Как решать таблицы истинности по информатике

3. Построение таблиц истинности

Логическая функция — это формула сложного высказывания, состоящая из логических переменных и знаков логических операций. Логическая функция может принимать два значения: истина (\(1\)), ложь (\(0\)).

Для удобного вычисления значения логической функции применяют таблицы истинности.
Алгоритм построения таблицы истинности для логической функции.
1. Построить таблицу из \(X\) столбцов и \(Y\) строк, где
\(X = k + m\), Y = 2 k ,
\(k\) — количество переменных;
\(m\) — количество логических операций.

2. Первую строку таблицы заполняют слева направо, сначала переменными, а потом логическими операциями, учитывая их приоритетность.

3. В первых столбцах перечисляют все возможные комбинации входных значений.
4. Далее необходимо заполнить все остальные ячейки, выполняя логические операции.
5. Ответом будет являться последний столбец таблицы.
дана функция: F = ( X ∨ Y ) ∧ ¬ Z .
Необходимо построить таблицу истинности.
Будем действовать согласно приведённому выше алгоритму.
1. Количество переменных — \(3\) (X, Y, Z); количество логических операций — \(3\).
Количество столбцов \(=\) \(3 + 3 = 6\); количество строк \(=\) 2 3 = 8 .

2. Построим таблицу. Заполним шапку таблицы сначала переменными, а потом логическими операциями. Первое действие в скобках, второе — отрицание, третье — конъюнкция.

3. Перечислим все возможные значения входных данных. Для того чтобы не пропустить ни одного значения, используют следующее правило: в значение первой переменной записывают \(4\) нуля, затем \(4\) единицы, в значении второй переменной чередуют \(2\) нуля и \(2\) единицы, а значение третьей переменной — чередование \(0\) и \(1\).

Урок информатики по теме «Основы логики, таблицы истинности»

Мы продолжаем изучение темы “Основы логики”. На предыдущих уроках мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.

II. Повторение материала предыдущего урока

Давайте вспомним основные определения и понятия:

Вопрос	Ответ
1. Какое предложение является высказыванием?	Повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается
2. На какие виды делятся высказывания по своей структуре?	Простые и сложные
3. Истинность каких высказываний является договорной?	Простых
4. Истинность каких высказываний вычисляется?	Сложных
5. Как обозначаются простые высказывания в алгебре высказываний?	Логическими переменными
6. Как обозначается истинность таких высказываний?	1 и 0
7. Что связывает переменные в формулах алгебры высказываний?	Логические операции
8. Перечислите их.	Инверсия (отрицание)

III. Объяснение нового материала

Последние два примера относятся к сложным высказываниям. Как же определить истинность сложных высказываний?

Мы говорили, что она вычисляется. Для этого в логике существуют таблицы для вычисления истинности составных (сложных) высказываний. Они называются таблицами истинности.

Итак, тема урока ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ.

3.1) Определение. Таблица истинности – это таблица, показывающая истинность сложного высказывания при всех возможных значениях входящих переменных (Рисунок 1).

3.2) Разберем подробнее каждую логическую операцию в соответствии с ее определением:

1. Инверсия (отрицание) – это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Эта операция относится только к одной переменной, поэтому для нее отведено только две строки, т.к. одна переменная может иметь одно из двух значений: 0 или 1.

2. Конъюнкция (умножение)– это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Легко увидеть, что данная таблица действительно похожа на таблицу умножения.

3. Дизъюнкция (сложение) – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны.

Можно убедиться, что таблица похожа на таблицу сложения кроме последнего действия. В двоичной системе счисления 1 + 1 = 10, в десятичной – 1 + 1 = 2. В логике значения переменной 2 невозможно, рассмотрим 10 с точки зрения логики: 1 – истинно, 0 – ложно, т.о. 10 – истинно и ложно одновременно, чего быть не может, поэтому последнее действие строго опирается на определение.

4. Импликация (следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие истинное, а следствие ложно.

5. Эквиваленция (равносильность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

Последние две операции были разобраны нами на предыдущем уроке.

• Определить, сколько переменных входит в формулу.
• Определить количество комбинаций всевозможных значений переменных по формуле .
• Определить приоритет действий.
• Составить таблицу истинности.

3.4) Рассмотрим пример составления таблицы истинности для сложного высказывания:

Пример. Построить таблицу истинности для формулы: А U В —> ¬А U С.

Решение (Рисунок 2)

Из примера видно, что таблицей истинности является не все решение, а только последнее действие (столбец, выделенный красным цветом).

IV. Закрепление.

Для закрепления материала вам предлагается решить самостоятельно примеры под буквами а, б, в, дополнительно г–ж (Рисунок 3).

V. Домашнее задание, обобщение материала.

Домашнее задание дано вам также на экране монитора (Рисунок 4)

Обобщение материала: сегодня на уроке мы научились определять истинность составных высказываний, но больше с математической точки зрения, так как вам были даны не сами высказывания, а формулы, отображающие их. На следующих уроках мы закрепим эти умения и постараемся их применить к решению логических задач.

Таблицы истинности логических функций и их построение

Логическая функция одно из основополагающих понятий математической логики. Она зависит от логических переменных и принимает значения из множества, от которого находится в зависимости. Логические функции булевых переменных могут принимать только два значения – 1 или 0.

Понятие таблиц истинности

Задаваться логическая функция может числовым способом, словесным описанием, картами Карно, аналитическим выражением и с помощью таблиц истинности. В последнем случае все аргументы функции следует записать в левой части таблицы, а значения, которые им соответствуют, в правой.

Определения 1 — 2

Таблица истинности – это таблица, просто и наглядно показывающая, какие значения будут у логического выражения при всевозможных наборах переменных функции.

Равносильными именуют те логические выражения с совпадающими последними столбцами таблицы истинности. Обозначают равносильные функции знаком «=».

Правила того, как следует проводить построение таблицы истинности

Несоблюдение хотя бы одного из них ведёт к очень грубой ошибке. Вот эти правила:

• Число строк таблицы должно совпадать с числом комбинаций всевозможных n логических переменных, то есть быть равным 2 n ;
• Количество столбцов таблицы должно равняться сумме числа логических переменных и числа логических операций;
• В построенный шаблон таблицы истинности должны вписываться все значения исходных переменных;
• Построение таблицы истинности выражения происходит по её столбцам, при этом обязательно учитываются правила логических операций.

Порядок действий при построении таблицы истинности для логических выражений

Порядок действий при построении таблицы истинности, какой бы ни была логическая функция, следующий:

1. Определить, какое число строк и столбцов будет в будущей таблице. Делается подобное по формулам
   X = n + m, Y = 2 n +1.
   Где n – число переменных, m – чило логических операций.
2. Заполнить самую верхнюю строку таблицы переменными и логическими операциями, идя слева направо. При этом приоритетность логических операций следует учитывать обязательно, иначе получится совсем не то, что нужно;
3. В первых столбцах перечислить всевозможные комбинации входных значений;
4. Выполняя заданные логические операции, заполнить все оставшиеся ячейки;

Ответом следует считать последний заполненный столбец таблицы.

О порядке логических операций

Лучше его представить списком. Логические операции выполняют в следующей последовательности: сначала идёт инверсия, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, после неё импликация, по её выполнении эквиваленция.

После них идут Штрих Шеффера и Стрелка Пирса. Первым может быть выполнено как то, так и другое.

Далее приведём несколько поучительных задач на построение таблиц истинности

Задачи 1 — 3

Сделать построение таблицы истинности для функции ((A→B) ∧ A) ↔ B

1. 1. Определяем сколько будет у нас столбцов. Количество переменных у нас 2, логических операций 4, число столбцов равно сумме 2+4 = 6.
   2. Определяем, сколько будет у на строк. Оно равно 2 n , плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций. У нас будет 2 n +1 = 2 2 + 1= 5;
   3. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
   4. В двух первых столбцах записываем возможные значения переменных;
   5. В далее идущих столбцах записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
   6. В самом последнем из столбцов записываем итоговые значения функции.

   В результате всего этого у нас должно получиться:

   

   Провести построение таблицы истинности функции (A ∨ B) ∧ – C

   1. Определяем сколько будет столбцов. Количество переменных у нас 3, количество логических операций 3. Складываем то и другое: 3+3 = 5.
   2. Определяем, количество строк. Оно равно 2n, плюс ещё одна строка для обозначения переменных и логических операций.В итоге будет 2n+1 = 2 3 + 1= 9;
   1. Заполняем первую строку. Прописываем символы переменные и логических операций;
   2. В два первые столбца вносим возможные значения наших переменных;
   3. В далее следующие столбцы записываем, какие значения принимают промежуточные функции;
   4. В последнем столбце записываем итоговые значения функции.

   В итоге получим таблицу:

   

   Сделать таблицу истинности для

   (A ∧ B ↔ B ∧ C) ∨ (C → A)

   Функция посложнее и таблица получится значительно больше, чем предыдущая.

   1. Считаем столбцы. Количество переменных 3, количество логических операций 6. Значит столбцов будет 3+6=9;
   2. Считаем строки. Их количество будет 2 3 +1= 9;
   3. Заполняем первую строку таблицы;
   4. В первых столбцах записываем все допустимые значения наших переменных;
   5. В остающихся столбцах пишем, какие наша функция принимает промежуточные значения
   6. В последний столбец пишем итоговые значения данной нам функции.

   В итоге у нас получается таблица:

   

   Нет времени решать самому?

   Таблицы истинности

   Логическая функция – это функция, у которой значения переменных и значение функции выражают логическую истинность.

   Они могут принимать значения «истина» или «ложь» (1 или 0). Для функции, содержащей две переменные, наборов значений переменных всего четыре:

   

   Значения логических функций определяются с помощью таблица истинности.

   Таблицы истинности для основных двоичных логических функций

   1. Конъюнкция (логическое умножение) – сложное логическое выражение, которое является истинным только в том случае, когда истинны оба входящих в него простых выражения.

   Обозначение:

   

   2. Дизъюнкция (логическое сложение) – это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно, если оба простых логических выражения ложны.

   Обозначение:

   

   3. Импликация (логическое следствие) – это сложное логическое выражение, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

   Обозначение:

   

   4. Эквиваленция – это сложное логическое высказывание, которое является истинным только при одинаковых значениях истинности простых выражений, входящих в него.

   Обозначение:

   

   5. Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное – истинным.

   Обозначение:

   

   6. Штрих Шеффера – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение ложно тогда и только тогда, когда оба простых выражения истинны.

   Обозначение:

   

   7. Стрелка Пирса – операция, отрицающая конъюнкцию, т.е. значение истинно тогда и только тогда, когда оба простых выражения ложны.

   Обозначение:

   

   Порядок выполнения логических операций

   При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций:

   1. Инверсия
   2. Конъюнкция
   3. Дизъюнкция
   4. Импликация
   5. Эквиваленция
   6. Штрих Шеффера
   7. Стрелка Пирса

   Для последних двух операций приоритет не определен.

   Замечание. Если необходимо изменить указанный порядок выполнения логических операций используются скобки.

   Примеры решения задач

   Задание	Составить таблицу истинности для функции
   Решение	Составим таблицу истинности для заданной функции, которая содержит две переменные и . В первых двух столбцах таблицы запишем четыре возможных пары значений этих переменных, в последующих столбцах — значения промежуточных функций и в последнем столбце — значение функций. В результате получим таблицу:

   

   

   I –

   II –

   III –

   IV –

   V –

   

   VI –

   В результате получим таблицу:

   Читать:

   Как решить проблему требуется подтверждение apple