Как разложить функцию в ряд фурье в mathcad

Вычислительная математика. Урок 4. Разложение в ряд Фурье при помощи программы Mathcad на примере линейной функции .

Сегодня мы попробуем разложить в ряд Фурье линейную функцию, которая выражается в виде формулы:

Для вычисления коэффициентов Фурье мы воспользуемся программой Mathcad. И так, заводим формулу для вычисления A₀:

Нажимаем на кнопочку » Evaluate symbolically» из группы инструментов » Evaluate toolbar»:

И у нас выскакивает результат:

Аналогично вычисляем формулы коэффициентов A_n и B_n:

Затем ниже задаем значения переменных и скопировав полученные формулы мы можем вычислить значения коэффициентов:

Заметьте, что если мы используем символьные вычисления, то можем получить результат в виде дроби:

а если нам нужен результат именно в виде числа, то вместо кнопки » Evaluate symbolically» на надо использовать кнопку «=»:

А теперь проверим правильность разложения, посчитав значение функции и ее аппроксимацию через ряды Фурье в Excel (или написав программу на C# ) , а затем построив график :

Разложение функции в ряд Фурье в Mathcad

Для разложения несинусоидальной функции ЭДС в тригонометрический ряд Фурье необходимо [4]:

– описать исходную функцию , заданную на графике;

– рассчитать коэффициенты ряда (постоянную составляющую А_0, квадратурные составляющие B_km и С_km) по общеизвестным формулам высшей математики (это можно сделать как аналитически, так и в MathCAD).

В среде MathCADописание любого графика может быть выполнено несколькими способами [3]:

1) с помощью логической функции if (логическое условие, значение, если истина, значение, если ложь). Этот способ целесообразно использовать, если несинусоидальную функцию достаточно просто описать аналитическими выражениями на определенных отрезках, пример приведен на рисунке 2.29.

2) с помощью функции линейной интерполяции linterp(X, Y, x). Этот способ наиболее удобно использовать для формализации графиков, заданных отрезками прямых (рисунок 2.30). Однако необходимо учитывать особенность этой функции – координаты массива X, который стоит на первом месте в linterp, должны монотонно убывать или возрастать. То есть, недопустимы одинаковые координаты, моделирующие вертикальный скачок значения моделируемой функции. При необходимости же моделирования скачка можно изменить значение одной или нескольких координат на такую малую величину, что это не отразится на дальнейших вычислениях. В примере на рисунке 2.30,б это делается за счет уменьшения соответствующих координат на ничтожно малую величину dp.

Зададим координаты исходной функции (рисунок 2.30, а) Интерполируем функцию

Пример разложения в MathCAD функции рисунка 2.30, а.

Найдем коэфициенты ряда Фурье Постоянная составляющая В Зададим число гармоник Синусные составляющие Косинусные составляющие Приведем ряд к общепринятому в ТОЭ виду Изобразим на одном графике исходную и разложенную функции и Запишем разложение функции

Пример разложения в MathCAD функции рисунка 2.29.

Пример разложения функциив MathCAD функции рисунка 2.29

Найдем коэфициенты ряда Фурье

Зададим число гармоник

Синусные и косинусные составляющие

Ряды Фурье. Примеры решений

До сих пор мы раскладывали различные функции в степенные ряды, которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать.
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала, интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница. Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение: интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала:

Перед применением формулы Ньютона-Лейбница полезно мысленно либо на черновике выполнить проверку. Используя правило дифференцирования сложной функции и не забывая, что – это константа, находим производную от первообразной:
– получена исходная подынтегральная функция, как оно и должно быть.

После интегрирования константа сразу выносится за скобки, и стандартная подстановка проходит без её участия: сначала в вместо «икс» подставляем верхний предел (ноль), затем нижний предел («минус пи»). Синус нуля равен нулю, и как только что отмечалось, при любом натуральном «эн».

Кстати, результат тут виден сразу – интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю.

Не забываем о промежуточной проверке первообразной:

И на завершающем этапе даже лучше не проводить замены ,
а воспользоваться чётностью косинуса:

Крайне желательно научиться выполнять некоторые действия в уме и записывать решение сокращённо:

Желательно потому, что в рядах Фурье и без этого гелевый стержень опустеет.

Следующие два пункта отличаются усложнённой константой:

Подстановку распишу очень подробно:

Здесь на последнем этапе внесли «минус» в скобку и сделали ответ более компактным, возьмите на заметку этот приём. Также обратите внимание, что в результате применения формулы Ньютона-Лейбница, получено не число, а числовая последовательность.

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье:
, где – так называемые коэффициенты Фурье.

При этом число называют периодом разложения, а число – полупериодом разложения.

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения, полупериод, коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла.

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение: первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье. Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла. Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям:

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки, так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания 😉

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям:

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки. Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла 😉

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Взаимоуничтожаем 1 и –1 в скобках и проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле, буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее).

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости, которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию.

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода. В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда. Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция, однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ:

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Далее возникает закономерный вопрос: если схема работает на отрезке , то почему бы её не применить к разложению функций в ряд Фурье на промежутках или на каком-нибудь другом периоде?

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение: фактически аналог Примера № 3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям:

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала. Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решения интегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:

На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ:

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример № 2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам:

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение: в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ:

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

В данном случае сумма ряда непрерывна, и, разумеется, чётна. Построение графика вряд ли нуждается в комментариях:

Хотел ещё построить частичную сумму , но её график практически совпал с «красной пилой» – настолько хорошо уже такое малое количество слагаемых приближает полную сумму.

Ответ:

Думаю, все представили, как «водят хороводы» параболы при разложении функции . И, чтобы никому не было обидно, я прикреплю этот пример к дополнительным материалам.

Если – нечётная функция, то в разложениях Фурье , оказываются лишними чётные косинусы, из чего следует равенство . Более того, коэффициент тоже равен нулю, в чём легко убедиться аналитически: интеграл от нечётной функции по симметричному относительно нуля отрезку равен нулю: .

Таким образом, нечётная функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам:
на промежутке или на произвольном периоде.

При этом необходимо вычислить единственный коэффициент Фурье:
или соответственно.

Небольшая миниатюра для самостоятельного решения:

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы ряда не менее чем на трёх периодах

Решение и ответ в конце урока.

Разложение чётной функции часто маскируют типовой формулировкой, пример:

Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам на промежутке .

Если по условию не нужно чертежа, тихой сапой применяем формулы и даём ответ в виде . Про чётность можно скромно умолчать 😉

Но если дополнительно требуется построить график суммы, то необходимо понимать следующее: разложение по косинусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) чётным образом (симметрично относительно оси ) на интервал (зелёная линия), и, очевидно, функция будет иметь непрерывный пилообразный график:

В ряде случаев симметричное продолжение функции надо записать аналитически. Начинающим рекомендую графический метод: сначала на промежутке чертим отрезок прямой , затем, симметрично относительно оси ординат – его «зелёного» коллегу. Находим уравнение прямой , которая содержит зелёный отрезок (устно, или, например, по двум точкам).

Таким образом, эта же задача может быть сформулирована по-другому:
Разложить функцию в ряд Фурье.

Кстати, эта интерпретация вообще коварно умалчивает о чётности функции и может наказать двойным объёмом работы по общим формулам 😉 Поэтому в случае подозрительной похожести кусков функции (а чайникам – в любом случае!) имеет смысл сразу же изобразить её на чертеже.

Условие чётности нетрудно проверить и аналитически. В левую часть функции подставляем «минус икс»: – в результате чего «на выходе» получаем правую часть.

Решение данного примера есть в соответствующем архиве (Папка Ряды_7), который можно бесплатно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике.

Аналогично вуалируется нечётность:

Разложить функцию в ряд Фурье по синусам на промежутке .

Если чертёж не нужен, ищем коэффициент и записываем ответ в виде . О нечётности снова молчок 😉 Однако в любом случае полезно знать следующее: разложение по синусам отобразит отрезок прямой (чёрная линия) нечётным образом (симметрично относительно начала координат) на интервал (зелёная линия). И внимательный читатель статьи без труда изобразит график суммы ряда:

Составим уравнение «зелёного» продолжения (например, по предложенному в предыдущем пункте алгоритму) и перепишем задачу в эквивалентной формулировке:
Разложить функцию в ряд Фурье.

Выглядит опять провокационно, и если вам встретилось похожее условие, то сначала постройте график функции и изучите его на предмет симметрии – чтобы не пришлось использовать общие формулы разложения.

Проверим условие нечётности аналитически, для этого в левый кусок функции подставляем «минус икс»: – в результате чего «на выходе» получается правый кусок с противоположным знаком.

Вот, пожалуй, и все основные сведения о рядах Фурье, которых должно хватить для решения многих практических примеров. Надо сказать, что материал был непростой, причём изложить его доступно тоже было далеко не просто. Но вроде получилось неплохо.

Наш полёт подошёл к концу, и есть такое подозрение, что немалая часть экипажа хочет отправиться в экспедицию на Марс =) Дополнительные задачи с решениями можно закачать в Банке готовых работ, причём среди них есть и более редкие задания по теме – нахождение спектра амплитуд, суммы ряда в различных точках и т.д. Кроме того, я создал дополнительную pdf-ку, в которую включил примеры, не вошедшие в статью (всё-таки нужно соблюдать разумные рамки), а также ряды Фурье повышенной сложности, в своё время решённые на заказ студентам солидного технического ВУЗа.

Удачного путешествия – и обязательно возвращайтесь!

Решения и ответы:

Пример 1: Решение:

Пример 3: Решение: В данной задаче период разложения , полупериод . Разложим функцию в ряд Фурье: .
Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Интегрируем по частям:

Искомое разложение имеет вид:

В данном случае:

Изобразим на чертеже исходную функцию (чёрный пунктир/точки) и график суммы ряда:

Ответ:

Пример 5: Решение: в данной задаче период разложения , полупериод .
Разложим функцию в ряд Фурье:

Используя соответствующие формулы, вычислим коэффициенты Фурье:

Интегрируем по частям:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

Изобразим на чертеже сумму ряда:

Ответ:

Пример 7: Решение: в данной задаче период разложения , полупериод . Функция является нечётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по синусам: .
Вычислим коэффициент Фурье:

Таким образом:
Построим график суммы ряда:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено

Как разложить функцию в ряд фурье в mathcad

Разложение табличной функции в ряд фурье mathcad. Ряды MathCAD. Альтернативные формы преобразования Фурье

Поскольку результатом интерполяционных формул Ньютона и Лагранжа является один и тот же полином N –го порядка, то их погрешность ведет себя одинаково.

Пример 3.4. Для исходных данных, использованных в примере 3.1, вычислим значение полинома Ньютона. Сначала заполним таблицу разделенных разностей:

Используя формулу Ньютона, получим:

P 3 (1)= –1+0.6 1+(–0.1) 1 (–1)+0.0857 1 (–1) (–2)= –0.129.

Ряд Фурье позволяет изучать как периодические, так и непериодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошип- но-шатунных механизмов, акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах. В терминах обработки сигналов преобразование Фурье берет представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах. Преобразование Фурье может представить сигнал, изменяющийся во времени, в виде зависимости частоты и амплитуды, также оно даѐт информацию о фазе (рис.3.4).

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов).

Согласно гипотезе Фурье не существует функции, которую нельзя было бы разложить в тригонометрический ряд. Разложим функцию f (t ) в ряд на отрезке [–π, π]

f (t ) = a 0 /2 + a 1 cos(t ) + a 2 cos(2t ) + a 3 cos(3t ) + … + b 1 sin(t ) + b 2 sin(2t ) + b 3 sin(3t )+…,

где n-ые элементы ряда выражаются как

Рис. 3.4. Иллюстрация к разложению в ряд Фурье

Коэффициенты a n и b n называют коэффициентами Фурье , а представление функции f (t ) по формуле (3.1) – разложением в ряд Фурье . Иногда разложение в ряд Фурье, представленное в таком виде, называют действительным разложением в ряд Фурье, а коэффициенты – действительными коэффициентами Фурье (в отличие от комплексного разложения).

Проанализируем выражения (3.2) и (3.3). Коэффициент a 0 представляет собой среднее значение функции f (t ) на отрезке [–π, π] или постоянную составляющую сигнала f (t ). Коэффициенты a n и b n (при n > 0) – это амплитуды косинусных и синусных составляющих функции (сигнала) f (t ) с угловой частотой равной n . Другими словами, данные коэффициенты задают величину частотных составляющих сигналов. Например, когда мы говорим о звуковом сигнале с низкими частотами (например, звуки бас-гитары), это означает, что коэффициенты a n и b n больше при меньших значениях n и наоборот – в высокочастотных звуковых

колебаниях (например, звук скрипки) больше при больших значениях n .

Колебание самого большого периода (или самой низкой частоты), представленное суммой a 1 cos(t ) и b 1 sin(t ) называют колебанием основной частоты или первой гармоникой. Колебание с периодом равным половине периода основной частоты – второй гармоникой, колебание с периодом равным 1/n основной частоты – n -гармоникой. Таким образом, с помощью разложения функции f (t ) в ряд Фурье, мы можем осуществить переход из временной области в частотную. Такой переход обычно необходим для выявления особенностей сигнала, которые «незаметны» во временной области.

Обратим внимание, что формулы (3.2) и (3.3) применимы для периодического сигнала с периодом равным 2π. В общем случае в ряд Фурье можно разложить периодический сигнал с периодом T , тогда при разложении используется отрезок [–T /2, T /2]. Период первой гармоники равен T и составляющие примут вид cos(2πt /T ) и sin(2πt /T ), составляющие n -гармоники — cos(2πtn /T ) и sin(2πtn /T ). Если обозначить угловую частоту первой гармоники ω0 = 2π/T , тогда составляющие n -гармоники принимают вид cos(ω0 nt ), sin(ω0 nt ) и

где коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

f (t ) sin(0 nt )dt .

Разложение в ряд Фурье используется для гармонического или спектрального анализа периодических сигналов. Для спектрального анализа непериодических сигналов используется преобразование Фурье. Для этого ряд (3.4) представим, используя систему базисных функций в виде экспонент с мнимыми показателями:

Опустив ряд выкладок, выражение (3.6) запишем в виде

C () f (t ) exp(j t )dt .

Данная формула называется прямым преобразованием Фурье или преобразованием Фурье. Обычно преобразование Фурье обозначают той же (только прописной) буквой, что и аппроксимируемая функция (которая обычно обозначается строчной бук-

F () f (t ) exp(j t )dt .

Функция F (ω) называется функцией спектральной плотности (или просто спектральной плотностью, преобразованием Фурье, Фурье-образом). Область значений функции F (ω) в общем случае является множество комплексных чисел.

Обратное преобразование Фурье , обеспечивающее восста-

новление исходной функции f (t ) по функции спектральной плотности вычисляется следующим образом

f (t ) F () exp(j t )dt .

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ, DFT — Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путѐм дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Недостатком данного алгоритма является большой объем повторяющихся вычислений. Устранение этих избыточных операций приводит к так называемому алгоритму

быстрого преобразования Фурье, который обычно и используется.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — алгоритм быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть алгоритм вычисления за число действий, меньшее чем O(N 2 ), требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ (N — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения). Иногда под БПФ понимается один из быстрых алгоритмов, называемый алгоритмом прореживания по частоте/времени или алгоритмом по основанию 2.

Для того чтобы реализовать преобразование Фурье в пакете MathCAD , необходимо на панели Symbolic выбрать оператор fourier для прямого преобразования и invfourier — для обратного. Этот оператор нужно поместить следом за функцией, которую нужно преобразовать, а в качестве единственного параметра нужно указать переменную, относительно которой эта функция будет преобразована. Примеры использования показа-

ны рис. 3.5 для функции f (t ) e 2 t и на рис. 3.6, где к функции f (t ) применяется амплитудно-частотная модуляция, а далее результат раскладывается в ряд.

Рис. 3.5. Пример разложения в ряд Фурье с помощью символьной функции fourier

Рис. 3.6. Пример разложения в ряд Фурье с помощью символьной функции fourier

MathCAD содержит функции для быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения. Существует два типа функций для дискретного преобразования Фурье: fft и ifft , cfft и icfft . Эти функции дискретны: они берут в качестве аргументов и возвращают векторы и матрицы.

Функции fft и ifft используются, если выполнены следующие условия: (1) аргументы вещественные; (2) – вектор данных имеет 2m элементов.

Во всех прочих случаях используются функции cfft и icfft .

Соблюдать первое условие необходимо, потому что функции fft и ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразования Фурье является комплексно – сопряженной с первой. MathCAD отбрасывает вторую половину вектора результата, что сохраняет время и память при вычислениях. Пара функций cfft и icfft не используют симметрию в преобразовании и могут использоваться для вещественных и комплексных чисел.

Второе условие требуется, потому что пара функций fft и ifft используют высокоэффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектора аргумента, используемо-

го функцией fft , должен состоять из 2m элементов. Алгоритм функций cfft и icfft допускает в качестве аргументов векторы и матрицы произвольного размера. Для двухмерного преобразования Фурье используются только эти функции. Функции fft и ifft , cfft и icfft взаимно обратные друг другу, то есть справедливо:

На рис. 3.7 проиллюстрировано использование функций ff t(v) и ifft(v) для сигнала синусоидальной формы, на который наложены помехи с помощью функции rnd(x) , генерирующей случайные числа в диапазоне от 0 до x .

Рис. 3.7. Прямое и обратное преобразование Фурье с помощью функций fft и ifft

На данных графиках приведен Фурье образ сигнала c и сравнение исходного сигнала x с восстановленным из Фурье-образа. Б олее подробно о Фурье-анализе можно прочесть в и .

3.7 Метод наименьших квадратов

Во всех вышеизложенных методах приближения функции условия интерполяции выполнялось точно. Однако в тех случаях, когда исходные данные x i , f i , i= 1,…,N, заданы с некоторой погрешностью, можно требовать лишь приближенное выпол-

нение условий интерполяции: |F(x i ) – f i | 4, то точная задача решений не имеет: для четырех неизвестных коэффициентов (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ) условия интерполяции дают N >4 уравнений. Но теперь точного выполнения условий интерполяции не требуется, мы хотим, чтобы полином проходил рядом с заданными точками. Существует много таких полиномов, каждый из которых определяется своим набором коэффициентов. Среди всех возможных полиномов этого вида выберем тот, что имеет наименьшее среднеквадратичное отклонение в узлах интерполяции от заданных значений, т.е. многочлен должен быть самым близким к заданным точкам из всех возможных многочленов третьей степени в смысле метода наименьших квадратов (МНК). В i –й точке по-

лином P 3 (x ) отклоняется от значения f i на величину (P 3 (x i ) – f i ) . Суммируем квадраты отклонений полинома по всем точкам i= 1, 2,…, N, получим функционал квадратов отклонений:

G(a1 ,a2 ,a3 ,a4 ) (P3 (xi ) fi )2

a2 xi a3 xi 2 a4 xi 3 fi )2 .

Найдем минимум этого функционала. Для этого приравняем нулю его частные производные по переменным a 1 , a 2 , a 3 , a 4 . Используя стандартные правила дифференцирования, получим:

a2 xi a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0

a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0

G 2 xi (a1 a2 xi

a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0

a3 xi 2 a4 xi 3 fi ) 0

Собирая коэффициенты при неизвестных a i , получим СЛАУ относительно вектора неизвестных (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ):

N a1 xi a2 xi 2

Полученная система называется нормальной . Для ее решения используют стандартные методы решения СЛАУ. Как правило, число неизвестных системы (т.е. число коэффициентов интерполирующей функции) невелико, поэтому можно использовать точные методы решения СЛАУ, например, метод Крамера или метод Гаусса. Метод наименьших квадратов позволяет «приблизить» исходные данные с помощью линейной комбинации любых элементарных функций. Часто используются приближения линейной F (x )=a 1 +a 2 x, , тригонометрической F (x )=a 1 sin(x )+a 2 cos(x ), экспоненциальной F (x )=a 1 e x

xi a1 xi 2 a2 fi xi

подставляем в нормальную

Рис. 3.9. Подбор линейной

0.148. График функции F (x )=-0.04+0.57x показан на рис. 3.9 сплошной линией. Точками показаны исходные данные. Можно видеть, что найденная линейная функция действительно приближает заданные точки.

В MathCAD метод наименьших квадратов тесно связан с линейной регрессией (y(x) = b + ax ), поскольку коэффициенты a и b вычисляют из условия минимизации суммы квадратов ошибок |b + ax i – y i |. Для расчета в MathCAD имеются два дублирующих друг друга способа:

line (x,y) возвращает вектор из двух элементов коэффициентов линейной регрессии b + ax ;

Часть 3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Ряд Фурье на произвольном отрезке

Часть 2. Разложение функций в ряд Фурье

Действия с комплексными числами

Часть 1. Вычисления с комплексными числами в Mathcad

Тема: «Комплексные переменные. Разложение функций в ряд Фурье. Решение дифференциальных уравнений »

В Mathcad определена мнимая единица i: и, следовательно, определены комплексные числа и операции с ними.

Z=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа.

a – действительная часть, b – мнимая часть

Экспоненциальная (показательная) форма записи комплексного числа,

А – модуль, φ – аргумент (фаза)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Связь величин: a=A cos φ b=A sin φ

a) Сложение (вычитание) Z3=Z1±Z2=(a1±a2)+j·(b1±b2)

б) Умножение c·Z1=a·c+j·b·c

г) Возведение в степень n (натуральную)

д) Извлечение корня: , где k =0,1,2…n-1

Машина принимает только радианы. радиан=градус градус=радиан

Функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [-p;p], если существует интеграл. Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке [-p;p] функции f(x) можно поставить в соответствие её тригонометрический ряд Фурье:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера – Фурье: ,

Обозначим n – ю частичную сумму ряда Фурье кусочно – гладкой на отрезке [-p;p] функции f(x). Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

Для любой ограниченной интегрируемой на [-p;p] функции f(x) частичная сумма её ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени.

На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестностях точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n®¥, что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае. Видно также, что разность стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х.

Для кусочно – гладкой функции на отрезке [-L;L] функции f(x) задача о разложении в ряд Фурье на отрезке [-L;L] линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке [-p;p]:

Рассмотрим упрощения в рядах Фурье при различных условиях симметрии:

формула (1) формула (2)

Пусть необходимо найти решение уравнения

с начальным условием. Такая задача называется задачей Коши . Разложим искомую функцию в ряд вблизи точки и ограничимся первыми двумя членами разложения. Учтя уравнение (1) и обозначив, получаем Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.

Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера . Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h . Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h .

Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале.

Глушач В.С. УИТ-44

рактические работы 1,2. Прямое и обратное преобразование Фурье в MathCad.

Освоение работы в MathCad. Получение навыков использования преобразования Лапласа для анализа спектральных составляющих сигналов. Изучение временных и частотных шкал временного ряда и преобразования Фурье.

1. Генерируем временной ряд из трех синусоид. Количество точек должно быть равно 2 ^ n

2. Определяем среднее, дисперсию.

3. Делаем прямое и обратное преобразование Ф. Дважды преобразованный сигнал накладываем на график исходного временного ряда.

4. Находим соотношение между шкалой временного ряда по оси времени и преобразования Фурье по оси частот.

1. Выбираем дискретность по времени dt и количество точек временного ряда в виде nl:= 2 k

Пусть к:= 9 nl:= 2 k nl=512 Длина выборки во времени T:=512

Шаг по Или, учитывая, что nl-1

времени примерно равно nl Тогда i:=0..nl-l t. := i*dt

2. Генерируем входной сигнал х как сумму трех гармонических сигналов и определяем его основные статистики.

А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792×10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362×10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

1. Прямое преобразование Фурье в MathCad F:= fft(x)

Максимаьный период гармонической составляющей, которая может быть во временном ряде равен длине выборки. Эта гармоническая составляющая соответствует минимально возможной частоте по шкале частот преобразования Фурье frnin и соответственно шагу по оси частот преобразования Фурье df.

Tmax:= T frnin:=
df:= frnin df = 1.953 x 10 -3

Таким образом, минимальная частота и шаг по частоте преобразования Фурье равны frnin =df = 1/Т.

Преобразование Фурье имеет количество ординат по частоте в два раза меньше количества ординат временного ряда во времени n2=nl/2 или, включая нулевую точку (в которой преобразование Фурье не определено)

n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

Индекс текущей частоты изменяется от j=l до j=n2

При этом частота изменяется от fmin =df= 1/T Максимальная частота finax:= n2*df fmax = 0.502

до frnax=n2*df Текущая частота f i:= i*df

f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502

Обратим внимание, что преобразование Фурье определено только для частот в диапазоне от f=finin до f=fmax.

При этом пики на графике спектра Фурье соответствуют частотам исходных синусоид, т.е преобразование Фурье позволяет выделить частотные составляющие сигнала. Но амплитуды гармонических составляющих сейчас не отображают амплитуды составляющих исходного временного ряда (где А1=1, А2=0.5, А3=0.25)

Обратим также внимание, что при dt =1 максимальная частота в спектре преобразования Фурье равна frnax=0.5 колебаний в единицу шкалы времени. При dt = 1сек это соответствует fmax = 0.5 гц. При этом период максимальной частоты равен Тfmax=1/0.5=2. Это означает, что на один период максимальной частоты приходится два отбора временного ряда. Это соответствует теореме Котельникова, согласно которой для восстановления гармонического непрерывного сигнала из дискретного без потери информации на один период должно быть не менее двух отсчетов во времени.

3. Проведем проверку совпадения временных рядов до и после двойного преобразования Фурье. Для этого получим обратное преобразование Фурье от полученного прямого преобразования. Оно должно совпадать с исходным временным рядом, что подтверждается следующим графиком FF:= ifft(F)

Глушач В.С. УИТ-44

рактические работы 1,2. Прямое и обратное преобразование Фурье в MathCad.

Освоение работы в MathCad. Получение навыков использования преобразования Лапласа для анализа спектральных составляющих сигналов. Изучение временных и частотных шкал временного ряда и преобразования Фурье.

1. Генерируем временной ряд из трех синусоид. Количество точек должно быть равно 2 ^ n

2. Определяем среднее, дисперсию.

3. Делаем прямое и обратное преобразование Ф. Дважды преобразованный сигнал накладываем на график исходного временного ряда.

4. Находим соотношение между шкалой временного ряда по оси времени и преобразования Фурье по оси частот.

1. Выбираем дискретность по времени dt и количество точек временного ряда в виде nl:= 2 k

Пусть к:= 9 nl:= 2 k nl=512 Длина выборки во времени T:=512

Шаг по Или, учитывая, что nl-1

времени примерно равно nl Тогда i:=0..nl-l t. := i*dt

2. Генерируем входной сигнал х как сумму трех гармонических сигналов и определяем его основные статистики.

А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792×10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362×10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

1. Прямое преобразование Фурье в MathCad F:= fft(x)

Максимаьный период гармонической составляющей, которая может быть во временном ряде равен длине выборки. Эта гармоническая составляющая соответствует минимально возможной частоте по шкале частот преобразования Фурье frnin и соответственно шагу по оси частот преобразования Фурье df.

Tmax:= T frnin:=
df:= frnin df = 1.953 x 10 -3

Таким образом, минимальная частота и шаг по частоте преобразования Фурье равны frnin =df = 1/Т.

Преобразование Фурье имеет количество ординат по частоте в два раза меньше количества ординат временного ряда во времени n2=nl/2 или, включая нулевую точку (в которой преобразование Фурье не определено)

n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

Индекс текущей частоты изменяется от j=l до j=n2

При этом частота изменяется от fmin =df= 1/T Максимальная частота finax:= n2*df fmax = 0.502

до frnax=n2*df Текущая частота f i:= i*df

f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502

Обратим внимание, что преобразование Фурье определено только для частот в диапазоне от f=finin до f=fmax.

При этом пики на графике спектра Фурье соответствуют частотам исходных синусоид, т.е преобразование Фурье позволяет выделить частотные составляющие сигнала. Но амплитуды гармонических составляющих сейчас не отображают амплитуды составляющих исходного временного ряда (где А1=1, А2=0.5, А3=0.25)

Обратим также внимание, что при dt =1 максимальная частота в спектре преобразования Фурье равна frnax=0.5 колебаний в единицу шкалы времени. При dt = 1сек это соответствует fmax = 0.5 гц. При этом период максимальной частоты равен Тfmax=1/0.5=2. Это означает, что на один период максимальной частоты приходится два отбора временного ряда. Это соответствует теореме Котельникова, согласно которой для восстановления гармонического непрерывного сигнала из дискретного без потери информации на один период должно быть не менее двух отсчетов во времени.

3. Проведем проверку совпадения временных рядов до и после двойного преобразования Фурье. Для этого получим обратное преобразование Фурье от полученного прямого преобразования. Оно должно совпадать с исходным временным рядом, что подтверждается следующим графиком FF:= ifft(F)

Конечно невозможность работы с тригонометрическими рядами это довольно серьезный минус ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций однако на самом деле учитывая все плюса MthCD»а этот минус не так уж и велик. Преобразования Фурье Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций определенные ограничения в этом известны тригонометрическими рядами бесконечной.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Числовые и функциональные ряды играют очень важную роль в математическом анализе. Они позволяют переходить от непрерывного представления функции, используемого, например, в физике, к дискретному, которое необходимо для вычисления ее значения с помощью компьютера. Поэтому работа с рядами поддерживается MathCAD «ом в полной мере.

Самая важная операция, касающаяся как числовых, так и функциональных рядов — это, конечно же, вычисление суммы ряда. Найти оператор вычисления этой суммы без труда можно на все той же панели Calculus, и выглядит он, как и в математике, как большая греческая буква сигма. Для вычисления суммы ряда необходимо задать индекс суммирования (для определенности будем полагать, что он записывается буквой n), диапазон суммирования и, конечно же, значение n-го члена ряда. При этом можно использовать символ бесконечности для вычисления сумм бесконечных рядов (этот символ находится на все той же панели Calculus, сразу за оператором вычисления n-й производной). При этом стоит отметить, что вычисление суммы конечного ряда возможно как аналитически, так и численно, т.е. можно использовать и знак равенства, и стрелку, а вот для бесконечного ряда найти сумму можно только аналитическим путем.

Как и в других областях, где MathCAD задействует свой символьный процессор, всплывают на поверхность и начинают раздражать пользователя минусы этого самого символьного процессора. Самый главный из них, с которым мы с вами уже сталкивались — это нежелание полноценно работать с тригонометрическими функциями. Поэтому если вам нужно рассчитать сумму тригонометрического ряда, то на MathCAD в этом случае можете не рассчитывать.

Суммы функциональных рядов можно сразу дифференцировать и интегрировать (про интегрирование функций средствами MathCAD «а мы с вами поговорим позже), причем можно производить дифференцирование или интегрирование как всей суммы сразу, так и отдельных членов ряда. Пример того, как это можно сделать, показан на приведенной ниже иллюстрации. Правда, как вы видите, может показаться, будто бы результаты различаются, но если упростить первое выражение, то станет понятно, что на самом деле они абсолютно идентичны.

В общем, MathCAD действительно хороший помощник при работе с производными, пределами, рядами и, как мы с вами далее убедимся, интегралами. Конечно, невозможность работы с тригонометрическими рядами — это довольно серьезный минус, ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций, однако на самом деле, учитывая все плюса MathCAD «а, этот минус не так уж и велик. MathCAD ’у вполне по силам упростить работу с производными и интегралами, а о том, как справиться с громоздкостью получаемых результатов средствами самой среды MathCAD , мы еще побеседуем.

Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Достаточно отметить, что электротехника переменного тока, электрическая связь и радиосвязь базируются на спектральном представлении сигналов. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций (определенные ограничения в этом известны) тригонометрическими рядами бесконечной длины. При конечной длине рядов получаются наилучшие среднеквадратические приближения. MATLAB содержит функции для выполнения быстрого одномерного и двумерного быстрого дискретного преобразования Фурье. Для одномерного массива*с длиной N прямое и обратное преобразования Фурье реализуются по следующим формулам:

Прямое преобразование Фурье переводит описание сигнала (функции времени) из временной области в частотную, а обратное преобразование Фурье переводит описание сигнала из частотной области во временную. На этом основаны многочисленные методы фильтрации сигналов.

15.4.1. Преобразование Фурье

Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

Преобразование Фурье действительных данных

Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

• fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
• FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
• ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
• IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
  • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
  • v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

  Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

  Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

  Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

  Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

  Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

  Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

  Преобразование Фурье комплексных данных

  Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера «с».

  • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
  • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
  • icfft(y) —вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
  • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
    • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
    • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

    Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. «Преобразование Фурье действительных данных» этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

    Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

    Двумерное преобразование Фурье

    В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

    Как разложить функцию в ряд фурье в mathcad

    Куда делись деньги от продажи аляски?

    Куда Россия потратила деньги за Аляску?

    Картотека загадок о космосе

    Как подать документы в вуз: информация для абитуриентов

    Древний Рим. Период республики. История и культура. (Общий обзор). История Древнего Рима (кратко) Древний рим после

    Топик на тему «My future job

    Разложение табличной функции в ряд фурье mathcad. Майер Р.В

    11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

    Задача 34. Два точечных электрических заряда q 1 , q 2 имеют координаты (X 1 ,Y 1) и (X 2 ,Y 2). Рассчитайте распределение потенциала электрического поля, постройте эквипотенциальные линии и поверхность φ=φ(x,y).

    Потенциал электрического поля, создаваемого зарядами q i с координатами (X i ,Y i), i=1, 2, . в точке (x,y) равен:

    Результаты расчета эквипотенциальных линий и поверхности φ=φ(x,y) — в документе 24.mcd. Заряды положительные, поэтому по мере приближения к каждому из них потенциал возрастает.

    Задача 35. Рядом с заряженной пластиной расположены два точечных заряда. Изучите распределение потенциала и постройте силовые линии напряженности электрического поля.

    Зависимость φ=φ(x,y) определяется как в предыдущей задаче, напряженность электрического поля в двумерном случае равна:

    Для построения силовых линий вычисляются проекции вектора напряженности на оси координат и создается матрица E i,j:=Ex(x i ,y j)+ 1i· Ey(x i ,y j) и нормированная матрица A i,j , используемая для построения векторного поля (25.mcd).

    Задача 36. Рассчитайте индукцию магнитного поля, создаваемого двумя витками с током, и постройте силовые линии в случаях, когда токи сонаправлены и противоположно направлены.

    Рассмотрим виток с током, лежащий в плоскости XOY, с центром в точке O. Разобъем его на элементы dl s , определим элементарный магнитный момент, создаваемый каждым элементом в точке наблюдения, и просуммируем их.

    Элемент витка и точка наблюдения имеют координаты (r·cosφ s , r·sinφ s , 0), и (x, y, z) соответственно. Для расчета индукции магнитного поля используется закон Био—Савара—Лапласа:

    где μ 0 — магнитная постоянная, I — сила тока. Решение приведено в документе 26.mcd. Витки расположены параллельно плоскости XOY, на экране получаются силовые линии магнитного поля в плоскости YOZ.

    Задача 37. В рассмотренном случае постройте график зависимости модуля индукции магнитного поля от координаты вдоль оси витков с током и перпендикулярно ей.

    Задача 38. Получите проекции вектора индукции магнитного поля на плоскость перпендикулярную оси соленоида (витка) с током.

    Задача 39. Рассчитайте магнитное поле, создаваемое двумя (тремя) параллельными проводниками, по которым текут токи в различных направлениях.

    Задача 40. Изучите магнитное поле, создаваемое соленоидом и прямолинейным проводником с током. Получите проекции индукции магнитного поля на плоскость, содержащую проводник с током.

    Задача 41. Имеется два соленоида, расположенных соосно по отношению друг к другу. Постройте силовые линии магнитного поля в случаях, когда токи текут в одном направлении и в противоположных направлениях (27.mcd).

    В предыдущем разделе рассказывалось о возможностях символьного процессора Mathcad, позволяющего осуществить аналитическое преобразование Фурье функции, заданной формулой. Между тем огромный пласт задач вычислительной математики связан с расчетом интегралов Фурье для функций, либо заданных таблично (например, представляющих собой результаты какого-либо эксперимента), либо функций, проинтегрировать которые аналитически не удается. В данном случае вместо символьных преобразований приходится применять численные методы интегрирования, связанные с дискретизацией подынтегральной функции и называемые потому дискретным Фурье-преобразованием.

    В численном процессоре Mathcad дискретное преобразование Фурье реализовано при помощи популярнейшего алгоритма быстрого преобразования Фурье (сокращенно БПФ). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся только нормировками:

    • fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
    • FFT (у) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
    • ifft (w) — вектор обратного преобразования Фурье;
    • IFFT (w) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке:
      • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
      • w — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

      Внимание!
      Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями .

      В листинге 4.14 показан пример расчета Фурье-спектра для модельной функции f (x), представляющей собой сумму двух синусоид разной амплитуды (верхний график на рис. 4.10). Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных у i равен h. В предпоследней строке листинга корректно определяются соответствующие значения частот W, а в последней применяется встроенная функция FFT. Полученный график Фурье-спектра показан на рис. 4.10 (снизу). Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде его модуля, поскольку сам спектр, как уже отмечалось, является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в начале листинга.

      Примечание
      Более подробную информацию о свойствах и практике применения Фурье-преобразования вы найдете в главе 14 .

      Листинг 4.14 . Дискретное преобразование Фурье (алгоритм БПФ) модельного сигнала:

      Рис. 4.10 . Модельная функция и ее преобразование Фурье (продолжение листинга 4.14)

      Конечно невозможность работы с тригонометрическими рядами это довольно серьезный минус ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций однако на самом деле учитывая все плюса MthCD»а этот минус не так уж и велик. Преобразования Фурье Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций определенные ограничения в этом известны тригонометрическими рядами бесконечной.

      Поделитесь работой в социальных сетях

      Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

      Числовые и функциональные ряды играют очень важную роль в математическом анализе. Они позволяют переходить от непрерывного представления функции, используемого, например, в физике, к дискретному, которое необходимо для вычисления ее значения с помощью компьютера. Поэтому работа с рядами поддерживается MathCAD «ом в полной мере.

      Самая важная операция, касающаяся как числовых, так и функциональных рядов — это, конечно же, вычисление суммы ряда. Найти оператор вычисления этой суммы без труда можно на все той же панели Calculus, и выглядит он, как и в математике, как большая греческая буква сигма. Для вычисления суммы ряда необходимо задать индекс суммирования (для определенности будем полагать, что он записывается буквой n), диапазон суммирования и, конечно же, значение n-го члена ряда. При этом можно использовать символ бесконечности для вычисления сумм бесконечных рядов (этот символ находится на все той же панели Calculus, сразу за оператором вычисления n-й производной). При этом стоит отметить, что вычисление суммы конечного ряда возможно как аналитически, так и численно, т.е. можно использовать и знак равенства, и стрелку, а вот для бесконечного ряда найти сумму можно только аналитическим путем.

      

      Как и в других областях, где MathCAD задействует свой символьный процессор, всплывают на поверхность и начинают раздражать пользователя минусы этого самого символьного процессора. Самый главный из них, с которым мы с вами уже сталкивались — это нежелание полноценно работать с тригонометрическими функциями. Поэтому если вам нужно рассчитать сумму тригонометрического ряда, то на MathCAD в этом случае можете не рассчитывать.

      Суммы функциональных рядов можно сразу дифференцировать и интегрировать (про интегрирование функций средствами MathCAD «а мы с вами поговорим позже), причем можно производить дифференцирование или интегрирование как всей суммы сразу, так и отдельных членов ряда. Пример того, как это можно сделать, показан на приведенной ниже иллюстрации. Правда, как вы видите, может показаться, будто бы результаты различаются, но если упростить первое выражение, то станет понятно, что на самом деле они абсолютно идентичны.

      

      В общем, MathCAD действительно хороший помощник при работе с производными, пределами, рядами и, как мы с вами далее убедимся, интегралами. Конечно, невозможность работы с тригонометрическими рядами — это довольно серьезный минус, ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций, однако на самом деле, учитывая все плюса MathCAD «а, этот минус не так уж и велик. MathCAD ’у вполне по силам упростить работу с производными и интегралами, а о том, как справиться с громоздкостью получаемых результатов средствами самой среды MathCAD , мы еще побеседуем.

      Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Достаточно отметить, что электротехника переменного тока, электрическая связь и радиосвязь базируются на спектральном представлении сигналов. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций (определенные ограничения в этом известны) тригонометрическими рядами бесконечной длины. При конечной длине рядов получаются наилучшие среднеквадратические приближения. MATLAB содержит функции для выполнения быстрого одномерного и двумерного быстрого дискретного преобразования Фурье. Для одномерного массива*с длиной N прямое и обратное преобразования Фурье реализуются по следующим формулам:

      Прямое преобразование Фурье переводит описание сигнала (функции времени) из временной области в частотную, а обратное преобразование Фурье переводит описание сигнала из частотной области во временную. На этом основаны многочисленные методы фильтрации сигналов.

      15.4.1. Преобразование Фурье

      Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

      Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

      Преобразование Фурье действительных данных

      Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

      • fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
      • FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
      • ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
      • IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
        • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
        • v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

        Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

        Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

        Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

        Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

        Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

        Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

        Преобразование Фурье комплексных данных

        Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера «с».

        • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
        • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
        • icfft(y) —вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
        • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
          • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
          • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

          Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. «Преобразование Фурье действительных данных» этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

          Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

          Двумерное преобразование Фурье

          В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

          Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

          Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

          Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>

          15.4.1. Преобразование Фурье

          Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

          Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

          Преобразование Фурье действительных данных

          Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

          • fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
          • FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
          • ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
          • IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
            • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
            • v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

            Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

            Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

            Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

            Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

            Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

            Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

            Преобразование Фурье комплексных данных

            Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера «с».

            • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
            • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
            • icfft(y) -вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
            • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
              • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
              • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

              Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. «Преобразование Фурье действительных данных» этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

              Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

              Двумерное преобразование Фурье

              В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

              Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

              Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

              Глушач В.С. УИТ-44

              рактические работы 1,2. Прямое и обратное преобразование Фурье в MathCad.

              Освоение работы в MathCad. Получение навыков использования преобразования Лапласа для анализа спектральных составляющих сигналов. Изучение временных и частотных шкал временного ряда и преобразования Фурье.

              1. Генерируем временной ряд из трех синусоид. Количество точек должно быть равно 2 ^ n

              2. Определяем среднее, дисперсию.

              3. Делаем прямое и обратное преобразование Ф. Дважды преобразованный сигнал накладываем на график исходного временного ряда.

              4. Находим соотношение между шкалой временного ряда по оси времени и преобразования Фурье по оси частот.

              1. Выбираем дискретность по времени dt и количество точек временного ряда в виде nl:= 2 k

              Пусть к:= 9 nl:= 2 k nl=512 Длина выборки во времени T:=512

              

              Шаг по Или, учитывая, что nl-1

              времени примерно равно nl Тогда i:=0..nl-l t. := i*dt

              2. Генерируем входной сигнал х как сумму трех гармонических сигналов и определяем его основные статистики.

              А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

              A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792×10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

              A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362×10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

              x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

              

              

              1. Прямое преобразование Фурье в MathCad F:= fft(x)

              Максимаьный период гармонической составляющей, которая может быть во временном ряде равен длине выборки. Эта гармоническая составляющая соответствует минимально возможной частоте по шкале частот преобразования Фурье frnin и соответственно шагу по оси частот преобразования Фурье df.

              

              Tmax:= T frnin:=
              df:= frnin df = 1.953 x 10 -3

              Таким образом, минимальная частота и шаг по частоте преобразования Фурье равны frnin =df = 1/Т.

              Преобразование Фурье имеет количество ординат по частоте в два раза меньше количества ординат временного ряда во времени n2=nl/2 или, включая нулевую точку (в которой преобразование Фурье не определено)

              n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

              Индекс текущей частоты изменяется от j=l до j=n2

              При этом частота изменяется от fmin =df= 1/T Максимальная частота finax:= n2*df fmax = 0.502

              до frnax=n2*df Текущая частота f i:= i*df

              f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502

              

              Обратим внимание, что преобразование Фурье определено только для частот в диапазоне от f=finin до f=fmax.

              При этом пики на графике спектра Фурье соответствуют частотам исходных синусоид, т.е преобразование Фурье позволяет выделить частотные составляющие сигнала. Но амплитуды гармонических составляющих сейчас не отображают амплитуды составляющих исходного временного ряда (где А1=1, А2=0.5, А3=0.25)

              Обратим также внимание, что при dt =1 максимальная частота в спектре преобразования Фурье равна frnax=0.5 колебаний в единицу шкалы времени. При dt = 1сек это соответствует fmax = 0.5 гц. При этом период максимальной частоты равен Тfmax=1/0.5=2. Это означает, что на один период максимальной частоты приходится два отбора временного ряда. Это соответствует теореме Котельникова, согласно которой для восстановления гармонического непрерывного сигнала из дискретного без потери информации на один период должно быть не менее двух отсчетов во времени.

              3. Проведем проверку совпадения временных рядов до и после двойного преобразования Фурье. Для этого получим обратное преобразование Фурье от полученного прямого преобразования. Оно должно совпадать с исходным временным рядом, что подтверждается следующим графиком FF:= ifft(F)

              Разложение в ряд Фурье функции

              Разложение функции в ряд Фурье
              Ребят,помогите описать функцию по графику.Буду очень благодарен Вот попробовал, направьте меня.

              Разложение функции в ряд Фурье с интегралами и без
              Помогите разложить функцию f(x)=sin(t) в ряд фурье с интегралами и без них (суммами) на маткаде.

              Разложение в ряд Фурье
              Пишет, что "индекс массива недопустим для этого массива". q — соответственно, тот ряд Фурье из 1024.

              

              Разложение в ряд Фурье
              Здравствуйте, столкнулся с ошибкой "This calculation does not converage to a solution" Не могу.

              Ряды MathCAD. Разложение периодических функций в Обратное преобразование фурье в маткаде

              рактические работы 1,2. Прямое и обратное преобразование Фурье в MathCad.

              Освоение работы в MathCad. Получение навыков использования преобразования Лапласа для анализа спектральных составляющих сигналов. Изучение временных и частотных шкал временного ряда и преобразования Фурье.

              1. Генерируем временной ряд из трех синусоид. Количество точек должно быть равно 2 ^ n

              2. Определяем среднее, дисперсию.

              3. Делаем прямое и обратное преобразование Ф. Дважды преобразованный сигнал накладываем на график исходного временного ряда.

              4. Находим соотношение между шкалой временного ряда по оси времени и преобразования Фурье по оси частот.

              1. Выбираем дискретность по времени dt и количество точек временного ряда в виде nl:= 2 k

              Пусть к:= 9 nl:= 2 k nl=512 Длина выборки во времени T:=512

              

              Шаг по Или, учитывая, что nl-1

              времени примерно равно nl Тогда i:=0..nl-l t. := i*dt

              2. Генерируем входной сигнал х как сумму трех гармонических сигналов и определяем его основные статистики.

              А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

              A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792×10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

              A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362×10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

              x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

              

              

              1. Прямое преобразование Фурье в MathCad F:= fft(x)

              Максимаьный период гармонической составляющей, которая может быть во временном ряде равен длине выборки. Эта гармоническая составляющая соответствует минимально возможной частоте по шкале частот преобразования Фурье frnin и соответственно шагу по оси частот преобразования Фурье df.

              

              Tmax:= T frnin:=
              df:= frnin df = 1.953 x 10 -3

              Таким образом, минимальная частота и шаг по частоте преобразования Фурье равны frnin =df = 1/Т.

              Преобразование Фурье имеет количество ординат по частоте в два раза меньше количества ординат временного ряда во времени n2=nl/2 или, включая нулевую точку (в которой преобразование Фурье не определено)

              n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

              Индекс текущей частоты изменяется от j=l до j=n2

              При этом частота изменяется от fmin =df= 1/T Максимальная частота finax:= n2*df fmax = 0.502

              до frnax=n2*df Текущая частота f i:= i*df

              f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502

              

              Обратим внимание, что преобразование Фурье определено только для частот в диапазоне от f=finin до f=fmax.

              При этом пики на графике спектра Фурье соответствуют частотам исходных синусоид, т.е преобразование Фурье позволяет выделить частотные составляющие сигнала. Но амплитуды гармонических составляющих сейчас не отображают амплитуды составляющих исходного временного ряда (где А1=1, А2=0.5, А3=0.25)

              Обратим также внимание, что при dt =1 максимальная частота в спектре преобразования Фурье равна frnax=0.5 колебаний в единицу шкалы времени. При dt = 1сек это соответствует fmax = 0.5 гц. При этом период максимальной частоты равен Тfmax=1/0.5=2. Это означает, что на один период максимальной частоты приходится два отбора временного ряда. Это соответствует теореме Котельникова, согласно которой для восстановления гармонического непрерывного сигнала из дискретного без потери информации на один период должно быть не менее двух отсчетов во времени.

              3. Проведем проверку совпадения временных рядов до и после двойного преобразования Фурье. Для этого получим обратное преобразование Фурье от полученного прямого преобразования. Оно должно совпадать с исходным временным рядом, что подтверждается следующим графиком FF:= ifft(F)

              

              Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

              Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

              Преобразование Фурье действительных данных

              Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

              • fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
              • FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
              • ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
              • IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
                • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
                • v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

                Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

                Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

                Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

                Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

                Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

                Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

                Преобразование Фурье комплексных данных

                Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера «с».

                • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
                • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
                • icfft(y) -вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
                • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
                  • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
                  • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

                  Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. «Преобразование Фурье действительных данных» этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

                  Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

                  Двумерное преобразование Фурье

                  В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

                  Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

                  Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

                  Mathcad содержит функции для выполнения быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) и его обращения. В Mathcad PLUS имеется также одномерное дискретное волновое преобразование и его обращение. Все эти функции имеют векторные аргументы. При определении вектора v для нахождения волнового преобразования или преобразования Фурье убедитесь, что первый элемент вектора имеет нулевой индекс: v 0 . Если элемент v 0 не определен, Mathcad автоматически устанавливает его равным 0. Это может привести к искажению результата.

                  Введение в дискретное преобразование Фурье

                  • аргументы вещественны, и
                  • вектор данных имеет 2 m элементов.

                  Используйте функции cfft и icfft во всех других случаях.
                  Первое условие необходимо, потому что функции fft/ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразования Фурье является комплексно сопряженной с первой. Mathcad отбрасывает вторую половину вектора-результата. Это сохраняет и время и память при вычислениях.

                  Пара функций cfft/icfft не использует симметрию в преобразовании. По этой причине необходимо использовать их для комплексных данных. Так как вещественные числа — подмножество комплексных чисел, можно также использовать пару cfft/icfft для вещественных чисел.

                  Второе условие требуется, потому что пара функций fft/ifft использует высоко эффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектор аргумента, используемого с fft , должен иметь 2 m элементов. В функциях сfft/icfft использован алгоритм, который допускает в качестве аргументов как матрицы, так и векторы произвольного размера. Когда эта пара функций используется с матрицей в качестве аргумента, вычисляется двумерное преобразование Фурье.

                  Обратите внимание, что, если использована функция fft для прямого преобразования, необходимо использовать функцию ifft для обратного. Аналогично, если для прямого преобразования использована cfft , то для обратного необходимо использовать icfft .

                  Различные формулировки определения преобразования Фурье используют различные нормировочные коэффициенты и соглашения о знаке перед мнимой единицей в показателе экспоненты прямого и обратного преобразований. Функции fft, ifft, cfft и icfft используют 1/ как нормировочный коэффициент и положительный показатель степени в прямом преобразовании. Функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT используют 1/N как нормировочный коэффициент и отрицательный показатель степени в прямом преобразовании. Необходимо использовать эти функции попарно. Например, если используется CFFT в прямом преобразовании, необходимо использовать ICFFT в обратном.

                  Преобразование Фурье в вещественной области

                  Для вещественнозначных векторов с 2 m элементами можно применять пару функций fft/ifft . В алгоритме вычисления этих функций используются преимущества симметрии, существующей только для вещественных данных. Это позволяет сохранить и время, и память, необходимые для вычислений. Вектор v должен иметь 2 m элементов. Результат — комплекснозначный вектор размерности 1+2 m-1 . Если v имеет размерность отличную от 2 m , Mathcad выдает сообщение об ошибке “неверный размер вектора ”.

                  Элементы вектора, возвращаемого fft, вычисляются по формуле

                  В этой формуле n — число элементов в v , i — мнимая единица.

                  Элементы в векторе, возвращенном функцией fft , соответствуют различным частотам. Чтобы восстанавливать фактическую частоту, необходимо знать частоту измерения исходного сигнала. Если v есть n -мерный вектор, переданный функции fft , и частота измерения исходного сигнала — f s , то частота, соответствующая, равна

                  Обратите внимание, что это делает невозможным обнаружить частоты выше частоты измерения исходного сигнала. Это — ограничение налагаемое не Mathcad, а самой сутью проблемы. Чтобы правильно восстанавливать сигнал по его преобразованию Фурье, необходимо произвести измерения исходного сигнала с частотой, по крайней мере вдвое большей, чем ширина полосы частот. Полное обсуждение этого явления лежит за пределами данного руководства, но его можно найти в любом учебнике по цифровой обработке сигналов.

                  Вектор v должен иметь 1+ 2 m элементов, где m — целое. Результат есть комплекснозначный вектор размерности 2 m+1 . Если v имеет размерность, отличную от 1+ 2 m , Mathcad выдает сообщение об ошибке “неверный размер вектора ”.Аргумент v — вектор, подобный созданному функцией fft. Чтобы вычислить результат, Mathcad сначала создает новый вектор w , комплексно сопряженный v , и присоединяет его к вектору v . Затем Mathcad вычисляет вектор d , чьи элементы вычисляются по формуле:

                  Это та же самая формула, что и для fft , кроме знака минус в функции exp . Функции fft и ifft — точные обращения. Для всх вещественнозначных v справедливо ifft(fft(v))=v.

                  Преобразование Фурье в комплексной области

                  • Данные могут быть комплекснозначны. Это означает, что Mathcad не может больше использовать симметрию, имеющую место в вещественном случае.
                  • Вектор данных может иметь размерность, отличную от 2 m . Это означает, что Mathcad не может пользоваться преимуществом высокоэффективного алгоритма БПФ, используемого парой fft/ifft .

                  Пара преобразований cfft/icfft может работать с массивами любого размера. Однако они работают значительно быстрее, когда число строк и столбцов может быть представлено в виде произведения большого количества меньших сомножителей. Например, векторы с длиной 2 m относятся к этому классу, так же как и векторы, имеющие длины, подобные 100 или 120. С другой стороны, вектор, чья длина — большое простое число, замедлит вычисление преобразования Фурье.

                  Функции cfft и icfft — обратные друг к другу. То есть icfft(cfft(v))=v. Рисунок 3 показывает примеры использования преобразования Фурье в Mathcad.

                  Когда в качестве аргумента cfft используется матрица, результат есть двумерное преобразование Фурье исходной матрицы.

                  Альтернативные формы преобразования Фурье

                  Определения преобразования Фурье, обсужденные выше, не являются единственно возможными. Например, следующие определения для дискретного преобразования Фурье и его обращения можно найти в книге Ronald Bracewells, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1986): Эти определения весьма распространены в технической литературе. Чтобы использовать эти определения вместо обсужденных в предыдущем разделе, используйте функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT . Они отличаются следующим:

                  Функции FFT , IFFT , CFFT и ICFFT используются аналогично функциям, обсужденным в предыдущем разделе.

                  Волновое преобразование

                  A Mathcad PLUS включены две функции волновых преобразований: для выполнения прямого одномерного дискретного волнового преобразования и его обращения. Преобразование выполняется с использованием четырехкоэффициентного волнового базиса Даубечи.

                  11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

                  Задача 34. Два точечных электрических заряда q 1 , q 2 имеют координаты (X 1 ,Y 1) и (X 2 ,Y 2). Рассчитайте распределение потенциала электрического поля, постройте эквипотенциальные линии и поверхность φ=φ(x,y).

                  Потенциал электрического поля, создаваемого зарядами q i с координатами (X i ,Y i), i=1, 2, . в точке (x,y) равен:

                  Результаты расчета эквипотенциальных линий и поверхности φ=φ(x,y) — в документе 24.mcd. Заряды положительные, поэтому по мере приближения к каждому из них потенциал возрастает.

                  Задача 35. Рядом с заряженной пластиной расположены два точечных заряда. Изучите распределение потенциала и постройте силовые линии напряженности электрического поля.

                  Зависимость φ=φ(x,y) определяется как в предыдущей задаче, напряженность электрического поля в двумерном случае равна:

                  Для построения силовых линий вычисляются проекции вектора напряженности на оси координат и создается матрица E i,j:=Ex(x i ,y j)+ 1i· Ey(x i ,y j) и нормированная матрица A i,j , используемая для построения векторного поля (25.mcd).

                  Задача 36. Рассчитайте индукцию магнитного поля, создаваемого двумя витками с током, и постройте силовые линии в случаях, когда токи сонаправлены и противоположно направлены.

                  Рассмотрим виток с током, лежащий в плоскости XOY, с центром в точке O. Разобъем его на элементы dl s , определим элементарный магнитный момент, создаваемый каждым элементом в точке наблюдения, и просуммируем их.

                  Элемент витка и точка наблюдения имеют координаты (r·cosφ s , r·sinφ s , 0), и (x, y, z) соответственно. Для расчета индукции магнитного поля используется закон Био—Савара—Лапласа:

                  где μ 0 — магнитная постоянная, I — сила тока. Решение приведено в документе 26.mcd. Витки расположены параллельно плоскости XOY, на экране получаются силовые линии магнитного поля в плоскости YOZ.

                  Задача 37. В рассмотренном случае постройте график зависимости модуля индукции магнитного поля от координаты вдоль оси витков с током и перпендикулярно ей.

                  Задача 38. Получите проекции вектора индукции магнитного поля на плоскость перпендикулярную оси соленоида (витка) с током.

                  Задача 39. Рассчитайте магнитное поле, создаваемое двумя (тремя) параллельными проводниками, по которым текут токи в различных направлениях.

                  Задача 40. Изучите магнитное поле, создаваемое соленоидом и прямолинейным проводником с током. Получите проекции индукции магнитного поля на плоскость, содержащую проводник с током.

                  Задача 41. Имеется два соленоида, расположенных соосно по отношению друг к другу. Постройте силовые линии магнитного поля в случаях, когда токи текут в одном направлении и в противоположных направлениях (27.mcd).

                  Глушач В.С. УИТ-44

                  рактические работы 1,2. Прямое и обратное преобразование Фурье в MathCad.

                  Освоение работы в MathCad. Получение навыков использования преобразования Лапласа для анализа спектральных составляющих сигналов. Изучение временных и частотных шкал временного ряда и преобразования Фурье.

                  1. Генерируем временной ряд из трех синусоид. Количество точек должно быть равно 2 ^ n

                  2. Определяем среднее, дисперсию.

                  3. Делаем прямое и обратное преобразование Ф. Дважды преобразованный сигнал накладываем на график исходного временного ряда.

                  4. Находим соотношение между шкалой временного ряда по оси времени и преобразования Фурье по оси частот.

                  1. Выбираем дискретность по времени dt и количество точек временного ряда в виде nl:= 2 k

                  Пусть к:= 9 nl:= 2 k nl=512 Длина выборки во времени T:=512

                  

                  Шаг по Или, учитывая, что nl-1

                  времени примерно равно nl Тогда i:=0..nl-l t. := i*dt

                  2. Генерируем входной сигнал х как сумму трех гармонических сигналов и определяем его основные статистики.

                  А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706

                  A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= mean(x2) sr2 = 3.792×10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353

                  A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= mean(x3) sr3 = 3.362×10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177

                  x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= mean(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809

                  

                  

                  1. Прямое преобразование Фурье в MathCad F:= fft(x)

                  Максимаьный период гармонической составляющей, которая может быть во временном ряде равен длине выборки. Эта гармоническая составляющая соответствует минимально возможной частоте по шкале частот преобразования Фурье frnin и соответственно шагу по оси частот преобразования Фурье df.

                  

                  Tmax:= T frnin:=
                  df:= frnin df = 1.953 x 10 -3

                  Таким образом, минимальная частота и шаг по частоте преобразования Фурье равны frnin =df = 1/Т.

                  Преобразование Фурье имеет количество ординат по частоте в два раза меньше количества ординат временного ряда во времени n2=nl/2 или, включая нулевую точку (в которой преобразование Фурье не определено)

                  n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2

                  Индекс текущей частоты изменяется от j=l до j=n2

                  При этом частота изменяется от fmin =df= 1/T Максимальная частота finax:= n2*df fmax = 0.502

                  до frnax=n2*df Текущая частота f i:= i*df

                  f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502

                  

                  Обратим внимание, что преобразование Фурье определено только для частот в диапазоне от f=finin до f=fmax.

                  При этом пики на графике спектра Фурье соответствуют частотам исходных синусоид, т.е преобразование Фурье позволяет выделить частотные составляющие сигнала. Но амплитуды гармонических составляющих сейчас не отображают амплитуды составляющих исходного временного ряда (где А1=1, А2=0.5, А3=0.25)

                  Обратим также внимание, что при dt =1 максимальная частота в спектре преобразования Фурье равна frnax=0.5 колебаний в единицу шкалы времени. При dt = 1сек это соответствует fmax = 0.5 гц. При этом период максимальной частоты равен Тfmax=1/0.5=2. Это означает, что на один период максимальной частоты приходится два отбора временного ряда. Это соответствует теореме Котельникова, согласно которой для восстановления гармонического непрерывного сигнала из дискретного без потери информации на один период должно быть не менее двух отсчетов во времени.

                  3. Проведем проверку совпадения временных рядов до и после двойного преобразования Фурье. Для этого получим обратное преобразование Фурье от полученного прямого преобразования. Оно должно совпадать с исходным временным рядом, что подтверждается следующим графиком FF:= ifft(F)

                  

                  • Бородинское сражение в романе «Война и мир
                  • Что такое тоска? Когда мы тоскуем? Как избавиться от тоски? Как проживать тоску? Как не тосковать? Почему я тоскую? Выть хочется Две причины нелюбви к себе и их преодоление
                  • Любовные романы. Женские романы. Здесь можно скачать книги бесплатно без регистрации или читать онлайн Любовный роман скачать fb2
                  • Идеология третьего рейха
                  • Молекулярная формула метановой кислоты
                  • Для чего используют пепсин

                  Похожие публикации:

                  1. Как оплатить через wechat
                  2. Как открыть archicad в autocad
                  3. Как открыть файл max в archicad
                  4. Как перевести mathcad 15 на русский