развертке конуса
9). Построение развертки прямого кругового цилиндра приведено на рисунке 62. Высота цилиндра Н, на фронтальную плоскость проекций П2 она проецируется в натуральную величину. Нижнее и верхнее основания параллельны горизонтальной плоскости проекций П1 и на нее проецируются
в натуральную величину.
Рисунок 62 Развертка цилиндра
В этом случае развертку цилиндрической поверхности строим с помощью хорд, соединяющих соседние точки деления окружности оснований, в который вписан правильный двенадцатиугольник. В этом случае цилиндрическая поверхность условно заменена поверхностью вписанной правильной двенадцатигранной призмы, и развертка цилиндрической поверхности построена способом триангуляции.
10). Шар (сфера) относится к геометрическим телам, поверхности которых не могут быть точно развернуты на плоскости без складок и разрывов. Приближенные развертки шара строят различными способами. Способ веретен основан на том, что поверхность шара заменяют поверхностью большого количества полос, суживающихся к полюсам и имеющих наибольшую ширину на экваторе (рис. 63а).
На чертеже поверхность шара разделена на 12 равных частей, одна из которых изображена. Как видно, она расположена симметрично относительно фронтального меридиана. Делим фронтальную проекцию полосы на равные части и определяем длину образующих в точках деления.
Очевидно, что длина образующих проецируется без искажения на плоскость П1. Развертываем цилиндрическую полосу (рис. 63б), беря вертикальные размеры с фронтальной проекции шара, а горизонтальные 2030, 4050 и 6070 с горизонтальной проекции шара.
Аналогично строим нижнюю часть развертки. Полученные точки соединяем плавной кривой. Развертка шара по форме напоминает веретено.
Рисунок 63 Способ веретен
3.11. Задание на выполнение эпюра 4
Эпюр 4: 1). Построение линии пересечения заданных поверхностей.
2). Выполнение развертки одной из поверхностей с обязательным нанесением линии пересечения. Варианты заданий размещены на страницах 72 и 73. Пример выполнения задания приведен на рисунке 64.
3.12. Рекомендации к выполнению эпюра 4
Секущие плоскости для нахождения линии пересечения необходимо выбирать так, чтобы обе поверхности пересекались по наиболее простым линиям окружностям или образующим. На чертеже должны быть сохранены все линии построения, следы вспомогательных плоскостей, обозначены все точки. Проекции линии пересечения лучше обвести линиями красного цвета с учетом видимости.
Разверткой конуса вращения является круговой сектор с углом
ϕ = R ⋅ 3600 , где R радиус основания конуса, l длина образующей. На
развертке строят прямолинейные образующие или параллели, проходящие через характерные точки линии пересечения. Построенные точки соединяют плавной линией красным цветом.
При построении развертки цилиндра проводят горизонтальную линию
2πR , где R радиус основания цилиндра. Строят развертку боковой
поверхности, где отмечают прямолинейные образующие, проходящие через характерные точки линии пересечения, которые соединяют плавной кривой линией.
Для полной развертки в обоих случаях к боковой поверхности пристраивают основание.
Формат чертежа A3.
Масштаб эпюра 1:1.
4. Вопросы для самопроверки усвоения учебного материала
1. Повторите наименования плоскостей проекций, координатных осей,
2. Покажите построение точек в трёх проекциях.
3. Какие точки называют точками общего, а какие частного положения?
4. Каким образом можно задать прямую линию на чертеже?
5. Укажите частные положения отрезков прямых линий.
6. Какие прямые называют линиями уровня, проецирующими прямыми?
7. Как выглядит проекция прямого угла в общем случае?
8. При каких условиях прямой угол проецируется в натуральную величину?
9. Перечислите и покажите способы задания плоскости на эпюре.
10. Дайте определение плоскостям общего и частного положения.
11. Поясните особенности проецирующих плоскостей.
12. Как определяется принадлежность прямой линии и точки данной плоскости?
13. Покажите способы построения проекций горизонтали и фронтали на плоскости общего положения.
14. Какое положение могут занимать прямая линия и плоскость или две плоскости относительно друг друга?
15. Какое условие определяет взаимную перпендикулярность двух плоскостей?
16. Укажите последовательность построения линии пересечения двух плоскостей общего положения.
17. Чем отличается определение линии пересечения плоскостей, если одна из них проецирующая?
18. Как определяют видимость элементов геометрических объектов?
19. Как на чертеже определить истинное расстояние от точки до прямой линии?
20. Каким образом можно на эпюре определить действительное расстояние от точки до проецирующей плоскости или до плоскости общего положения?
21. В чём заключается принцип преобразования чертежа способом замены плоскостей проекций?
22. Что определяет положение новой плоскости проекций при планируемых преобразованиях эпюра?
23. Какова последовательность решения задач по определению натуральных величин геометрических объектов, углов их наклона и расстояний при использовании способа замены плоскостей проекций?
24. В чем сущность метрических задач?
25. Какое определение даётся поверхности?
26. Каким образом можно задать поверхность на эпюре? Назовите многогранники и иx определители.
27. Перечислите кривые поверхности и способы их задания на чертеже.
28. Укажите основные свойства поверхностей вращения.
29. Каким образом можно убедиться в принадлежности точки или линии изображенной на эпюре поверхности?
30. Сформулируйте общий алгоритм определения точек линии пересечения поверхности плоскостью.
31. Какие точки линии пересечения поверхности плоскостью называют характерными (главными, опорными)?
32. Изложите сущность способов построения линии пересечения многогранника плоскостью, поверхности вращения плоскостью.
33. Укажите условия, при которых в сечении конуса вращения плоскостью получается окружность, эллипс, гипербола, парабола, пересекающиеся прямые.
34. Сформулируйте алгоритм определения точек пересечения прямой линии с поверхностью.
35. Перечислите последовательность графических построений при определении точек пересечения прямой линии с многогранными и кривыми поверхностями.
36. Как определить натуральную величину сечений поверхности плоскостью?
37. Что называется разверткой геометрического тела?
38. Какие развертки знаете?
39. Как построить развертку прямого кругового цилиндра и конуса?
40. Что называется линией пересечения двух поверхностей?
41. Основной способ построения линии пересечения поверхностей.
42. Особые случаи пересечения поверхностей.
43. Какие выбираются вспомогательные секущие плоскости для многогранников и сфер?
44. Алгоритм построения линии пересечения поверхностей.
45. Как определяется видимость линии пересечения и поверхностей на плоскостях проекций?
46. Что представляет собой линия пересечения многогранников в общем случае?
47. Какие точки линии пересечения двух поверхностей называют характерными?
48. Что такое точка перехода видимости?
Примечание: Желательно прилагать «черновики» к контрольной работе.
5. Принятые графические обозначения и символы
Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, …
Вспомогательные точки обозначают арабскими цифрами: 1, 2, 3…
Линии (прямые и кривые) строчные буквы латинского алфавита: a, b, c, d, …
Прямые, имеющие специальные обозначения: горизонталь — H,
Углы в пространстве строчные буквы греческого алфавита: α, β, γ, …
Плоскости и поверхности в пространстве прописные буквы греческого алфавита: ∆, Σ, Ψ, …
горизонтальная плоскость проекций П1 (π1),
фронтальная плоскость проекций П2 (π2),
профильная плоскость проекций П3 (π3).
Дополнительные плоскости проекций: П4 (π4), П5 (π5), П6 (π6) …
Проекции точек, прямых и плоскостей: на П1 A1, d1, Ψ1…, на П2 A2, d2, Ψ2.
Следы плоскости: горизонтальный след плоскости Σ Σ1, фронтальный след плоскости Σ Σ2.
Способ задания геометрической фигуры:
m (АВ) прямая m задана ее точками А и В (отрезком),
Ω (c ∩ d) плоскость Ω задана пересекающимися прямыми c и d,
Σ (Σ1, Σ2) плоскость Σ задана своими следами.
6. Словарь графических терминов
Геометрическая фигура любое множество точек. К фигурам относится точка (множество, состоящее из одного элемента), прямая либо кривая линия, плоскость, поверхность, тело.
Горизонталь (горизонтальная прямая уровня) параллельна плоскости П1.
Гранная поверхность образуется перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m.
Конкурирующие точки точки, проекционно-совпадающие на одной из плоскостей проекций. Горизонтально-конкурирующие точки имеют совпадающие проекции на горизонтальной плоскости проекций; фронтально-конкурирующие точки имеют совпадающие проекции на фронтальной плоскости проекций.
Линия проекционной связи (линия связи) линия, перпендикулярная к оси проекций. На линии связи расположена пара проекций точки.
Меридианы это линии, которые получаются при сечении поверхности плоскостями, включающими ось. Меридиан, параллельный фронтальной плоскости проекций, называется главным.
Многогранник замкнутая гранная поверхность, имеющая не менее 4-х граней (пирамида, призма, тетраэдр и т.д.).
Направляющая поверхности m определяет закон перемещения образующей l.
Образующая поверхности линия l, перемещающаяся в пространстве при образовании поверхности.
Опорные точки это крайние точки (верхняя, нижняя, левая, правая, дальняя, ближняя) и точки перехода видимости.
Определитель это совокупность геометрических элементов и условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности в пространстве и на чертеже.
Ортогональное (прямоугольное) проецирование проецирование параллельными лучами из бесконечности под прямым углом к плоскости проекций.
Ось проекций линия пересечения плоскостей проекций. Ось Х12 разделяет плоскости П1 и П2 , ось Y13 разделяет плоскости П1 и П3, ось Z23 разделяет плоскости П2 и П3. Иногда ось проекций на чертеже не проводят, но ее расположение всегда известно. Так, ось Х12 всегда горизонтальна.
Очерковая линия это проекция контура на плоскости проекций.
Параллель это окружность, по которой перемещаются точки образующей в процессе ее вращения.
Плоскость общего положения плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.
Плоскость уровня плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. Такие плоскости являются дважды проецирующими, так как на двух плоскостях проекций имеют вид прямой, расположенной под прямым углом к линиям связи.
Поверхность вращения образуется вращением образующей l вокруг оси вращения i.
Проецирующая прямая прямая, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. Например, фронтально-проецирующая прямая перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2. На эту плоскость прямая cпроецируется в виде точки.
Проецирующая плоскость плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций. На комплексном чертеже имеет проекцию, вырожденную в прямую линию именно на той плоскости проекций, которой данная плоскость перпендикулярна. Так, горизонтально-проецирующая плоскость имеет проекцию в виде прямой на П1.
Прямая общего положения — прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.
Прямая уровня прямая, параллельная одной из плоскостей проекций.
Фронталь параллельна плоскости П2.
Экватор это наибольшая параллель.
7. Список рекомендуемой литературы
1. Чекмарев, А.А. Инженерная графика : учебник для немаш. спец. вузов /
А.А. Чекмарев. М. : Высш. шк., 2000.
2. Локтев, О.В. Краткий курс начертательной геометрии / О.В. Локтев. М. : Высш. шк., 2001.
3. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика / А.А.
Чекмарев [и др.]. М. : Высш. шк., 2001.
4. Лагерь, А.И. Инженерная графика : учебник / А.И. Лагерь. 2-е изд.
перераб. и доп. М. : Высш. шк., 2002.
5. Крылов, Н.Н. Начертательная геометрия / Н.Н. Крылов [и др.] М.,
6. Начертательная геометрия : учебник для вузов / Н.Н. Крылов [и др.] ;
под ред. Н.Н. Крылова. 7-е изд., перераб. и доп. — М. : Высш. шк.,
8. Список используемых источников
1. Подоплелов, Е.В. Методические указания и контрольные задания по инженерной графике / Е.В. Подоплелов, Н.А. Устюгова, Н.В. Лукьянова. – Ангарск : АГТА, 2008 50 с.
2. Ляшков, А.А. Начертательная геометрия : конспект лекций / А.А.
Ляшков, Л.К.Куликов, К.Л. Панчук. – Омск : Изд-во ОмГТУ, 2005. 108 с.
3. Хрусталева, Т.В. Начертательная геометрия : учебное пособие /
Т.В. Хрусталева. Хабаровск : Изд-во ДВГУПС, 2003. 122 с.
4. Грачев, Е.В. Задания на контрольную работу № 1 : методические указания и контрольные вопросы по курсу «Начертательная геометрия» / Е.В. Грачев [и др.] СПб. : Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России, 2008. 24 с.
5. Лексаченко, Т.А. Начертательная геометрия : методические указания по решению задач с условиями задач / Т.А. Лексаченко. СПб. : Санкт-Петербург, 2005.
Материал взят из книги Инженерная графика (О.А. Маркова)
Развёртка Сферы
Насколько мне известно, для сферы не существует разверток без искажений. Например, для превращения условно сферической формы Земли в плоскую карту используются разные проекции типа проекции Меркатора, и каждая из них имеет искажения.
Сферу состоящую из плоскостей (фейсов) развернуть конечно можно, но вряд ли вам понравится такая «развертка». Конкретизируйте вопрос, для чего вам нужна развертка с нулевым искажением? Просто затекстурить или для чего-то еще?
На сайте c 10.06.2008
Сообщений: 4516
Санкт-Петербург
rustamov6, режь шеллы по 1 или по 4 полигона смежных. Искажений не будет. Сейчас швы на UV уже не так страшны, как раньше.
На сайте c 31.03.2008
Сообщений: 1102
Москва
Цитата Parik:
Сейчас швы на UV уже не так страшны, как раньше.
Можете пояснить подробнее что вы имели в виду? 🙂
Видимо речь о текстурировании в сабстансе.
На сайте c 29.02.2008
Сообщений: 1558
Cg-school.org
Цитата rustamov6:
Кто знает как делать правильную развёртку сферы или полусферы. Пробовал по разному есть искажения.
На сайте c 29.04.2010
Сообщений: 1038
Тольятти /Самара/ Воронеж
у меня с гнутой цилиндрической типа колбасы затык. хотя там возможно мой косяк в самой модельке. я её зеркалил с оверлапами. в сабе всё красиво, а в максе нормалки в разные стороны как буд то.
На сайте c 10.06.2008
Сообщений: 4516
Санкт-Петербург
Цитата -NiK-:
Цитата Parik:
Сейчас швы на UV уже не так страшны, как раньше.
Можете пояснить подробнее что вы имели в виду? 🙂
Видимо речь о текстурировании в сабстансе.
Да не только в нем. Если запекашка со швами, то они замазываются почти без потерь. Если без запекашки, то можно вертекс-пейнтом прокрасить по второй UV. Зависит очень от того ,что именно преследует топикстартер.
На сайте c 13.09.2017
Сообщений: 6
Баку
Цитата -NiK-:
Цитата rustamov6:
есть искажения
Насколько мне известно, для сферы не существует разверток без искажений. Например, для превращения условно сферической формы Земли в плоскую карту используются разные проекции типа проекции Меркатора, и каждая из них имеет искажения.
Сферу состоящую из плоскостей (фейсов) развернуть конечно можно, но вряд ли вам понравится такая «развертка». Конкретизируйте вопрос, для чего вам нужна развертка с нулевым искажением? Просто затекстурить или для чего-то еще?
Хочу использовать карту нормалей для полусферы. Моделирую фары для автомобиля.