Как записать дифференциальное уравнение в mathcad

Дифференциальные уравнения в mathcad 15

В свободном поле mathcad введите оператор Given. Этот оператор запускает процесс ввода исходных данных для корректной работы функции odesolve. После этого найдите панель под названием Calculus. В этой панели нам понадобятся кнопки Derivative и Nth Derivative. Эти кнопки вводят заготовки для дифференциального уравнения. С помощью клавиатуры введите уравнение, как показано на рисунке 1. Знак равенства необходимо использовать из панели Boolean

Рис. 1. Ввод исходных данных для решения дифференциального уравнения

Далее введите начальные приближения. Количество начальных приближений зависит от порядка дифференциального уравнения. В нашем случае их будет 2. Введите приближения, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что для ввода значания первой производной вам нужно использовать символ «верхний апостроф«. Если вы его не можете ввести с клавиатуры вручную воспользуйтесь приложением windows Capter Map или используйте комбинацию клавиш Alt + 96 или Alt + 39

Рис. 2. Ввод первого приближения для решения дифференциального уравнения

Теперь, после начального приближения введите любую переменную (например y) и присвойте ей функцию Odesolve, как показано на рисунке 3. В качестве параметров функции Odesolve используется переменная t и интервал интегрирования. В нашем случае интервал равен 15

Рис. 3. Ввод функции odesolve для решения дифференциального уравнения

Можно отобразить функцию y на графике, где в качестве аргумента будет переменная t. Этот график и будет являться решением дифференциального уравнения. Обратите внимание, что график строится в пределах интервала интегрирования. Особенности оформления и отображения графиков в mathcad 15 смотрите в соответствующем разделе

Рис. 4. Вывод результата решения дифференциального уравнения на график

После корректного решения дифференциального уравнения функцию y(t) можно использовать далее в расчетах

Рис. 5. Результат решения дифференциального уравнения в mathcad 15 и старше

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Дифференциальные уравнения в mathcad 15

Электронный курс по MathCAD

5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем.(Задача Коши и граничные задачи).

Решение одиночного дифференциального уравнения.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.

Odesolve(x,b,[step]) — Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x — переменная интегрирования, действительное число
b — конечная точка отрезка интегрирования
step — величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

1. Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.
2. Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.
3. При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ‘ (штрих) — [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).
4. Конечная точка должна быть больше начальной.
5. Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f ‘(a)+f(a)=5).
6. Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом ( f(x))

Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.

Для численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем могут быть использованы функции: rkfixed(y,x1,x2,n,F) — возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x rkadapt(y,x1,x2,n,F) — ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed Bulstoer(y,x1,x2,n,F) — дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer) Агрумкнты вышеуказанных функций:
y — вектор начальных условий
x1,x2 — границы интервала для поиска решения
n — количество точек на интервале
F(x,y) — вектор-функция первых производных При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка. В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй — значение функции, третий — для диф. уравнений 2-го порядка — значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M &lt &gt Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb , Stiffr Stiffb(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock

Первые пять аргументов такие же,как и при решении хорошо обусловленных систем дифференциальных уравнений . Дополнительный аргумент — матрица J размером nx(n+1), первый столбец которой содержит частные производные dF/dx, остальные столбцы и строки представляют собой матрицу Якоби dF/dy Пример решения жесткой системы дифференциальных уравнений. Для отыскания решения системы диф. уравнений только в конечной точке используются функции bulstoer,rkadapt, stiffb, stiffr (начинаются с прописной буквы).

Набор парамтров для этих функций :
bulstoer(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
rkadapt(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
stiffb(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save)
stiffr(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save) Первые три параметра и пятый (F) этих функций те же, что идля функции Rkadapt. Дополнительные параметры:
acc — параметр, контролирующий точность решения (реком. асс=0.001)
kmax — максимальное число промежуточных точек в которых ищется решение
save — минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение

Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если для дифференциального уравнения n-го порядка k граничных условий заданы в начальной точке х1, а (n-k) граничных условий — в конечной точке х2, то такая задача называется краевой. В MathCAD реализованы две функции, позволяющие численно найти недостающие условия в точках х1 и х2. Двухточечная краевая задача Задача решается в два этапа. Сначала с помощью функции sbval находятся недостающие начальные значения, а затем применяется одна из выше описанных функций для решения стандартной задачи Коши на отрезке. sbval(v,x1,x2,F,load,score) — ищет недостающие начальные условия в точке х1
v — вектор началных приближений для искомых начальных значений в точке х1,
х1,х2 — граничные точки интервала
F(x,y) — вектор-столбец из n элементов, содержит правые части дифференциальных уравнений
load(x1,v) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(x2,y) — вектор-столбец размерности вектора v, содержащий разность между начальным условием в точке х2 и значеием искомого решения в этой точке. Краевая задача с условиями внутри интервала. На первом этапе используется функция balfit(V1,V2,x1,x2,xf,F,load1,load2,score) — ищет недостающие начальные условия в точках х1 и х2, сшивая решения, выходящие из этих точек, в точке xf
V1,V2 — вектора началных приближений для искомых начальных значений в точках х1 и х2
х1,х2 — граничные точки интервала
load1(x1,V1) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения
load2(x2,V2) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х2; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(xf,y) — вектор-столбец размерности n, содержащий разность между решениями, начинающимися в точках х1 и х2, в точке xf

Урок 25. Дифференциальные уравнения в Mathcad

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит два вида переменных: зависимые (y(x)) и независимые (x).

1. Решение можно получить с помощью блока решения и функции odesolve().
2. Используйте оператор дифференцирования или штрих в записи дифференциального уравнения. Штрих вводится с помощью [Ctrl+’].
3. Введите необходимые граничные условия (они могут содержать запись производной через штрих).
4. Функция odesolve() содержит зависимую переменную и независимую переменную.
5. Зависимые переменные записываются как функции от независимых.
6. В завершение присвойте выходной переменной функцию odesolve(). Выходная переменная не записывается как функция от независимой переменной.
7. Однако, при использовании вывода нужно записывать его как функцию независимой переменной.

Дифференциальные уравнения в mathcad 15

В свободном поле mathcad введите оператор Given. Этот оператор запускает процесс ввода исходных данных для корректной работы функции odesolve. После этого найдите панель под названием Calculus. В этой панели нам понадобятся кнопки Derivative и Nth Derivative. Эти кнопки вводят заготовки для дифференциального уравнения. С помощью клавиатуры введите уравнение, как показано на рисунке 1. Знак равенства необходимо использовать из панели Boolean

Рис. 1. Ввод исходных данных для решения дифференциального уравнения

Далее введите начальные приближения. Количество начальных приближений зависит от порядка дифференциального уравнения. В нашем случае их будет 2. Введите приближения, как показано на рисунке 2. Обратите внимание, что для ввода значания первой производной вам нужно использовать символ «верхний апостроф«. Если вы его не можете ввести с клавиатуры вручную воспользуйтесь приложением windows Capter Map или используйте комбинацию клавиш Alt + 96 или Alt + 39

Рис. 2. Ввод первого приближения для решения дифференциального уравнения

Теперь, после начального приближения введите любую переменную (например y) и присвойте ей функцию Odesolve, как показано на рисунке 3. В качестве параметров функции Odesolve используется переменная t и интервал интегрирования. В нашем случае интервал равен 15

Рис. 3. Ввод функции odesolve для решения дифференциального уравнения

Можно отобразить функцию y на графике, где в качестве аргумента будет переменная t. Этот график и будет являться решением дифференциального уравнения. Обратите внимание, что график строится в пределах интервала интегрирования. Особенности оформления и отображения графиков в mathcad 15 смотрите в соответствующем разделе

Рис. 4. Вывод результата решения дифференциального уравнения на график

После корректного решения дифференциального уравнения функцию y(t) можно использовать далее в расчетах

Рис. 5. Результат решения дифференциального уравнения в mathcad 15 и старше

Donec eget ex magna. Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fergiat. Pellentesque in mi eu massa lacinia malesuada et a elit. Donec urna ex, lacinia in purus ac, pretium pulvinar mauris. Curabitur sapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipiscing elit. Duis dapibus rutrum facilisis. Class aptent taciti sociosqu ad litora torquent per conubia nostra, per inceptos himenaeos. Etiam tristique libero eu nibh porttitor fermentum. Nullam venenatis erat id vehicula viverra. Nunc ultrices eros ut ultricies condimentum. Mauris risus lacus, blandit sit amet venenatis non, bibendum vitae dolor. Nunc lorem mauris, fringilla in aliquam at, euismod in lectus. Pellentesque habitant morbi tristique senectus et netus et malesuada fames ac turpis egestas. In non lorem sit amet elit placerat maximus. Pellentesque aliquam maximus risus, vel venenatis mauris vehicula hendrerit.

Interdum et malesuada fames ac ante ipsum primis in faucibus. Pellentesque venenatis dolor imperdiet dolor mattis sagittis. Praesent rutrum sem diam, vitae egestas enim auctor sit amet. Pellentesque leo mauris, consectetur id ipsum sit amet, fersapien risus, commodo eget turpis at, elementum convallis elit. Pellentesque enim turpis, hendrerit tristique lorem ipsum dolor.

Дифференциальные уравнения в mathcad 15

Электронный курс по MathCAD

5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем.(Задача Коши и граничные задачи).

Решение одиночного дифференциального уравнения.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и сявляется его заключительным ключевым словом.

Odesolve(x,b,[step]) — Возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения. Используется в блоке с оператором Given.
x — переменная интегрирования, действительное число
b — конечная точка отрезка интегрирования
step — величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент)

1. Уравнение должно быть линейным относительно старшей производной.
2. Число заданных начальных или граничных условий внутри блока должно быть равно порядку уравнения.
3. При записи уравнения для обозначения производных функции используйте специальные кнопки с панели Math или ‘ (штрих) — [Ctrl+F7], для знака равенства = [Ctrl+=] (в том числе и для дополнительных условий).
4. Конечная точка должна быть больше начальной.
5. Не допускаются начальные и граничные условия смешанного типа (f ‘(a)+f(a)=5).
6. Искомая функция в блоке дложна быть обязательно с аргументом ( f(x))

Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем.

Для численного решения задачи Коши для дифференциальных уравнений и систем могут быть использованы функции: rkfixed(y,x1,x2,n,F) — возвращает матрицу решений системы уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка при фиксированном шаге по x rkadapt(y,x1,x2,n,F) — ищет решение с переменным шагом ( там, где решение меняется медленнее, шаг увеличивается, а в области быстрого изменения решения шаг функции уменьшается). Возвращается решение с равным шагом. Функция работает быстрее, чем rkfixed Bulstoer(y,x1,x2,n,F) — дает более точное решение (методом Bulirsch-Stoer) Агрумкнты вышеуказанных функций:
y — вектор начальных условий
x1,x2 — границы интервала для поиска решения
n — количество точек на интервале
F(x,y) — вектор-функция первых производных При решении дифференциальных уравнений порядка выше первого (или систем уравнений, выше первого порядка) исходное уравнение (систему) необходимо преобразовать к системе дифференциальных уравнений первого порядка. В результате работы укзанных функций рассчитывается матрица, количество стобцов которой равно порядку уравнения +1(или сумме порядков уравнений в системе +1), а количество строк равно параметру n. Первый столбец содержит значения независимой переменной, второй — значение функции, третий — для диф. уравнений 2-го порядка — значение производной искомой функции (если решается система двух уравнений 1-го порядка, то третий столбец будет содержать значения второй функции). Для выделения решений (функций или их производных) можно воспользоваться стандартным оператором вывода столбцов матрицы M &lt &gt Если матрица правых частей дифференциальных уравнений почти вырождена, то такие системы называются жесткими. В этом случае решения, возвращаемые функцией rkfixed будет неустойчивым и для решения таких систем необходимо применять функции Stiffb , Stiffr Stiffb(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Bulirsch-Stoer Stiffr(y,x1,x2,n,F,J) — ищет решение диф. уравнения или системы дифференциальных уравнений методом Rosenbrock

Первые пять аргументов такие же,как и при решении хорошо обусловленных систем дифференциальных уравнений . Дополнительный аргумент — матрица J размером nx(n+1), первый столбец которой содержит частные производные dF/dx, остальные столбцы и строки представляют собой матрицу Якоби dF/dy Пример решения жесткой системы дифференциальных уравнений. Для отыскания решения системы диф. уравнений только в конечной точке используются функции bulstoer,rkadapt, stiffb, stiffr (начинаются с прописной буквы).

Набор парамтров для этих функций :
bulstoer(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
rkadapt(y,x1,x2,acc,F,kmax,save)
stiffb(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save)
stiffr(y,x1,x2,acc,F,J,kmax,save) Первые три параметра и пятый (F) этих функций те же, что идля функции Rkadapt. Дополнительные параметры:
acc — параметр, контролирующий точность решения (реком. асс=0.001)
kmax — максимальное число промежуточных точек в которых ищется решение
save — минимально допустимый интервал между точками, в которых ищется решение

Решение граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Если для дифференциального уравнения n-го порядка k граничных условий заданы в начальной точке х1, а (n-k) граничных условий — в конечной точке х2, то такая задача называется краевой. В MathCAD реализованы две функции, позволяющие численно найти недостающие условия в точках х1 и х2. Двухточечная краевая задача Задача решается в два этапа. Сначала с помощью функции sbval находятся недостающие начальные значения, а затем применяется одна из выше описанных функций для решения стандартной задачи Коши на отрезке. sbval(v,x1,x2,F,load,score) — ищет недостающие начальные условия в точке х1
v — вектор началных приближений для искомых начальных значений в точке х1,
х1,х2 — граничные точки интервала
F(x,y) — вектор-столбец из n элементов, содержит правые части дифференциальных уравнений
load(x1,v) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(x2,y) — вектор-столбец размерности вектора v, содержащий разность между начальным условием в точке х2 и значеием искомого решения в этой точке. Краевая задача с условиями внутри интервала. На первом этапе используется функция balfit(V1,V2,x1,x2,xf,F,load1,load2,score) — ищет недостающие начальные условия в точках х1 и х2, сшивая решения, выходящие из этих точек, в точке xf
V1,V2 — вектора началных приближений для искомых начальных значений в точках х1 и х2
х1,х2 — граничные точки интервала
load1(x1,V1) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х1; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения
load2(x2,V2) — вектор-столбец из n элементов, содержит начальные значения в точке х2; некоторые из значений- константы, другие неизвестны и будут найдены в процессе решения.
score(xf,y) — вектор-столбец размерности n, содержащий разность между решениями, начинающимися в точках х1 и х2, в точке xf

Урок 25. Дифференциальные уравнения в Mathcad

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит два вида переменных: зависимые (y(x)) и независимые (x).

1. Решение можно получить с помощью блока решения и функции odesolve().
2. Используйте оператор дифференцирования или штрих в записи дифференциального уравнения. Штрих вводится с помощью [Ctrl+’].
3. Введите необходимые граничные условия (они могут содержать запись производной через штрих).
4. Функция odesolve() содержит зависимую переменную и независимую переменную.
5. Зависимые переменные записываются как функции от независимых.
6. В завершение присвойте выходной переменной функцию odesolve(). Выходная переменная не записывается как функция от независимой переменной.
7. Однако, при использовании вывода нужно записывать его как функцию независимой переменной.

Урок 25. Дифференциальные уравнения в Mathcad

Дифференциальные уравнения очень часто применяются для описания изменяющихся процессов. Для начала рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ): Аналитическое решение этого уравнения: Аналитическое решение является точным, и оно быстро дает результат. К сожалению, многие практические дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Поэтому нам нужны численные методы. Метод Эйлера Наиболее простой метод решения дифференциальных уравнений – метод Эйлера. Это старый метод, легкий для понимания и программирования. Вычисляем изменения, шаг за шагом: Сравнение результата и точного решения: Заметьте, что решение методом Эйлера немного отличается от точного решения, и с ростом аргумента эта разница увеличивается. Уменьшить ошибку можно, если увеличить число шагов. Блок решения ОДУ Mathcad содержит все главные решатели дифференциальных уравнений. Их можно найти в меню Функции –> Дифференциальные уравнения. В этом уроке мы рассмотрим самый важный из них. Он прост в использовании и точен. Такой метод сочетает использование блока решения и функцию odesolve(). Перед решением определим: Все вхождения зависимой переменной c в блоке решения записываются как функции независимой переменной, т.е. как c(t). Есть только одно исключение – запись слева от команды odesolve(). Решение этим методом и аналитическое решение близки. Этот же результат можно получить, записав производную через штрих с помощью [Ctrl+’]: Пример: сердце и артерии Работа сердца похожа на работу поршневого насоса: оба они расширяются и сжимаются, клапаны на входе и выходе позволяют течь только в одном направлении. Впускной клапан открывается, когда камера расширяется и позволяет крови попасть в сердце из вены. При сжатии камеры впускной клапан закрывается, и кровь выбрасывается в артерию. Выпускной клапан закрывается, когда камера начинает расширяться. Пульсация потока уменьшается расширением и сжатием эластичных стенок артерий. Перепады давления возле легких низки: примем, что избыточное давление в точках A и B равно нулю. Центральным элементом являются артерии, изменение объема которых определяются разницей входного и выходного потоков: Предположим, что объем сердца изменяется во времени по синусоидальному закону, но кровь выпускается только в течение положительной полуволны: График для восьми ударов: Средний поток – это интеграл объема в течение одного удара, деленный на время удара: Расширение артерий зависит от эластичности стенок и их геометрии, но мы не будем анализировать это здесь. Предположим, что объем линейно зависит от избытка давления: Чем эластичнее стенки, тем больше значение k. Определим три значения: Сопротивление тела: Разность давлений следует из: Баланс объемов артерий: Из получаем дифференциальное уравнение для давления: Решим его таким же образом, как и предыдущее, с той разницей, что k передадим в блок решения как параметр: Выведем решения: Максимумы давления зависят от эластичности артерий – чем больше эластичность, тем меньше давление: Здесь мы использовали для примера одно дифференциальное уравнение первого порядка, но Mathcad этим не ограничивается. Резюме

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит два вида переменных: зависимые (y(x)) и независимые (x).

1. Решение можно получить с помощью блока решения и функции odesolve().
2. Используйте оператор дифференцирования или штрих в записи дифференциального уравнения. Штрих вводится с помощью [Ctrl+’].
3. Введите необходимые граничные условия (они могут содержать запись производной через штрих).
4. Функция odesolve() содержит зависимую переменную и независимую переменную.
5. Зависимые переменные записываются как функции от независимых.
6. В завершение присвойте выходной переменной функцию odesolve(). Выходная переменная не записывается как функция от независимой переменной.
7. Однако, при использовании вывода нужно записывать его как функцию независимой переменной.

Как записать дифференциальное уравнение в mathcad

Дифференциальные уравнения являются основой огромного количества расчетных задач из самых различных областей науки и техники.

В MathCAD нет средств символьного (точного) решения дифференциальных уравнений, но достаточно хорошо представлены численные методы их решения.

Дифференциальные уравнения – это уравнения, в которых неизвестные являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных. Эти уравнения (или системы) включают соотношения между искомыми функциями и их производными. Если в уравнения входят производные только по одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях в частных производных. Таким образом, решить (иногда говорят проинтегрировать) дифференциальное уравнение – значит, определить неизвестную функцию на определенном интервале изменения ее переменных.

Как известно, одно обыкновенное дифференциальное уравнение или система ОДУ имеет единственное решение, если помимо уравнения определенным образом заданы начальные или граничные условия. Имеется два типа задач, для которых возможно численное решение ОДУ с помощью MathCAD:

— задачи Коши, для которых определены начальные условия на искомые функции, т.е. заданы значения этих функций в начальной точке интервала интегрирования уравнения;

— краевые задачи, для которых заданы определенные соотношения сразу на обеих границах интервала.

Из дифференциальных уравнений в частных производных есть возможность решать только уравнения с двумя независимыми переменными: одномерные параболические и гиперболические уравнения, такие как уравнения теплопроводности, диффузии, волновые уравнения, а также двухмерные эллиптические уравнения (уравнения Пуассона и Лапласа).

В MathCAD нет универсальной функции для решения дифференциальных уравнений, а есть около двадцати функций для различных видов уравнений, дополнительных условий и методов решения. Эти функции можно найти в библиотеке Insert/Function, категория “Differential Equation Solving (решение дифференциальных уравнений).

Решение Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ)

ОДУ первого порядка .

ОДУ первого порядка называется уравнение

F – известная функция трех переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

График решения y(x) называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Если не заданы начальные условия, таких решений y(x) будет множество. При известных начальных условиях y(x₀)= y₀ решение y(x) будет единственным.

Вычислительный процессор MathCAD может работать только с нормальной формой ОДУ. Нормальная форма ОДУ – это ОДУ, разрешенное относительно производной

ОДУ высших порядков .

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F – известная функция n+2 переменных;

x – независимая переменная на интервале интегрирования[a,b];

y – неизвестная функция;

n – порядок уравнения.

Функция y(x) является решением дифференциального уравнения, если она при всех xÎ[a,b] удовлетворяет уравнению

Нормальная форма ОДУ высшего порядка имеет вид

Если не заданы начальные условия, то дифференциальное уравнение n – го порядка имеет бесконечное множество решений, при задании начальных условий y(x₀)= y₀, y’(x₀)= y_0,1, y’’(x₀)= y_0,2, …, y ( n -1) (x₀)= y_0,n-1 решение становится единственным (задача Коши).

Задача Коши для дифференциального уравнения n – го порядка может быть сведена к задаче Коши для нормальной системы n дифференциальных уравнений 1 го порядка, которая в векторной форме имеет вид

Эта система получается в результате следующей замены:

Для численного интегрирования ОДУ в MathCAD имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции. Оба способа обладают одинаковыми возможностями, но при использовании блока решения запись уравнений более привычна и наглядна, однако отдельная функция может быть использована в составе других функций и программ. Рассмотрим оба варианта решения.

Вычислительный блок Given/Odesolve

Ниже приведены два примера для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка с использованием вычислительного блока решения Given/Odesolve.

Вычислительный блок для решения одного ОДУ состоит из трех частей:

— ключевое слово given;

— ОДУ и начальные условия, записанные с помощью логического равенства;

— встроенная функция Odesolve(x, b) относительно независимой переменной x на интервале [a, b]; b – верхняя граница отрезка интегрирования. Допустимо и даже предпочтительнее задание функции Odesolve(a, b, step) с тремя параметрами, где step – внутренний параметр численного метода, определяющий количество шагов; чем больше step, тем с лучшей точностью будет получен результат, но тем больше времени будет затрачено на его поиск.

Функция Odesolve возвращает решение задачи в виде функции. Эта функция не имеет символьного представления и может только вернуть численное значение решения уравнения в любой точке интервала интегрирования.

Функция Odesolve использует для решения дифференциальных уравнений наиболее популярный алгоритм Рунге-Кутта четвертого порядка, описанный в большинстве книг по методам вычислений. Он обеспечивает малую погрешность для широкого класса систем ОДУ за исключением жестких систем. Если щелчком правой кнопки мыши на блоке формул с функцией Odesolve вызвать контекстное меню, то можно изменить метод вычисления решения, выбрав один из трех вариантов: Fixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования (этот метод используется по умолчанию), Adaptive – также метод Рунге-Кутта, но с переменным шагом, изменяемым в зависимости от скорости изменения функции решения, Stiff – метод, адаптированный для решения жестких уравнений и систем (используется так называемый метод PADAUS).

Альтернативный метод решения ОДУ заключается в использовании одной из встроенных функций: rkfixed, Rkadapt, или Bulstoer. Все они решают задачу Коши для системы дифференциальных уравнений первого порядка, но каждая из них использует для этого свой метод. Для простых систем не играет большой роли, какой метод использовать – все равно получите решение достаточно быстро и с высокой точностью. Но для сложных или специфических систем бывает, что некоторые методы вообще не могут дать удовлетворительного решения за приемлемое время. Именно для таких сложных, но не редких случаев в MathCAD и введено несколько различных методов решения систем ДУ.

— rkfixed – метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом интегрирования. Самый простой и быстрый метод, но далеко не всегда самый точный. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Fixed.

— Rkadapt – метод Рунге-Кутта с переменным шагом интегрирования. Величина шага адаптируется к скорости изменения функции решения. Данный метод позволяет эффективно находить решения уравнений, в случае если оно содержит как плавные, так и быстро меняющиеся участки. Там, где решение меняется слабо, шаги выбираются более редкими, а в областях его сильных изменений – частыми. В результате для достижения одинаковой точности требуется меньшее число шагов, чем для rkfixed. Полностью аналогичен использованию функции Odesolve с выбранным в контекстном меню методом Adaptive.

— Bulstoer – метод Булирша-Штера. Этот метод более эффективен, чем метод Рунге-Кутта, в случае если решение является плавной функцией.

Имена функций Rkadapt и Bulstoer начинаются с прописной буквы. В MathCAD для некоторых имен функций неважно, с какой буквы они записаны, но для перечисленных функций это принципиально, т.к. в MathCAD также существуют функции с такими же именами, только записанные с маленькой буквы – rkadap, bulstoer. Эти функции используются в тех случаях, когда важным является решение задачи в конечной точке интервала интегрирования.

Выше приведены примеры решения тех же дифференциальных уравнений первого и второго порядка, которые были решены с использованием вычислительного блока Given/Odesolve.

Применение встроенных функций в документах MathCAD выглядит сходным образом, т.е. функции Rkadapt и Bulstoer имеют тот же синтаксис, что и выше приведенная функция rkfixed. Назначение аргументов в этих встроенных функциях следующее:

— y – вектор начальных значений неизвестных функций, входящих в систему. В случае одного уравнения и одной неизвестной функции – это просто число.

— а – начало отрезка, на котором ищется решение системы (отрезка интегрирования). Именно в этой точке значения неизвестных функций принимаются равными элементам вектора y.

— b – конец отрезка интегрирования.

— n – количество частей, на которые разбивается отрезок [a, b] при решении системы. Чем больше это число, тем точнее получается решение, но расчет занимает больше времени.

— F(x,y) – векторная функция, элементы которой содержат правые части уравнений системы в нормальной форме (когда левые части – первые производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют). Аргументами этой функции являются вектор y, элементы которого соответствуют различным неизвестным функциям системы, и скалярный аргумент x , соответствующий независимой переменной в системе. В случае одного уравнения функция F может быть скалярной функцией, зависящей от двух скалярных переменных x и y.

Возвращаемым значением всех вышеперечисленных встроенных функций является матрица. Первый столбец этой матрицы – это точки, на которые разбивается отрезок [a, b], а остальные столбцы – это значения функций системы в этих точках. Если в аргументе функции rkfixed было указано количество частей n = 100, то матрица будет содержать 101 строку вместе с начальной.

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для численного интегрирования систем ОДУ в MathCAD также имеется выбор – либо использовать вычислительный блок Given/Odesolve, либо встроенные функции rkfixed, Rkadapt и Bulstoer.

При решении систем ОДУ MathCAD требует, чтобы система ОДУ была представлена в нормальной форме (когда левые части – первые производные от соответствующих функций, а в правых частях производные отсутствуют):

где Y и Y’ – соответствующие неизвестные векторные функции переменной t, а F – вектор правых частей системы уравнений первого порядка. Именно векторное представление используется для ввода системы ОДУ в среде MathCAD.

Если в систему ОДУ входят и уравнения высших порядков, то оно тоже сводится к системе уравнений первого порядка, как было показано выше. При этом количество нулевых условий для вычислительного блока Given/Odesolve, а также размер вектора начальных условий y и размер вектора правых частей F(x,y) для встроенных функций rkfixed, Rkadapt и Bulstoer должны быть равны сумме порядков всех уравнений.

Вначале покажем решение систем ОДУ первого порядка с использованием вычислительного блока Given/Odesolve

Функция Odesolve для системы ОДУ имеет несколько иной, по сравнению с одним уравнением, синтаксис. Теперь она возвращает вектор функций, составляющих решение системы. Поэтому в качестве первого аргумента функции нужно ввести вектор, состоящий из имен функций, использованных при вводе системы. Второй и третий аргументы то же самое, что и в задаче с одним ОДУ.

Решение системы ОДУ показано на графике слева. Как известно, решения ОДУ часто удобнее изображать не в таком виде, а в фазовом пространстве, по каждой из осей которого откладываются значения каждой из найденных функций (как показано на рисунке справа). При этом аргумент входит в них лишь параметрически. В рассматриваемом случае двух ОДУ такой график – фазовый портрет системы – является кривой на фазовой плоскости. В общем случае, если система состоит из N ОДУ, то фазовое пространство является N – мерным. При N > 3 наглядность теряется, и для визуализации фазового портрета приходится строить его различные проекции.

Рассмотрим решение этой же системы ОДУ первого порядка с использованием встроенной функции rkfixed.

Полученное решение полностью соответствует вышеприведенному решению с использованием вычислительного блока Given/Odesolve. Следует отметить, что начальные условия здесь задаются в виде вектора y, а функциям x(t) и y(t) соответствуют элементы этого вектора y₁ и y₂. Вектор начальных условий y и вектор правых частей F имеют размер равный двум, т.к. система состоит из двух уравнений первого порядка. Для системы ОДУ, состоящей из двух уравнений второго порядка, размер этих векторов будет равен четырем

Решение жестких ОДУ и систем ОДУ .

Сложно дать математически точное определение жесткости, поскольку задачи, входящие в этот класс, весьма разнообразны. Чаще всего жесткими дифференциальными уравнениями называются уравнения, в решении которых есть плавно меняющаяся компонента, а также быстро затухающие возмущения.

Для жестких систем (stiff) не работает обычный метод Рунге-Кутта или Булирша-Штера. Наличие быстро затухающего возмущения приводит к тому, что эти численные методы дают расходящееся решение. Для жестких задач разрабатываются специальные методы. В MathCAD предусмотрены три различные функции для решения жестких задач:

— Radau – метод Radaus для жестких систем. Полностью аналогичен использованию функции odesolve с выбранным в контекстном меню методом Stiff.

— Stiffb – метод Булирша-Штера, адаптированный для жестких систем.

Краевые задачи для ОДУ

Постановка краевых задач для ОДУ отличается от задач Коши, рассмотренных выше, тем, что граничные условия для них ставятся не в одной начальной точке, а на обеих границах расчетного интервала. Если имеется система N ОДУ первого порядка, то часть из N условий может быть поставлена на одной границе интервала, а оставшиеся условия – на противоположной границе. В связи с тем, что условия поставлены не на одной, а на обеих границах интервала, краевые задачи нельзя решить изложенными выше методами, предназначенными для задач Коши. Для решения краевой задачи в MathCAD нет отдельной функции. Однако есть функции, позволяющие превратить краевую задачу в задачу Коши. Эти функции «угадывают» недостающие начальные условия, исходя из того, что решение должно удовлетворять заданным условиям в конечной точке интервала интегрирования. Простейшей из функций, предназначенных для приведения краевой задачи к задаче Коши, является функция sbval.

Для того, чтобы решить двухточечную краевую задачу с помощью этой функции, следует выполнить следующие действия:

1. Задайте вектор v с количеством элементов равным количеству недостающих начальных условий. Значения элементов этого вектора – это начальные приближения, исходя из которых будет происходить поиск недостающих начальных условий. На данном этапе не конкретизируется, какой из элементов вектора будет соответствовать начальному значению той или иной неизвестной функции в задаче.
2. Задайте функцию F (x,y). Эта функция уже описывалась выше. Она представляет собой вектор, каждый элемент которого – это правая часть одного из уравнений системы.
3. Задайте еще одну векторную функцию load (x,v). Это функция от скалярного аргумента x и вектора v, который имеет столько же компонент, сколько недостающих начальных условий в системе. Сам вектор load должен содержать такое же количество элементов, как и вектор F, т.е. столько, сколько должно быть начальных условий в задаче. Если начальное значение какой-либо из функций известно, то соответствующий элемент вектора load должен содержать это значение. Для функций, начальное значение которых неизвестно, соответствующий элемент вектора load должен содержать один из элементов вектора v.
4. Следует задать еще одну некоторую функцию score (x,y). Аргументы этой функции – скаляр x и вектор y, который имеет столько элементов, сколько уравнений в системе. Количество компонент вектора score должно равняться количеству граничных условий, заданных в конечной точке отрезка интегрирования. На самом деле каждая компонента этого вектора задает одно из граничных условий в конечной точке. Например, если в задаче есть граничной условие y_i(b)=c, то один из элементов вектора score должен быть функцией, которая обращается в нуль при значениях x=b и y(b)=c. Конкретный вид этой функции не играет особой роли, поэтому проще всего задавать ее в таком виде: score_k(x,y):=y_i-c. Таким же образом должны быть заданы все элементы вектора score для всех конечных условий задачи.
5. Теперь все введенные величины нужно использовать как аргументы в функции sbval. Использование этой функции выглядит следующим образом: Y:=sbval(v,a,b,F,load,score). Аргументы a и b – это начало и конец отрезка интегрирования.
6. Результатом функции sbval будет вектор, содержащий недостающие начальные значения. Их последовательность задается той последовательностью, в которой были использованы компоненты вектора v в функции load.
7. Постройте вектор начальных значений, используя известные начальные значения, а также элементы вектора Y, там где значения были неизвестны.
8. Теперь можно решить полученную задачу как задачу Коши, с помощью, например, функции Rkadapt.

Ниже приведено решение дифференциального уравнения на отрезке [0,3] с начальным условием y(0)=1 и граничным условием y(3)=4. Недостающее начальное условие – y’(0).

Решение уравнений в частных производных .

Постановка задач для уравнений в частных производных включает определение самого уравнения (или системы нескольких уравнений), а также необходимого количества краевых условий (число и характер которых зависит от специфики уравнения). Согласно своему названию, уравнения должны содержать частные производные неизвестной функции u (или нескольких функций, если уравнений несколько) по различным аргументам, например, пространственной переменной x и времени t. Соответственно, для решения задачи требуется вычислить функцию нескольких переменных, например, u(x,t) в некоторой области определения аргументов 0 £ x £ L и 0£ t £ T. Граничные условия определяются как заданные временные зависимости функции u, или производных этой функции, на границах расчетной области 0 и L, а начальные – как заданная функция u(x,0).

Сами уравнения в частных производных (несколько условно) можно разделить на три основных типа:

— параболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, причем все эти производные входят в уравнение с одинаковым знаком;

— гиперболические – содержащие первую производную по одной переменной и вторую – по другой, входящие в уравнения с разными знаками;

— эллиптические – содержащие только вторые производные, причем одного знака.

Средства MathCAD позволяют решать одномерные параболические и гиперболические уравнения (с одной пространственной и одной временной переменной), а также двумерное уравнение Пуассона. Такой, казалось бы, узкий круг решаемых задач на самом деле охватывает подавляющее большинство задач, возникающих в физике и технике.

Дифференциальные уравнения параболического типа.

Для решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа можно построить группу решения с функцией pdesolve. Такая группа решения состоит из следующих элементов.

1. Ключевое слово given
2. Уравнение, которое нужно решить. Уравнение должно иметь такой вид: . Для ввода производных в данном случае нельзя пользоваться обычным оператором производной, а нужно пользоваться нижним индексом, как это обычно делается в литературе для записи уравнений в частных производных. При этом нижний индекс набирается не как числовой, а как буквенный (точка).
3. Граничные условия для функции u(x,t). Если уравнение второго порядка по x, то граничных условий должно быть два. Можно использовать как граничные условия Дирихле (u(x₀,t) = w(t)), так и граничные условия Неймана (u_x(x₀,t) = w(t)) или их комбинацию, как в вышеприведенном примере.
4. Начальное значение для неизвестной функции – u(x,0).
5. функция pdsolve(u,x,xrange,t,trange,xpts,tpts). Ее аргументы имеют следующее назначение

— u – имя функции, относительно которой решается уравнение. Для системы уравнений здесь должен быть вектор имен функций (как в odesolve).

— X- имя пространственной переменной.

— Xrange – двухкомпонентный вектор, задающий начало и конец интервала изменения пространственной переменной.

— T – имя временной переменной. Основная разница между пространственной и временной переменными в данном случае – это то, что все уравнения могут содержать только первые производные по временной переменной.

— Trange – еще один двухкомпонентный вектор. Этот вектор задает начало и конец временного интервала, на котором решается задача.

— Xpts, tpts – количество точек, разбивающих для интегрирования пространственный и временной интервалы соответственно. Эти два параметра можно не указывать, тогда количество точек будет выбрано автоматически из соображений достаточной точности. Рекомендуется задавать эти параметры во всех задачах, кроме простых, поскольку во многих случаях высокая точность вычислений теряет смысл из-за погрешности, вносимой самим методом.

Выше приведен пример решения одномерной задачи теплопроводности для одного бруска, один конец которого теплоизолирован, а ругой поддерживается при определенной температуре

Дифференциальные уравнения гиперболического типа.

Функция pdsolve также позволяет решать системы ДУ в частных производных первого порядка по времени. Такая возможность может быть использована для решения задач с ДУ гиперболического типа. Ведь поскольку уравнения гиперболического типа содержат вторую производную по времени, то они не могут быть напрямую введены для решения функцией pdsolve. ДУ гиперболического типа должно быть приведено к системе из двух уравнений первого порядка по времени (как это делалось ранее для обычных ДУ высоких порядков). А далее полученная задача может быть решена с помощью функции pdsolve как система уравнений.

Помимо вычислительного блока given/pdsolve, для решения параболических и гиперболических уравнений можно использовать встроенную функцию numol.

Эллиптические уравнения .

Решение эллиптических уравнений в частных производных реализовано только для единственного типа задач – двумерного уравнения Пуассона. Это уравнение содержит вторые производные функции u(x,y) по двум пространственным переменным. Для его решения в MathCAD есть отдельные встроенные функции multigrid и relax.

Решение дифференциальных уравнений в Mathcad

Mathcad может осуществлять численное решение уравнений полного дифференциала, систем дифференциально-разностных уравнений, и некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad введены следующие функции:

rkadapt(у, х1, х2, асc, п, F, k, s) — возвращает матрицу, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от х1 до х2 для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом. Начальные условия заданы в векторе у, правые части системы записаны в векторе F, n — число шагов, k — максимальное число промежуточных точек решения, s — минимально допустимый интервал между точками;

Rkadapt(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта с переменным шагом для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2, п — число шагов;

rkfixed(y, х1, х2, п, F) — возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе у, правые части которых записаны в символьном векторе F, на интервале от х1 до х2 при фиксированном числе шагов п.

Функция Rkadapt обычно, благодаря автоматическому изменению шага решения, дает более точный результат. Естественно, по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя и не всегда: если решение меняется медленно, это может привести к заметному уменьшению числа шагов. Таким образом, функция Rkadapt наиболее привлекательна для решения систем дифференциальных уравнений, дающих медленно изменяющиеся решения.

Если решение системы дифференциальных уравнений имеет вид гладких функций, то вместо функции rkfixed, описанной ранее, целесообразно применять новую функцию:

Bulstoer(y, x1, x2, n, F)

Она возвращает матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которых (в виде первых производных неизвестных функций) записана в векторе F(x, у) при заданных в векторе у начальных условиях и при решении на интервале от x1 до x2 для n точек решения, не считая начальной точки.

Решение уравнений полного дифференциала производится функцией

Rkfixed (y, x1, x2, n_points, D).

Rkfixed возвращает матрицу, где первый столбец содержит пункты, в которых решение оценено, а второй — соответствующие значения решения и его первых n-1 производных.

Для решения дифференциальных уравнений первого порядка Rkfixed использует метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Обозначения: Y — n-мерный вектор первоначальных значений (от x1).x1, x2 — границы интервала, на котором будет решаться дифференциальные уравнение; n_points — число точек вне начальной точки, в которых решение должно быть аппроксимировано найдено. (Это средство управления числом строк (1 + n_points) в матрице, возвращаемой rkfixed).D — n-мерная векторная функция, содержащая первые производные неизвестных функций.

Mathcad: решение дифференциальных уравнений и их систем

MathCad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.

MathCad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции со скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.

Среди возможностей MathCad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

Использование греческого алфавита, как в уравнениях, так и в тексте

Выполнение вычислений в символьном режиме

Выполнение операций с векторами и матрицами

Символьное решение систем уравнений

Поиск корней многочленов и функций

Проведение статистических расчётов и работа с распределением вероятностей

Поиск собственных чисел и векторов

Вычисления с единицами измерения

Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений в качестве управляющих параметров

Решим характеристическое уравнение:

Общее решение ЛОДУ:

Найдем частное решение:

Общее решение данного ДУ:

Подставим начальные условия и решим задачу Коши:

Частное решение ДУ:

График точного решения вручную:

Найдем изображения для каждого члена ДУ:

дифференциальное уравнение погрешность

График точного решения, полученного операторным методом:

Сравнение решений, полученных классическим и операторным методом

Решение с помощью рядов

Разложим в ряд Маклорена:

Сравним решения, полученные операторным методом и с помощью рядов

Для сравнения решений построим график

Сравним решение, полученное методом Рунге-Кутты 4 порядка, с точным решением:

Совместное графическое решение ДУ всеми способами

— погрешность решения с помощью рядов

— погрешность решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка

— погрешность решения с помощью метода Эйлера

Сравним с решением, полученным классическим способом

Решение с помощью рядов

Перейдем от системы ДУ 1 порядка к двум ДУ 2 порядка:

Разложим в ряд Маклорена:

Для сравнения, построим графики решения операторным методом и с помощью рядов

Построим графики решений операторным методом и методом Эйлера

Построим графики решений операторным методом и методом Рунге-Кутты

Совместное графическое решение

— погрешности решения с помощью метода Эйлера

— погрешности решения с помощью метода Рунге-Кутты 4 порядка

— погрешности решения с помощью рядов

Многие физические законы, которым подчиняются те или иные явления, могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения описывают изменение соответствующих физических величин с течением времени и могут служить в качестве математической модели соответствующего процесса.

Дифференциальные уравнения играют важную роль в прикладной математике, физике и в других науках, таких как биология, экономика и электротехника; в действительности, они возникают везде, где есть необходимость количественного (числового) описания явлений окружающего мира.

Теория численного решения дифференциальных уравнений хорошо разработана и на ее основе создано множество прикладных программ, позволяющих пользователю получить решение и вывести его в графическом виде. Среди этих программ следует в первую очередь отметить такие математические пакеты, как MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE и MATHCAD. [3]

В представленной работе были использованы различные методы решения дифференциальных уравнений и их систем:

Решение ДУ с помощью рядов

Метод Рунге-Кутты 4 порядка

Продемонстрированы возможности пакета MathCad, показаны расхождения решений разными методами.

В ходе проведения работы было выявлено, что наиболее точные решения получаются при использовании метода Рунге-Кутты 4 порядка и метода Эйлера. Наивысшей точностью обладает метод Рунге-Кутты 4 порядка точности.

Список использованных источников

Казанцева Н. В. Численное решение задач высшей математики с использованием программных пакетов MathCad и MATLAB : метод. указания — Екатеринбург, УрГУПС, 2009 — 56 с.

Шампайн Л. Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие / Пер. с англ. И. А. Макарова. — СПб.: Издательство «Лань», 2011. — 304с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

Решение дифференциальных уравнений с помощью Mathcad

Mathcad имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). При решении ОДУ искомой величиной является функция. При использовании любых методов численного интегрирования необходимо, чтобы были заданы по крайней мере следующие величины:

набор точек в которых нужно найти решение;

само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде, который будет описан ниже.

Один из наиболее эффективных алгоритмов интегрирования ОДУ основан на численном методе Рунге-Кутты четвертого порядка. Функция, реализующая этот метод, имеет вид rkfixed (y,x₁,x₂, npoints,D)

y-вектор начальных условий размерности n, где n- порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений);

x₁, x₂ – граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциального уравнения. Начальные условия ,заданные в векторе y,- это значение решения в точке x₁;

npoints- число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed;

D(x,y) – функция,возвращающая значение в виде вектора n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

2.1 Метод Эйлера

Если задачу об отыскании всех решений дифференциального уравнения удается свести к конечному числу алгебраических операций, операций интегрирования и дифференцирования известных функций, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. В приложениях крайне редко встречаются уравнения, интегрируемые в квадратурах. Поэтому для исследования дифференциальных уравнений широко используются приближенные, численные методы их решения.

Численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши

состоит в построении таблицы приближенных значений

решения y(x) в узлах сетки

Если x_i = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной.

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x₀ + h используется информация о решении только в точкеx₀.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины y_i вычисляются по формуле

Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 приближенное решение задачи Коши

Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите соответствующие параметры

Определим правую часть уравнения

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi — cosyi), i =0, 1, . 4.

Изобразим приближенное решение графически.

y’ = sin x – cos y, y(0)=1.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, . 4

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Определим начальное условие — решение в начальной точке

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Построим график найденного решения y(x)

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат — обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

2.2 Метод Эйлера с шагом h/2.

Метод Эйлера допускает простую геометрическую интерпретацию. Пусть известна точка (x_i,y_i) интегральной кривой уравнения y‘=f(x, y).

Касательная к интегральной кривой уравнения, проходящая через эту точку, определяется уравнением

Следовательно, вычисленная методом Эйлера точка (x_i+1 ,y_i+1 ),

Найдем методом Эйлера на [0, 1] с шагом h=0.2 и с шагом h=0.1 приближенное решение задачи Коши

y’ = sin x – cos y, y(0)=1.

Изобразим приближенные решения графически.

Расчетные формулы метода Эйлера для решения этой задачи имеют вид

x0=0, y0= 1, xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi — cosyi), i =0, 1, . 4

xi+1 = xi + 0.2, yi+1 = yi + 0.2(sinxi — cosyi), i =0, 1, . 9

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, . 4 для вычислений с шагом h=0.2

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

При решении задачи с шагом h=0.2 назовем шаг h1, аргумент — x1, а решение — y1.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяющей рамки

Построим график найденного решения y1(x1)

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс обозначение компонент вектора, содержащего значения узлов сетки, а в позиции возле оси ординат — обозначение компонент вектора, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Определим диапазон изменения номера точки i=0,1, . 9 для вычислений с шагом h=0.1

Для того чтобы ввести символ диапазона изменения индекса , щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или введите с клавиатуры символ («точка с запятой»)

При решении задачи с шагом h=0.1 назовем шаг h2, аргумент — x2, а решение — y2.

Определим начальное условие

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим шаг формулы Эйлера — шаг интегрирования

Определим по формулам Эйлера значения приближенного решения в узлах сетки

Выведем в рабочий документ вычисленные значения решения. Для сравнения рядом выведены значения решения, вычисленные с большим шагом

Построим график решения y2(x2)

Построим на одном графике оба приближенные решения

Для того чтобы одновременно построить графики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

2.3 Метод Рунге – Кутты

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины y_i+1 вычисляются по следующим формулам:

Найдем на [0, 1] приближенное решение задачи Коши y’ = sin x – cos y, y(0)=1методом Рунге-Кутты 4-го порядка с шагом h=0.2 и методом Эйлера с тем же шагом.Изобразим оба приближенные решения графически

Для решения задачи методом Рунге-Кутты воспользуемся функцией rkfixed

Определим начальное условие — решение в начальной точке

Для того чтобы ввести нижний индекс переменной, щелкните по соответствующей позиции в панели Matrix или в панели Calculator

Определим правую часть уравнения

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Вычислим приближенное решение на отрезке [0,1], выполнив n=1/h=5 одинаковых шагов, методом Рунге-Кутты 4-го порядка; обозначим приближенное решение Y

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение

Для того чтобы вывести значение переменной в рабочий документ, введите имя переменной, знак равенства и щелкните по рабочему документу вне выделяюшей рамки

В первом столбце приведены значения x, во втором столбце — соответствующие значения приближенного решения

Решим ту же задачу методом Эйлера

Выведем в рабочий документ вычисленное приближенное решение, и, для сравнения, решение, вычисленное методом Рунге-Кутты

Построим графики приближенных решений

Для того чтобы построить график приближенного решения, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции возле оси абсцисс имя первого столбца матрицы Y, содержащего значения x в узлах сетки, а в позиции возле оси ординат — имя второго столбца, содержащего значения приближенного решения в узлах сетки; затем щелкните по свободному месту в рабочем документе вне поля графиков.

Для того чтобы одновременно построитьграфики нескольких функций от разных аргументов, щелкните в панели Graph по пиктограмме декартова графика, введите в помеченной позиции у оси абсцисс имя первого аргумента, запятую, имя второго аргумента, и т.д., разделяя имена аргументов запятой.

Аналогично, в позиции возле оси ординат введите имя функции первого аргумента, запятую, имя функции второго аргумента и т.д. разделяя имена функций запятой.

Когда функции определены, щелкните по рабочему документу вне поля графиков.

Для того чтобы ввести номер столбца, щелкните по соответствующему символу в панели Matrix

Для того чтобы изменить стиль изображения, щелкните дважды по полю графиков и установите в окне соответствующие параметры

Миллионы людей занимаются математическими расчетами, иногда в силу влечения к таинствам математики и ее внутренней красоте, а чаще в силу профессиональной или иной необходимости, не говоря уже об учебе. Ни одна серьезная разработка в любой отрасли науки и производства не обходится без трудоемких математических расчетов. Система Mathcad пользуется огромной популярностью во всем мире, позволяя готовить вполне профессиональные документы, имеющие вид статей и книг по математике.

Программа Microsoft Excel входит в офисный пакет Microsoft Office и предназначена для подготовки и обработки электронных таблиц под управлением операционной системой Windows. Microsoft Excel – это многофункциональный, мощный редактор электронных таблиц. Он представляет возможность производить различные расчеты, составлять списки, сметы и что немаловажно, строить наглядные графики и диаграммы.

MathCAD – это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, строительства и архитектуры, математики и статистики, организации производства и управления… Она располагает широким набором инструментальных, информационных и графических средств. Сегодня MathCAD – одна из самых популярных математических систем. Она пользуется большим спросом у студентов, инженеров, экономистов, менеджеров, научных работников и всех тех, чья деятельность связана с количественными методами расчета.

Microsoft Excel ‑ средство для работы с электронными таблицами, намного превышающее по своим возможностям существующие редакторы таблиц, первая версия данного продукта была разработана фирмой Microsoft в 1985 году. Microsoft Excel ‑ это простое и удобное средство, позволяющее проанализировать данные и, при необходимости, проинформировать о результате заинтересованную аудиторию, используя Internet. Microsoft ® Excel разработан фирмой Microsoft, и является на сегодняшний день самым популярным табличным редактором в мире. Кроме стандартных возможностей его отличает следующие возможности, он выводит на поверхность центральные функции электронных таблиц и делает их более доступными для всех пользователей. Для облегчения работы пользователя упрощены основные функции, создание формул, форматирование, печать и построение графиков.

Данная курсовая работа позволила мне более близко познакомится с пакетом прикладных программ MathCAD и Microsoft Excel. Мной было рассмотрено несколько способов решения дифференциальных уравнений.

Всё это позволило в полном объеме усвоить лекционный материал и понять перспективы использования вычислительной техники при решении различных задач практического характера.

1. Индейкин В. В. Табличный редактор Microsoft Excel. Учебное пособие. – Казань, 1999. – 75с.

Похожие публикации:

1. Как сделать свои стикеры в telegram
2. Как синхронизировать telegram на телефоне и компьютере
3. Как скачать windows movie maker на русском языке
4. Как сменить пароль icq