4. Неравенства вида 0 · x < b
В таких случаях неравенство либо не имеет решений, либо его решением является любое число.
Если \(b\) — положительное число, то решением неравенства 0 ⋅ x < b является любое число,
если \(b\) — неположительное число, то неравенство не имеет решений.
решить неравенство − ( 6 x + 7 ) < − 6 x .
− ( 6 x + 7 ) < − 6 x ; − 6 x − 7 < − 6 x ; − 6 x + 6 x < 7 ; 0 ⋅ x < 7 .
Неравенство верно при любом значении \(x\), т. к. при любом \(x\) его левая часть равна нулю и меньше \(7\).
Ответ: \(x\) — любое число.
Ответ ещё можно записать как x ∈ ℝ или x ∈ − ∞ ; + ∞ .
Частные случаи линейных неравенств
Рассмотрим частные случаи линейных неравенств — неравенства, в которых перед иксом стоит нуль.
В общем случае при решении линейных неравенств вида ax>b обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Если перед иксом стоит нуль, этот способ применить не можем, так как на нуль делить нельзя.
Такие неравенства либо не имеют решений, либо их решением является любое число.
Решение всех частных случаев линейных неравенств можно записать в виде таблицы (a>0):
Запоминать эту таблицу не нужно. Каким бы ни был x, произведение ox=0, то есть при любом значении x в левой части неравенства стоить нуль. Остается сравнить с нулём правую часть. Если получаем верное неравенство, значит, решением является любое число. Если неравенство неверное, решений нет.
Какое бы число мы ни подставили вместо икса, в левой части получится нуль. Неравенство «нуль меньше пяти» верное. Значит, его решением является любое число. Такому решению соответствует штриховка на всей числовой прямой:
(часто в ответе пишут: x — любое число).
При любом значении x в левой части получаем нуль. 0 меньше либо равно -10 — неверно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.
другой вариант ответа: x ∈ Ø
(читают: «икс принадлежит пустому множеству»).
При любом x левая часть неравенства равна нулю. Нуль больше либо равен нулю — верно. Следовательно, x — любое число.
![\[4)0x ></p>
<p> — 23\]» width=»90″ height=»19″ /></p>
<p>Слева — нуль, справа — отрицательное число -23. Нуль больше отрицательного числа — верно. Решением неравенства является любое число.</p>
<p>Слева — нуль, справа — нуль. Нуль меньше нуля — неверно. Решений нет.</p>
<p>Слева — нуль, справа — положительное число 17. Нуль меньше положительного числа — верно. Решение неравенства — любое число.</p>
<p>Слева — нуль, справа — положительное число 11. Нуль больше либо равен положительного числа 11 — неверно. Неравенство не имеет решений.</p>
<p>Неравенства с нулём перед переменной в алгебре появляются при решении более сложных линейных неравенств (после упрощения).</p>
<h2>Как записать ответ неравенства</h2>
<p>В этом уроке мы не будем разбирать, как решаются линейные или квадратные неравенства. Нас будет интересовать только вопрос: «Как записать ответ неравенства специальными математическими знаками, <br />например, в виде x ∈ (3; +∞) ?».</p>
<p>Стоит отметить, что далеко не во всех учебных заведениях требуют обязательно записывать ответ неравенства в виде x ∈ (3; +∞) . В некоторых школах в 8 и 9 классе разрешают оставлять ответ, используя знаки <br />больше « > » и « ». Например, следующим образом.</p>
<p>Ответ: x > 3</p>
<p>Впрочем, мы рекомендуем освоить запись ответа неравенства в математических обозначениях сразу, так как в любом случае в старшей школе и затем в университете будут требовать именно такую запись ответа.</p>
<p>Перед разбором, как записывать ответ неравенства математическими знаками, вспомним расшифровку и обозначение этих знаков.</p>
<p>Легко запомнить знак, как зеркальное отображение русской буквы « Э » или как символ евро « € », но только с одной палочкой посередине.</p>
<p>Перейдем к непосредственной записи ответа неравенства. Рассмотрим и решим линейное неравенство.</p>
<p>x − 6 > 8 <br />x > 6 + 8 <br />x > 14 </p>
<p>Мы решили линейное неравенство, теперь запишем его ответ с помощью математических знаков.</p>
<p><img decoding=](https://www.algebraclass.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a6463506898c045327977d6a77ebe4c_l3.png)
Важно!
Перед тем, как записывать ответ неравенства, обязательно изобразите его на числовой оси.
Итак, мы изобразили ответ неравенства на числовой оси. После этого запишем слово «Ответ:» и за ним запишем « x ∈ ». Такая запись читается как «икс принадлежит».
Взглянув на рисунок ответа на числовой оси, мы видим, что область решений начинается с числа « 14 ». Число « 14 » не входит в область решений («пустая» точка на оси). Значит, используем круглую скобку.
Ответ: x ∈ (14; …
Нам остается понять, где заканчивается область решений справа. Правильный ответ — справа область заканчивается в положительной бесконечности « + ∞ ».
На числовой оси на обоях краях слева и справа соответственно расположены «минус» и «плюс» бесконечности. Как правило, их не рисуют на числовой оси лишний раз, т.к. их наличие на оси подразумевается.
Запишем окончательный ответ.
Ответ: x ∈ (14; + ∞)
Запомните!
Знаки « + ∞ » и « − ∞ » всегда записываются с круглыми скобками.
Разберем другой пример.
−7x ≥ 56
−7x ≥ 56 | :(−7)
x ≤ 8
Также как и в предыдущем примере всегда начинаем записывать
ответ с записи « x ∈… ».
В ответе « x ≤ 8 » область решений начинается с « − ∞ » и заканчивается на « 8 », которое входит в ответ. Значит, « 8 » будет с квадратной скобкой. Так и запишем в ответе.
Ответ: x ∈ (− ∞; 8]
Запись ответа неравенства для квадратных неравенств
При решении квадратных неравенств часто может получаться несколько интервалов в ответе. Разберемся, как их записывать в ответ. Рассмотрим пример квадратного неравенства и его решение.
x1;2 =
| 3 ± √ 9 − 8 |
| 2 |
x1;2 =
| 3 ± 1 |
| 2 |
| x1 = 1 | x2 = 2 |
1 x ∈ ». Далее используем круглые скобки, т.к. оба числа не входят в границы интервалов.
Ответ: x ∈ (1 ; 2)
Рассмотрим другой пример квадратного неравенства и его решения.
x1;2 =
| 2 ± √ 2 2 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 2 ± √ 4 + 12 |
| 2 |
x1;2 =
| 2 ± 4 |
| 2 |
| x1 = −1 | x2 = 3 |
В ответе неравенства мы получили два интервала в области решений
(x ≤ −1; x ≥ 3) и оба интервала нужно записать в ответ. Запись ответа неравенства всегда делается слева направо (как мы привыкли читать).
Начнем слева направо записывать интервалы в ответ. Первый интервал начинается с «минус» бесконечности и заканчивается на « −1 » (включительно). Так и запишем.
Ответ: x ∈ (− ∞; −1] …
Второй интервал начинается с « 2 »(включительно) и заканчивается на «плюс» бесконечности. Для объединения интервалов используем знак « ∪ » («объединение»).
Ответ: x ∈ (− ∞; −1] ∪ [3 ; + ∞)
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Числовые неравенства
Неравенства — это важная и обширная тема школьной математики. С неравенствами вы будете сталкиваться каждый год, начиная с 7-го класса, и они обязательно будут на всех важных экзаменах.
Что такое неравенства?
Неравенства нужны для того, чтобы сравнивать числа и выражения. Очевидно, что, например, число \(5\) больше, чем число \(3\). Записать это утверждение можно при помощи знака больше — \(«\gt»\): $$5 \gt 3;$$ Широкая часть знака \(«\gt»\) направлена на то число, которое больше, а узкая направлена на меньшее число.
Верно и обратное утверждение — число \(3\) меньше \(5\), математическим языком это записывается при помощи знака меньше — \(«\lt»\): $$3 \lt 5;$$ Таким образом, запись \(x \gt 4\) означает, что вместо переменной \(x\) можно брать любые значения больше \(4\).
Если, например, \(x=3\), то неравенство \(x \gt 4\) перестает быть верным, ведь \(3\) не больше \(4\).
А вот при \(x=100\) неравенство становится верным: \(100 \gt 4.\)
Координатная прямая и числовые промежутки
Неравенство \(x \gt 4\) удобно изобразить графически при помощи координатной прямой. Тут может возникнуть вопрос, а что такое координатная прямая? Это просто линия, на которой расставлены все числа в порядке возрастания:
Назовем эту линию «ось \(x\)» или «числовая прямая». Стрелочкой показано направление возрастания чисел: слева направо. На оси \(x\) можно отметить абсолютно любые числа (положительные, отрицательные, рациональные и иррациональные), важно, что они всегда идут по порядку, по возрастанию. Чтобы изобразить на оси \(x\) неравенство \(x \gt 4\), нам надо отметить на ней число \(4\). Сделаем это большой красной точкой.
А теперь самое главное, так как \(x \gt 4\), то нас устраивают любые числа, которые находятся справа от \(4\), ведь все числа, которые больше \(4\) находятся именно справа. Покажем это при помощи штриховки на рис.2:
Рис.2. Открытый числовой луч
Аналогичным образом мы можем отмечать на числовой прямой любые неравенства: $$x \lt 68;$$
Рис.3. Открытый числовой луч
Рис.4. Открытый числовой луч
Даже можно отметить выполнение сразу нескольких условий для переменной \(x\). Представьте, что \(x\) одновременно должна быть больше \(2\) и меньше \(14\). Например, число \(8\) с одной стороны больше \(2\), а с другой меньше \(14\). Математическим языком это можно записать двойным неравенством: $$2 \lt x \lt 14;$$ А на числовой прямой такое двойное условие будет выглядеть так (любые числа между \(2\) и \(14):\)
Рис.5. Итервал
Дробные неравенства тоже можно изобразить на координатной прямой. Например, \(x \lt \frac.\) \(\frac\) на числовой прямой, очевидно, находится между нулем и единицей. Разделим в уме отрезок от \(0\) до \(1\) на три равные части и первая из них будет \(\frac\). А если бы нам нужно было отметить \(\frac\), то мы отсчитали бы две одинаковые части. Графически неравенство \(x \lt \frac\) будет выглядеть так:
Рис.6. Открытый числовой луч
Со знаками неравенства и графическим их изображением на числовой прямой разобрались. Но есть еще третий способ записывать неравенства: при помощи знака «принадлежит» \(\in\) и скобок.
Например, неравенство \(x \gt -3\) можно записать в виде луча: \(x \in (-3;+\infty)\).
Знак \(+\infty\) — плюс бесконечность, то есть отсутствие границы справа: любое число большее \(-3\);
А запись \(x \in (-3;+\infty)\) читается как «икс принадлежит от минус трех до плюс бесконечности». Графически это можно изобразить вот так:
Рис.7. Открытый числовой луч
Аналогичным образом можно записать неравенство \(x \lt -3\) в виде луча \((-\infty;-3)\). А графически оно будет выглядеть так:
Рис.8. Открытый числовой луч
Двойные неравенства записываются при помощи интервалов. Например, двойное неравенство \(-1 \lt x \lt 10\) записывается так: \(x\in (-1;10)\). На числовой прямой оно же будет выглядеть так:
Рис.9. Числовой интервал
Лучом называют неравенство, если одна из границ — бесконечность, а другая — число. Интервалом называют неравенство, если обе границы это числа. Итак, подведем итог. Неравенства можно записывать тремя способами:
- При помощи знаков неравенства (больше \(x \gt 5\), меньше \(x \lt 5\));
- Графически на числовой (координатной) прямой;
- Лучами: \(x \in (5;+\infty)\) и \(x \in (-\infty;5)\). И интервалами: \(x \in (2;3)\)
Важно понимать, что все три способа записывать неравенства фактически обозначают одно и то же. Зачем же тогда так много видов записи одного и того же?
Знаки неравенств и числовую прямую мы будем использовать при решении более сложных неравенств. А при помощи лучей и интервалов принято записывать ответы.
Строгие и нестрогие неравенства
Все неравенства, о которых мы говорили выше, называются «строгими». В чем же их строгость? Когда мы говорим \(x\) больше \(7\), то подразумеваем, что это неравенство будет верным при условии, что \(x\) принимает любые значения строго большие \(7\): \(8,100,100000\) и даже \(7,00001\), все эти числа больше семи. Но \(x=7\) не удовлетворяет этому неравенству. Так как \(7\) не больше \(7.\)
А что, если мы хотим показать, что \(x\) может принимать значения не только большие \(7\), но и равное \(7\)? Для таких случаев придумали знак «больше или равно», обозначается \(x \geq 7\).
Аналогичным образом существует знак «меньше или равно» \(x \leq 1\), который обозначает, что, если вместо \(x\) подставить значения меньшие единицы или равное единице, то неравенство будет верным.
Неравенства со знаками \(\geq\) или \(\leq\) называются «нестрогими». Пример таких нестрогих неравенств: $$x \geq 12;$$ $$x \leq -1;$$ $$x\geq \frac;$$
Часто с нестрогими неравенствами возникает путаница. Скажите, какие из представленных ниже неравенств верные, а какие нет: $$3 \ge 2;$$ $$4 \ge 4;$$ $$5 \gt 5;$$ Первое неравенство будет верным: \(3\) действительно больше \(2.\)
Второе неравенство тоже верное, так как знак неравенства \(«\ge»\) разрешает равенство, а \(4\) равно \(4.\)
А вот третье неравенство неверное, потому что \(5\) не больше \(5,\) а знак неравенства строгий, равенство не допускается.
Нестрогие неравенства тоже можно изобразить графически на числовой прямой. Для того, чтобы различать на рисунке строгие и нестрогие неравенства, придумали обозначать строгие незакрашенной (выколотой) точкой, а нестрогие при помощи закрашенной.
На рисунке \(10\) показано строгое неравенство \(x \gt 8\). На рисунке \(11\): нестрогое \(x \geq 8\). Обратите внимание на точку \(8\): в строгом неравенстве она выколотая, а в нестрогом закрашенная: